Goniometrické rovnice

Vydáno dne v kategorii Rovnice; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 38 597

V tomto článku se pokusím čtenáře zasvětit do problematiky goniometrických rovnic.


Tento článek má dvouslovný nadpis. Obě slova by mohla být pro některé čtenáře nová. Druhé slovo, rovnice je vysvětlené v článku Rovnice. Goniometrie je část matematiky zabývající se goniometrickými, nebo chcete-li trigonometrickými funkcemi. O tomto tématu se dozvíte více v článku Úvod do Goniometrie/Trigonometrie.

Jedna lehká goniometrická rovnice by mohla vypadat takto: sin x = 0. Tato rovnice je lehká, na jedné straně máme goniometrickou funkci a na druhé číslo. Nyní bychom mohli vzít do ruky kalkulačku a naťukat arcsin 1. Ale kalkulačka většinou vrací iracionální výsledky. Proto by bylo lepší vzít do ruky jednotkovou kružnici (přejít na článek Jednotková kružnice) a podívat se, kde funkce sinus nabývá hodnoty 0. První nalezená hodnota je . Ale většinou budou mít tyto rovnice alespoň dva výsledky a proto se pokusíme nalézt další řešení. Toto řešení je 180°. Ale pozor, je třeba si uvědomit, že kdybychom vzali úhel 360°, sinus bude také roven jedné. A to stejné pro další úhly jako 440°, 720°,.... Prostě na další řešení narazíme poté, co obkroužíme jednotkovou kružnici. Výsledek proto musíme zapsat ve tvaru 0+360*n a 180+360*n. V některých případech ale budeme hledat pouze hodnoty v intervalu <0°, 360°>, popř. v intervalu <0, 2π>. V takovém případě by stačila odpověď x=(0, 180).

Přestože to v tomto článku není, je doporučeno získané výsledky kontrolovat zkouškou!

Podíváme se na další příklad. Zkusíme vyřešit rovnici 2\sin x-\sqrt{3}. Nejprve se budeme snažit převést rovnici do takové tvaru, abychom na jedné straně měli goniometrickou funkci a na druhé straně nějaké číslo. Přičteme proto k celé rovnici \sqrt{3} a poté celou rovnici vydělíme dvěma. Získáme tedy rovnici sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}. Nyní opět přijde na řadu jednotková kružnice. A tentokrát zkusíme řešení najít v radiánech místo ve stupních. Funkce sinus nabývá hodnoty \frac{\sqrt{3}}{2} ve dvou bodech → \frac{\pi}{3} a \frac{2\pi}{3}. Nesmíme zapomenout přidat na konec +2kπ. Kompletní řešení tedy vypadá x=\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi; \frac{2\pi}{3}+2k\pi\right)

Toto byly lehké příklady. Problémy nastanou, pokud jsou v rovnici goniometrické rovnice ve vyšší mocnině. Vyřešte rovnici \cos x*\cos^2 x=0 v intervalu od nuly do 360 stupňů. Nejlepším možným postupem je vytknout cos x. Z rovnice se stane \cos x*(1+\cos x) a to už není tak těžké vypočítat. Aby se levá strana rovna nule, musí se jeden ze členů levé strany rovnat nule. Sestavíme tedy dvě rovnice: \cos x=0 a 1+\cos x=0. Tyto rovnice jsou podobně předchozím příkladům a jistě si s nimi hravě poradíte. Řešením je 90°, 270°, 180°.

Vyřešte rovnici 3\tan^2 x+4\tan x-4=0 v radiánech. Tentokrát budeme muset zapátrat v hlavě a vzpomenout si na výpočet kvadratické rovnice.

D=b^2-4ac=16-4*3*(-4) = 64\\tan x = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\pm\8}{6}=\left(\frac{2}{3}; -2\right)

Tyto hodnoty na jednotkové kružnici nenaleznete a proto se obrátíme na kalkulačku. Pro první výsledek získáme x=0.59+kπ a pro druhý výsledek získáme x=-1.10+kπ. Někteří čtenáři se asi diví, proč přičítáme pouze a ne 2kπ. Důvod je jednoduchý → záleží na velikosti periody dané funkce a funkce tangens má periodu rovnu jedné.

V některých případech budeme muset při řešení goniometrických rovnic sáhnout ke znalosti goniometrických vzorce (přejít na článek Goniometrické vzorce). Vyřešte rovnici \sin 2x+\cos x=0. Řešení této rovnice je založeno na tom, že \sin 2x = 2\sin x*\cos x. Pokud uděláme tuto změnu, získáme rovnici 2\sin x*\cos x+\cos x=0. Nyní stačí postupovat stejně jako v předchozím příkladě. Vytkneme cos x a je to: \cos x*(2\sin x+1)=0. Rovnice se opět rozdělí na dvě dílčí rovnice, jejichž řešení je jednoduché a uvedu proto pouze výsledek: x=\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi; \frac{3\pi}{2}+2k\pi;\frac{7\pi}{6}+2k\pi; \frac{11\pi}{3}+2k\pi\right).

Vyřešte rovnici \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} v množině reálných čísel. Toto je přesně ten případ, kdy budeme muset použít goniometrické vzorce. Začneme tedy tím, že upravíme levou stranu rovnice: \cos x*\cos \frac{\pi}{6}-\sin x*\sin \frac{\pi}{6}-\left(\cos x*\cos \frac{\pi}{6}+\sin x*\sin \frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}. Dalším krokem je odstranění závorku. Já, když jsem tento příklad poprvé řešil, tak jsem závorku prostě škrtnul a nevšiml jsme si, že je před ní znaménko mínus. Neudělejte stejnou chybu;-) Pokud tedy závorku úspěšně odstraníme a nahradíme \sin \frac{\pi}{6} za \frac{1}{2} získáme rovnici -2\sin x*\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}. A tuto rovnici už každý z vás jistě vyřeší. Výsledek je x=\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi; \frac{5\pi}{3}+2k\pi\right).

Další problém by mohla představovat goniometrická funkce ve vyšší mocnině. Zkuste vyřešit rovnici 4\sin^2 x-3=0. Převedeme čísla na jednu stranu rovnice: sin^2 x=\frac{3}{4}. Nyní stačí, když celou rovnici odmocníme. Ale pozor, je třeba si uvědomit, že před pravou stranou musí být znaménko plus mínus\sin x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}. Výsledek této rovnice tedy je x=\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi;\frac{2\pi}{3}+2k\pi;\frac{4\pi}{3}+2k\pi;\frac{5\pi}{3}+2k\pi \right).

Test

Určete limitu \lim\limits_{x\to2}\ \frac{x^2-7x-10}{x^2-4}


Hlavolam

Maminka je dnes o 21 let starší než její dítě. Za 6 let bude dítě 5x mladší než maminka. Otázka zní: kde je dnes tatínek? A ta otázka opravdu není neřešitelná ...