Goniometrické rovnice

Goniometrická rovnice je rovnice, ve které je neznámá v argumentu goniometrické funkce, třeba `\sin x = \frac{1}{2}` nebo `2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0`. Řeší se vždy stejně: rovnici upravíme na základní tvar `\sin x = a`, `\cos x = a` nebo `\operatorname{tg} x = a`, na jednotkové kružnici najdeme řešení v jedné otáčce a přičteme k nim násobky periody.

`\begin{aligned}\sin x = a:\quad & x = x_0 + 2k\pi \\ & x = \pi - x_0 + 2k\pi \\[8pt] \cos x = a:\quad & x = \pm x_0 + 2k\pi \\[8pt] \operatorname{tg} x = a:\quad & x = x_0 + k\pi\end{aligned}`

Tady `x_0` je jedno řešení (to, které vrátí kalkulačka jako arcsin a, arccos a nebo arctg a) a `k` je libovolné celé číslo, `k \in \mathbb{Z}`. Sinus i kosinus mají periodu `2\pi` (360°) a v jedné otáčce obvykle dvě řešení, tangens má periodu `\pi` (180°) a v ní jedno řešení. Rovnice `\sin x = a` a `\cos x = a` mají řešení, jen když `-1 \le a \le 1`.

Níže je nejdřív řešení základních rovnic a tabulka hodnot, pak rovnice s násobkem úhlu, rovnice řešené substitucí, vytýkáním a pomocí goniometrických vzorců, zkouška, nerovnice a nakonec řešené příklady k procvičení. Co jsou sinus a kosinus, vysvětluje úvod do goniometrie, hodnoty pro běžné úhly jednotková kružnice.

Základní goniometrické rovnice

Hodnota sinu je `y`-ová souřadnice bodu na jednotkové kružnici, hodnota kosinu jeho `x`-ová souřadnice. Rovnice `\sin x = \frac{1}{2}` se tedy ptá, které body kružnice leží ve výšce `\frac{1}{2}`. Vodorovná přímka `y = \frac{1}{2}` protne kružnici ve dvou bodech, jeden v prvním a jeden ve druhém kvadrantu. U kosinu je přímka svislá a body jsou souměrné podle osy `x`.

Příklad 1

Řešte v `\mathbb{R}` rovnici `\sin x = \frac{1}{2}`.

Z tabulky hodnot víme, že `\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}` (to je 30°). Druhý bod na kružnici je souměrný podle osy `y`, patří k úhlu `\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}` (150°). Ke každému přičteme celé otáčky:

`\begin{aligned} x &= \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \\ \text{nebo}\quad x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\end{aligned}`

Ve stupních totéž zní `x = 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}` nebo `x = 150^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}`. Kontrola: `\sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}`. Kalkulačka rovnice sin x = a vypíše obě řešení i obecné řešení pro libovolné `a`.

Příklad 2

Řešte v `\mathbb{R}` rovnici `\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}`.

Kladnou hodnotu `\frac{\sqrt{2}}{2}` má kosinus pro `\frac{\pi}{4}` (45°). Záporný je ve druhém a třetím kvadrantu, takže hledáme úhly `\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}` a `\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}`. Jsou souměrné podle osy `x`, proto se dají zapsat jedním vzorcem:

`x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}`

Úhel `-\frac{3\pi}{4}` je totéž místo na kružnici jako `\frac{5\pi}{4}`. Ve stupních: `x = 135^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}` nebo `x = 225^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}`.

Příklad 3

Řešte v `\mathbb{R}` rovnici `\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}`.

Víme, že `\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}`. Tangens je lichá funkce, takže `\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}`. Perioda tangens je `\pi`, a proto:

`x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}`

V intervalu `\langle 0; 2\pi)` to jsou `\frac{2\pi}{3}` a `\frac{5\pi}{3}` (120° a 300°). Stejný výsledek se dá zapsat i jako `x = \frac{2\pi}{3} + k\pi`, obě podoby jsou správně.

Zvláštní hodnoty: 0, 1 a −1

Pro `a = 1` a `a = -1` se přímka kružnice jen dotkne a v otáčce je jediné řešení. Pro `a = 0` jsou řešení dvě, ale leží přesně naproti sobě, takže se opakují už po `\pi`:

Rovnice `\sin x = 2` nebo `\cos x = -1{,}5` nemá řešení, protože sinus ani kosinus nikdy nevyjdou mimo interval `\langle -1; 1\rangle`. Tangens a kotangens nabývají všech reálných hodnot, takže `\operatorname{tg} x = a` má řešení pro každé `a`.

Tabulka řešení základních rovnic

Řešení v jedné otáčce `\langle 0; 2\pi)`. Obecné řešení dostanete, když ke každé hodnotě přičtete `2k\pi`.

Pro tangens stačí jedna hodnota z intervalu `\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)`, ostatní řešení se liší o násobky `\pi`:

Pro hodnoty, které v tabulce nejsou, třeba `\sin x = 0{,}3`, se `x_0` najde kalkulačkou (arkussinus, arkuskosinus, arkustangens) a druhé řešení se dopočítá podle vzorců v úvodu. Hodnoty přes celou otáčku po zvoleném kroku, třeba po 15°, vypíše tabulka hodnot goniometrických funkcí.

Obecné řešení a řešení v intervalu

Proč se přičítá `2k\pi`, je nejlépe vidět na grafu. Sinusoida se každých `2\pi` opakuje, a proto ji přímka `y = \frac{1}{2}` protne nekonečněkrát, vždy dvakrát v každé periodě:

Zápis `x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi` popisuje všechny červené body najednou: pro `k = 0` je to `\frac{\pi}{6}`, pro `k = 1` je to `\frac{13\pi}{6}`, pro `k = -1` je to `-\frac{11\pi}{6}`. Zadání „řešte v `\mathbb{R}`“ chce obecné řešení s `k`. Zadání „řešte v intervalu `\langle 0; 2\pi)`“ nebo „v intervalu `\langle 0^{\circ}; 360^{\circ})`“ chce jen konkrétní úhly z obecného řešení, které do intervalu padnou.

Příklad 4

Řešte rovnici `2\sin x - \sqrt{3} = 0` v intervalu `\langle 0; 4\pi)`.

Nejdřív základní tvar: přičteme `\sqrt{3}` a vydělíme dvěma, `\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}`. Obecné řešení je `x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi` nebo `x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi`. Interval má dvě otáčky, takže dosadíme `k = 0` a `k = 1`:

`x \in \left\{\dfrac{\pi}{3};\ \dfrac{2\pi}{3};\ \dfrac{7\pi}{3};\ \dfrac{8\pi}{3}\right\}`

Pro `k = 2` už vychází `\frac{13\pi}{3}`, což je víc než `4\pi = \frac{12\pi}{3}`.

Rovnice s násobkem nebo posunem úhlu

Když je v argumentu `2x`, `3x` nebo `x - \frac{\pi}{4}`, vyřešíme rovnici nejdřív pro celý argument, jako by to byla jedna neznámá. Teprve na konci vyjádříme `x`, a to z celého výrazu i s periodou.

Příklad 5

Řešte v `\mathbb{R}` rovnici `\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}`.

`\begin{aligned} 2x &= \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi & x &= \dfrac{\pi}{6} + k\pi \\[8pt] \text{nebo}\quad 2x &= \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi & x &= \dfrac{\pi}{3} + k\pi\end{aligned}`

Dvojkou se dělí i perioda, takže řešení se opakují už po `\pi` a v jedné otáčce `\langle 0; 2\pi)` jsou čtyři: `\frac{\pi}{6}`, `\frac{\pi}{3}`, `\frac{7\pi}{6}` a `\frac{4\pi}{3}`. Kontrola pro `\frac{7\pi}{6}`: `\sin\frac{7\pi}{3} = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}`. Kdo napíše `x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi`, přijde o polovinu řešení.

Příklad 6

Řešte v `\mathbb{R}` rovnici `\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}`.

`\begin{gathered}x - \dfrac{\pi}{4} = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\\[10pt]x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi = \dfrac{7\pi}{12} + 2k\pi\\[10pt]x = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi = -\dfrac{\pi}{12} + 2k\pi\end{gathered}`

V intervalu `\langle 0; 2\pi)` jsou to úhly `\frac{7\pi}{12}` (105°) a `\frac{23\pi}{12}` (345°).

Rovnice řešené substitucí (kvadratické)

Je-li v rovnici jedna goniometrická funkce ve druhé mocnině i v první, označíme ji jedním písmenem a dostaneme kvadratickou rovnici. Pokud jsou v rovnici sinus i kosinus, převedeme ji nejdřív na jednu funkci goniometrickou jedničkou `\sin^2 x + \cos^2 x = 1`.

Příklad 7

Řešte v `\mathbb{R}` rovnici `2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0`.

Za `\cos^2 x` dosadíme `1 - \sin^2 x` a označíme `s = \sin x`:

`\begin{gathered}2(1 - s^2) + 3s - 3 = 0\\[6pt]2s^2 - 3s + 1 = 0\\[6pt](2s - 1)(s - 1) = 0\end{gathered}`

Buď `\sin x = \frac{1}{2}`, tedy `x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi` nebo `x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi`, nebo `\sin x = 1`, tedy `x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi`. Kontrola pro `x = \frac{\pi}{2}`: `2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 - 3 = 0`. Kdyby jeden kořen vyšel mimo `\langle -1; 1\rangle`, třeba `s = 3`, zahodíme ho, protože `\sin x = 3` nemá řešení.

Příklad 8

Řešte v `\mathbb{R}` rovnici `3\operatorname{tg}^2 x + 4\operatorname{tg} x - 4 = 0`.

Označíme `t = \operatorname{tg} x` a vyřešíme `3t^2 + 4t - 4 = 0`:

`\begin{gathered}D = 16 + 48 = 64\\[10pt]t_{1,2} = \dfrac{-4 \pm 8}{6},\quad t_1 = \dfrac{2}{3},\ t_2 = -2\end{gathered}`

Tyto hodnoty v tabulce nejsou, `x_0` najdeme kalkulačkou: `\operatorname{arctg}\frac{2}{3} \doteq 0{,}588` (33°41′) a `\operatorname{arctg}(-2) \doteq -1{,}107` (−63°26′). Tangens má periodu `\pi`, takže:

`\begin{aligned} x &\doteq 0{,}588 + k\pi \\ \text{nebo}\quad x &\doteq -1{,}107 + k\pi\end{aligned}`

Druhou hodnotu si můžete ověřit v kalkulačce rovnice tg x = a, která vypíše −63,43° a periodu 180°.

Rovnice řešené vytýkáním

Když je na jedné straně nula a všechny členy mají společného činitele, vytkneme ho. Součin je nula, právě když je nula některý z činitelů, a rovnice se rozpadne na dvě základní.

Příklad 9

Řešte v `\mathbb{R}` rovnici `\sin 2x + \cos x = 0`.

Podle vzorce `\sin 2x = 2\sin x \cos x`:

`\begin{gathered}2\sin x \cos x + \cos x = 0\\[6pt]\cos x\,(2\sin x + 1) = 0\end{gathered}`

Buď `\cos x = 0`, tedy `x = \frac{\pi}{2} + k\pi`, nebo `\sin x = -\frac{1}{2}`, tedy `x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi` nebo `x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi`. V jedné otáčce jsou to čtyři úhly: 90°, 210°, 270° a 330°. Kontrola pro `x = \frac{7\pi}{6}`: `\sin\frac{7\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}` a `\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}`, součet je nula.

Nedělte rovnici výrazem, který může být nula. Kdybychom rovnici `2\sin x \cos x + \cos x = 0` vydělili `\cos x`, zbylo by jen `2\sin x + 1 = 0` a všechna řešení `x = \frac{\pi}{2} + k\pi` by se ztratila.

Rovnice, kde pomohou goniometrické vzorce

Je-li v rovnici více různých úhlů (`x` a `2x`, `x + \frac{\pi}{6}` a `x - \frac{\pi}{6}`) nebo více funkcí, převedou ji vzorce na jeden úhel a jednu funkci. Nejčastěji se při řešení rovnic použijí tyto:

`\begin{gathered}\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad \operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\\[10pt]\sin 2x = 2\sin x \cos x\\[10pt]\begin{aligned}\cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x \\ &= 1 - 2\sin^2 x \\ &= 2\cos^2 x - 1\end{aligned}\\[10pt]\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y\\[10pt]\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y\end{gathered}`

Všechny s odvozením a příklady jsou v článku goniometrické vzorce. U `\cos 2x` vyberte ten ze tří tvarů, ve kterém zůstane jen funkce, která už v rovnici je.

Příklad 10

Řešte v `\mathbb{R}` rovnici `\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}`.

Obě závorky rozepíšeme součtovým vzorcem. Pozor na mínus před druhou závorkou, mění znaménko obou členů uvnitř:

`\begin{gathered}\cos x \cos\dfrac{\pi}{6} - \sin x \sin\dfrac{\pi}{6}\\[10pt]- \cos x \cos\dfrac{\pi}{6} - \sin x \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}`

Členy s kosinem se odečtou a zbude `-2\sin x \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}`, tedy `\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}`. Řešení:

`\begin{aligned} x &= \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi \\ \text{nebo}\quad x &= \dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi\end{aligned}`

Příklad 11

Řešte v `\mathbb{R}` rovnici `\sin x = \sqrt{3}\cos x`.

Tady dělit smíme, ale jen po kontrole. Kdyby bylo `\cos x = 0`, muselo by být i `\sin x = 0`, a to současně nejde (`\sin^2 x + \cos^2 x = 1`). Žádné řešení tedy nemá `\cos x = 0` a rovnici můžeme vydělit `\cos x`:

`\begin{gathered}\operatorname{tg} x = \sqrt{3}\\[10pt]x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi\end{gathered}`

Zkouška a podmínky

Úpravy, které nejsou ekvivalentní, mohou přidat řešení, která rovnici nesplňují. U goniometrických rovnic je to hlavně umocnění obou stran a dosazení do výrazu, který není všude definovaný (`\operatorname{tg} x` neexistuje pro `x = \frac{\pi}{2} + k\pi`, `\operatorname{cotg} x` pro `x = k\pi`). Po takové úpravě je zkouška nutná.

Příklad 12

Řešte v `\mathbb{R}` rovnici `\sin x + \cos x = 1`.

Umocníme obě strany a použijeme goniometrickou jedničku:

`\begin{gathered}\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1\\[10pt]1 + \sin 2x = 1\\[10pt]\sin 2x = 0,\quad x = \dfrac{k\pi}{2}\end{gathered}`

V jedné otáčce jsou to kandidáti 0, `\frac{\pi}{2}`, `\pi` a `\frac{3\pi}{2}`. Zkouška: pro 0 je `0 + 1 = 1`, pro `\frac{\pi}{2}` je `1 + 0 = 1`, ale pro `\pi` vyjde `0 - 1 = -1` a pro `\frac{3\pi}{2}` vyjde `-1 + 0 = -1`. Ty dva přibyly umocněním. Řešení je tedy `x = 2k\pi` nebo `x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi`.

Goniometrické nerovnice

Nerovnice se řeší stejně jako rovnice, jen místo dvou bodů hledáme oblouk kružnice. Nejdřív vyřešíme rovnici, ta dá krajní body, a pak z obrázku vyčteme, na které straně nerovnost platí.

Pro `\sin x \gt \frac{1}{2}` leží hledané body nad přímkou `y = \frac{1}{2}`, tedy na oblouku od `\frac{\pi}{6}` do `\frac{5\pi}{6}`. Krajní body do řešení nepatří, protože v nich je sinus roven `\frac{1}{2}`, ne větší:

`x \in \left(\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi;\ \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right),\quad k \in \mathbb{Z}`

Příklad 13: ruské kolo

Kabina ruského kola je v čase `t` minut od nástupu ve výšce `h = 20 - 18\cos\frac{\pi t}{10}` metrů. Jedna otáčka trvá 20 minut. Kdy během první otáčky je kabina ve výšce 29 m a jak dlouho je výš?

`\begin{gathered}20 - 18\cos\dfrac{\pi t}{10} = 29\\[10pt]\cos\dfrac{\pi t}{10} = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}`

Pro `t \in \langle 0; 20)` je argument `\frac{\pi t}{10}` v intervalu `\langle 0; 2\pi)`, takže `\frac{\pi t}{10} = \frac{2\pi}{3}` nebo `\frac{4\pi}{3}`. Odtud `t = \frac{20}{3} \doteq 6{,}67` min a `t = \frac{40}{3} \doteq 13{,}33` min, tedy v 6 min 40 s a ve 13 min 20 s. Výš než 29 m je kabina mezi těmito časy, kdy je `\cos\frac{\pi t}{10} \lt -\frac{1}{2}`, celkem `\frac{20}{3}` min, tedy 6 minut a 40 sekund. Kontrola: v polovině otáčky, `t = 10`, je `h = 20 + 18 = 38` m, nejvýš.

Časté chyby

• Jen jedno řešení z kalkulačky. Kalkulačka vrátí arcsin 0,5 = 30° a mlčí o 150°. U sinu a kosinu jsou v otáčce skoro vždy dvě řešení, druhé se dopočítá: `\pi - x_0` u sinu, `-x_0` u kosinu.
• Chybějící perioda. Odpověď „`x = \frac{\pi}{6}`“ na zadání „řešte v `\mathbb{R}`“ je neúplná. Bez `+ 2k\pi` (u tangens `+ k\pi`) chybí nekonečně mnoho řešení.
• Perioda nevydělená. Z `2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi` plyne `x = \frac{\pi}{6} + k\pi`, ne `+ 2k\pi`. Dělí se celá pravá strana.
• Tangens s periodou `2\pi`. Tangens se opakuje po `\pi` (180°), takže `x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi` jako řešení `\operatorname{tg} x = 1` ztratí úhly 225°, 585°, ...
• Zapomenuté `\pm` při odmocnění. Z `\cos^2 x = \frac{1}{2}` plyne `\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}` nebo `\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}`. Bez záporné větve zmizí polovina řešení.
• Dělení výrazem s neznámou. Vydělit `\sin x` nebo `\cos x` smíme jen tehdy, když jsme ověřili, že nula to být nemůže (příklad 11). Jinak vytýkáme (příklad 9).
• Mínus před závorkou. Po rozepsání `-\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)` se mění znaménko u obou členů, jak ukazuje příklad 10.
• Stupně a radiány v jednom výsledku. `x = 30^{\circ} + 2k\pi` je nesmysl. Buď `30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}`, nebo `\frac{\pi}{6} + 2k\pi`. A kalkulačka musí být přepnutá na stejnou jednotku (DEG nebo RAD), ve které chcete výsledek.

Příklady k procvičení

Základní rovnice v intervalu 0° až 360° si můžete nechat zadávat donekonečna v procvičování goniometrických rovnic, hodnoty, bez kterých se neobejdete, v procvičování hodnot na jednotkové kružnici.

Kam dál

Základní rovnice se nejlépe usadí v procvičování goniometrických rovnic. Výsledky ověří kalkulačky rovnice sin x = a, rovnice cos x = a a rovnice tg x = a, hodnoty pro zadaný úhel i s nákresem ukáže jednotková kružnice. Na rovnice navazují goniometrické vzorce, průběh funkcí popisují články sinus a kosekans a tangens a kotangens, a obecně o řešení rovnic píše článek rovnice.