Rovnice

Rovnice je zápis, který tvrdí, že se dvě strany rovnají: vlevo i vpravo od znaménka = stojí výraz a aspoň v jednom z nich je neznámá, obvykle `x`. Vyřešit rovnici znamená najít všechna čísla, pro která rovnost platí. Taková čísla se nazývají kořeny (řešení) rovnice.

`\begin{gathered}3x+2=11\\[4pt] x=3\end{gathered}`

Rovnice `3x+2=11` má jediný kořen `x=3`, protože `3\cdot 3+2=11` a pro žádné jiné číslo to nevyjde. Kořen se hledá ekvivalentními úpravami: s oběma stranami uděláme totéž, například odečteme 2 a pak vydělíme třemi, dokud na jedné straně nezůstane samotné `x`.

Na konci se dělá zkouška: kořen dosadíme do původní rovnice a levou i pravou stranu spočítáme zvlášť. Když vyjdou stejně, je výsledek správně.

Níže najdete, co znamenají pojmy kolem rovnic, které úpravy jsou ekvivalentní a které ne, jak se postup zapisuje, pět řešených příkladů se zkouškou, grafické řešení, přehled druhů rovnic s odkazy na podrobné články, časté chyby a příklady k procvičení s řešením.

Co je rovnice: levá strana, pravá strana, neznámá, kořen

V rovnici `3x+2=11` je `3x+2` levá strana (píše se `L`), `11` je pravá strana `(P)` a `x` je neznámá. Všechny kořeny dohromady tvoří množinu kořenů, zapisuje se `K=\{3\}`.

Písmena ze začátku abecedy `a,\ b,\ c` se obvykle používají pro známá čísla (konstanty, koeficienty), písmena z konce abecedy `x,\ y,\ z` pro neznámé. Tento zvyk zavedl v 17. století René Descartes a drží se dodnes.

Rovnice nemusí mít právě jeden kořen. Může jich mít víc, žádný, nebo může platit pro každé číslo:

Rovnici, která platí pro každé číslo, se říká identita. Zápis bez neznámé, třeba `2+3=5`, rovnice není, je to rovnost: prostě platí, nebo neplatí.

Záleží také na tom, v jakém oboru čísel řešíme. Rovnice `2x=3` má v reálných číslech kořen `x=1{,}5`, v přirozených číslech ale nemá řešení žádné. Když zadání obor neuvádí, řeší se v reálných číslech `\mathbb{R}`.

Příbuzná rovnice je nerovnice: místo znaménka `=` v ní stojí `\lt,\ \gt,\ \le` nebo `\ge` a řešením bývá celý interval. Upravuje se skoro stejně, jen při násobení nebo dělení záporným číslem se znaménko nerovnosti otočí.

Ekvivalentní úpravy rovnic

Rovnici si můžete představit jako váhy v rovnováze. Když z obou misek uberete stejně nebo obě misky rozdělíte na stejný počet dílů, váhy zůstanou v rovnováze. Přesně tak fungují ekvivalentní úpravy: nová rovnice má stejné kořeny jako ta původní, žádný nepřibude a žádný se neztratí.

Ekvivalentní úpravy rovnic jsou:

1. Přičíst nebo odečíst k oběma stranám stejné číslo nebo stejný člen s neznámou (třeba `-2x`). Tak se „převádí na druhou stranu“: člen zmizí z jedné strany a na druhé se objeví s opačným znaménkem.
2. Vynásobit nebo vydělit obě strany stejným číslem různým od nuly.
3. Prohodit levou a pravou stranu.
4. Upravit jen jednu stranu tak, aby se její hodnota nezměnila: roznásobit závorku, sečíst podobné členy, převést zlomky na společného jmenovatele.

Pozor na úpravy, které ekvivalentní nejsou:

• Násobení nulou udělá z jakékoli rovnice `0=0`, která platí pro každé číslo. Z rovnice s jediným kořenem by se tak stala rovnice, které vyhovuje všechno.
• Dělení výrazem s neznámou může kořen ztratit. Z `x^2=3x` po vydělení `x` zbude jen `x=3`, ale i `x=0` je kořen. Správně se převede vše na jednu stranu a vytkne: `x(x-3)=0`, tedy `x=0` nebo `x=3`.
• Násobení výrazem s neznámou (třeba jmenovatelem `x-1`) je v pořádku jen tam, kde výraz není nula. Proto se u zlomků píšou podmínky.
• Umocnění obou stran může kořen přidat: z `-2\neq 2` se po umocnění stane `4=4`. Po umocnění je zkouška povinnou součástí řešení (příklad 5).

Jak se zapisuje postup řešení

Každý řádek je nová rovnice a za ni se za lomítko (nebo svislou čáru) napíše úprava, kterou z ní uděláme další řádek. Znaménka `=` se píšou pod sebe. Kdo pak postup čte, učitel nebo vy sami při hledání chyby, hned vidí, co se kde stalo:

`\begin{aligned} x&=2x-1 &&/\ {-2x}\\[4pt] -x&=-1 &&/\cdot(-1)\\[4pt] x&=1 \end{aligned}`

Úprava za lomítkem se týká celé rovnice, tedy obou stran. Zápis `/\cdot(-1)` znamená, že obě strany vynásobíme minus jedničkou.

Jak vyřešit rovnici krok za krokem

Pro lineární rovnice, tedy ty, kde je neznámá jen v první mocnině, funguje pořád stejný postup:

1. Zbavte se zlomků: celou rovnici vynásobte společným jmenovatelem.
2. Roznásobte závorky. Minus před závorkou mění znaménko u každého členu uvnitř.
3. Neznámé na jednu stranu, čísla na druhou: přičtěte nebo odečtěte, co je potřeba.
4. Vydělte koeficientem u `x`.
5. Udělejte zkoušku dosazením do původní rovnice.

Podrobně, i s případy `0x=0` a `0x=5`, to rozebírá článek Lineární rovnice. Kalkulačka lineární rovnice vypočítá rovnici tvaru `ax+b=c` i se zkouškou a v příkladech na lineární rovnice si postup vyzkoušíte na dvanácti rovnicích za sebou.

Příklad 1: rovnice se závorkou

Vyřešte rovnici `4(x+5)-2x=0`.

`\begin{gathered}4(x+5)-2x=0\\[4pt] 4x+20-2x=0\\[4pt] 2x+20=0 \qquad /\ {-20}\\[4pt] 2x=-20 \qquad /:2\\[4pt] x=-10\end{gathered}`

Zkouška: levou a pravou stranu počítáme zvlášť a do obou dosadíme `x=-10`:

`\begin{gathered}\begin{aligned} L&=4\cdot(-10+5)-2\cdot(-10)\\[4pt] &=-20+20=0 \end{aligned}\\[4pt] P=0\\[4pt] L=P\end{gathered}`

Kořen je `x=-10`. Zkouška se dělá vždy do původní rovnice, ne do některého z upravených řádků. Chyba, která vznikla při úpravě, se v upraveném řádku už neprojeví.

Příklad 2: rovnice se zlomky

Vyřešte rovnici `\dfrac{x}{2}+\dfrac{x+1}{3}=7`.

Společný jmenovatel je 6, celou rovnici jím vynásobíme. Pozor, násobí se i pravá strana:

`\begin{gathered}\dfrac{x}{2}+\dfrac{x+1}{3}=7 \qquad /\cdot 6\\[10pt] 3x+2(x+1)=42\\[10pt] 3x+2x+2=42\\[10pt] 5x=40 \qquad /:5\\[10pt] x=8\end{gathered}`

Zkouška: `L=\frac{8}{2}+\frac{9}{3}=4+3=7`, `P=7`. Kořen je `x=8`.

Příklad 3: slovní úloha

Taxík si účtuje 40 Kč za nástup a 28 Kč za každý kilometr. Jízda stála 334 Kč. Kolik kilometrů jste ujeli?

Počet kilometrů označíme `x`. Cena je nástup plus 28 Kč krát kilometry:

`\begin{gathered}40+28x=334 \qquad /\ {-40}\\[4pt] 28x=294 \qquad /:28\\[4pt] x=10{,}5\end{gathered}`

Zkouška: `40+28\cdot 10{,}5=40+294=334`. Ujeli jste 10,5 km. U slovní úlohy dejte na konec odpověď větou a zkontrolujte, jestli dává smysl: záporná nebo obří vzdálenost by znamenala chybu v rovnici.

Příklad 4: neznámá ve jmenovateli

Vyřešte rovnici `\dfrac{4}{x}+\dfrac{15}{2}=0`.

Nulou dělit nelze, proto nejdřív podmínka: `x\neq 0`. Pak celou rovnici vynásobíme společným jmenovatelem `2x`, což smíme, protože podle podmínky není nula:

`\begin{gathered}\dfrac{4}{x}+\dfrac{15}{2}=0 \qquad /\cdot 2x\\[10pt] 8+15x=0 \qquad /\ {-8}\\[10pt] 15x=-8 \qquad /:15\\[10pt] x=-\dfrac{8}{15}\end{gathered}`

Výsledek podmínku splňuje. Zkouška: `\frac{4}{x}=4:\left(-\frac{8}{15}\right)=-\frac{15}{2}`, takže `L=-\frac{15}{2}+\frac{15}{2}=0=P`. Takové rovnice spočítá i kalkulačka lomená rovnice, která podmínky vypíše sama. Zadává se do ní tvar „zlomek = číslo“, tady tedy `\frac{4}{x}=-\frac{15}{2}` po převedení `\frac{15}{2}` na pravou stranu.

Příklad 5: zkouška, která kořen vyřadí

Vyřešte rovnici `\sqrt{x+2}=x`.

Odmocniny se zbavíme umocněním obou stran. To ale není ekvivalentní úprava, takže zkouška tu není kontrola navíc, ale součást řešení:

`\begin{gathered}\sqrt{x+2}=x \qquad /^2\\[4pt] x+2=x^2\\[4pt] x^2-x-2=0\\[4pt] (x-2)(x+1)=0\\[4pt] x_1=2,\quad x_2=-1\end{gathered}`

Zkouška pro `x_1=2`: `L=\sqrt{4}=2`, `P=2`, platí. Pro `x_2=-1`: `L=\sqrt{1}=1`, ale `P=-1`. Neplatí, protože odmocnina nikdy nevyjde záporná. Kořen `-1` přibyl umocněním a rovnice má jediný kořen `K=\{2\}`. Víc takových rovnic je v článku Rovnice s odmocninou.

Grafické řešení rovnice

Rovnici `L=P` jde vyřešit i graficky. Levou i pravou stranu nakreslíme jako grafy funkcí `y=L(x)` a `y=P(x)`. Kořeny jsou `x`-ové souřadnice jejich průsečíků. Pro rovnici `|x+5|+|x-5|=12` to vypadá takto:

Grafy se protínají v bodech `[-6;\ 12]` a `[6;\ 12]`, kořeny jsou tedy `x=-6` a `x=6`. Zkouška: `|{-6}+5|+|{-6}-5|=1+11=12` a `|6+5|+|6-5|=11+1=12`. Algebraicky se taková rovnice řeší rozdělením na intervaly, viz Rovnice s absolutní hodnotou.

Totéž jde udělat s jedinou funkcí: převedeme vše na levou stranu, `|x+5|+|x-5|-12=0`, a kořeny jsou body, kde graf protne osu `x`. Graf ukáže, kolik kořenů rovnice má a zhruba kde leží, přesně je ale přečíst nejde. Proto se grafické řešení hodí hlavně na kontrolu. Rovnice, které algebraicky vyřešit nejde vůbec (třeba `\cos x=x`), se počítají přibližně iterační metodou.

Druhy rovnic

Rovnice se dělí podle toho, v jaké podobě v nich neznámá vystupuje. Každý druh má svůj postup a svůj článek:

Pro kontrolu: kořeny rovnic v tabulce jsou postupně `3`; `2` a `3`; `-\frac{8}{15}`; `7` a `-3`; `2`; `1`, `2` a `3`; `5`; `100`; `30^\circ+k\cdot 360^\circ` a `150^\circ+k\cdot 360^\circ`; `x=3,\ y=2`; `\pm 2\mathrm{i}`. Kvadratická rovnice `x^2+4=0` nemá v reálných číslech žádný kořen, v komplexních má dva.

Časté chyby

• Úprava jen na jedné straně. Kdo odečte 5 vlevo a vpravo ne, rovnici změnil. Úprava za lomítkem platí pro obě strany celé, u zlomků se společným jmenovatelem násobí i pravá strana (příklad 2).
• Minus před závorkou. `-(x+4)` je `-x-4`, ne `-x+4`. Nejčastější chyba vůbec a zkouška ji spolehlivě odhalí.
• Převedení bez změny znaménka. Člen, který přejde na druhou stranu, mění znaménko: z `2x+20=0` je `2x=-20`, ne `2x=20`.
• Dělení neznámou. Z `x^2=3x` nevydělujte `x`, ztratíte kořen `0`. Převeďte vše na jednu stranu a vytkněte.
• Zapomenutá podmínka. Když ve jmenovateli stojí neznámá, vypište hned na začátku, čemu se nesmí rovnat, a výsledek s podmínkou porovnejte.
• Zkouška do upraveného řádku. Dosazuje se do zadání. Jinak zkouška potvrdí i chybný výsledek.
• Špatně přečtený konec. Když neznámé zmizí, rozhoduje, co zbylo: `0=0` znamená, že řešením je každé číslo, `0=4` znamená, že rovnice nemá řešení. Nula jako kořen je něco jiného: `x=0` je normální řešení.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování: příklady na lineární rovnice, soustavy dvou rovnic, kořeny kvadratické rovnice.
• Kalkulačky: všechny kalkulačky na rovnice, lineární rovnice, kvadratická rovnice, soustava dvou rovnic.
• Články: Lineární rovnice, Kvadratická rovnice, Rovnice s odmocninou, Zlomek ve slovní úloze.