Články » SŠ Matematika » Rovnice

Exponenciální a logaritmické rovnice

Vydáno dne v kategorii Rovnice; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 101 174

Návod na řešení exponenciálních a logaritmických rovnic.


V tomto článku se vás pokusím naučit ty nejzákladnější metody na řešení exponenciálních a logaritmických rovnic. Začneme těmi exponenciálními.

Exponenciální rovnice je rovnice, kde neznámá je v exponentu - může tedy vypadat následovně: 4^x=16. Určit neznámou v tomto případě by se mělo podařit všem z hlavy - x=2, ale jsou rovnice kde toto nejde, například \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1}=125.

Existuje několik způsobů, jakými lze řešit exponenciální rovnice. Ten první je získat na obou stranách stejný základ:

2^2=4^x
Na levé straně je základ 2 a na levé straně je základ 4. 
2^2=2^{2^x} \rightarrow 2^2=2^{2x}
Jakmile se základy rovnají, můžeme je škrtnout a řešit rovnici danou exponenty
\cancel{2}^2=\cancel{2}^{2x}\\2=2x\\x=1

Ono převádění na společný základ je ve většině případů pouze práce s exponenty a je tedy třeba si uvědomit například číslo \sqrt{343} se dá zapsat jako 7^{\frac{3}{2}}. Tyto pravidla si můžete zopakovat v článku Exponenty/Mocniny.

Vyřešte rovnici 25^{2x-5}=125^{x+2}.

Čísla 25 a 125 mají jeden společný základ → 5. Upravíme tedy obě strany tak, aby základ byl 5:

\large\begin{array}{rcl}25^{2x-5}&=&125^{x+2}\\5^{4x-10}&=&5^{3x+6}\\4x-10&=&3x+6\\x&=&16\end{array}

Vyřešte rovnici \left(\frac{1}{64}\right)^x=2^{3x+5}.

Společný základ je 2
\large\begin{array}{rcl}\left(\frac{1}{64}\right)^x&=&2^{3x+5}\\2^{-6x}&=&2^{3x+5}\\-6x&=&3x+5\\x&=&-\frac{5}{9}\end{array}

Vyřešte rovnici e^{x^2+6}=e^{5x}.

Tato rovnice je daleko lehčí, než by se na první pohled mohlo zdát. Jelikož má pravá i levá strana stejný základ, tak my můžeme tento základ jednoduše škrtnout a poté již se jedná o lehkou kvadratickou rovnici.

\begin{array}{rcl}e^{x^2+6}&=&e^{5x}\\x^2+6&=&5x\\\sqrt{D}&=&\sqrt{b^2-4ac}=1\\x_1/x_2&=&(3;2)\end{array}

Jak vidíte, tyto rovnice nejsou vůbec složité. Většinou se jedná pouze o úpravu základu. Ale problém by mohl nastat, když dostanete za úkol spočítat rovnici 3^x+5=10. V takovémto případě vám asi nezbývá nic jiného než použít logaritmy. Nejprve ale musíme převést rovnici do tvaru 3^x=5. Nyní tuto rovnici přepíšeme z její exponenciální podoby do její logaritmické podoby: 

a^b=x se dá zapsat jako \log _ax=b, a proto předchozí rovnici můžeme řešit následovně:
3^x=5\\\log _35=x 
Nyní sáhneme po kalkulačce a spočítáme levou stranu:
x=1.46

Obdobné bude i řešení rovnice e^x+5=60.

\begin{array}{rcl}e^x+5&=&60\\e^x&=&55\\\ln 55&=&x\\x&=&4.00733\end{array}

Logaritmické rovnice

Pokud v rovnici bude logaritmus, existuje několik způsobů, které budete muset použít k tomu, abyste danou rovnici vyřešili. Jeden možný způsob je převést logaritmický tvar na exponenciální. Tímto způsobem se dá například vyřešit rovnici \log _x125=3.

O několik řádků výše jsem napsal vzoreček a^b=x se rovná \log _ax=b. Tohoto využijeme při řešení této rovnice.

\log _x125=3\\x^3=125\\x=5

Podobně budeme postupovat při řešení rovnice 5+2\ln x=4:

\begin{array}{rcl}5+2\ln x&=&4\\2\ln x&=&-1\\\ln x&=&-\frac{1}{2}\\e^{-0.5}&=&x\\x&=&0.606\end{array}

Vyřešte rovnici \log (5x)+\log (x-1)=2.

Tuto rovnici nemůžeme převést na exponenciální tvar. Musíme tedy najít jiný způsob řešení. A tím je použitá logaritmických vzorců.

\begin{array}{rcl}\log (5x)+\log (x-1)&=&2\\\log (5x(x-1))&=&2\\\log (5x^2-5x)&=&2\end{array}
Po této úpravě už můžeme rovnici převést na její exponenciální tvar.
\begin{array}{rcl}\log (5x^2-5x)&=&2\\10^2&=&5x^2-5x\\x^2-x-20&=&0\\D&=&b^2-4ac=1+80=81\\x_1/x_2&=&\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=(5, -4)\end{array}

Nalezením výsledku ještě ale sranda nekončí. Schválně zkuste do kalkulačky naťukat \log -4. Žádný výsledek nezískáte, protože x může být pouze větší nule. Výsledek této rovnice je tedy pouze x=5.

Vyřešte rovnici 4^{2x-1}=5^{x+2}. Tuto rovnici nelze převést na její logaritmický tvar a ani nemůžeme aplikovat žádný z logaritmických vzorců. Pokud taková situace nastane, můžete udělat pouze jednu věc - zlogaritmovat celou rovnici.

\log(4^{2x-1})=\log(5^{x+2})
Nyní můžeme použit logaritmický vzorec
\begin{array}{rcl}\log(4^{2x-1})&=&\log(5^{x+2})\\(2x-1)\log 4&=&(x+2)\log 5\\2x-1&=&(x+2)\frac{\log 5}{\log 4}\\2x-1&=&(x+2)\cdot1.1609640474\\2x-1&=&1.1609640474x+2.3219280948\\0.8390359526x&=&3.3219280948\\x&=&3.95922020326\end{array}

Vyřešte rovnici e^x=8+20e^{-x}. Na tuto rovnici nemůžeme aplikovat žádný z předchozích řešení. Nicméně stačí, když použijeme jednoduchou substituci a příklad vyřešíme:

\begin{array}{rcl}e^x&=&8+20e^{-x}\\a&=&e^x\\a&=&8+\frac{20}{a}\\a^2-8a-20&=&0\\D&=&b^2-4ac=144\\a_1/a_2&=&\frac{8\pm12}{2}=(10, -2)\end{array}
Výsledek dosadíme zpět:
\begin{array}{rcl}10&=&e^x\\\ln 10&=&x\\x&=&2.302585\end{array}
\begin{array}{rcl}-2&=&e^x\\\ln (-2)&=&x\\x&=&\emptyset\end{array}
Jediné řešení je x=10

Vyřešte rovnici \sqrt[5]{x^{\log _3x}}=243.

V tomto případě budeme muset několik různých způsobů, jak řešit tento druh rovnic - substituce, logaritmické vzorce, apod...

\begin{array}{rcl}\sqrt[5]{x^{\log _3x}}&=&243\\\log _3x^{\log _3\frac{1}{5}}&=&\log _3 243\\\frac{1}{5}\log _3x\cdot\log _3x&=&\log _3 243\\a&=&\log _3x\\\frac{1}{5}a^2&=&5\\a^2&=&25\\a&=&\pm5\end{array}
Dosadíme zpět
\begin{array}{rcl}\log _3x&=&5\\x&=&3^5\end{array}\\\fbox{x=3^5}

\begin{array}{rcl}\log _3x&=&-5\\x&=&3^{-5}\end{array}\\\fbox{x=3^{-5}}

Soustavy rovnic

Existují samozřejmě i logaritmické/exponenciální soustavy n-rovnic o n-neznámých. Zkuste najít hodnotu neznámých x, y.

\begin{array}{rcl}\log x+\log y&=&3\\y^{\log x}&=&100\end{array}

Začneme tím, že z první rovnice vyjádříme neznámou y.

\begin{array}{rcl}\log x+\log y&=&3\\\log (xy)&=&3\\10^3&=&xy\\y&=&\frac{10^3}{x}\end{array}
Dosadíme do druhé rovnice:
\begin{array}{rcl}y&=&\frac{10^3}{x}\\\left(\log \frac{10^3}{x}\right)^{\log x}&=&100\\\log \frac{10^3}{x}\cdot\log x&=&\log 100\\(\log 10^3-\log x)\cdot\log x&=&\log 100\\(3-\log x)\cdot\log x&=&2\end{array}
Musíme přistoupit k substituci:
\begin{array}{rcl}(3-\log x)\cdot\log x&=&2\\a&=&\log x\\(3-a)\cdot a&=&2\\D&=&b^2-4ac=1\\a_1/a_2&=&\frac{3\pm1}{2}=(2; 1)\end{array}
Dosadíme zpět a dopočítáme y
\begin{array}{rcl}a&=&2\\2&=&\log x\\x&=&10^2\\x&=&100\\y&=&\frac{10^3}{x}=10\end{array}\\\fbox{(x;y)=(100, 10)}
\begin{array}{rcl}a&=&1\\2&=&\log x\\x&=&10^1\\x&=&10\\y&=&\frac{10^3}{x}=100\end{array}\\\fbox{(x;y)=(10, 100)}

Procvičování

1) Vyřešte rovnici (4\sqrt{2})^{5-7x}=(2\sqrt[3]{4})^{3-5x}

Jde o to, získat stejné základy na obou stranách. Platí totiž: 

4=2^2\\\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\\\sqrt[3]{4}=2^{\frac{2}{3}}

Proto rovnici můžu upravit na tvar:

(2^2\cdot2^{\frac{1}{2}})^{5-7x}=(2\cdot2^{\frac{2}{3}})^{3-5x}
Když násobíme čísla se stejným základem, tak se exponenty sčítají:
{2^{\frac{5}{2}}}^{5-7x}={2^{\frac{5}{3}}}^{3-5x}
A nyní akorát stačí exponenty mez sebou vynásobit, protože platí {a^{m}}^n=a^{mn}
2^{\frac{5}{2}(5-7x)}=2^{\frac{5}{3}(3-5x)}
Základy jsou stejné, můžu tedy řešit rovnici, kdy se rovnají jejich exponenty: 
\begin{array}{rcl}\frac{5}{2}(5-7x)&=&\frac{5}{3}(3-5x)\\x&=&\frac{9}{11}\end{array}

Test

Druhá derivace funkce f(x) = 3x^2 - x^3 se rovná:


Hlavolam

Dva závodní automobily se účastní závodu na okruhu. Jeden automobil je schopen projet celý okruh za 60 sekund, zatímco druhý za 80 sekund. Jak dlouho potrvá, než se opět setkají na startovní čáře?

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2024 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček