Exponenciální rovnice je rovnice, ve které je neznámá v exponentu, třeba `2^{x+1} = 32` nebo `3^x = 5`. Řeší se dvěma základními postupy. Když jdou obě strany zapsat jako mocnina téhož základu, porovnají se exponenty. Když to nejde, rovnice se zlogaritmuje:

`\begin{gathered}a^{f(x)} = a^{g(x)} \quad\Rightarrow\quad f(x) = g(x) \\[10pt] a^x = b \quad\Rightarrow\quad x = \log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}\end{gathered}`

Například `2^{x+1} = 32 = 2^5`, takže `x + 1 = 5` a `x = 4`. Rovnice `3^x = 5` společný základ nemá, a proto `x = \log_3 5 \doteq 1{,}465`. Třetí častý postup je substituce `t = a^x`, která z rovnice udělá kvadratickou.

Logaritmická rovnice má neznámou pod logaritmem. Převede se zpátky na mocninu podle definice logaritmu, `\log_a b = c` znamená totéž co `a^c = b`. Protože logaritmovat jde jen kladné číslo, začíná se u ní vždy podmínkami a končí zkouškou.

Jaký postup zvolit, napoví tvar rovnice:

rovnice vypadá jakopostup
`25^{2x-5} = 125^{x+2}`obě strany na stejný základ (5), porovnat exponenty
`3^x = 5`, `4^{2x-1} = 5^{x+2}`zlogaritmovat obě strany
`2^{x+1} + 2^{x-1} = 20`vytknout mocninu s nejmenším exponentem
`4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0`substituce `t = 2^x`
`\log_2 (x+3) = 4`podmínka, pak podle definice `x + 3 = 2^4`
`\log (5x) + \log (x-1) = 2`podmínky, spojit do jednoho logaritmu, zkouška
`\log^2 x - 3\log x + 2 = 0`substituce `t = \log x`

Vzorce a pravidla

Exponenciální rovnice stojí na pravidlech pro počítání s mocninami. Pro kladný základ `a` a libovolné exponenty platí:

pravidlopříklad
`a^r \cdot a^s = a^{r+s}``2^3 \cdot 2^4 = 2^7`
`a^r : a^s = a^{r-s}``5^6 : 5^2 = 5^4`
`(a^r)^s = a^{r \cdot s}``4^x = (2^2)^x = 2^{2x}`
`a^{-r} = \dfrac{1}{a^r}``\dfrac{1}{64} = 2^{-6}`
`a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}``\sqrt{343} = \sqrt{7^3} = 7^{\frac{3}{2}}`
`a^0 = 1``7^{x^2-4} = 1 = 7^0`

Podrobněji je to rozepsané v článku Exponenty a mocniny. Pro logaritmické rovnice a pro logaritmování se hodí tahle pravidla, vždy pro kladná `x`, `y` a kladný základ `a \ne 1`:

  • `\log_a b = c \iff a^c = b`
    například `\log_2 32 = 5`, protože `2^5 = 32`
  • `\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y`
    například `\log (5x) + \log (x-1) = \log \big(5x(x-1)\big)`
  • `\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y`
    například `\log_2 (x+6) - \log_2 x = \log_2 \dfrac{x+6}{x}`
  • `\log_a x^k = k \cdot \log_a x`
    například `\log 4^{2x-1} = (2x-1)\log 4`
  • `\log_a a = 1`, `\log_a 1 = 0`
    například `\ln e = 1`, `\log 1 = 0`
  • `\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}`
    například `\log_3 5 = \dfrac{\log 5}{\log 3}`

`\log` bez základu je dekadický logaritmus (základ 10), `\ln` je přirozený logaritmus (základ `e \doteq 2{,}718`). Pravidla si můžete vyzkoušet na vlastních číslech v kalkulačce pravidla pro počítání s logaritmy a hodnotu logaritmu o libovolném základu spočítá tahle kalkulačka.

Exponenciální rovnice: převod na stejný základ

Je to nejčastější typ ve škole. Obě strany se zapíšou jako mocnina téhož čísla a pak se porovnají exponenty. Funguje to proto, že exponenciální funkce je prostá: dvě mocniny se stejným kladným základem různým od 1 se rovnají jen tehdy, když mají stejný exponent.

Příklad 1

Řešte rovnici `\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x+1} = 125`.

Obě čísla jsou mocniny pětky: `\dfrac{1}{5} = 5^{-1}` a `125 = 5^3`.

`\begin{gathered}\left(5^{-1}\right)^{x+1} = 5^3 \\[6pt] 5^{-x-1} = 5^3 \\[6pt] -x - 1 = 3 \\[6pt] x = -4\end{gathered}`

Zkouška: `\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125`. Stejný postup krok za krokem ukáže kalkulačka exponenciální rovnice, do které je tenhle příklad už zadaný.

Příklad 2

Řešte rovnici `25^{2x-5} = 125^{x+2}`.

Společný základ je 5, protože `25 = 5^2` a `125 = 5^3`. Exponenty se při umocnění mocniny násobí:

`\begin{gathered}\left(5^2\right)^{2x-5} = \left(5^3\right)^{x+2} \\[6pt] 5^{4x-10} = 5^{3x+6} \\[6pt] 4x - 10 = 3x + 6 \\[6pt] x = 16\end{gathered}`

Zkouška: vlevo je `25^{27} = 5^{54}`, vpravo `125^{18} = 5^{54}`.

Příklad 3

Řešte rovnici `\left(\dfrac{1}{64}\right)^x = 2^{3x+5}`.

`\begin{gathered}\left(2^{-6}\right)^x = 2^{3x+5} \\[10pt] 2^{-6x} = 2^{3x+5} \\[10pt] -6x = 3x + 5 \\[10pt] x = -\dfrac{5}{9}\end{gathered}`

Výsledek nemusí být celé číslo. Zkouška: `-6x = \dfrac{30}{9} = \dfrac{10}{3}` a `3x + 5 = -\dfrac{5}{3} + 5 = \dfrac{10}{3}`, exponenty se rovnají.

Příklad 4: odmocniny

Řešte rovnici `\left(4\sqrt{2}\right)^{5-7x} = \left(2\sqrt[3]{4}\right)^{3-5x}`.

Odmocniny se přepíšou na mocniny se zlomkovým exponentem a součiny se spojí sečtením exponentů:

`\begin{gathered}4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}} \\[10pt] 2\sqrt[3]{4} = 2^1 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{5}{3}}\end{gathered}`

`\begin{gathered}2^{\frac{5}{2}(5-7x)} = 2^{\frac{5}{3}(3-5x)} \\[10pt] \dfrac{5}{2}(5-7x) = \dfrac{5}{3}(3-5x) \quad / \cdot \dfrac{6}{5} \\[10pt] 3(5-7x) = 2(3-5x) \\[10pt] 15 - 21x = 6 - 10x \\[10pt] x = \dfrac{9}{11}\end{gathered}`

Příklad 5: kvadratická rovnice v exponentu

Řešte rovnici `e^{x^2+6} = e^{5x}`.

Základ je na obou stranách stejný, takže rovnou porovnáme exponenty:

`\begin{gathered}x^2 + 6 = 5x \\[6pt] x^2 - 5x + 6 = 0 \\[6pt] (x-2)(x-3) = 0\end{gathered}`

Rovnice má dvě řešení, `x_1 = 2` a `x_2 = 3`. Jak se řeší kvadratická rovnice, ukazuje článek Kvadratická rovnice.

Když stejný základ nejde: logaritmování

Rovnici `3^x = 5` na společný základ převést nejde, 5 není žádná rozumná mocnina trojky. Pak se obě strany zlogaritmují. Graf ukazuje, proč má taková rovnice pro kladné číslo vpravo právě jedno řešení a pro záporné žádné: mocnina `3^x` roste a je vždy kladná.

−2−112137 y = 3xy = 5y = −2x ≐ 1,465

Příklad 6

Řešte rovnici `3^x + 5 = 10`.

Nejdřív se mocnina osamostatní, teprve potom se logaritmuje:

`\begin{gathered}3^x = 5 \\[10pt] x = \log_3 5 = \dfrac{\log 5}{\log 3} \\[10pt] x \doteq \dfrac{0{,}69897}{0{,}47712} \doteq 1{,}465\end{gathered}`

Zkouška na kalkulačce: `3^{1{,}465} \doteq 5{,}00`. Přesná odpověď je `\log_3 5`, desetinné číslo je jen přibližné. Kalkulačka exponenciální rovnice sama pozná, že společný základ nepomůže, a přejde na logaritmus.

Příklad 7: základ e

Řešte rovnici `e^x + 5 = 60`.

U základu `e` se logaritmuje přirozeným logaritmem, protože `\ln e^x = x`:

`\begin{gathered}e^x = 55 \\[6pt] x = \ln 55 \doteq 4{,}007\end{gathered}`

Příklad 8: různé základy na obou stranách

Řešte rovnici `4^{2x-1} = 5^{x+2}`.

Zlogaritmujeme obě strany a exponenty pravidlem `\log a^k = k \log a` stáhneme dolů před logaritmus. Pak je to obyčejná lineární rovnice, ve které `\log 4` a `\log 5` jsou jen čísla:

`\begin{gathered}\log 4^{2x-1} = \log 5^{x+2} \\[6pt] (2x-1)\log 4 = (x+2)\log 5 \\[6pt] 2x\log 4 - \log 4 = x\log 5 + 2\log 5 \\[6pt] x\,(2\log 4 - \log 5) = 2\log 5 + \log 4\end{gathered}`

Pravou stranu jde ještě zjednodušit: `2\log 5 + \log 4 = \log (25 \cdot 4) = \log 100 = 2`. A v závorce je `2\log 4 - \log 5 = \log \dfrac{16}{5}`. Takže

`x = \dfrac{2}{\log \frac{16}{5}} = \dfrac{2}{\log 3{,}2} \doteq 3{,}959`

Kontrola: `4^{2 \cdot 3{,}959 - 1} = 4^{6{,}918}` i `5^{5{,}959}` vyjdou kolem 14 630. Logaritmovat jde jakýmkoli základem, s `\ln` vyjde totéž číslo.

Exponenciální rovnice se substitucí a s vytýkáním

Když jsou v rovnici sčítané mocniny, exponenty porovnat nejde, protože `2^{x+1} + 2^{x-1}` není jedna mocnina. Pomůže jedno ze dvou: vytknout, nebo zavést novou neznámou.

Příklad 9: vytknutí

Řešte rovnici `2^{x+1} + 2^{x-1} = 20`.

Vytkneme mocninu s nejmenším exponentem, `2^{x-1}`. Z `2^{x+1}` zbude `2^2 = 4`, z `2^{x-1}` zbude 1:

`\begin{gathered}2^{x-1}\,(4 + 1) = 20 \\[6pt] 2^{x-1} = 4 = 2^2 \\[6pt] x - 1 = 2 \\[6pt] x = 3\end{gathered}`

Zkouška: `2^4 + 2^2 = 16 + 4 = 20`.

Příklad 10: substituce

Řešte rovnici `4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0`.

Protože `4^x = (2^2)^x = (2^x)^2`, zavedeme `t = 2^x`. Mocnina s kladným základem je vždy kladná, takže musí být `t \gt 0`.

`\begin{gathered}t^2 - 6t + 8 = 0 \\[6pt] (t-2)(t-4) = 0 \\[6pt] t_1 = 2,\quad t_2 = 4\end{gathered}`

Oba kořeny jsou kladné, takže se z obou vrátíme k `x`: `2^x = 2` dává `x_1 = 1` a `2^x = 4` dává `x_2 = 2`. Ověřit si to můžete v kalkulačce exponenciální rovnice se substitucí.

Příklad 11: záporný kořen po substituci

Řešte rovnici `e^x = 8 + 20e^{-x}`.

Zavedeme `t = e^x \gt 0`. Pak `e^{-x} = \dfrac{1}{t}` a rovnici vynásobíme `t`:

`\begin{gathered}t = 8 + \dfrac{20}{t} \quad / \cdot t \\[10pt] t^2 - 8t - 20 = 0 \\[10pt] (t-10)(t+2) = 0\end{gathered}`

Kořen `t = -2` vyřadíme, `e^x = -2` nemá řešení. Zbývá `e^x = 10`, tedy `x = \ln 10 \doteq 2{,}303`. Pozor, výsledek je `x = \ln 10`, ne `x = 10`: 10 je hodnota pomocné neznámé `t`.

Exponenciální nerovnice

Nerovnice se řeší stejně, jen se u porovnání exponentů musí hlídat základ. Je-li základ větší než 1, znak nerovnosti zůstane. Je-li mezi 0 a 1, funkce klesá a znak se obrátí:

`\begin{gathered}a \gt 1:\quad a^{f(x)} \lt a^{g(x)} \iff f(x) \lt g(x) \\[6pt] 0 \lt a \lt 1:\quad a^{f(x)} \lt a^{g(x)} \iff f(x) \gt g(x)\end{gathered}`

Například `2^{x-1} \le 16 = 2^4` dává `x - 1 \le 4`, tedy `x \le 5`. Naopak u nerovnice `\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+1} \gt 8` je `8 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}` a základ je menší než 1, takže

`\begin{gathered}x + 1 \lt -3 \\[6pt] x \lt -4,\quad K = (-\infty;\ {-4})\end{gathered}`

Kontrola jedním číslem: pro `x = -5` je `\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-4} = 16 \gt 8`, sedí. Tenhle příklad je zadaný v kalkulačce exponenciální nerovnice.

Logaritmické rovnice

U logaritmické rovnice je první krok vždy stejný: podmínky. Výraz pod logaritmem musí být kladný a základ kladný a různý od 1. Pak se rovnice upraví na tvar `\log_a V = c` a podle definice se přepíše na `V = a^c`. Na konci se každý kořen porovná s podmínkami.

Příklad 12

Řešte rovnici `\log_2 (x+3) = 4`.

Podmínka: `x + 3 \gt 0`, tedy `x \gt -3`.

`\begin{gathered}x + 3 = 2^4 = 16 \\[6pt] x = 13\end{gathered}`

Kořen podmínku splňuje a `\log_2 16 = 4`. Viz kalkulačka logaritmická rovnice.

Příklad 13: přirozený logaritmus

Řešte rovnici `5 + 2\ln x = 4`.

Podmínka `x \gt 0`. Logaritmus osamostatníme a přepíšeme podle definice se základem `e`:

`\begin{gathered}2\ln x = -1 \\[10pt] \ln x = -\dfrac{1}{2} \\[10pt] x = e^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}} \doteq 0{,}607\end{gathered}`

Logaritmus sám záporný být smí. Kladné musí být jen číslo pod ním, a `0{,}607` kladné je.

Příklad 14: neznámá v základu

Řešte rovnici `\log_x 125 = 3`.

Podmínky pro základ: `x \gt 0` a `x \ne 1`. Podle definice `x^3 = 125`, tedy `x = 5`, a ten podmínky splňuje.

Příklad 15: dva logaritmy

Řešte rovnici `\log (5x) + \log (x-1) = 2`.

Podmínky: `5x \gt 0` a `x - 1 \gt 0`, dohromady `x \gt 1`. Součet logaritmů je logaritmus součinu:

`\begin{gathered}\log \big(5x(x-1)\big) = 2 \\[6pt] 5x^2 - 5x = 10^2 = 100 \\[6pt] x^2 - x - 20 = 0 \\[6pt] (x-5)(x+4) = 0\end{gathered}`

Vyšlo `x = 5` a `x = -4`. Jenže `-4` podmínku `x \gt 1` nesplňuje: `\log(-20)` neexistuje, kapesní kalkulačka ohlásí chybu. Řešením je jen `x = 5`. Úprava na jeden logaritmus totiž rovnici rozšíří, `\log\big(5x(x-1)\big)` má smysl i pro `x = -4`, původní rovnice ne. Proto se podmínky kontrolují vždy. Kalkulačka logaritmická rovnice se dvěma logaritmy nevyhovující kořen vyřadí sama.

Příklad 16: substituce za logaritmus

Řešte rovnici `\log^2 x - 3\log x + 2 = 0`.

Podmínka `x \gt 0`. Zápis `\log^2 x` znamená `(\log x)^2`, takže zavedeme `t = \log x`. Tady `t` smí být jakékoli reálné číslo, logaritmus může být i záporný:

`\begin{gathered}t^2 - 3t + 2 = 0 \\[6pt] t_1 = 1,\quad t_2 = 2\end{gathered}`

Z `\log x = 1` je `x_1 = 10`, z `\log x = 2` je `x_2 = 100`.

Příklad 17: neznámá v základu i v exponentu

Řešte rovnici `\sqrt[5]{x^{\log_3 x}} = 243`.

Podmínka `x \gt 0`. Odmocninu přepíšeme na exponent `\dfrac{1}{5}` a obě strany zlogaritmujeme o základu 3, protože `243 = 3^5`:

`\begin{gathered}x^{\frac{1}{5}\log_3 x} = 243 \\[10pt] \dfrac{1}{5}\log_3 x \cdot \log_3 x = \log_3 243 = 5 \\[10pt] (\log_3 x)^2 = 25 \\[10pt] \log_3 x = 5 \quad\text{nebo}\quad \log_3 x = -5\end{gathered}`

Řešení jsou `x_1 = 3^5 = 243` a `x_2 = 3^{-5} = \dfrac{1}{243}`. Zkouška pro druhé: `\left(3^{-5}\right)^{-5} = 3^{25}` a pátá odmocnina z `3^{25}` je `3^5 = 243`.

Soustavy rovnic

Řešte soustavu

`\begin{gathered}\log x + \log y = 3 \\[6pt] y^{\log x} = 100\end{gathered}`

Podmínky `x \gt 0`, `y \gt 0`. Druhou rovnici zlogaritmujeme: `\log y^{\log x} = \log x \cdot \log y` a `\log 100 = 2`. Se substitucí `u = \log x`, `v = \log y` z toho je jednoduchá soustava:

`\begin{gathered}u + v = 3 \\[6pt] u \cdot v = 2\end{gathered}`

Dvě čísla se součtem 3 a součinem 2 jsou 1 a 2. Buď `u = 1`, `v = 2`, tedy `x = 10`, `y = 100`, nebo `u = 2`, `v = 1`, tedy `x = 100`, `y = 10`. Zkouška první dvojice: `\log 10 + \log 100 = 1 + 2 = 3` a `100^{\log 10} = 100^1 = 100`. Soustava má dvě řešení, `[10;\ 100]` a `[100;\ 10]`.

Časté chyby

  • Porovnání exponentů u součtu. Z `3^x + 3^x = 3^4` neplyne `x = 4`. Vlevo je `2 \cdot 3^x`, ne mocnina trojky, takže `3^x = 40{,}5` a `x = \log_3 40{,}5 \doteq 3{,}369`. Exponenty se porovnávají, jen když je na každé straně jediná mocnina.
  • Mocnina mocniny. `4^x = (2^2)^x = 2^{2x}`, ne `2^{2^x}`. Exponenty se násobí.
  • Logaritmus součtu. `\log (a + b)` není `\log a + \log b`. Na součet se rozpadá logaritmus součinu.
  • Zapomenuté podmínky. Kořen, který vyšel z upravené rovnice, nemusí řešit tu původní (příklad 15). Zkouška nebo kontrola podmínek je u logaritmických rovnic povinná.
  • Záporné `t` po substituci. `2^x = -2` ani `e^x = -2` nemá řešení, takový kořen se vyřadí. A na konci se nesmí zapomenout vrátit od `t` k `x`.
  • Nerovnice se základem menším než 1. Při přechodu k exponentům se znak obrací. Kdo si není jistý, dosadí jedno číslo z výsledku.
  • Zaokrouhlování v průběhu. Výsledek je `\log_3 5`, zaokrouhluje se až na konci. Kdo počítá dál se zaokrouhleným mezivýsledkem, dostane chybu v posledním místě.

Příklady k procvičení

1. Řešte rovnici `3^{2x-1} = 27`.

2. Řešte rovnici `7^{x^2-4} = 1`.

3. Řešte rovnici `2^{x+2} - 2^x = 24`.

4. Řešte rovnici `9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0`.

5. Řešte rovnici `\log_3 (x-1) + \log_3 (x+1) = 1`.

6. Počet bakterií v kultuře se každé 3 hodiny zdvojnásobí. Za jak dlouho jich bude tisíckrát víc než na začátku?

Kam dál