Mocnina je zkrácený zápis násobení stejného čísla sebou samým. Zápis `a^n` znamená `n` činitelů `a` vynásobených spolu. Číslu `a` se říká základ (mocněnec), číslu `n` exponent (mocnitel) a výsledku mocnina. Třeba `2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32`, čteme „dvě na pátou“.

`\displaystyle a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ činitelů}}`

Exponent tedy říká, kolikrát základ násobíme, ne čím ho násobíme: `2^5` je 32, ne `2 \cdot 5 = 10`. Píše se menším písmem vpravo nahoru, na kalkulačce a v počítači se místo toho píše stříška, 2^5.

Pro mocniny se stejným základem platí tři pravidla, na kterých stojí skoro všechny úpravy. Při násobení se exponenty sčítají, při dělení odčítají a při umocnění mocniny násobí:

`\begin{gathered}a^m \cdot a^n = a^{m+n}\\[6pt]a^m : a^n = a^{m-n}\\[6pt](a^m)^n = a^{m \cdot n}\end{gathered}`

Pro součet mocnin žádné takové pravidlo není: `2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24`, a to není `2^7 = 128`. Celý přehled pravidel i s nultou, zápornou a zlomkovou mocninou je v tabulce níže a hned pod ní je rozepsané, proč platí.

Co je exponent, základ a mocnina

V zápisu `5^4 = 625` je 5 základ, 4 exponent a 625 hodnota mocniny. Početní operaci, při které mocninu počítáme, se říká umocňování. Exponent 1 znamená jediného činitele, takže `a^1 = a`.

Dvě mocniny mají vlastní jména. Druhá mocnina `a^2` („a na druhou“) je obsah čtverce o straně `a`, proto se jí říká i čtverec nebo kvadrát. Třetí mocnina `a^3` („a na třetí“) je objem krychle o hraně `a`. Ostatní čteme řadovou číslovkou: `x^4` je „x na čtvrtou“, `a^n` je „a na n-tou“.

strana 44² = 4 · 4 = 16hrana 33³ = 3 · 3 · 3 = 27

Tabulka prvních druhých a třetích mocnin a mocnin dvojky se hodí znát zpaměti, aspoň do deseti. Počítat je z hlavy si můžete vyzkoušet v procvičování mocnin.

`n``n^2``n^3``2^n`
1112
2484
39278
4166416
52512532
63621664
749343128
864512256
981729512
1010010001024

Mocnina záporného čísla

Záporné číslo umocněné na sudý exponent dá kladný výsledek, na lichý exponent záporný. Každé dva činitele minus totiž dají plus:

`\begin{gathered}(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9\\[6pt](-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27\end{gathered}`

Pozor na závorku. Exponent patří jen k tomu, co stojí těsně pod ním. V zápisu `-3^2` se umocňuje jen trojka a minus se přidá až potom, takže `-3^2 = -9`, kdežto `(-3)^2 = 9`. Stejně to počítá i kalkulačka, když do ní napíšete -3^2.

Zbylé speciální základy: `1^n = 1` pro každé `n` a `0^n = 0` pro každé kladné `n`.

Pravidla pro práci s mocninami

Všechna pravidla v tabulce platí pro libovolné exponenty, celé i zlomkové, dokud je základ kladný. U celých exponentů smí být základ i záporný, jen nesmí být nula tam, kde by se jí dělilo.

PravidloPříklad
`a^m \cdot a^n = a^{m+n}``2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128`
`a^m : a^n = a^{m-n}``5^6 : 5^4 = 5^2 = 25`
`(a^m)^n = a^{m \cdot n}``(3^2)^3 = 3^6 = 729`
`(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n``(2x)^3 = 8x^3`
`\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}``\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}`
`a^0 = 1``7^0 = 1`
`a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}``2^{-3} = \dfrac{1}{8}`
`a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}``8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4`

Pravidla si nemusíte pamatovat nazpaměť, stačí rozepsat mocniny na činitele a spočítat je:

`\begin{gathered}a^3 \cdot a^4 = (a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a \cdot a \cdot a) = a^7\\[10pt]\dfrac{a^5}{a^2} = \dfrac{a \cdot a \cdot a \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{a}}{\cancel{a} \cdot \cancel{a}} = a^3\\[10pt](a^2)^3 = a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 = a^6\\[10pt](ab)^3 = ab \cdot ab \cdot ab = a^3 b^3\\[10pt]\left(\dfrac{a}{b}\right)^3 = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{a^3}{b^3}\end{gathered}`

Pravidlo pro součin funguje i obráceně: mocniny se stejným exponentem a různým základem se dají spojit, `2^3 \cdot 5^3 = 10^3 = 1000`. Mocniny, které nemají stejný ani základ, ani exponent, jako `2^3 \cdot 3^4`, se spojit nedají, ty se jen vyčíslí.

Když je potřeba spojit mocniny s různými základy, převeďte je nejdřív na stejný základ. Třeba `4 = 2^2` a `8 = 2^3`, takže

`4^3 \cdot 8 = (2^2)^3 \cdot 2^3 = 2^6 \cdot 2^3 = 2^9 = 512`

Úpravy mocnin se stejným základem si můžete vyzkoušet v příkladech na počítání s mocninami, kde se doplňuje výsledný exponent.

Nultá a záporná mocnina

Proč je `a^0 = 1` a co znamená záporný exponent, je vidět z řady mocnin dvojky. Každý krok doprava znamená o jednoho činitele 2 méně, tedy dělení dvěma. Když v tom pokračujeme i pod exponent 1, dostaneme:

`\begin{gathered}2^3 = 8,\quad 2^2 = 4,\quad 2^1 = 2\\[10pt]2^0 = 1,\quad 2^{-1} = \dfrac{1}{2},\quad 2^{-2} = \dfrac{1}{4}\end{gathered}`

Totéž vyjde z pravidla pro dělení: `a^3 : a^3 = a^{3-3} = a^0`, a přitom každé nenulové číslo vydělené samo sebou je 1. Proto

`a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \qquad (a \neq 0)`

Záporný exponent neznamená záporný výsledek. Mocnina s kladným základem je vždy kladná: `2^{-3} = \frac{1}{8}`, ne `-8` ani `-\frac{1}{8}`. Záporný exponent jen říká, že mocnina patří do jmenovatele. U zlomku to znamená převrátit ho:

`\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}`

Ze stejného důvodu se činitel se záporným exponentem přesune přes zlomkovou čáru a exponent změní znaménko:

`\begin{gathered}\dfrac{1}{a^{-3}} = a^3\\[10pt]2y^{-5} = \dfrac{2}{y^5}\\[10pt]\dfrac{5}{4r^{-3}} = \dfrac{5r^3}{4}\\[10pt]-12a^4b^{-7} = -\dfrac{12a^4}{b^7}\end{gathered}`

Ve druhém řádku se přesouvá jen `y^{-5}`, dvojka exponent nemá a zůstane nahoře. `2y^{-5}` není `\frac{1}{2y^5}`.

A `0^0`? Ve škole se bere jako nedefinovaný výraz, stejně jako dělení nulou: podle řady `0^3, 0^2, 0^1` by měl vyjít 0, podle řady `3^0, 2^0, 1^0` by měl vyjít 1. Nula na záporný exponent nemá smysl vůbec, `0^{-1} = \frac{1}{0}`.

Mocnina se zlomkem v exponentu

Zlomek v exponentu znamená odmocninu. Jmenovatel říká, kolikátá odmocnina, čitatel, na kolikátou se umocňuje:

`\begin{gathered}a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\\[10pt]a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m\end{gathered}`

Proč zrovna odmocnina: podle pravidla pro mocninu mocniny je `\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a^1 = a`, takže `a^{\frac{1}{2}}` je číslo, které na druhou dá `a`. To je přesně `\sqrt{a}`.

Při výpočtu se vyplatí nejdřív odmocnit a pak umocnit, čísla zůstanou malá:

`\begin{gathered}16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8\\[10pt]27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\\[10pt]8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4}\end{gathered}`

Díky tomu se dají odmocniny násobit a dělit stejnými pravidly jako mocniny, i když jsou různého stupně:

`\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{x^5}`

Tady už musí být základ kladný (nebo nula). Se záporným se pravidla rozbijí: `(-8)^{\frac{1}{3}}` by mělo být `-2`, ale `(-8)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{64} = 2`, a přitom `\frac{1}{3} = \frac{2}{6}`. Jak vytknout číslo před odmocninu, ukazuje článek Částečné odmocňování, jak se zbavit odmocniny ve jmenovateli, článek Usměrňování zlomků.

Řešené příklady

U výrazů s čísly a proměnnými se vždy postupuje stejně: čísla se spočítají zvlášť a u každé proměnné se sečtou nebo odečtou její exponenty. Nakonec se záporné exponenty převedou do jmenovatele. Výsledek se dá zkontrolovat dosazením malého čísla do zadání i do výsledku.

Příklad 1

Zjednodušte `2a^9 \cdot 5a^{-2}`.

`2a^9 \cdot 5a^{-2} = (2 \cdot 5) \cdot a^{9 + (-2)} = 10a^7`

Kontrola pro `a = 2`: zadání dá `2 \cdot 512 \cdot 5 \cdot \frac{1}{4} = 1280`, výsledek `10 \cdot 128 = 1280`.

Příklad 2

Zjednodušte `(-2c^{-3}d^4)^3`.

Na třetí se umocní každý činitel v závorce, i číslo `-2`. Exponenty proměnných se násobí třemi:

`(-2)^3 \cdot c^{-9} \cdot d^{12} = -8c^{-9}d^{12} = -\dfrac{8d^{12}}{c^9}`

Minus zůstalo, protože exponent 3 je lichý. Kontrola pro `c = d = 1`: `(-2)^3 = -8`.

Příklad 3

Zjednodušte `(9a^2)^{-2} \cdot (-3ab^2)^3`.

Každou závorku umocníme zvlášť a pak spojíme:

`\begin{gathered}(9a^2)^{-2} = \dfrac{1}{81a^4}\\[10pt](-3ab^2)^3 = -27a^3b^6\\[10pt]\dfrac{1}{81a^4} \cdot (-27a^3b^6) = -\dfrac{27a^3b^6}{81a^4} = -\dfrac{b^6}{3a}\end{gathered}`

Zlomek `\frac{27}{81}` se krátí na `\frac{1}{3}` a `a^3 : a^4 = a^{-1}`, proto zbylé `a` skončí ve jmenovateli. Kontrola pro `a = b = 1`: `\frac{1}{81} \cdot (-27) = -\frac{1}{3}`.

Příklad 4

Zjednodušte `\dfrac{s^{-2}t^{-3}}{4s^{-1}t^5}`.

Exponent ze jmenovatele se odečítá i tehdy, když je záporný, a odečíst záporné číslo znamená přičíst:

`\begin{gathered}s^{-2-(-1)} = s^{-1}\\[10pt]t^{-3-5} = t^{-8}\\[10pt]\dfrac{s^{-2}t^{-3}}{4s^{-1}t^5} = \dfrac{1}{4} s^{-1} t^{-8} = \dfrac{1}{4st^8}\end{gathered}`

Kontrola pro `s = 2`, `t = 1`: zadání dá `\frac{1}{4} : \left(4 \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8}`, výsledek `\frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}`.

Příklad 5

Zjednodušte `\sqrt[3]{64x} + 5\sqrt[3]{8x} - \left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{27x}}\right)^{-1}`.

Z každé třetí odmocniny vytkneme číslo (`64 = 4^3`, `8 = 2^3`, `27 = 3^3`) a exponent `-1` zlomek převrátí:

`\begin{gathered}\sqrt[3]{64x} = 4\sqrt[3]{x}\\[10pt]5\sqrt[3]{8x} = 5 \cdot 2\sqrt[3]{x} = 10\sqrt[3]{x}\\[10pt]\left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{27x}}\right)^{-1} = \sqrt[3]{27x} = 3\sqrt[3]{x}\\[10pt]4\sqrt[3]{x} + 10\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[3]{x} = 11\sqrt[3]{x}\end{gathered}`

Sčítat se dají jen stejné odmocniny, tady všechny tři obsahují `\sqrt[3]{x}`. Kontrola pro `x = 1`: `4 + 10 - 3 = 11`.

Příklad 6

List papíru je silný 0,1 mm. Jak silný bude, když ho přeložíme napůl desetkrát? A kdyby to šlo 42krát?

Každé přeložení tloušťku zdvojnásobí, po `n` přeloženích je tedy `2^n` vrstev:

`\begin{gathered}0{,}1 \cdot 2^{10} = 0{,}1 \cdot 1024 = 102{,}4\ \mathrm{mm}\\[6pt]0{,}1 \cdot 2^{42}\ \mathrm{mm} \doteq 4{,}4 \cdot 10^{11}\ \mathrm{mm} \doteq 440\ 000\ \mathrm{km}\end{gathered}`

Po deseti přeloženích asi 10 cm, po dvaačtyřiceti víc než vzdálenost Země od Měsíce (384 400 km). Tak rychle mocniny rostou. Ve skutečnosti se běžný list papíru dá přeložit jen asi sedmkrát.

Časté chyby

  • Exponent jako násobek. `2^5 = 32`, ne `2 \cdot 5 = 10`. Exponent říká, kolikrát se násobí.
  • Minus bez závorky. `-3^2 = -9`, ale `(-3)^2 = 9`.
  • Sčítání exponentů u součtu. `a^2 + a^3` se nedá zjednodušit, pravidlo `a^m \cdot a^n = a^{m+n}` platí jen pro součin. Stejné mocniny se ale sečíst dají: `2^3 + 2^3 = 2 \cdot 2^3 = 2^4`.
  • Násobení základů. `2^3 \cdot 2^4 = 2^7`, ne `4^7`. Základ zůstává stejný.
  • Mocnina součtu. `(a + b)^2 \neq a^2 + b^2`, jak ukazuje `(3 + 4)^2 = 49` proti `9 + 16 = 25`. Správně `(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2`, procvičit se dá v příkladech na vzorce (a + b)². Pravidlo `(ab)^n = a^n b^n` platí jen pro součin.
  • Mocnina mocniny proti patrové mocnině. `(2^3)^2 = 2^6 = 64`, ale `2^{3^2} = 2^9 = 512`. Bez závorky se počítá od nejvyššího patra.
  • Záporný exponent. `2^{-3} = \frac{1}{8}`, výsledek je kladný.

Mocniny desíti

Mocnina deseti s kladným exponentem `n` je jednička a za ní `n` nul. Se záporným exponentem `-n` je to desetinné číslo s jedničkou na `n`-tém místě za čárkou. Stejné mocniny stojí za předponami jednotek:

MocninaČísloPředpona
`10^{9}`1 000 000 000giga (G)
`10^{6}`1 000 000mega (M)
`10^{3}`1 000kilo (k)
`10^{2}`100hekto (h)
`10^{1}`10deka (da)
`10^{0}`1-
`10^{-1}`0,1deci (d)
`10^{-2}`0,01centi (c)
`10^{-3}`0,001mili (m)
`10^{-6}`0,000 001mikro (μ)
`10^{-9}`0,000 000 001nano (n)

Velká a malá čísla se proto zapisují ve tvaru `a \cdot 10^n`, kde `1 \le a \lt 10` (vědecký zápis). Exponent říká, o kolik míst se posunula desetinná čárka: u velkých čísel je kladný, u čísel menších než jedna záporný.

`\begin{gathered}384\,400\ \mathrm{km} = 3{,}844 \cdot 10^5\ \mathrm{km}\\[6pt]0{,}000\,52 = 5{,}2 \cdot 10^{-4}\\[6pt]299\,792\,458\ \mathrm{m/s} \doteq 3{,}00 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}\end{gathered}`

První je vzdálenost Země od Měsíce, poslední rychlost světla ve vakuu. Převod udělá kalkulačka zápis čísla ve tvaru a · 10ⁿ, opačný převod kalkulačka převod a · 10ⁿ na desetinné číslo, obojí s tím, o kolik míst se čárka posunula.

S čísly v tomto tvaru se počítá podle pravidel pro mocniny: čísla `a` se vynásobí nebo vydělí zvlášť, exponenty se sečtou nebo odečtou. Když pak `a` vyjde mimo rozmezí od 1 do 10, posune se čárka a exponent se opraví:

`\begin{gathered}(3 \cdot 10^4) \cdot (5 \cdot 10^{-7}) = 15 \cdot 10^{-3} = 1{,}5 \cdot 10^{-2}\\[10pt]\dfrac{6 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^5} = 2 \cdot 10^3\end{gathered}`

Kalkulačky a počítače píšou místo `\cdot 10^n` písmeno E: 1E10 znamená `1 \cdot 10^{10}` a 5.2E-4 je `5{,}2 \cdot 10^{-4}`. To E není Eulerovo číslo, je to zkratka pro exponent. Zápis si můžete vyzkoušet v procvičování zápisu ve tvaru a · 10ⁿ.

Příklady k procvičení

1. Vypočítejte `3^4`, `(-2)^5`, `-2^4` a `10^{-3}`.

2. Zjednodušte `x^3 \cdot x^5 : x^2`, `(y^4)^3` a `(2a^3)^4`.

3. Vypočítejte bez kalkulačky `2^{-3}`, `\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}`, `4^{\frac{3}{2}}` a `27^{-\frac{1}{3}}`.

4. Zjednodušte `\dfrac{6x^4y^{-2}}{2x^{-1}y^3}` a výsledek napište bez záporných exponentů.

5. Vypočítejte `2^{10} \cdot 4^{-3} \cdot 8`. Návod: převeďte všechno na mocniny dvojky.

6. Světelný rok je vzdálenost, kterou světlo urazí za jeden rok. Rychlost světla vezměte `3 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}` a rok 365 dní. Kolik metrů je světelný rok? Výsledek zapište ve tvaru `a \cdot 10^n`.

Kam dál