Články » SŠ Matematika » Výrazy

Exponenty/Mocniny

Vydáno dne v kategorii Výrazy; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 67 441

Naučíme se pracovat s exponenty, neboli umocňováním.


Umocňování je opakované násobení nějakého čísla daným číslem. Výraz 5\cdot5\cdot5\cdot5 by se dal právě pomocí exponentů zapsat daleko jednodušeji: 5\cdot5\cdot5\cdot5=5^4. Tento zápis bychom četli pět na čtvrtou. Pokud bychom měli výraz a^b, vězte, že proměnnou a nazýváme základ a proměnnou b nazýváme exponent, popř. mocnitel. Pro práci s mocnina existuje celá řada pravidel, která doopravdy stojí zato si zapamatovat, protože velmi zjednodušují váš život a velmi často se bez nich neobejdete (úprava výrazů, řešení exponenciálních rovnic apod.).

Pravidla pro práci s mocninami

Jak už bylo řečeno, existuje více pravidel pro práci s mocninami (exponenty). Následuje jejich seznam:

  • a^1=a
  • a^0=1
  • 0^n=0 pro všechna kladná n
  • 0^0 - Matematici se nemohou dohodnout zda je tento výraz roven jedné, nebo není definován.

1) Platí a^{-m} = \frac{1}{a^m} a \frac{1}{a^{-m}}=a^m. Na základě tohoto pravidla můžeme spočítat následující příklady:

\frac{1}{a^{-3}}=a^3
m^{-12}=\frac{1}{m^{12}}
2y^{-5}=\frac{2}{y^5}
\frac{5}{4r^{-3}}=\frac{5r^3}{4}
-12a^4b^{-7}=-\frac{12a^4}{b^7}

2) Platí a^m\cdot a^n=a^{m+n}. Následuje několik příkladů:

z^2\cdot z^3=z^5
2a^9\cdot 5a^{-2}=10a^7
(-4t^{-3})(5t^{-5})=-\frac{20}{t^8}
-2x^{-1}y^{-4}\cdot 3x^2y=-\frac{6x}{y^3}
z^{n+2}\cdot z^{n-2}=z^{2n}

3) Platí (ab)^m=a^mb^m. Následuje několik příkladů:

(xy)^{-3}=\frac{1}{x^3y^3}
(4ac)^3=64a^3c^3
(-6x)^2\cdot (2xy)^{-2}=36x^2\cdot\frac{1}{4x^2y^2}=\frac{9}{y^2}
(5ac)^4\cdot(3c)^2=625a^4c^4\cdot9c^2=5625a^4c^6

4) Platí (a^m)^n=a^{mn}.

(4s^3)^4=256s^{12}
(5x^2y^{-4})^{-2}=\frac{1}{25}x^{-4}y^8=\frac{y^8}{25x^4}
(-2c^{-3}d^4)^3=-\frac{8d^12}{c^9}
(9a^2)^{-2}(-3ab^2)^3=\frac{1}{81a^4}-27a^3b^6=-\frac{27a^3b^6}{81a^4}=-\frac{b^6}{3a}

5) Platí \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.

\frac{x^{-3}}{x^7}=\frac{1}{x^10}
\frac{5a{13}}{2a^4}=\frac{5a^9}{2}
\frac{s^{-2}t^{-3}}{4s^{-1}t^5}=\frac{1}{4st^8}

6) Platí a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m.

a^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{a^2}
16^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{16}^3=2^3=8
(2x^{\frac{4}{7}}y^{\frac{1}{5}})(5x^{\frac{3}{14}}y^{\frac{2}{5}})=10x^{\frac{11}{14}}y^{\frac{3}{5}}
\sqrt[3]{\sqrt[4]{x^{36}y^{-5}}}=(x^{36}y^{-5})^{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}}=(x^{36}y^{-5})^{\frac{1}{12}}=\frac{x^3}{y^{\frac{5}{12}}}
\sqrt[3]{64x}+5\sqrt[3]{8x}-\left(\sqrt[3]{\frac{1}{27x}}\right)^{-1}=4x^{\frac{1}{3}}+10x^{\frac{1}{3}}-3x^{\frac{1}{3}}=11x^{\frac{1}{3}}=11\sqrt[3]{x}

Mocniny desíti

Velmi často se setkáváme s čísly 10^x u tzv. vědecké notace. Pomocí vědecké notace píšeme obvykle čísla, která jsou buď příliš malá nebo naopak příliš velká nato, abychom je vypsali celá. Například rychlost světa je rovna 299 792 458. Pomocí vědecké notace bychom mohli zapsat toto číslo jako 2.99792458\cdot 10^8. Číslo 0.00001 bychom mohli zapsat jako 10^{-5}. Pokud pracujete s počítači nebo kalkulačkami můžete se setkat se zápisem 1e10, což se rovná 1\cdot 10^{10}. Vězte, že e není Eulerovo číslo, ale pouze zkratka pro exponent.

Test

Vypočítejte limitu \lim\limits_{x\to1}\ \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}


Hlavolam

Dvě města A a B jsou od sebe vzdálena 90km. Z města A do města B vyjede vlak rychlostí 60km/h. V tu samou chvíli vyjede z města B vlak do města A po té samé koleji (na ty nádražáky už vážně není vůbec spolehnutí) stejnou rychlostí. Ve chvíli, kdy se vlaky rozjedou vstříc jisté zkáze, z předního okna (u strojvůdce) vlaku jedoucího z A do B vystartuje moucha cestovatelka rychlostí 100km/h a letí vstříc druhému vlaku. Ve chvíli, kdy k němu doletí, dotkne se nožkou jeho předního skla a letí zpátky. Takto moucha lítá mezi vlaky než jí rozmáčknou na placku. Úkolem je zjistit (samozřejmě z hlavy), kolik kilometrů moucha celkem nalétala.

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2026 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček