Rovnice s odmocninou

Rovnice s odmocninou (odborně iracionální rovnice) je rovnice, ve které je neznámá pod odmocninou. Řeší se tak, že odmocninu osamostatníme na jedné straně, obě strany umocníme na druhou, vzniklou rovnici vyřešíme a nakonec uděláme zkoušku. Bez zkoušky řešení není hotové.

`\begin{gathered}\sqrt{x+2}=x-4\\[4pt] x+2=(x-4)^2\\[4pt] x^2-9x+14=0\\[4pt] x_1=7,\quad x_2=2\end{gathered}`

Po umocnění vyšla kvadratická rovnice se dvěma kořeny. Zkouška ale projde jen u jednoho: pro `x=7` je `\sqrt{9}=3` a vpravo `7-4=3`, rovnost platí. Pro `x=2` je vlevo `\sqrt{4}=2`, vpravo ale `2-4=-2`. Rovnice má jediný kořen `x=7`, číslo 2 je takzvaný cizí kořen.

Cizí kořeny vznikají proto, že umocnění není ekvivalentní úprava: z nepravdivého `2=-2` se po umocnění stane pravdivé `4=4`. Umocněná rovnice tak může mít kořeny navíc, které do té původní nepatří. Zkouška je jediný spolehlivý způsob, jak je poznat, a proto je u rovnic s odmocninou povinnou součástí řešení.

Níže je postup krok za krokem, vysvětlení cizích kořenů i s obrázkem, řešené příklady od nejjednodušší rovnice přes dvě odmocniny a substituci až po slovní úlohu, časté chyby a příklady k procvičení s řešením. Hotový výpočet se zkouškou pro rovnici tvaru `\sqrt{ax+b}=cx+d` dá kalkulačka rovnice s odmocninou.

Co je iracionální rovnice

Iracionální rovnice je každá rovnice, ve které se neznámá objevuje pod odmocninou. Nejčastěji pod druhou odmocninou, ale může jít i o třetí nebo vyšší. Rozhoduje, kde neznámá je, ne jestli se v rovnici nějaká odmocnina vyskytuje:

Rovnice	Je iracionální?
`\sqrt{x}=5`	ano, `x` je pod odmocninou
`\sqrt{2x+5}+x=2x+1`	ano
`\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=2`	ano, se dvěma odmocninami
`\sqrt[3]{x-2}=3`	ano, s třetí odmocninou
`\sqrt{2}\cdot x=4`	ne, pod odmocninou je jen číslo, je to lineární rovnice

Rovnice `\sqrt{2}\cdot x=4` se vyřeší jedním dělením: `x=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}`. Jak se zbavit odmocniny ve jmenovateli, vysvětluje článek Usměrňování zlomků.

Jak řešit rovnici s odmocninou krok za krokem

Osamostatněte odmocninu. Všechno ostatní převeďte na druhou stranu, aby odmocnina stála vlevo (nebo vpravo) sama. Jinak po umocnění vznikne dvojčlen na druhou a odmocnina v něm zůstane.
Umocněte obě strany na druhou. Odmocnina zmizí: `\left(\sqrt{V}\right)^2=V`. Druhou stranu umocněte celou, podle vzorce `(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2`.
Vyřešte vzniklou rovnici. Obvykle je lineární nebo kvadratická. Jak na tu kvadratickou, je v článku Kvadratická rovnice, výpočet s diskriminantem udělá kalkulačka kvadratická rovnice.
Udělejte zkoušku každého kandidáta dosazením do původní rovnice. Levou a pravou stranu spočítejte zvlášť. Kandidát, u kterého nevyjdou stejně, není kořen.
Zapište výsledek, nejlépe jako množinu kořenů, třeba `K=\{7\}`. Když neprojde nikdo, je `K=\emptyset`.

Když jsou v rovnici dvě odmocniny, opakují se kroky 1 a 2 dvakrát: nejdřív se osamostatní jedna odmocnina a umocní se, pak se osamostatní ta, která zbyla, a umocní se znovu (příklady 4 a 5).

Proč umocnění přidává kořeny

Odmocnina je vždycky nezáporná. Rovnice `\sqrt{x+2}=x-4` proto tvrdí dvě věci zároveň: že `x+2` je druhá mocnina pravé strany a že pravá strana `x-4` není záporná. Umocněním se ta druhá informace ztratí. Rovnici `x+2=(x-4)^2` splňuje i číslo, pro které je `\sqrt{x+2}=-(x-4)`, protože `(-a)^2=a^2`.

Na grafu je to vidět: modrá křivka `y=\sqrt{x+2}` protne přímku `y=x-4` jen jednou, v bodě `x=7`. Cizí kořen `x=2` je průsečík s čárkovanou přímkou `y=4-x`, tedy s pravou stranou s opačným znaménkem. Umocněná rovnice najde oba průsečíky, původní rovnice chce jen ten první.

Podmínky, nebo zkouška?

Místo zkoušky se dají předem napsat podmínky. U rovnice `\sqrt{V}=P` musí platit obě:

`V\ge 0`, protože pod odmocninou nesmí být záporné číslo,
`P\ge 0`, protože odmocnina se nemůže rovnat zápornému číslu.

Pro `\sqrt{x+2}=x-4` to dává `x\ge -2` a `x\ge 4`, dohromady `x\ge 4`. Kandidát `x=2` tuto podmínku nesplňuje, `x=7` ano.

Pozor na to, že samotný definiční obor, tedy jen první podmínka `V\ge 0`, nestačí. Oba kandidáti 7 i 2 v něm leží, a přesto jeden z nich rovnici nesplňuje. Jak se definiční obor hledá obecně, popisuje článek Definiční obor.

V praxi je jednodušší a bezpečnější zkouška: odhalí cizí kořen i početní chybu, kdežto podmínky jen cizí kořen. U rovnic se dvěma odmocninami se podmínky navíc snadno spletou. Zkoušku proto dělejte vždycky, i když máte podmínky napsané.

Řešené příklady

Příklad 1: nejjednodušší rovnice s odmocninou

Vyřešte rovnici `\sqrt{2x-1}=3`.

Odmocnina už stojí sama, takže rovnou umocníme:

`\begin{gathered}2x-1=9\\[4pt] 2x=10\\[4pt] x=5\end{gathered}`

Zkouška: `L=\sqrt{2\cdot 5-1}=\sqrt{9}=3`, `P=3`. Platí `L=P`, takže `K=\{5\}`.

Příklad 2: po umocnění vyjde kvadratická rovnice

Vyřešte rovnici `\sqrt{x+2}=x-4`.

Umocníme obě strany. Pravá strana je dvojčlen, takže `(x-4)^2=x^2-8x+16`, a ne `x^2-16`.

`\begin{gathered}x+2=x^2-8x+16\\[10pt] x^2-9x+14=0\\[10pt] D=81-56=25\\[10pt] x_{1,2}=\dfrac{9\pm 5}{2}\\[10pt] x_1=7,\quad x_2=2\end{gathered}`

Zkouška pro `x=7`: `L=\sqrt{9}=3`, `P=7-4=3`, platí.

Zkouška pro `x=2`: `L=\sqrt{4}=2`, `P=2-4=-2`, neplatí.

Výsledek: `K=\{7\}`. Stejný výpočet i s tabulkou zkoušky ukáže kalkulačka s touto rovnicí.

Příklad 3: nejdřív osamostatnit odmocninu

Vyřešte rovnici `\sqrt{2x+5}+x=2x+1`.

Kdybychom umocnili hned, na levé straně by vznikl dvojčlen `\left(\sqrt{2x+5}+x\right)^2` a odmocnina by v něm zůstala. Proto nejdřív odečteme `x` od obou stran:

`\begin{gathered}\sqrt{2x+5}=x+1\\[4pt] 2x+5=x^2+2x+1\\[4pt] x^2=4\\[4pt] x_1=2,\quad x_2=-2\end{gathered}`

Zkouška pro `x=2`: `L=\sqrt{9}+2=5`, `P=2\cdot 2+1=5`, platí.

Zkouška pro `x=-2`: `L=\sqrt{1}+(-2)=-1`, `P=2\cdot(-2)+1=-3`, neplatí.

Výsledek: `K=\{2\}`. Kandidát `-2` leží v definičním oboru `x\ge -2{,}5`, a přesto je cizí.

Příklad 4: dvě odmocniny

Vyřešte rovnici `\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=2`.

Obě odmocniny najednou neodstraníme. Jednu převedeme na druhou stranu a umocníme:

`\begin{gathered}\sqrt{x+3}=2-\sqrt{x}\\[4pt] x+3=4-4\sqrt{x}+x\end{gathered}`

Členy `x` se odečtou a zůstane jediná odmocnina, kterou osamostatníme a umocníme znovu:

`\begin{gathered}4\sqrt{x}=1\\[10pt] \sqrt{x}=\dfrac{1}{4}\\[10pt] x=\dfrac{1}{16}\end{gathered}`

Zkouška: `\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\sqrt{\dfrac{49}{16}}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}=2`, platí. Výsledek: `K=\left\{\dfrac{1}{16}\right\}`.

Příklad 5: dvě odmocniny a oba kořeny platí

Vyřešte rovnici `\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1`.

Osamostatníme první odmocninu a umocníme. Vpravo je dvojčlen `\left(1+\sqrt{x+1}\right)^2`:

`\begin{gathered}\sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1}\\[4pt] 2x+3=1+2\sqrt{x+1}+x+1\\[4pt] x+1=2\sqrt{x+1}\end{gathered}`

Umocníme podruhé a vyřešíme kvadratickou rovnici:

`\begin{gathered}x^2+2x+1=4x+4\\[4pt] x^2-2x-3=0\\[4pt] (x-3)(x+1)=0\\[4pt] x_1=3,\quad x_2=-1\end{gathered}`

Zkouška pro `x=3`: `\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1`, platí.

Zkouška pro `x=-1`: `\sqrt{1}-\sqrt{0}=1-0=1`, platí také.

Výsledek: `K=\{-1;\ 3\}`. Zkouška tedy nemusí vždycky nějaký kořen vyřadit. Záporný kořen je tu v pořádku, protože pod odmocninou záporné číslo nevyjde.

Příklad 6: substituce za odmocninu

Vyřešte rovnici `x-5\sqrt{x}+6=0`.

Protože `x=\left(\sqrt{x}\right)^2`, označíme `t=\sqrt{x}` a dostaneme obyčejnou kvadratickou rovnici. Pro novou neznámou přitom platí `t\ge 0`.

`\begin{gathered}t^2-5t+6=0\\[4pt] t_1=2,\quad t_2=3\end{gathered}`

Oba kořeny jsou nezáporné, takže z `\sqrt{x}=2` je `x=4` a z `\sqrt{x}=3` je `x=9`. Zkouška: `4-5\cdot 2+6=0` a `9-5\cdot 3+6=0`. Výsledek: `K=\{4;\ 9\}`.

Kdyby vyšlo záporné `t`, třeba u rovnice `x+\sqrt{x}-6=0` s kořeny `t=2` a `t=-3`, záporný kořen se zahodí, protože odmocnina se záporné hodnotě rovnat nemůže. Ta rovnice má jediné řešení `x=4`. Kořeny kvadratické rovnice si můžete procvičit v příkladech na kořeny kvadratické rovnice.

Příklad 7: délka kyvadla

Doba kmitu kyvadla je `T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}`, kde `l` je délka kyvadla a `g\doteq 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}`. Jak dlouhé musí být kyvadlo, aby jeden kmit (tam a zpět) trval přesně 2 sekundy?

Dosadíme `T=2` a osamostatníme odmocninu vydělením `2\pi`:

`\begin{gathered}2=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{9{,}81}}\\[10pt] \sqrt{\dfrac{l}{9{,}81}}=\dfrac{1}{\pi}\\[10pt] \dfrac{l}{9{,}81}=\dfrac{1}{\pi^2}\\[10pt] l=\dfrac{9{,}81}{\pi^2}\doteq 0{,}994\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Kyvadlo musí být dlouhé asi 99,4 cm. To sedí se zkušeností: kyvadlo dlouhé zhruba metr kmitá tam a zpět asi za dvě sekundy. Zkouška: `2\pi\sqrt{0{,}994/9{,}81}\doteq 2{,}00`.

Rovnice s třetí odmocninou

Třetí odmocnina se odstraní umocněním obou stran na třetí:

`\begin{gathered}\sqrt[3]{x-2}=3\\[4pt] x-2=27\\[4pt] x=29\end{gathered}`

Zkouška: `\sqrt[3]{27}=3`, platí. Postup je stejný jako u druhé odmocniny: osamostatnit, umocnit, vyřešit a ověřit dosazením.

Kdy rovnice s odmocninou nemá řešení

Někdy se to pozná ještě před umocněním. Druhá odmocnina nemůže být záporná, takže rovnice

`\begin{gathered}\sqrt{x-3}+5=2\\[4pt] \sqrt{x-3}=-3\end{gathered}`

nemá řešení, `K=\emptyset`. Kdo by ji přesto umocnil, dostane `x-3=9`, tedy `x=12`, a zkouška `\sqrt{9}+5=8\ne 2` ukáže, že jde o cizí kořen. Rovnice nemá řešení také tehdy, když po umocnění vyjde kvadratická rovnice se záporným diskriminantem, nebo když zkouškou neprojde ani jeden kandidát.

Časté chyby

Umocnění dvojčlenu po členech. `(x-4)^2` není `x^2-16`, ale `x^2-8x+16`. Kontrola: dosaďte `x=5`: `(5-4)^2=1`, kdežto `25-16=9`.
Umocnění, dokud odmocnina není sama. `\left(\sqrt{x}+1\right)^2` je `x+2\sqrt{x}+1`, odmocnina v rovnici zůstane. Nejdřív ji osamostatněte.
Chybějící zkouška. Bez ní zůstane ve výsledku cizí kořen, v příkladu 2 číslo 2. Za chybějící zkoušku se u písemky obvykle strhávají body, i když je zbytek správně.
Zkouška do upravené rovnice. Cizí kořen umocněné rovnici vyhovuje, na to se přišlo právě umocněním. Dosazujte vždy do zadání.
Spoléhání na definiční obor. To, že je kandidát v definičním oboru, ještě neznamená, že je to kořen (příklady 2 a 3).
Záporné číslo vpravo. Rovnice `\sqrt{V}=-3` nemá řešení. Není třeba nic počítat.

Příklady k procvičení

1. Vyřešte rovnici `\sqrt{x+6}=4`.

2. Vyřešte rovnici `\sqrt{5x-1}=x+1`.

3. Vyřešte rovnici `\sqrt{x+1}=x-1`.

4. Vyřešte rovnici `x-3\sqrt{x}-4=0`.

5. Vyřešte rovnici `\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=5`.

6. Kámen puštěný do propasti padá volným pádem a doba pádu z výšky `h` je `t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}`. Kámen dopadl na dno za 2,5 s. Jak hluboká je propast? Počítejte s `g=10\ \mathrm{m/s^2}` a odpor vzduchu zanedbejte.

Kam dál

Rovnice s odmocninou - kalkulačka pro rovnici `\sqrt{ax+b}=cx+d`, umocní ji a u každého kandidáta rozepíše zkoušku.
Kvadratická rovnice - kalkulačka na rovnici, která obvykle vyjde po umocnění.
Kořeny kvadratické rovnice - procvičování s okamžitou kontrolou.
Kvadratická rovnice - diskriminant, vzorec a rozklad na součin.
Rovnice - ekvivalentní úpravy a přehled druhů rovnic.
Rovnice s absolutní hodnotou - další rovnice, u které se řešení rozpadá na případy.
Částečné odmocňování - jak zjednodušit odmocninu, která zůstane ve výsledku.