Rovnice s absolutní hodnotou

Absolutní hodnota

Asi bych měl začít tím, že vysvětlím co vlastně absolutní hodnota je. Absolutní hodnota znamená, že budeme ignorovat znaménko mínus (další možná definice je vzdálenost daného čísla od nuly). Takže absolutní hodnota z -4 je 4. To platí i pro všechny další výrazy. Absolutní hodnota se značí svislými čarami: |-4| = 4. Následuje pár příkladů:

|4-8| = 4
|-x| = x
|-35+30| = 5

My máme dnes z úkol naučit se počítat rovnice s absolutní hodnotou. Pokud je rovnice podobná x+|-5|=0, není těžké najít řešení a takovými triviálními rovnicemi se tu ani nebudeme zajímat. Daleko zajímavější je ovšem rovnice |x| = 1. Pokud se zamyslíme, nalezneme řešení této rovnice i hlavy. Neznámá x může nabývat hodnot -1; 1. Ale složitější rovnice takhle z hlavy už nevyřešíme a proto by to chtělo nějaký jiný účinný způsob.

Rovnice s absolutní hodnotou

Řešení budeme hledat tak, že rovnici budeme řešit v několik různých intervalech - zbavíme se tedy absolutní hodnoty. Krajní body těchto intervalů bude mínus nekonečno a nekonečno. Další body najdeme tak, že spočítáme hodnotu pro neznámou x, když platí |absolutní hodnota| = 0. Tyto body se nazývají nulové body. Vrátíme-li se tedy k příkladu |x| = 1 budeme postupovat následovně:

Vypočítáme rovnice |výraz v absolutní hodnotě| = 0:
x = 0
To je jeden bod našeho intervalu.

Celou rovnici tedy budeme řešit nejprve v intervalu (-∞, 0> a pak v intervalu (0, ∞).

Začneme-li tedy rovnici řešit v prvním intervalu (-∞, 0>, budeme postupovat tak, že vezmeme nějaké číslo z tohoto intervalu (v našem případě poslouží dobře například -1) a dosadíme ho za neznámou x. Za předpokladu, že výraz v absolutní hodnotě bude po dosazení záporný, nahradíme absolutní hodnotu závorkami a celou závorku vynásobíme -1. V opačném případě, tj. výraz v absolutní hodnotě je kladný nahradíme absolutní hodnotu závorkami. Po té, co toto dokončíme můžeme směle rovnici vyřešit normálním způsobem. Tím to ale nekončí, protože tu je ještě druhý interval, (0, ∞). Při řešení budeme postupovat naprosto identickým způsobem. Takto se tedy dostaneme ke dvěma výsledkům: -1; 1.

1) Řešíme v intervalu (-∞, 0>
Dosadíme například -2:
|-2| = 1 → výraz v absolutní hodnotě je záporný
-1*(x) = 1
x = -1
2) Řešíme v intervalu (0; ∞)
Dosadíme například 5
|5| = 1 → výraz v absolutní hodnotě je kladný
(x) = 1
x = 1

Pozor: Je zde jedna věc, na kterou si musíme dát pozor. Poté, co najdeme řešení v intervalu I, musíme zkontrolovat, že se nalezené řešení nalézá v intervalu I. Za předpokladu, že v tom intervalu není, je tento výsledek neplatný.

1) Toto byl opravdu jednoduchý příklad; Zkuste vyřešit rovnici |x+5|+x=1.

Začneme tím, že najdeme intervaly, ve kterých budeme tuto rovnici řešit. Vezmeme pro výraz z absolutní hodnoty a určíme hodnotu neznámé x v případě, že se daný výraz rovná 0:

x+5 = 0 
x = -5

Nyní tedy můžeme určit intervaly, ve kterých budeme danou rovnici řešit. První bude (∞, -5> a ten druhý bude (-5, ∞).

Řešíme v intervalu (∞, -5>
Vezmeme tedy jedno náhodné číslo z tohoto intervalu, např. -8
|x+5|
|-8+5|
|-3| → Výraz je záporný, budeme tedy řešit následující rovnici:
-1*(x+5)+x = 1
-x-5+x = 1
0x = 6
V tomto intervalu nemá rovnice řešení 

Pokračujeme hledáním řešení v druhém intervalu:

Řešíme v intervalu (-5, ∞)
Vybereme jedno číslo, například 1
|x+5|
|1+5|
|6| → výraz v absolutní hodnotě je kladný
(x+5)+x = 1
2x+5 = 1
2x = -4
x = -2

V tomto případě jsme pro neznámou x nalezli pouze jedno možné řešení: x = -2.

2) V rovnici může být samozřejmě více absolutních hodnot a to dělá řešení složitější, protože budeme muset danou rovnici řešit ve více intervalech. Vyřešte rovnici |x+5|+|2x-2| = 1. Začneme tím, že najedeme nulové body:

x+5 = 0
x = -5
----------
2x-2 = 0
x = 1

Naši pomyslnou číselnou osu si tedy musíme rozdělit do tří intervalů, ve kterých budeme rovnici řešit.

|-7+5|+|2*(-7)-2| = 1
|-2| + |-16| = 1
----------
-1*(x+5)+(-1)*(2x-2) = 1
-x-5-2x+2 = 1
-3x = 4

|0+5|+|2*(0)-2| = 1
|5|+|-2| = 1
----------
(x+5)+(-1)*(2x-2) = 1
x+5-2x+2 = 1
-x = -6
x = 6

|2+5|+|2*2-2| = 1
|7|+|2| = 1
----------
(x+5)+(2x-2) = 1
3x+3 = 1

Přestože jsme v tomto případě získali tři výsledky, žádný z nich nebyl v daném intervalu a proto tato rovnice nemá řešení!

3) Vyřešte rovnici

Opět začneme tím, že najdeme nulové body:

x-5 = 0
x = 5
--------
x+1 = 0
x = -1

Podobně jako u předchozího příkladu napíšu řešení do přehledné tabulky:

-------

-------

------

Vyšly dva výsledky: -2.5 a 0.