Rovnice s absolutní hodnotou

Rovnici s absolutní hodnotou vyřešíme tak, že se absolutní hodnoty zbavíme. Nejjednodušší typ, kdy je absolutní hodnota sama na jedné straně a na druhé je kladné číslo, se rozpadne na dvě obyčejné rovnice, protože výraz uvnitř se může rovnat buď tomu číslu, nebo číslu opačnému:

`\begin{gathered}|V| = a,\quad a \gt 0 \\[6pt] V = a\quad \text{nebo}\quad V = -a\end{gathered}`

Například z `|x-2| = 3` dostaneme `x-2 = 3` nebo `x-2 = -3`, tedy `x = 5` nebo `x = -1`. Když je absolutních hodnot víc nebo je neznámá i mimo ni, použijeme metodu nulových bodů: najdeme, kde výrazy v absolutních hodnotách mění znaménko, rozdělíme jimi číselnou osu na intervaly a na každém z nich řešíme obyčejnou rovnici bez absolutní hodnoty.

Dvě věci platí vždy. Absolutní hodnota nikdy není záporná, takže rovnice `|x+4| = -2` nemá řešení. A kořen, který vyjde na nějakém intervalu, platí jen tehdy, když do toho intervalu opravdu patří.

Co je absolutní hodnota

Absolutní hodnota čísla je jeho vzdálenost od nuly na číselné ose. Vzdálenost nemůže být záporná, proto `|{-}2| = 2` i `|2| = 2`. Kladné číslo a nula zůstanou beze změny, zápornému číslu se změní znaménko:

`\begin{gathered}|x| = x \quad \text{pro } x \ge 0 \\[6pt] |x| = -x \quad \text{pro } x \lt 0\end{gathered}`

Druhý řádek vypadá jako chyba, ale není: pro záporné x je `-x` kladné. Třeba pro `x = -7` je `-x = -(-7) = 7`.

Ještě užitečnější je, že `|a-b|` je vzdálenost čísel a a b na ose. Rovnice `|x-2| = 3` se tedy ptá, která čísla jsou od dvojky vzdálená 3. Jsou dvě, jedno vlevo a jedno vpravo:

Hodnotu i vzdálenost dvou čísel si můžete spočítat v kalkulačce absolutní hodnota čísla.

Rovnice typu |výraz| = číslo

Když je absolutní hodnota na jedné straně sama a na druhé je jen číslo a, rozhoduje znaménko toho čísla:

• `a \gt 0`: dvě rovnice `V = a` a `V = -a`, zpravidla dva kořeny,
• `a = 0`: jediná rovnice `V = 0`,
• `a \lt 0`: žádné řešení, absolutní hodnota záporná být nemůže.

Příklad 1

Vyřešte rovnice `|x-2| = 3`, `|3x+6| = 0` a `|x+4| = -2`.

`\begin{gathered}|x-2| = 3:\quad x-2 = 3 \ \text{ nebo } \ x-2 = -3 \\[6pt] x = 5 \quad \text{nebo} \quad x = -1\end{gathered}`

Zkouška: `|5-2| = 3` a `|{-}1-2| = |{-}3| = 3`. Přesně to ukazuje obrázek nahoře: obě čísla jsou od dvojky vzdálená 3.

Druhá rovnice: `3x+6 = 0`, jediný kořen `x = -2`. Třetí rovnice nemá řešení, protože levá strana je vždy nejméně nula.

Metoda nulových bodů

Rozdělení na „`+a` nebo `-a`“ přestane stačit, jakmile je v rovnici absolutních hodnot víc nebo je x i mimo ni. Pak postupujeme takto:

1. Nulové body. Každý výraz v absolutní hodnotě položíme roven nule a vypočítáme x. V těchto bodech výrazy mění znaménko.
2. Intervaly. Nulové body rozdělí číselnou osu na intervaly. Každý nulový bod přidáme k jednomu z nich, obvykle k pravému, aby žádné číslo nevypadlo ani nebylo započítané dvakrát.
3. Znaménka. Na každém intervalu zjistíme znaménko výrazu uvnitř, stačí dosadit libovolné číslo z intervalu. Kde je výraz nezáporný, absolutní hodnotu jen vynecháme. Kde je záporný, nahradíme ji výrazem v závorce s mínusem před ní.
4. Řešení. Na každém intervalu vyřešíme obyčejnou rovnici, jak jsme zvyklí u lineárních rovnic.
5. Kontrola. Kořen platí, jen když leží v intervalu, na kterém vyšel. Výsledkem je sjednocení všech platných kořenů.

Příklad 2

Vyřešte rovnici `|x+5|+x = 1`.

Nulový bod: `x+5 = 0`, tedy `x = -5`. Osu rozdělíme na intervaly `(-\infty;\ {-5})` a `\langle -5;\ \infty)`.

Interval `(-\infty;\ {-5})`. Dosadíme třeba `x = -8`: `-8+5 = -3`, výraz je záporný, takže `|x+5| = -(x+5)`:

`\begin{gathered}-(x+5)+x = 1 \\[6pt] -x-5+x = 1 \\[6pt] -5 = 1\end{gathered}`

Nepravdivá rovnost, na tomto intervalu rovnice řešení nemá.

Interval `\langle -5;\ \infty)`. Pro `x = 0` je `0+5 = 5`, výraz je kladný a absolutní hodnotu vynecháme:

`\begin{gathered}x+5+x = 1 \\[6pt] 2x = -4 \\[6pt] x = -2\end{gathered}`

Číslo `-2` do intervalu `\langle -5;\ \infty)` patří, takže platí. Zkouška: `|{-}2+5|+(-2) = 3-2 = 1`. Řešení je `x = -2`.

Příklad 3: kořen, který neplatí

Vyřešte rovnici `|x-3| = 2x`.

Nulový bod je `x = 3`, intervaly `(-\infty;\ 3)` a `\langle 3;\ \infty)`.

Na `(-\infty;\ 3)` je výraz `x-3` záporný (pro `x = 0` vyjde `-3`):

`\begin{gathered}-(x-3) = 2x \\[6pt] 3 = 3x \\[6pt] x = 1\end{gathered}`

Na `\langle 3;\ \infty)` je výraz nezáporný a absolutní hodnotu vynecháme:

`\begin{gathered}x-3 = 2x \\[6pt] x = -3\end{gathered}`

Jednička do intervalu `(-\infty;\ 3)` patří a platí: `|1-3| = 2 = 2\cdot 1`. Ale `-3` vyšlo na intervalu `\langle 3;\ \infty)`, kam nepatří, a opravdu nevyhovuje: `|{-}3-3| = 6`, zatímco `2\cdot(-3) = -6`. Rovnice má jediný kořen `x = 1`.

Šlo by to i rychleji přes „`x-3 = 2x` nebo `x-3 = -2x`“, jen pak nesmíte vynechat zkoušku: pravá strana `2x` může být záporná a jeden kořen je falešný. Celý postup s tabulkou znamének vypíše kalkulačka rovnice s absolutní hodnotou, která řeší rovnice tvaru `|ax+b| = cx+d`.

Rovnice se dvěma absolutními hodnotami

Dva nulové body rozdělí osu na tři intervaly. Postup je stejný, jen přehlednější v tabulce.

Příklad 4

Vyřešte rovnici `|x+1|+|x-2| = 5`.

Nulové body jsou `x = -1` a `x = 2`. Na každém intervalu rozepíšeme obě absolutní hodnoty:

Zkouška: `|{-}1|+|{-}4| = 5` a `|4|+|1| = 5`. Rovnice má dva kořeny, `x = -2` a `x = 3`. Tabulku pro libovolná čísla sestaví kalkulačka pro dvě absolutní hodnoty.

Prostřední sloupec stojí za pozornost. Mezi `-1` a `2` má levá strana stálou hodnotu 3, protože součet vzdáleností od `-1` a od `2` je tam vždy délka úsečky mezi nimi. Kdyby na pravé straně byla trojka, vyhovovalo by každé číslo z intervalu `\langle -1;\ 2\rangle`, tedy nekonečně mnoho kořenů. A s dvojkou vpravo by rovnice neměla řešení vůbec, menší než 3 levá strana být nemůže.

Stejně dopadne rovnice `|x+5|+|2x-2| = 1`: na všech třech intervalech sice „vyjde“ číslo (`-\frac{4}{3}`, `6` a `-\frac{2}{3}`), ale žádné neleží ve svém intervalu. Levá strana je nejmenší pro `x = 1`, a to 6, takže jedničky nikdy nedosáhne.

Grafické řešení

Graf funkce `y = |x|` má tvar písmene V s vrcholem v počátku. Kořeny rovnice `|x| = 3` jsou x-ové souřadnice průsečíků tohoto V s vodorovnou přímkou `y = 3`. Stejně se dá „uvidět“ příklad 4: graf levé strany je lomená čára s vodorovným úsekem ve výšce 3, přímka `y = 5` ji protne dvakrát a přímka `y = 2` ani jednou.

Graf je dobrá kontrola počtu kořenů. Kreslit grafy funkcí s absolutní hodnotou se naučíte v článku Funkce a jejich grafy.

Derivace absolutní hodnoty. Pro `x \gt 0` je `|x| = x`, tedy derivace 1. Pro `x \lt 0` je `|x| = -x` a derivace je `-1`. V nule má graf hrot a derivace tam neexistuje. Stručně `(|x|)' = \dfrac{x}{|x|}` pro `x \ne 0`. Víc o derivacích v článku Základy derivace.

Nerovnice s absolutní hodnotou

U nerovnic platí dvě jednoduchá pravidla, opět pro kladné číslo a:

`\begin{gathered}|V| \lt a \iff -a \lt V \lt a \\[6pt] |V| \gt a \iff V \lt -a \ \text{ nebo }\ V \gt a\end{gathered}`

Dají se odvodit ze vzdálenosti: `|x-1| \lt 3` znamená „čísla blíž k jedničce než 3“, tedy jeden souvislý interval. Nerovnice `|V| \gt a` naopak hledá čísla daleko, a ta leží na dvou polopřímkách.

Příklad 5

Vyřešte nerovnice `|x-1| \lt 3` a `|2x+3| \ge 5`.

`\begin{gathered}-3 \lt x-1 \lt 3 \\[6pt] -2 \lt x \lt 4\end{gathered}`

Řešení první nerovnice je interval `(-2;\ 4)`. U druhé:

`\begin{gathered}2x+3 \le -5 \quad \text{nebo} \quad 2x+3 \ge 5 \\[6pt] x \le -4 \quad \text{nebo} \quad x \ge 1\end{gathered}`

Řešení je sjednocení `(-\infty;\ {-4}\rangle \cup \langle 1;\ \infty)`. Kontrola číslem mezi oběma částmi: pro `x = 0` je `|3| = 3`, což není aspoň 5, takže nula do řešení nepatří, přesně jak má.

Příklad 6: nerovnice metodou nulových bodů

Je-li x i mimo absolutní hodnotu, použijeme nulové body jako u rovnic. Rozdíl je v kroku 5: na každém intervalu nevyjde jedno číslo, ale zase interval, a z něj platí jen průnik s intervalem, na kterém počítáme.

Vyřešte `|x+2| \gt 2x-1`. Nulový bod je `x = -2`.

Na `(-\infty;\ {-2})` je `x+2` záporné:

`\begin{gathered}-x-2 \gt 2x-1 \\[10pt] -3x \gt 1 \\[10pt] x \lt -\tfrac{1}{3}\end{gathered}`

Dělili jsme záporným číslem, proto se znak otočil. Průnik `x \lt -\frac{1}{3}` s intervalem `(-\infty;\ {-2})` je celý interval `(-\infty;\ {-2})`.

Na `\langle -2;\ \infty)` je `x+2` nezáporné:

`\begin{gathered}x+2 \gt 2x-1 \\[6pt] x \lt 3\end{gathered}`

Průnik s `\langle -2;\ \infty)` je `\langle -2;\ 3)`. Sjednocením obou částí dostaneme `(-\infty;\ 3)`. Kontrola: pro `x = 3` je `5 \gt 5` nepravda, pro `x = 0` je `2 \gt -1` pravda. Ověřit si to můžete v kalkulačce nerovnic s absolutní hodnotou, zápis výsledků intervalem procvičíte v kalkulačce průnik a sjednocení intervalů.

Kvadratické rovnice a zlomky s absolutní hodnotou

Příklad 7: substituce za |x|

Vyřešte rovnici `x^2-5|x|+6 = 0`.

Protože `x^2 = |x|^2`, zavedeme `t = |x|`, kde `t \ge 0`, a dostaneme kvadratickou rovnici:

`\begin{gathered}t^2-5t+6 = 0 \\[6pt] (t-2)(t-3) = 0 \\[6pt] t = 2 \quad \text{nebo} \quad t = 3\end{gathered}`

Obě hodnoty jsou nezáporné, takže `|x| = 2` nebo `|x| = 3` a rovnice má čtyři kořeny: `x \in \{-3;\ {-2};\ 2;\ 3\}`. Kdyby nějaké t vyšlo záporné, zahodíme ho, protože `|x|` záporné být nemůže.

Příklad 8: absolutní hodnota ve zlomku

Vyřešte rovnici `\dfrac{|x-5|}{|x+1|} = 5`.

Podmínka: `x \ne -1`. Vynásobíme jmenovatelem a použijeme pravidlo `|A| = |B| \iff A = B` nebo `A = -B`, protože `5|x+1| = |5(x+1)|`:

`\begin{aligned} x-5 &= 5(x+1) &\qquad x-5 &= -5(x+1) \\[4pt] -4x &= 10 & 6x &= 0 \\[4pt] x &= -\tfrac{5}{2} & x &= 0 \end{aligned}`

Zkouška: `\dfrac{|{-}7{,}5|}{|{-}1{,}5|} = 5` a `\dfrac{|{-}5|}{|1|} = 5`. Kořeny jsou `x = -2{,}5` a `x = 0`. Metodou nulových bodů (body 5 a `-1`, tři intervaly) vyjde totéž, jen delší cestou.

Časté chyby

• `|{-}x| = x`. Neplatí pro záporné x: pro `x = -3` je `|{-}x| = |3| = 3`, ne `-3`. Správně `|{-}x| = |x|`.
• Kořen bez kontroly intervalu. V příkladu 3 vyšlo `x = -3` na intervalu `\langle 3;\ \infty)`. Kdo ho nevyřadí, má falešný kořen. Rychlá pojistka je zkouška dosazením do původní rovnice.
• `|a+b| = |a|+|b|`. Neplatí, když mají a a b různá znaménka: `|3+(-5)| = 2`, ale `|3|+|{-}5| = 8`. Absolutní hodnotu součtu nelze „roztrhnout“.
• `|V| = -3 \Rightarrow V = \pm 3`. Rovnice se záporným číslem na pravé straně nemá řešení, nic se nerozepisuje.
• Nulový bod dvakrát nebo vůbec. Intervaly mají na sebe navazovat: `(-\infty;\ {-5})` a `\langle -5;\ \infty)`, ne `(-\infty;\ {-5})` a `(-5;\ \infty)`, kde by `-5` chybělo.
• U nerovnice kořen místo průniku. Na intervalu vychází nerovnost, ne číslo. Z ní platí jen její průnik s intervalem a na konci se části sjednotí.
• `\sqrt{x^2} = x`. Správně `\sqrt{x^2} = |x|`, odmocnina je vždy nezáporná. Na tom stojí i rovnice s odmocninou.

Příklady k procvičení

Další příklady s okamžitou kontrolou najdete v procvičování Absolutní hodnota.

Kam dál

• Procvičování: příklady na absolutní hodnotu, intervaly.
• Kalkulačky: rovnice s absolutní hodnotou, dvě absolutní hodnoty, nerovnice s absolutní hodnotou, interval na číselné ose.
• Články: Lineární rovnice, Rovnice, Rovnice s odmocninou, Kvadratická rovnice.