Úvod dnešního článku nevypadá příliš jednoduše. Nicméně lineární rovnice je opravdu lehká látka.

Více o problematice rovnice naleznete v článku Rovnice.

Pokud jste četli článek, na který jsem odkazoval v předchozím odstavci, víte, že rovnice má většinou několik neznámých. V tomto článku budeme pracovat pouze s rovnicemi o jedné neznámé → x; a jak už jsem v úvodu naznačil, exponent bude vždy jedna (bude se tedy vždy jednat o x a nikdy ne o x2, xn.

Počítání rovnic

Nejlehčí rovnice, jakou v tomto článku mohu poskytnout je nepochybně x=1. Určete z této rovnice hodnotu proměnné x. Pochopitelně je to 1. Další rovnice ale už nemusí být tak jednoduché. Zkuste například vyřešit x-1=0. Nyní přicházejí na řadu ekvivalentní úpravy → k oběma stranám přičteme číslo 1. Získáme tedy x-1+1=0+1, což se rovná x=1. Toto je výsledek.

Další rovnice mohou být ještě těžší. Například 2x=2. V tomto příkladě známe hodnotu 2x, ale my chceme znát hodnotu x. Obě strany tedy vydělíme dvěma: `\frac{2x}{2}=\frac{2}{2} \rightarrow x = 1`.

Zatím jsme pracovali s rovnicemi, kdy na jedné straně byla jedna neznámá a na druhé straně byly pouze čísla. Toto je ten nejjednodušší scénář. Rovnice může vypadat i takto: 2+x+5 = 5x+1. V takovémto případě musíme na jednu stranu převést neznámé a na druhou stranu čísla:

2+x+5  = 5x + 1 /-5x, -2, -5
-4x = 8

Nyní sice máme na jedné straně neznámé a na druhé čísla, nicméně před naší neznámou je znaménko mínus a to není dobré. Abychom se ho zbavili, musíme celou rovnici vynásobit -1. Získáme tedy 4x = -8 → x = -2.

V rovnici se mohou objevit závorky, zlomky, prostě vše. Nesmí vás proto překvapit rovnice typu: `2(x+4) = \frac{2}{3}+x`:

`2(x+4) = \frac{2}{3}+x\\2x+8=\frac{2}{3}+x\\3*(2x+8)=3*\left(\frac{2}{3}+x\right)\\6x+24=2+3x\\3x=-22\\x=\frac{-22}{3}`

V této rovnici jsme se museli zbavit zlomku. Vynásobili jsme proto celou rovnici třemi. V této rovnici byl pouze jeden zlomek, ale může jich tam být více. Za předpokladu, že tyto zlomky chceme sčítat, popř. odčítat, musíme ovládat Nejmenší společný násobek. Vyřešte rovnici `\frac{4}{3}+\frac{3}{5}+\frac{1}{2} = x`:

Nejmenším společným násobkem 3, 5, 2 je 30 
`\frac{4}{3}+\frac{3}{5}+\frac{1}{2} = x\\ \frac{40}{30}+\frac{18}{30}+\frac{15}{30}=x\\ \frac{73}{30} = x`

Neznámá ve jmenovateli

Takovéto typy rovnic občas dělají některým žákům potíže, ale nejedná se o nic složitého. Budeme postupovat naprosto identickým způsobem, jakoby tam místo neznámé bylo normální číslo.

`\frac{4}{3}+\frac{3}{x} = 5\\ \frac{4x}{3x}+\frac{9}{3x} = 5\\ 4x+9=15x\\-11x = -9\\x = \frac{9}{11}`

Nejmenším společným násobkem 3 a x je 3x.

Možné výsledky

Jsou celkem tři druhy výsledků, které můžeme získat, pracujeme-li s lineárními rovnicemi:

  • Jedno řešení → x = 2
  • Nekonečně mnoho řešení → 0x = 0
  • Žádné řešení → 0x = 4

Geometrický význam

Lineární rovnice se dají, pokud umíme dobře rýsovat, vyřešit i graficky → grafem lineární funkce je přímka. Například graf rovnice `2x+2` by vypadal takto:

Lineární rovnice