Lineární rovnice je rovnice, ve které je neznámá jen v první mocnině: žádné `x^2`, žádné `x` ve jmenovateli ani pod odmocninou. Po úpravách má vždy tvar `ax+b=0`, a pokud `a\neq 0`, má právě jeden kořen:

`\begin{gathered}ax+b=0\\[10pt]x=-\dfrac{b}{a}\qquad (a\neq 0)\end{gathered}`

Řeší se vždy stejně: odstraníte zlomky a závorky, neznámé převedete na jednu stranu a čísla na druhou, a nakonec vydělíte číslem u `x`. Třeba z `3x+7=22` dostanete `3x=15` a `x=5`.

Když se při úpravách `x` úplně odečte, vyjde rovnost typu `0x=0` nebo `0x=3`. První platí pro každé číslo, takže rovnice má nekonečně mnoho řešení; druhá neplatí nikdy, takže rovnice nemá řešení žádné. Oba případy jsou podrobně rozebrané níže.

Co je a co není lineární rovnice

Slovo lineární znamená „prvního stupně“: neznámá se v rovnici vyskytuje nejvýš v první mocnině a nikde se jí nedělí. Čísla u ní mohou být jakákoli, i zlomky a desetinná čísla. Rozhoduje tvar po úpravě, ne to, jak rovnice vypadá na první pohled:

rovnicelineární?proč
`2(x+3)=x-1`anopo roznásobení jen `x` a čísla
`\dfrac{x}{3}+1=\dfrac{x-2}{5}`ano`x` se dělí číslem, to nevadí
`x^2+x=x^2+4`ano`x^2` se odečte, zbude `x=4`
`x^2-5x+6=0`nekvadratická, `x^2` zůstane
`\dfrac{3}{x}=6`ne`x` ve jmenovateli, lomená rovnice
`\sqrt{x}=3`ne`x` pod odmocninou

Rovnicím s neznámou ve jmenovateli se věnuje článek Rovnice (je u nich potřeba stanovit podmínky), kvadratickým článek Kvadratická rovnice.

Jak se počítají lineární rovnice

Kořen rovnice je číslo, které po dosazení za `x` dá na levé i pravé straně stejnou hodnotu. Hledáme ho tak, že rovnici upravujeme jen takovými kroky, které kořen nezmění (ekvivalentní úpravy): k oběma stranám přičteme nebo od nich odečteme totéž, obě strany vynásobíme nebo vydělíme stejným číslem různým od nuly. Postup je pro každou lineární rovnici stejný:

  1. Zlomky pryč. Celou rovnici vynásobte společným jmenovatelem, každý člen na obou stranách.
  2. Závorky pryč. Roznásobte je, pozor na minus před závorkou.
  3. Neznámé na jednu stranu, čísla na druhou. Člen, který převádíte na druhou stranu, mění znaménko.
  4. Sečtěte členy s `x` a zvlášť čísla, vyjde `ax=c`.
  5. Vydělte obě strany číslem `a`. Pokud je `a=0`, dělit nesmíte, viz možné výsledky.
  6. Zkouška. Dosaďte výsledek do původní rovnice, zvlášť do levé a pravé strany.

Úprava se obvykle píše za lomítko na konec řádku: `/\ {-7}` znamená „od obou stran odečtu 7“, `/:3` „obě strany vydělím třemi“.

Příklad 1

Vyřešte rovnici `3x+7=22`.

`\begin{gathered}3x+7=22\qquad /\ {-7}\\[4pt]3x=15\qquad /:3\\[4pt]x=5\end{gathered}`

Zkouška: `L=3\cdot 5+7=22`, `P=22`. Obě strany se rovnají, kořen je `x=5`.

Příklad 2: neznámá na obou stranách

Vyřešte rovnici `2+x+5=5x+1`.

Nejdřív sečtěte čísla na levé straně: `x+7=5x+1`. Neznámé je výhodné převést na tu stranu, kde jich je víc. Tady je to pravá strana (`5x` proti `x`), a koeficient u `x` pak vyjde kladný:

`\begin{gathered}x+7=5x+1\qquad /\ {-x-1}\\[10pt]6=4x\qquad /:4\\[10pt]x=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}=1{,}5\end{gathered}`

Zkouška: `L=2+1{,}5+5=8{,}5`, `P=5\cdot 1{,}5+1=8{,}5`. Kořen nemusí vyjít celý, zlomek nebo desetinné číslo je úplně v pořádku.

Příklad 3: rovnice se závorkami

Vyřešte rovnici `3(2x-1)-(x-4)=2(x+5)`.

Minus před závorkou otočí znaménko každého členu v ní, takže `-(x-4)` je `-x+4`.

`\begin{gathered}3(2x-1)-(x-4)=2(x+5)\\[4pt]6x-3-x+4=2x+10\\[4pt]5x+1=2x+10\qquad /\ {-2x-1}\\[4pt]3x=9\qquad /:3\\[4pt]x=3\end{gathered}`

Zkouška: `L=3\cdot 5-(-1)=16`, `P=2\cdot 8=16`.

Příklad 4: rovnice se zlomky

Vyřešte rovnici `\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{x-2}{3}=2`.

Společný jmenovatel 2 a 3 je 6 (jak ho najít, ukazuje nejmenší společný násobek). Vynásobit šesti musíte všechny členy, i dvojku vpravo. Čitatel zlomku je jako v závorce, minus před zlomkem pak platí pro celý čitatel:

`\begin{gathered}\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{x-2}{3}=2\qquad /\cdot 6\\[10pt]3(x+1)-2(x-2)=12\\[10pt]3x+3-2x+4=12\\[10pt]x+7=12\qquad /\ {-7}\\[10pt]x=5\end{gathered}`

Zkouška: `L=\dfrac{6}{2}-\dfrac{3}{3}=3-1=2`, `P=2`.

Příklad 5: desetinná čísla

Vyřešte rovnici `0{,}4x+1{,}2=0{,}1x+3`.

S desetinnými čísly se počítá stejně, ale pohodlnější je se jich zbavit: vynásobte rovnici deseti.

`\begin{gathered}0{,}4x+1{,}2=0{,}1x+3\qquad /\cdot 10\\[4pt]4x+12=x+30\qquad /\ {-x-12}\\[4pt]3x=18\qquad /:3\\[4pt]x=6\end{gathered}`

Zkouška: `L=2{,}4+1{,}2=3{,}6`, `P=0{,}6+3=3{,}6`.

Rovnici tvaru `ax+b=c` vám s postupem a zkouškou spočítá kalkulačka lineární rovnice. Celý postup si pak vyzkoušejte na dvanácti rovnicích za sebou v příkladech na lineární rovnice.

Kolik řešení může mít: 0x = 0 a 0x = 3

Lineární rovnice může dopadnout třemi způsoby. Pozná se to na posledním řádku před dělením, na tvaru `ax=c`:

poslední řádekco znamenákořeny
`4x=8`jedno řešení, vydělíme čtyřmi`x=2`
`5x=0`jedno řešení, a to nula`x=0`
`0x=0`platí pro každé číslo`K=\mathbb{R}`
`0x=3`neplatí pro žádné číslo`K=\emptyset`

Pozor na rozdíl mezi druhým a třetím řádkem. `x=0` (i `5x=0`) je úplně normální výsledek: kořen je jeden, jen to je zrovna nula. `0x=0` je něco jiného, za `x` můžete dosadit cokoli.

Rovnice 0x = 0: nekonečně mnoho řešení

Nula krát jakékoli číslo je nula, takže rovnost `0\cdot x=0` platí, ať za `x` dosadíte cokoli. Řešením je každé reálné číslo, zapisuje se to `K=\mathbb{R}`. Taková rovnice vznikne, když jsou obě strany ve skutečnosti stejný výraz, jen jinak zapsaný:

`\begin{gathered}2(x+3)-x=x+6\\[4pt]2x+6-x=x+6\\[4pt]x+6=x+6\qquad /\ {-x-6}\\[4pt]0x=0\end{gathered}`

Zkuste dosadit třeba `x=10`: vlevo `2\cdot 13-10=16`, vpravo `10+6=16`. A s jiným číslem to vyjde taky. Často se místo `0x=0` píše rovnou `0=0`; znamená to totéž.

Rovnice 0x = 3: žádné řešení

Nula krát cokoli je pořád nula, nikdy tři. Rovnost `0\cdot x=3` proto neplatí pro žádné číslo a rovnice nemá řešení, `K=\emptyset`. Stejně dopadne `0x=1`, `0x=5` i jakékoli `0x=c` s `c\neq 0`.

`\begin{gathered}3x-2(x-1)=x+5\\[4pt]3x-2x+2=x+5\\[4pt]x+2=x+5\qquad /\ {-x-2}\\[4pt]0x=3\end{gathered}`

Obě strany mají stejný člen s `x`, ale liší se o 3. Levá strana je proto vždycky o tři menší než pravá, ať je `x` jakékoli.

V obou případech je chyba dělit nulou. Z `0x=0` nevyjde `x=0` a z `0x=3` nevyjde `x=\frac{3}{0}`; nulou dělit nelze. Kalkulačka lineární rovnice oba případy rozpozná, když zadáte `a=0`.

Geometrický význam: kde přímka protne osu x

Grafem výrazu `ax+b` je přímka `y=ax+b`. Rovnice `ax+b=0` se ptá, pro které `x` má přímka výšku nula, tedy kde protíná osu `x`. Pro `2x+2=0` je to bod `x=-1`:

−22−224xy y = 2x + 2x = −1

Když je neznámá na obou stranách, nakreslete každou stranu zvlášť jako přímku. Kořen je `x`-ová souřadnice průsečíku, protože tam mají obě strany stejnou hodnotu. Tím jsou vidět i všechny tři případy z předchozí části: různoběžky mají jeden průsečík, rovnoběžky žádný a splývající přímky nekonečně mnoho. Na obrázcích jsou rovnice z příkladu 2 a z obou předchozích odstavců:

jedno řešení 2246810xy x + 75x + 1x = 1,5 žádné řešení −222468xy x + 2x + 5 nekonečně mnoho −222468xy obě stranyx + 6

Rovnoběžné nebo splývající přímky vzniknou právě tehdy, když mají obě strany stejný koeficient u `x`. Pak se `x` při úpravě odečte a zbude `0x=c`: pro `c\neq 0` jsou to rovnoběžky bez průsečíku, pro `c=0` jedna a táž přímka. Graficky se rovnice řeší jen přibližně, odečtený průsečík je dobrý jako kontrola, ne jako výsledek. Víc o grafech funkcí najdete v článku Funkce a jejich grafy.

Lineární rovnice ve slovní úloze

Ve slovní úloze je potřeba rovnici nejdřív sestavit: označit neznámou, napsat, co se čemu rovná, vyřešit a odpovědět větou.

Příklad 6: taxi

Jízda taxíkem stojí 40 Kč za nástup a 28 Kč za každý kilometr. Za jízdu jste zaplatili 292 Kč. Kolik kilometrů jste ujeli?

Počet kilometrů označte `x`. Cena je nástup plus 28 Kč za každý kilometr:

`\begin{gathered}40+28x=292\qquad /\ {-40}\\[4pt]28x=252\qquad /:28\\[4pt]x=9\end{gathered}`

Zkouška: `40+28\cdot 9=40+252=292`. Ujeli jste 9 km. Výsledek dává smysl i odhadem: 252 Kč je skoro 10 kilometrů po 28 Kč.

Časté chyby

  • Minus před závorkou použitý jen na první člen. `-(x-4)` je `-x+4`, ne `-x-4`. Stejně u zlomku: `-\dfrac{x-2}{3}` po vynásobení třemi dá `-x+2`.
  • Násobení jen některých členů. Když rovnici násobíte společným jmenovatelem, násobíte každý člen na obou stranách, i ten bez zlomku. V příkladu 4 je častá chyba nechat vpravo 2 místo 12.
  • Převod bez změny znaménka. Člen, který přechází na druhou stranu, mění znaménko: z `x+7=12` je `x=12-7`, ne `x=12+7`.
  • Dělení jen jednoho členu. Z `3x=9+6` není `x=3+6`; nejdřív sečtěte, nebo vydělte obě čísla.
  • Z 0x = 0 udělat x = 0. Nulou dělit nelze. `0x=0` znamená, že vyhovuje každé číslo, a `0x=3`, že žádné.
  • Zkouška do upravené rovnice. Chyba v úpravách se v upravené rovnici neprojeví. Dosazujte vždy do zadání.

Příklady k procvičení

1. Vyřešte rovnici `7x-4=3x+12`.

2. Vyřešte rovnici `4(x-2)-3(x-5)=10`.

3. Vyřešte rovnici `2(x+4)=\dfrac{2}{3}+x`.

4. Vyřešte rovnici `\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=10`.

5. Kolik řešení mají rovnice a) `3(x-2)+6=3x` a b) `2(x+1)=2x-5`?

6. Otec je čtyřikrát starší než syn. Za 12 let bude jen dvakrát starší. Kolik je oběma let teď?

Kam dál