Nejmenší společný násobek (NSN) - jak ho vypočítat, příklady

Nejmenší společný násobek (zkráceně NSN) dvou nebo více přirozených čísel je nejmenší nenulové číslo, které je dělitelné každým z nich. Například nejmenší společný násobek čísel 12 a 15 je 60: šedesát je v násobcích dvanáctky i patnáctky a menší společné číslo tam není.

`\text{násobky 12:}\quad 12,\ 24,\ 36,\ 48,\ \mathbf{60},\ 72,\ \dots`
`\text{násobky 15:}\quad 15,\ 30,\ 45,\ \mathbf{60},\ 75,\ \dots`
`n(12,\ 15)=60`

Ve škole se NSN zapisuje n(12, 15) = 60, často také NSN(12, 15) = 60. Spočítat ho jde třemi způsoby: vypsáním násobků (rychlé pro malá čísla), z prvočíselného rozkladu (spolehlivé vždy) a přes největšího společného dělitele (nejrychlejší pro velká čísla). Nejčastěji ho budete potřebovat při sčítání zlomků, kde z něj vychází společný jmenovatel.

Co je společný násobek

Násobek čísla dostanete, když ho vynásobíte přirozeným číslem. Násobky šestky jsou 6, 12, 18, 24, 30, 36 ... a pokračují donekonečna. Společný násobek dvou čísel je číslo, které je v násobcích obou. Čísla 4 a 6 mají společné násobky 12, 24, 36, 48 ..., tedy nekonečně mnoho.

Z nich nás zajímá ten nejmenší, u čísel 4 a 6 je to 12. Všimněte si, že všechny ostatní společné násobky (24, 36, 48 ...) jsou násobky dvanáctky. To platí vždy: každý společný násobek je násobkem NSN. Nula se nepočítá. Je sice dělitelná každým číslem, ale byla by nejmenším společným násobkem úplně všeho, a tak by nic neříkala.

NSN je vždy aspoň tak velký jako větší z čísel a nejvýš tak velký jako jejich součin. U 4 a 6 leží 12 mezi 6 a 24.

1. způsob: vypsání násobků

Vypište několik prvních násobků každého čísla a najděte první, který se objeví v obou řadách. Tak to dělá i úloha, kterou mnoho žáků zná z učebnice: „Chceme najít NSN čísel 12 a 15. Nejprve vypiš prvních šest násobků čísla 12.“ Odpověď je 12, 24, 36, 48, 60, 72 a z nich je 60 první, které je dělitelné i patnácti.

Rychlejší je vypisovat jen násobky většího čísla a u každého se zeptat, jestli je dělitelný tím menším. Řada je pak kratší.

Příklad 1

Určete nejmenší společný násobek čísel 6 a 8.

Násobky osmičky: 8, 16, 24 ... Číslo 8 šesti dělitelné není, 16 také ne, 24 : 6 = 4, takže ano.

`n(6,\ 8)=24`

Kontrola: 24 je dělitelné šesti i osmi a mezi 8 a 24 jiný násobek osmi dělitelný šesti není. Součin 6 · 8 = 48 je také společný násobek, ale ne nejmenší.

Vypisování je pohodlné pro čísla do 20 nebo 30. Pro 84 a 90 byste museli projít čtrnáct násobků devadesátky, a tam se vyplatí rozklad.

2. způsob: prvočíselný rozklad

Každé číslo rozložte na součin prvočísel (jak se to dělá, ukazuje článek Prvočíselný rozklad). NSN je pak součin všech prvočísel, která se vyskytují aspoň v jednom rozkladu, a každé z nich vezmete s největším exponentem, s jakým se v rozkladech objevuje.

Příklad 2

Určete n(16, 18).

`16=2^{4}`
`18=2\cdot 3^{2}`

Vyskytují se prvočísla 2 a 3. Dvojka má největší exponent 4 (u šestnáctky), trojka 2 (u osmnáctky):

`n(16,\ 18)=2^{4}\cdot 3^{2}=16\cdot 9=144`

Kontrola: 144 : 16 = 9 a 144 : 18 = 8, obojí beze zbytku.

Proč největší exponent

Nejlépe je to vidět na obrázku. Rozložte 60 a 72 a jejich prvočinitele rozdělte do dvou kruhů tak, aby společní prvočinitelé byli v průniku:

Číslo 60 je celý levý kruh (5 · 2 · 2 · 3), číslo 72 celý pravý (2 · 2 · 3 · 2 · 3). Společný násobek musí obsahovat obě čísla, tedy oba kruhy celé. Nejmenší je ten, který neobsahuje nic navíc: součin všeho, co v obrázku je, společná část jen jednou.

`\begin{aligned} n(60,\ 72)&=5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 3\\[6pt] &=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5=360 \end{aligned}`

Dvojka je v obrázku třikrát, protože 72 ji potřebuje třikrát a šedesátce stačí dvě z nich. Proto se bere největší exponent. Průnik sám, 2 · 2 · 3 = 12, je naopak největší společný dělitel.

Příklad 3: tři čísla

U více čísel se postupuje stejně, jen se exponenty porovnávají u všech najednou. Určete n(12, 28, 32).

`12=2^{2}\cdot 3`
`28=2^{2}\cdot 7`
`32=2^{5}`

Prvočísla jsou 2, 3 a 7. Dvojka má největší exponent 5 (u 32), trojka a sedmička se vyskytují jen jednou:

`n(12,\ 28,\ 32)=2^{5}\cdot 3\cdot 7=672`

Kontrola: 672 : 12 = 56, 672 : 28 = 24, 672 : 32 = 21.

3. způsob: přes největšího společného dělitele

Pro dvě čísla platí jednoduchý vztah: součin NSD a NSN se rovná součinu obou čísel.

`D(a,\ b)\cdot n(a,\ b)=a\cdot b`
`n(a,\ b)=\dfrac{a\cdot b}{D(a,\ b)}`

Na obrázku s kruhy je vidět proč: součin 60 · 72 obsahuje společnou část dvakrát, jednou z každého čísla, a když ji jednou vydělíte, zbude právě NSN. U 60 a 72 je D = 12 a 60 · 72 : 12 = 4320 : 12 = 360.

Tenhle způsob je nejrychlejší, když NSD umíte najít bez rozkladu, třeba Euklidovým algoritmem (popisuje ho článek Největší společný dělitel). Velký součin si ušetříte, když jedno z čísel vydělíte nejdřív.

Příklad 4

Určete n(48, 112).

Největší společný dělitel je D(48, 112) = 16. Pak

`n(48,\ 112)=\dfrac{48}{16}\cdot 112=3\cdot 112=336`

Kontrola: 336 : 48 = 7 a 336 : 112 = 3.

Tři čísla přes NSD: postupně

Vztah se součinem platí jen pro dvě čísla. U tří čísel spočítejte nejdřív NSN prvních dvou a pak NSN výsledku a třetího čísla. Pro 48, 112 a 64 tedy n(48, 112) = 336 a dál D(336, 64) = 16:

`n(336,\ 64)=\dfrac{336}{16}\cdot 64=21\cdot 64=1344`

Rozkladem vyjde totéž: 48 = 2⁴ · 3, 112 = 2⁴ · 7, 64 = 2⁶, tedy 2⁶ · 3 · 7 = 1344.

Kdy NSN vidíte hned

Jedno číslo dělí druhé. Pak je NSN to větší: n(6, 18) = 18, n(5, 35) = 35.
Čísla jsou nesoudělná (jejich NSD je 1). Pak je NSN jejich součin: n(8, 9) = 72, n(4, 15) = 60. Dvě různá prvočísla jsou nesoudělná vždy, n(7, 11) = 77.
Dvě po sobě jdoucí čísla jsou vždy nesoudělná, takže n(9, 10) = 90.

Nesoudělnost poznáte z rozkladů (nemají společné prvočíslo), ale pozor: nesoudělná čísla nemusí být prvočísla. Osmička ani devítka prvočíslo není.

NSD a NSN: jaký je rozdíl

Oba pojmy se učí spolu a snadno se pletou. Pomůže si pamatovat, že dělitel je menší nebo roven číslu a násobek větší nebo roven:

	NSD	NSN
co to je	největší číslo, které dělí obě čísla	nejmenší číslo, které je dělitelné oběma čísly
velikost	nejvýš menší z čísel	aspoň větší z čísel
z rozkladu	jen společná prvočísla, menší exponent	všechna prvočísla, větší exponent
12 a 18	D = 6	n = 36
nesoudělná čísla	D = 1	n = součin
ve zlomcích	krácení	společný jmenovatel

U 12 a 18 platí 6 · 36 = 216 = 12 · 18, jak říká vztah z předchozího oddílu. Když tedy znáte jedno z nich, druhé dopočítáte.

Ve slovní úloze poznáte, co se hledá, podle otázky. Když se něco dělí na co největší stejné kusy, skupiny nebo balíčky, hledáte NSD. Když se něco opakuje a ptáte se, kdy se to poprvé znovu sejde, nebo skládáte co nejmenší celek z kousků daných rozměrů, hledáte NSN.

Samotný výpočet NSD a NSN, oba promíchané, si procvičíte v procvičování NSD a NSN.

NSN a společný jmenovatel zlomků

Sčítat a odčítat se dají jen zlomky se stejným jmenovatelem. Nejmenší společný jmenovatel je NSN jmenovatelů:

`\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{5}{12}`

Tady n(4, 6) = 12. Každý zlomek rozšíříte tak, aby měl ve jmenovateli 12: první třemi (12 : 4 = 3), druhý dvěma (12 : 6 = 2).

Společný jmenovatel by šel vzít i jako součin 4 · 6 = 24. Výsledek by byl správně, jen větší a bylo by ho potřeba krátit: 6/24 + 4/24 = 10/24 = 5/12. S NSN je zlomek po sečtení většinou rovnou v základním tvaru, i když ne vždy (1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2).

Příklad 5

Sečtěte 5/12 + 7/18.

Rozklady jsou 12 = 2² · 3 a 18 = 2 · 3², takže n(12, 18) = 2² · 3² = 36. Rozšiřujete třemi (36 : 12) a dvěma (36 : 18):

`\dfrac{5}{12}+\dfrac{7}{18}=\dfrac{15}{36}+\dfrac{14}{36}=\dfrac{29}{36}`

Kontrola odhadem: oba zlomky jsou o něco menší než 1/2, součet má být o něco menší než 1. 29/36 je asi 0,81. Víc o počítání se zlomky najdete v článku Zlomky - sčítání, odčítání, násobení a dělení, výpočet s postupem udělá kalkulačka Sčítání zlomků a samotné sčítání si procvičíte v procvičování sčítání a odčítání zlomků.

Slovní úlohy na nejmenší společný násobek

Příklad 6: autobusy

Ze zastávky jezdí autobus číslo 3 každých 12 minut a autobus číslo 8 každých 18 minut. V 7:00 odjely oba současně. Kdy nejdříve odjedou zase spolu?

Trojka odjíždí v časech, které jsou násobky 12 minut po sedmé, osmička v násobcích 18 minut. Společný odjezd je společný násobek a ten nejdřívější je n(12, 18) = 36. Oba autobusy znovu odjedou spolu v 7:36. Trojka mezitím odjela třikrát (36 : 12), osmička dvakrát (36 : 18).

Příklad 7: čtverec z dlaždic

Z obdélníkových dlaždic 12 cm × 18 cm chceme položit co nejmenší čtverec, všechny dlaždice otočené stejně. Jak velký bude a kolik dlaždic spotřebujeme?

Strana čtverce musí být násobkem 12 (dlaždice vedle sebe) i 18 (pod sebou). Nejmenší taková je n(12, 18) = 36 cm. Do řady se vejdou 36 : 12 = 3 dlaždice, řad bude 36 : 18 = 2, celkem 6 dlaždic. Kontrola plochou: 36 · 36 = 1296 cm² a 6 · 12 · 18 = 1296 cm².

Kdyby se ptali naopak, na co největší čtvercové dlaždice, kterými jde obdélník 12 × 18 pokrýt beze zbytku, šlo by o NSD: dlaždice 6 cm × 6 cm.

Časté chyby

Záměna NSD a NSN. Výsledek hned prozradí, jestli je to dobře: NSN nesmí být menší než větší z čísel. Když vám n(12, 18) vyjde 6, spočítali jste dělitele.
Menší exponent místo většího. U 12 = 2² · 3 a 18 = 2 · 3² dají menší exponenty 2 · 3 = 6, a to je NSD. Kdo vezme menší exponent jen u dvojky, dostane 2 · 3² = 18, a to dvanácti dělitelné není. Správně je n(12, 18) = 2² · 3² = 36.
Vynechané prvočíslo. Prvočíslo, které je jen v jednom rozkladu, do NSN patří. U 60 a 72 je to pětka, bez ní by vyšlo 72, a to šedesáti dělitelné není.
Vzorec se součinem pro tři čísla. U 4, 6 a 10 je součin 240 a D(4, 6, 10) = 2, ale 240 : 2 = 120 není nejmenší. Správně je n(4, 6, 10) = 60. U tří čísel postupujte po dvojicích nebo rozkladem.
Součin místo NSN. Součin je společný násobek vždy, nejmenší jen u nesoudělných čísel. U 12 a 18 dává 216 místo 36.

Zkouška je u NSN snadná: výsledek vydělte každým ze zadaných čísel. Všechna dělení musí vyjít beze zbytku a podíly nesmí mít žádného společného dělitele většího než 1. U 360 a čísel 60 a 72 jsou podíly 6 a 5, a ty jsou nesoudělné, takže menší společný násobek neexistuje.

Příklady k procvičení

1. Vypsáním násobků určete n(9, 12).

2. Pomocí prvočíselného rozkladu určete n(42, 56).

3. Určete nejmenší společný násobek čísel 8, 12 a 20.

4. Sečtěte zlomky 5/6 + 4/9 se společným jmenovatelem, který je co nejmenší.

23/18.

Nejmenší společný jmenovatel je n(6, 9) = 18. První zlomek rozšíříme třemi, druhý dvěma:

`\dfrac{5}{6}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{15}{18}+\dfrac{8}{18}=\dfrac{23}{18}`

Krátit nejde, 23 je prvočíslo. Jako smíšené číslo je to 1 a 5/18.

5. Číslo 18 a neznámé číslo b mají největšího společného dělitele 6 a nejmenší společný násobek 90. Určete b.

6. Na rozhledně blikají tři světla: první každých 6 sekund, druhé každých 10 sekund a třetí každých 15 sekund. Právě teď blikla všechna současně. Za kolik sekund bliknou znovu všechna tři najednou a kolikrát do té doby blikne první světlo, to společné bliknutí započítané?

Kam dál

NSD a NSN dohromady si procvičte v procvičování NSD a NSN, rozklad čísel v procvičování Dělitelé a prvočinitelé.

Nejmenší společný násobek dvou nebo tří čísel i s postupem spočítá kalkulačka Nejmenší společný násobek, největšího společného dělitele kalkulačka Největší společný dělitel a rozklad kalkulačka Rozklad na prvočinitele.

Související články: Prvočíselný rozklad, Největší společný dělitel, Prvočíslo a Zlomky - sčítání, odčítání, násobení a dělení.