Goniometrické vzorce

Goniometrické vzorce jsou vztahy mezi sinem, kosinem, tangens a kotangens, které platí pro každý úhel, pro který mají obě strany smysl. Nejdůležitější je goniometrická jednička `\sin^2 x + \cos^2 x = 1`, definice tangens a kotangens a vzorce pro dvojnásobný úhel. Z nich se dá odvodit skoro všechno ostatní.

`\begin{gathered}\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \\[10pt] \operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \qquad \operatorname{cotg} x = \dfrac{\cos x}{\sin x} \\[10pt] \sin 2x = 2 \sin x \cos x \\[10pt] \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\end{gathered}`

Níže jsou vzorce seřazené podle toho, k čemu slouží: základní vztahy, sudost a lichost, doplňkový úhel, součtové vzorce, dvojnásobný a poloviční úhel, mocniny, součty a součiny. U každé skupiny je řešený příklad s kontrolou výsledku, na konci tabulka, jak vyjádřit jednu funkci pomocí jiné, a hodnoty pro významné úhly.

V českých učebnicích se píše tg a cotg, na kalkulačkách a v zahraniční literatuře tan a cot, význam je stejný. Co sinus a kosinus vůbec jsou, vysvětluje úvod do goniometrie a jednotková kružnice. Vzorce se nejvíc hodí při úpravách výrazů a při řešení goniometrických rovnic, obojí je ukázané níže.

Základní vztahy: tg, cotg, sec a cosec

Tangens a kotangens jsou definované pomocí sinu a kosinu. Sekans a kosekans jsou převrácené hodnoty kosinu a sinu. Na kalkulačce pro ně tlačítko nebývá, počítají se jako `1 : \cos x` a `1 : \sin x`.

`\begin{gathered}\operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \qquad \operatorname{cotg} x = \dfrac{\cos x}{\sin x} \\[10pt] \operatorname{cotg} x = \dfrac{1}{\operatorname{tg} x} \qquad \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{cotg} x = 1 \\[10pt] \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \qquad \operatorname{cosec} x = \dfrac{1}{\sin x}\end{gathered}`

Každý z těchto vzorců platí jen tam, kde je jmenovatel různý od nuly. Tangens a sekans neexistují pro `x = \frac{\pi}{2} + k\pi` (90°, 270°, ...), kotangens a kosekans pro `x = k\pi` (0°, 180°, ...). Kosekans se někdy značí csc. Grafy a vlastnosti všech šesti funkcí jsou v článcích sinus a kosekans, kosinus a sekans a tangens a kotangens.

Goniometrická jednička

Bod P na jednotkové kružnici má souřadnice `[\cos x;\ \sin x]` a od počátku je vzdálený 1. Pythagorova věta v pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami `\cos x` a `\sin x` dává rovnou nejdůležitější vzorec celé goniometrie.

`\sin^2 x + \cos^2 x = 1`

Zápis `\sin^2 x` znamená `(\sin x)^2`, tedy druhou mocninu hodnoty sinu, ne sinus čísla `x^2`. Vydělením jedničky číslem `\cos^2 x`, případně `\sin^2 x`, vzniknou další dva vzorce:

`\begin{gathered}1 + \operatorname{tg}^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} \\[10pt] 1 + \operatorname{cotg}^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x}\end{gathered}`

Jednička slouží hlavně k dopočítání ostatních funkcí, když známe jednu. Odmocnina ale dá jen absolutní hodnotu, znaménko musí určit kvadrant.

Příklad 1

Víme, že `\sin\alpha = \frac{3}{5}` a úhel `\alpha` leží ve II. kvadrantu. Určete `\cos\alpha`, `\operatorname{tg}\alpha` a `\operatorname{cotg}\alpha`.

`\begin{gathered}\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25} \\[10pt] |\cos\alpha| = \dfrac{4}{5}\end{gathered}`

Ve II. kvadrantu je kosinus záporný, takže `\cos\alpha = -\frac{4}{5}`. Pak `\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{5} : \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{4}` a `\operatorname{cotg}\alpha = -\frac{4}{3}`. Kontrola: `\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1` a tangens ve II. kvadrantu vychází záporný, jak má. Stejný výpočet pro libovolné zadání udělá kalkulačka dopočet z goniometrické jedničky.

Sudost a lichost: záporný úhel

Kosinus a sekans jsou funkce sudé, ostatní čtyři jsou liché. Na jednotkové kružnici je to vidět hned: úhel `-x` je úhel `x` překlopený podle osy `x`, takže souřadnice `x` (kosinus) zůstane a souřadnice `y` (sinus) změní znaménko.

`\begin{gathered}\cos(-x) = \cos x \qquad \sec(-x) = \sec x \\[4pt] \sin(-x) = -\sin x \qquad \operatorname{cosec}(-x) = -\operatorname{cosec} x \\[4pt] \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x \qquad \operatorname{cotg}(-x) = -\operatorname{cotg} x\end{gathered}`

Například `\cos(-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}`, ale `\sin(-30^\circ) = -\frac{1}{2}`.

Doplňkový úhel a převod na ostrý úhel

Ostré úhly pravoúhlého trojúhelníku se doplňují do 90°. Protilehlá odvěsna jednoho je přilehlá druhého, a proto je sinus jednoho úhlu kosinem druhého. Odtud i názvy: kosinus je sinus komplementárního (doplňkového) úhlu, kotangens tangens doplňkového úhlu.

`\begin{gathered}\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x \\[10pt] \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \\[10pt] \operatorname{tg}\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \operatorname{cotg} x \\[10pt] \operatorname{cotg}\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \operatorname{tg} x\end{gathered}`

Podobně se úhly z dalších kvadrantů převádějí na ostrý úhel. Tyto vzorce jsou jen jiný zápis toho, co je vidět na jednotkové kružnici:

`\begin{gathered}\sin(\pi - x) = \sin x \qquad \cos(\pi - x) = -\cos x \\[4pt] \sin(\pi + x) = -\sin x \qquad \cos(\pi + x) = -\cos x \\[4pt] \operatorname{tg}(\pi + x) = \operatorname{tg} x \qquad \operatorname{cotg}(\pi + x) = \operatorname{cotg} x\end{gathered}`

Takže třeba `\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}` a `\cos 210^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}`. Poslední řádek je perioda tangens a kotangens, `\pi`. Sinus a kosinus mají periodu `2\pi`: `\sin(x + 2\pi) = \sin x`, `\cos(x + 2\pi) = \cos x`. Podrobný postup přes základní úhel je v článku jednotková kružnice a dá se natrénovat v procvičování hodnot na jednotkové kružnici.

Součtové vzorce

Součtové vzorce říkají, jak spočítat sinus a kosinus součtu nebo rozdílu dvou úhlů. Jsou to dva základní vzorce, ze kterých se odvodí dvojnásobný i poloviční úhel, takže stojí za to je umět nazpaměť.

`\begin{gathered}\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \\[4pt] \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \\[4pt] \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \\[4pt] \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y\end{gathered}`

Pozor na znaménko u kosinu: u součtu je mínus, u rozdílu plus. Pro tangens a kotangens:

`\begin{gathered}\operatorname{tg}(x \pm y) = \dfrac{\operatorname{tg} x \pm \operatorname{tg} y}{1 \mp \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y} \\[10pt] \operatorname{cotg}(x \pm y) = \dfrac{\operatorname{cotg} x \operatorname{cotg} y \mp 1}{\operatorname{cotg} y \pm \operatorname{cotg} x}\end{gathered}`

Horní znaménka platí spolu, dolní spolu. Hlavní použití: přesné hodnoty funkcí úhlů, které jdou napsat jako součet nebo rozdíl 30°, 45° a 60°.

Příklad 2

Vypočtěte přesně `\cos 75^\circ`.

`\begin{gathered}\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) \\[10pt] = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\[10pt] = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\[10pt] = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \doteq 0{,}259\end{gathered}`

Kontrola na kalkulačce: `\cos 75^\circ \doteq 0{,}2588`. Stejně vychází `\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \doteq 0{,}966`.

Příklad 3

Vypočtěte přesně `\operatorname{tg} 105^\circ`.

`\displaystyle\operatorname{tg}(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1}`

Zlomek usměrníme rozšířením výrazem `1 + \sqrt{3}`: čitatel je `(\sqrt{3} + 1)^2 = 4 + 2\sqrt{3}`, jmenovatel `1 - 3 = -2`, takže `\operatorname{tg} 105^\circ = -2 - \sqrt{3} \doteq -3{,}732`. Záporný výsledek sedí, úhel 105° je ve II. kvadrantu, kde je tangens záporný.

Vzorce pro dvojnásobný úhel

Stačí dosadit `y = x` do součtových vzorců:

`\begin{gathered}\sin 2x = 2 \sin x \cos x \\[10pt] \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \\[10pt] \operatorname{tg} 2x = \dfrac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} \\[10pt] \operatorname{cotg} 2x = \dfrac{\operatorname{cotg}^2 x - 1}{2 \operatorname{cotg} x}\end{gathered}`

Kosinus dvojnásobného úhlu má díky goniometrické jedničce ještě dva tvary. Který z nich použít, záleží na tom, co chceme ve výrazu mít: jen sinus, nebo jen kosinus.

`\begin{gathered}\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \\[4pt] \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1\end{gathered}`

Příklad 4

Pro úhel z příkladu 1 (`\sin\alpha = \frac{3}{5}`, `\cos\alpha = -\frac{4}{5}`) určete `\sin 2\alpha` a `\cos 2\alpha`.

`\begin{gathered}\sin 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{24}{25} \\[10pt] \cos 2\alpha = \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}\end{gathered}`

Kontrola jedničkou: `\frac{576}{625} + \frac{49}{625} = 1`. A druhý tvar dá totéž: `1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = \frac{7}{25}`. Úhel `\alpha \doteq 143{,}1^\circ`, dvojnásobek `286{,}3^\circ` je ve IV. kvadrantu, kde je sinus záporný a kosinus kladný. Sedí.

Příklad z praxe: míč vykopnutý rychlostí `v` pod úhlem `\alpha` doletí (bez odporu vzduchu, po rovině) do vzdálenosti `d = \frac{v^2 \sin 2\alpha}{g}`. Sinus dvojnásobného úhlu je největší pro `2\alpha = 90^\circ`, proto nejdál doletí míč vykopnutý pod úhlem 45°. Při `v = 20\ \mathrm{m/s}` je to asi 40,8 m, pod úhly 30° i 60° stejně, asi 35,3 m, protože `\sin 60^\circ = \sin 120^\circ`.

Vzorce pro poloviční úhel

Z tvarů `\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x` a `\cos 2x = 2\cos^2 x - 1` se vyjádří `\sin^2 x` a `\cos^2 x` a místo `x` se napíše `\frac{x}{2}`:

`\begin{gathered}\left|\sin\dfrac{x}{2}\right| = \sqrt{\dfrac{1 - \cos x}{2}} \\[10pt] \left|\cos\dfrac{x}{2}\right| = \sqrt{\dfrac{1 + \cos x}{2}} \\[10pt] \left|\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}\right| = \sqrt{\dfrac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}\end{gathered}`

Absolutní hodnota je tam proto, že odmocnina je vždy nezáporná. Znaménko výsledku se určí podle kvadrantu, ve kterém leží úhel `\frac{x}{2}`. Pro tangens existuje i tvar bez odmocniny a bez starostí se znaménkem:

`\displaystyle\operatorname{tg}\frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}`

Příklad 5

Vypočtěte přesně `\cos 15^\circ` jako kosinus polovičního úhlu k 30°.

`\displaystyle\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \doteq 0{,}966`

Úhel 15° je ostrý, proto kladné znaménko. Kontrola: `\cos 15^\circ = \sin 75^\circ` (doplňkový úhel) a z příkladu 2 víme, že `\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \doteq 0{,}966`. Dva různé zápisy, stejné číslo.

Mocniny sinu a kosinu

Stejné vzorce přečtené obráceně snižují mocninu. To se hodí při úpravách výrazů a později u integrálů.

`\begin{gathered}\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2} \\[10pt] \cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2} \\[10pt] \sin^3 x = \dfrac{3 \sin x - \sin 3x}{4} \\[10pt] \cos^3 x = \dfrac{3 \cos x + \cos 3x}{4}\end{gathered}`

Rychlá kontrola pro `x = 90^\circ`: `\sin^3 90^\circ = 1` a `\frac{3 \cdot 1 - \sin 270^\circ}{4} = \frac{3 + 1}{4} = 1`.

Součty a součiny goniometrických funkcí

Součet dvou sinů nebo kosinů jde přepsat na součin. To se hodí v rovnicích, kde je na jedné straně nula: součin je nulový, když je nulový některý z činitelů.

`\begin{gathered}\sin x + \sin y = 2 \sin\dfrac{x + y}{2}\, \cos\dfrac{x - y}{2} \\[10pt] \sin x - \sin y = 2 \cos\dfrac{x + y}{2}\, \sin\dfrac{x - y}{2} \\[10pt] \cos x + \cos y = 2 \cos\dfrac{x + y}{2}\, \cos\dfrac{x - y}{2} \\[10pt] \cos x - \cos y = -2 \sin\dfrac{x + y}{2}\, \sin\dfrac{x - y}{2} \\[10pt] \operatorname{tg} x \pm \operatorname{tg} y = \dfrac{\sin(x \pm y)}{\cos x \cos y}\end{gathered}`

Například součet sinů 75° a 15° vyjde bez kalkulačky:

`\begin{gathered}\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ \\[10pt] = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \doteq 1{,}225\end{gathered}`

To odpovídá součtu `0{,}966 + 0{,}259` z příkladů 2 a 5. Obráceně se součin přepíše na součet:

`\begin{gathered}\sin x \sin y = \dfrac{\cos(x - y) - \cos(x + y)}{2} \\[10pt] \cos x \cos y = \dfrac{\cos(x - y) + \cos(x + y)}{2} \\[10pt] \sin x \cos y = \dfrac{\sin(x - y) + \sin(x + y)}{2}\end{gathered}`

Tabulka: jedna funkce pomocí druhé a hodnoty

V řádku je funkce, kterou chceme vyjádřit, ve sloupci ta, kterou známe. Všechny vzorce vycházejí z goniometrické jedničky a z definice tangens. Tak, jak jsou napsané, platí pro úhel v I. kvadrantu. V ostatních kvadrantech mají před odmocninou znaménko podle kvadrantu, jako v příkladu 1.

Když známe sinus nebo kosinus:

Když známe tangens nebo kotangens:

Hodnoty pro významné úhly, ze kterých se počítá ve všech příkladech výše. Pro jiné úhly a celou otáčku je tabulka hodnot goniometrických funkcí, hodnotu jednoho úhlu spočítá kalkulačka sinus, kosinus a tangens úhlu.

Úpravy výrazů a důkazy

Při úpravě výrazu se obvykle vyplatí přepsat všechno na sinus a kosinus a pak hledat goniometrickou jedničku. Nezapomeňte na podmínky: výraz má smysl jen tam, kde jsou všechny jmenovatele nenulové a všechny funkce definované.

Příklad 6

Zjednodušte `\operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg}^2 x \sin^2 x`.

`\begin{gathered}\operatorname{tg}^2 x\,(1 - \sin^2 x) = \operatorname{tg}^2 x \cos^2 x \\[10pt] = \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \cos^2 x = \sin^2 x\end{gathered}`

Podmínka: `\cos x \ne 0`, tedy `x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi`, jinak neexistuje tangens. Kontrola pro 45°: `1 - 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \sin^2 45^\circ`.

Příklad 7

Zjednodušte `\dfrac{1}{1 + \cos x} + \dfrac{1}{1 - \cos x}`.

`\begin{gathered}\dfrac{(1 - \cos x) + (1 + \cos x)}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)} \\[10pt] = \dfrac{2}{1 - \cos^2 x} = \dfrac{2}{\sin^2 x}\end{gathered}`

Podmínka: `\cos x \ne \pm 1`, tedy `x \ne k\pi`. Kontrola pro 90°: vlevo `1 + 1 = 2`, vpravo `\frac{2}{1} = 2`.

Příklad 8

Dokažte, že `\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = \dfrac{2}{\sin 2x}`.

Důkaz se vede tak, že se upravuje jen jedna strana, dokud nevyjde ta druhá. Začít od tvrzení a upravovat obě strany současně není důkaz, protože tím předpokládáme, co máme dokázat.

`\begin{gathered}\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x} + \dfrac{\cos x}{\sin x} \\[10pt] = \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \dfrac{1}{\sin x \cos x} \\[10pt] = \dfrac{2}{2 \sin x \cos x} = \dfrac{2}{\sin 2x}\end{gathered}`

Rovnost platí pro `x \ne k \cdot \frac{\pi}{2}`, tam jsou definované obě strany.

Vzorce v goniometrických rovnicích

Goniometrická rovnice se často nedá vyřešit hned, protože v ní jsou různé funkce nebo různé úhly (`x` a `2x`). Vzorec pro dvojnásobný úhel převede všechno na jeden úhel, jednička na jednu funkci. Pak zbývá obyčejná rovnice, třeba kvadratická, a základní rovnice typu `\sin x = a`. Celý postup je v článku goniometrické rovnice.

Příklad 9

Řešte v `\mathbb{R}` rovnici `\sin 2x = \sin x`.

`\begin{gathered}2 \sin x \cos x - \sin x = 0 \\[4pt] \sin x\,(2 \cos x - 1) = 0\end{gathered}`

Součin je nula, když `\sin x = 0`, tedy `x = k\pi`, nebo když `\cos x = \frac{1}{2}`, tedy `x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi`, kde `k \in \mathbb{Z}`. Rovnici nesmíme vydělit číslem `\sin x`: přišli bychom o všechna řešení `x = k\pi`. Kontrola pro `x = \frac{\pi}{3}`: `\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}`.

Příklad 10

Řešte v `\mathbb{R}` rovnici `\cos 2x = \sin x`.

Kosinus dvojnásobného úhlu napíšeme v tvaru, kde je jen sinus, a označíme `s = \sin x`:

`\begin{gathered}1 - 2 \sin^2 x = \sin x \\[4pt] 2s^2 + s - 1 = 0 \\[4pt] (2s - 1)(s + 1) = 0\end{gathered}`

Buď `\sin x = \frac{1}{2}`, tedy `x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi` nebo `x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi`, nebo `\sin x = -1`, tedy `x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi`. Kontrola pro `x = \frac{3\pi}{2}`: `\cos 3\pi = -1 = \sin\frac{3\pi}{2}`. Základní rovnice ověří kalkulačky rovnice sin x = a a rovnice cos x = a, trénovat je jde v procvičování goniometrických rovnic.

Časté chyby

• `\sin(x + y) \ne \sin x + \sin y`. Pro 30° a 60°: `\sin 90^\circ = 1`, ale `\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \doteq 1{,}37`. Sinus součtu se počítá součtovým vzorcem.
• `\sin 2x \ne 2 \sin x`. `\sin 60^\circ \doteq 0{,}866`, ale `2 \sin 30^\circ = 1`.
• `\sin^2 x` není `\sin x^2`. První je druhá mocnina sinu, druhé sinus druhé mocniny úhlu.
• Chybějící znaménko po odmocnění. Z `\cos^2\alpha = \frac{16}{25}` plyne `\cos\alpha = \pm\frac{4}{5}`, rozhodne kvadrant.
• Záměna kosinu součtu a rozdílu. `\cos(x + y)` má uprostřed mínus, `\cos(x - y)` plus. Ověříte to pro `y = x`: `\cos 0 = \cos^2 x + \sin^2 x = 1`.
• Dělení rovnice výrazem s neznámou. Vydělením číslem `\sin x` nebo `\cos x` se ztratí řešení, kde je tento výraz nulový. Vytkněte ho.
• `\operatorname{tg}^{-1} x` na kalkulačce není kotangens. Je to arkustangens, úhel, jehož tangens je `x`. Kotangens je `1 : \operatorname{tg} x`.
• Kalkulačka v jiném režimu. Ve stupních je `\sin 30 = 0{,}5`, v radiánech `\sin 30 \doteq -0{,}988`. Převod udělá kalkulačka stupně na radiány.

Příklady k procvičení

Kam dál

Hodnoty pro běžné úhly, bez kterých se ve vzorcích neobejdete, usadí procvičování hodnot na jednotkové kružnici, rovnice pak procvičování goniometrických rovnic. Z kalkulaček se hodí dopočet z goniometrické jedničky, hodnoty goniometrických funkcí a tabulka hodnot. Na vzorce navazují goniometrické rovnice a v trojúhelníku sinová a kosinová věta, jednotlivé funkce popisují články sinus a kosekans, kosinus a sekans a tangens a kotangens.