Goniometrické vzorce

Vydáno dne 31. 10. 2008 v kategorii Goniometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 87 255

Seznam goniometrických vzorců a několik příkladů.

Existuje celá řada goniometrických (přejít na článek Úvod do Goniometrie/Trigonometrie) vzorců; V tomto článku si ukážeme jejich seznam + některé odvodíme + na závěr spočítáme několik příkladů.

Goniometrické vzorce

Začneme těmi úplně nejzákladnějšími.

`\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}`
`\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}`
`\csc \alpha=\frac{1}{\sin \alpha}`
`\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha}`
`\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}`

Goniometrické funkce rozlišujeme na liché a sudé. Sudé funkce jsou pouze kosinus a kosekans. Existuje několik vzorců zabývajících se lichými/sudými funkcemi:

`\cos\alpha = \cos(-\alpha)`
`\sec \alpha = \sec (-\alpha)`
`-\sin \alpha = \sin(-\alpha)`
`-\csc\alpha = \csc(-\alpha)`
`-\tan\alpha = \tan(-\alpha)`
`-\cot\alpha = \cot(-\alpha)`

Našich šest funkcí (sinus, kosinus, tangens, kosekans, sekans a kotangens) můžeme rozdělit do tří kategorií. K sobě budou patřit sinus + kosekans, kosinus + sekans a tangens + kotangens. Funkce v kategoriích jsou skoro stejné liší se pouze o horizontální posun $\frac{\pi}{2}$

`\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos \alpha`
`\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin \alpha`
`\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cot \alpha`
`\csc(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sec \alpha`
`\sec(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\csc \alpha`
`\cot(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\tan \alpha`

Další vzorce vycházejí z Pythagorovi věty:

`\sin^2\alpha + \cos^2\alpha=1`
`1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha`
`1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha`

Součtové vzorce:

$\sin \left(\alpha \pm \beta\right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\,\!$
$\cos \left(\alpha \pm \beta\right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,\!$
$\textrm{tg}\, \left(\alpha \pm \beta\right)=\frac{\textrm{tg}\,\alpha \pm \textrm{tg} \beta}{1 \mp \textrm{tg}\,\alpha\cdot\textrm{tg}\,\beta}\,\!$
$\textrm{cotg}\, \left(\alpha \pm \beta\right)=\frac{\textrm{cotg}\,\alpha\cdot\textrm{cotg}\,\beta \mp 1}{\textrm{cotg}\,\alpha \pm \textrm{cotg} \beta}\,\!$

Součty a rozdíly goniometrických funkcí:

$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right) \,\!$
$\sin \alpha-\sin \beta=2\cos \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right) \,\!$
$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)\,\!$
$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)\sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)\,\!$
$\mathrm{tg}\,\alpha\pm\mathrm{tg}\,\beta=\frac{\sin \left( \alpha\pm\beta\right) }{\cos \alpha\cos \beta}\,\!$
$\mathrm{cotg}\,\alpha\pm\mathrm{cotg}\,\beta=\frac{\sin \left( \beta\pm\alpha\right) }{\sin \alpha\sin \beta}\,\!$
$\mathrm{tg}\,\alpha\pm\mathrm{cotg}\,\beta=\pm\frac{\cos \left( \alpha\mp\beta\right) }{\cos \alpha\sin \beta}\,\!$

Součiny goniometrických funkcí:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)]$
$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)]$
$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)]$
$\mathrm{tg} \alpha \mathrm{tg} \beta = \frac{\mathrm{tg} \alpha + \mathrm{tg} \beta}{\mathrm{cotg} \alpha + \mathrm{cotg} \beta}$
$\mathrm{cotg} \alpha \mathrm{cotg} \beta = \frac{\mathrm{cotg} \alpha + \mathrm{cotg} \beta}{\mathrm{tg} \alpha + \mathrm{tg} \beta}$
$\mathrm{tg} \alpha \mathrm{cotg} \beta = \frac{\mathrm{tg} \alpha + \mathrm{cotg} \beta}{\mathrm{cotg} \alpha + \mathrm{tg} \beta}$

Dvojnásobný úhel:

$\sin 2\alpha = 2\cdot \sin \alpha \cos \alpha\,\!$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\,\!$
$\mathrm{tg}\,2\alpha = \frac{2\cdot\mathrm{tg}\,\alpha}{1 - \mathrm{tg}^2\,\alpha}\,\!$
$\mathrm{cotg}\,2\alpha = \frac{\mathrm{cotg}^2\,\alpha - 1}{2\cdot\mathrm{cotg}\,\alpha}\,\!$

Poloviční úhel:

$\left| \sin \frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}\,\!$
$\left| \cos \frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}\,\!$
$\left| \mathrm{tg}\,\frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}\,\!$
$\left| \mathrm{cotg}\,\frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}}\,\!$

Mocniny goniometrických funkcí:

$\sin^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 \alpha)$
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 \alpha)$
$\sin^3 \alpha = \frac{1}{4} ( 3 \sin \alpha - \sin 3 \alpha)$
$\cos^3 \alpha = \frac{1}{4} ( \cos 3 \alpha + 3 \cos \alpha)$

Tabulka funkcí vyjádřených pomocí všech ostatních funkcí

Některé z těchto vzorců sice v tomto článku již byly, nicméně si myslím, že se takováto tabulka celkem hodí.

Funkce	sin	cos	tan	csc	sec	cot
$sin \alpha=$	$sin \alpha$	$\sqrt{1-cos^2\alpha}$	$\frac{tan \alpha}{\sqrt{1+tan^2\alpha}}$	$\frac{1}{csc \alpha}$	$\frac{\sqrt{sec^2\alpha-1}}{sec \alpha}$	$\frac{1}{\sqrt{1+cot^2\alpha}}$
$cos \alpha=$	$\sqrt{1-sin^2\alpha}$	$cos \alpha$	$\frac{1}{\sqrt{1+tan^2\alpha}}$	$\frac{\sqrt{csc^2\alpha-1}}{csc \alpha}$	$\frac{1}{sec \alpha}$	$\frac{cot \alpha}{\sqrt{1+cot^2\alpha}}$
$tan \alpha=$	$\frac{sin \alpha}{\sqrt{1-sin^2\alpha}}$	$\frac{\sqrt{1-cos^2\alpha}}{cos \alpha}$	$tan \alpha$	$\frac{1}{\sqrt{csc^2\alpha-1}}$	$\sqrt{sec^2\alpha-1}$	$\frac{1}{cot \alpha}$
$csc \alpha=$	$\frac{1}{sin \alpha}$	$\frac{1}{\sqrt{1-cos^2\alpha}}$	$\frac{\sqrt{1+tan^2\alpha}}{tan \alpha}$	$csc \alpha$	$\frac{sec \alpha}{\sqrt{sec^2\alpha-1}}$	$\sqrt{1+cot^2\alpha}$
$sec \alpha$	$\frac{1}{\sqrt{1-sin^2\alpha}}$	$\frac{1}{cos \alpha}$	$\sqrt{1+tan^2\alpha}$	$\frac{csc \alpha}{\sqrt{csc^2 \alpha-1}}$	$sec \alpha$	$\frac{\sqrt{1+cot^2\alpha}}{cot \alpha}$
$cot \alpha$	$\frac{1-sin^2\alpha}{sin \alpha}$	$\frac{cos \alpha}{\sqrt{1-cos^2\alpha}}$	$\frac{1}{tan\alpha}$	$\sqrt{csc^2\alpha-1}$	$\frac{1}{\sqrt{sec^2\alpha-1}}$	$cot \alpha$

Příklady na goniometrické vzorce

Vyřešíme několik lehkých příkladů za užití předchozích vzorců:

1) $cos \alpha*tan\alpha=\cos \alpha*\frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \sin \alpha$

2) $\frac{csc \alpha}{sec \alpha}=\frac{\frac{1}{sin \alpha}}{\frac{1}{cos \alpha}}=\frac{cos \alpha}{sin \alpha}=cot \alpha$

3) $sin \alpha*sec \alpha+cos \alpha*csc \alpha=sin \alpha*\frac{1}{cos \alpha}+cos \alpha*\frac{1}{sin \alpha}=\frac{sin \alpha}{cos \alpha}+\frac{cos \alpha}{sin \alpha}=\frac{sin^2 \alpha+cos^2 \alpha}{cos \alpha*sin \alpha}=\frac{1}{cos \alpha*sin \alpha}=sec \alpha*csc \alpha$

4) $tan^2 \alpha-tan^2 \alpha*sin^2 \alpha=tan^2 \alpha*(1-sin^2 \alpha)=tan^2 \alpha*cos^2 \alpha=\frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}*cos^2 \alpha=sin^2 \alpha$

5) $cos^2 \alpha+cos^2 \alpha*tan^2 \alpha=cos^2 \alpha*(1+tan^2 \alpha)=cos^2 \alpha*sec^2 \alpha=1$

6) $\frac{cos^2 \alpha-4}{cos \alpha-2}=\frac{(cos \alpha-2)*(cos \alpha+2)}{cos \alpha-2}=cos \alpha+2$

7) $\frac{1}{cos \alpha+1}+\frac{1}{1-cos \alpha}=\frac{1-cos \alpha+1+cos \alpha}{(1+cos \alpha)*(1-cos \alpha)}=\frac{2}{1-cos^2 \alpha}=\frac{2}{sin^2 \alpha}=2csc^2 \alpha$

Dokažte následující:

$sec \alpha+tan \alpha=\frac{cos \alpha}{1-sin \alpha}\\sec \alpha+tan \alpha=\frac{cos \alpha}{1-sin \alpha}*\frac{1+sin \alpha}{1+sin \alpha}\\sec \alpha+tan \alpha=\frac{cos \alpha+cos \alpha*sin \alpha}{cos^2 \alpha}\\sec \alpha+tan \alpha=\frac{cos \alpha*(1+sin \alpha)}{cos^2 \alpha}\\sec \alpha+tan \alpha=sec \alpha+tan \alpha$

$tan \alpha+cot \alpha=sec \alpha*csc \alpha\\ \frac{sin \alpha}{cos \alpha}+\frac{cos \alpha}{sin \alpha}=\frac{1}{cos \alpha*sin \alpha}\\ \frac{sin^2 \alpha+cos^2 \alpha}{cos \alpha*sin \alpha}=\frac{1}{cos \alpha*sin \alpha}\\ \frac{1}{cos \alpha*sin \alpha}=\frac{1}{cos \alpha*sin \alpha}$

Goniometrické vzorce

Goniometrické vzorce

Dvojnásobný úhel:

Poloviční úhel:

Mocniny goniometrických funkcí:

Tabulka funkcí vyjádřených pomocí všech ostatních funkcí

Příklady na goniometrické vzorce

Test

Hlavolam