Goniometrické vzorce

Existuje celá řada goniometrických (přejít na článek Úvod do Goniometrie/Trigonometrie) vzorců; V tomto článku si ukážeme jejich seznam + některé odvodíme + na závěr spočítáme několik příkladů.

Goniometrické vzorce

Začneme těmi úplně nejzákladnějšími.

`\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}`
`\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}`
`\csc \alpha=\frac{1}{\sin \alpha}`
`\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha}`
`\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}`

Goniometrické funkce rozlišujeme na liché a sudé. Sudé funkce jsou pouze kosinus a kosekans. Existuje několik vzorců zabývajících se lichými/sudými funkcemi:

`\cos\alpha = \cos(-\alpha)`
`\sec \alpha = \sec (-\alpha)`
`-\sin \alpha = \sin(-\alpha)`
`-\csc\alpha = \csc(-\alpha)`
`-\tan\alpha = \tan(-\alpha)`
`-\cot\alpha = \cot(-\alpha)`

Našich šest funkcí (sinus, kosinus, tangens, kosekans, sekans a kotangens) můžeme rozdělit do tří kategorií. K sobě budou patřit sinus + kosekans, kosinus + sekans a tangens + kotangens. Funkce v kategoriích jsou skoro stejné liší se pouze o horizontální posun `\frac{\pi}{2}`

`\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos \alpha`
`\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin \alpha`
`\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cot \alpha`
`\csc(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sec \alpha`
`\sec(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\csc \alpha`
`\cot(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\tan \alpha`

Další vzorce vycházejí z Pythagorovi věty:

`\sin^2\alpha + \cos^2\alpha=1`
`1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha`
`1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha`

Součtové vzorce:

`\sin \left(\alpha \pm \beta\right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\,\!`
`\cos \left(\alpha \pm \beta\right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,\!`
`\textrm{tg}\, \left(\alpha \pm \beta\right)=\frac{\textrm{tg}\,\alpha \pm \textrm{tg} \beta}{1 \mp \textrm{tg}\,\alpha\cdot\textrm{tg}\,\beta}\,\!`
`\textrm{cotg}\, \left(\alpha \pm \beta\right)=\frac{\textrm{cotg}\,\alpha\cdot\textrm{cotg}\,\beta \mp 1}{\textrm{cotg}\,\alpha \pm \textrm{cotg} \beta}\,\!`

Součty a rozdíly goniometrických funkcí:

`\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right) \,\!`
`\sin \alpha-\sin \beta=2\cos \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right) \,\!`
`\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)\,\!`
`\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)\sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)\,\!`
`\mathrm{tg}\,\alpha\pm\mathrm{tg}\,\beta=\frac{\sin \left( \alpha\pm\beta\right) }{\cos \alpha\cos \beta}\,\!`
`\mathrm{cotg}\,\alpha\pm\mathrm{cotg}\,\beta=\frac{\sin \left( \beta\pm\alpha\right) }{\sin \alpha\sin \beta}\,\!`
`\mathrm{tg}\,\alpha\pm\mathrm{cotg}\,\beta=\pm\frac{\cos \left( \alpha\mp\beta\right) }{\cos \alpha\sin \beta}\,\!`

Součiny goniometrických funkcí:

`\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)]`
`\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)]`
`\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)]`
`\mathrm{tg} \alpha \mathrm{tg} \beta = \frac{\mathrm{tg} \alpha + \mathrm{tg} \beta}{\mathrm{cotg} \alpha + \mathrm{cotg} \beta}`
`\mathrm{cotg} \alpha \mathrm{cotg} \beta = \frac{\mathrm{cotg} \alpha + \mathrm{cotg} \beta}{\mathrm{tg} \alpha + \mathrm{tg} \beta}`
`\mathrm{tg} \alpha \mathrm{cotg} \beta = \frac{\mathrm{tg} \alpha + \mathrm{cotg} \beta}{\mathrm{cotg} \alpha + \mathrm{tg} \beta}`

Dvojnásobný úhel:

`\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\,\!`
`\mathrm{tg}\,2\alpha = \frac{2\cdot\mathrm{tg}\,\alpha}{1 - \mathrm{tg}^2\,\alpha}\,\!`
`\mathrm{cotg}\,2\alpha = \frac{\mathrm{cotg}^2\,\alpha - 1}{2\cdot\mathrm{cotg}\,\alpha}\,\!`

Poloviční úhel:

`\left| \sin \frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}\,\!`
`\left| \cos \frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}\,\!`
`\left| \mathrm{tg}\,\frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}\,\!`
`\left| \mathrm{cotg}\,\frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}}\,\!`

Mocniny goniometrických funkcí:

`\sin^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 \alpha)`
`\cos^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 \alpha)`
`\sin^3 \alpha = \frac{1}{4} ( 3 \sin \alpha - \sin 3 \alpha)`
`\cos^3 \alpha = \frac{1}{4} ( \cos 3 \alpha + 3 \cos \alpha)`

Tabulka funkcí vyjádřených pomocí všech ostatních funkcí

Některé z těchto vzorců sice v tomto článku již byly, nicméně si myslím, že se takováto tabulka celkem hodí.

Funkce	sin	cos	tan	csc	sec	cot
`\sin \alpha=`	`\sin \alpha`	`\sqrt{1-\cos^2\alpha}`	`\frac{\tan \alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}`	`\frac{1}{csc \alpha}`	`\frac{\sqrt{sec^2\alpha-1}}{sec \alpha}`	`\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}`
`\cos \alpha=`	`\sqrt{1-\sin^2\alpha}`	`\cos \alpha`	`\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}`	`\frac{\sqrt{csc^2\alpha-1}}{csc \alpha}`	`\frac{1}{sec \alpha}`	`\frac{\cot \alpha}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}`
`\tan \alpha=`	`\frac{\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}`	`\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos \alpha}`	`\tan \alpha`	`\frac{1}{\sqrt{csc^2\alpha-1}}`	`\sqrt{sec^2\alpha-1}`	`\frac{1}{\cot \alpha}`
`csc \alpha=`	`\frac{1}{\sin \alpha}`	`\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}`	`\frac{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}{\tan \alpha}`	`csc \alpha`	`\frac{sec \alpha}{\sqrt{sec^2\alpha-1}}`	`\sqrt{1+\cot^2\alpha}`
`sec \alpha`	`\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}`	`\frac{1}{\cos \alpha}`	`\sqrt{1+\tan^2\alpha}`	`\frac{csc \alpha}{\sqrt{csc^2 \alpha-1}}`	`sec \alpha`	`\frac{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}{\cot \alpha}`
`\cot \alpha`	`\frac{1-\sin^2\alpha}{\sin \alpha}`	`\frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}`	`\frac{1}{\tan\alpha}`	`\sqrt{csc^2\alpha-1}`	`\frac{1}{\sqrt{sec^2\alpha-1}}`	`\cot \alpha`

Příklady na goniometrické vzorce

Vyřešíme několik lehkých příkladů za užití předchozích vzorců:

1) `\cos \alpha*\tan\alpha=\cos \alpha*\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sin \alpha`

2) `\frac{csc \alpha}{sec \alpha}=\frac{\frac{1}{\sin \alpha}}{\frac{1}{\cos \alpha}}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\cot \alpha`

3) `\sin \alpha*sec \alpha+\cos \alpha*csc \alpha=\sin \alpha*\frac{1}{\cos \alpha}+\cos \alpha*\frac{1}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\cos \alpha*\sin \alpha}=\frac{1}{\cos \alpha*\sin \alpha}=sec \alpha*csc \alpha`

4) `\tan^2 \alpha-\tan^2 \alpha*\sin^2 \alpha=\tan^2 \alpha*(1-\sin^2 \alpha)=\tan^2 \alpha*\cos^2 \alpha=\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}*\cos^2 \alpha=\sin^2 \alpha`

5) `\cos^2 \alpha+\cos^2 \alpha*\tan^2 \alpha=\cos^2 \alpha*(1+\tan^2 \alpha)=\cos^2 \alpha*sec^2 \alpha=1`

6) `\frac{\cos^2 \alpha-4}{\cos \alpha-2}=\frac{(\cos \alpha-2)*(\cos \alpha+2)}{\cos \alpha-2}=\cos \alpha+2`

7) `\frac{1}{\cos \alpha+1}+\frac{1}{1-\cos \alpha}=\frac{1-\cos \alpha+1+\cos \alpha}{(1+\cos \alpha)*(1-\cos \alpha)}=\frac{2}{1-\cos^2 \alpha}=\frac{2}{\sin^2 \alpha}=2csc^2 \alpha`

Dokažte následující:

`sec \alpha+\tan \alpha=\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}\\sec \alpha+\tan \alpha=\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}*\frac{1+\sin \alpha}{1+\sin \alpha}\\sec \alpha+\tan \alpha=\frac{\cos \alpha+\cos \alpha*\sin \alpha}{\cos^2 \alpha}\\sec \alpha+\tan \alpha=\frac{\cos \alpha*(1+\sin \alpha)}{\cos^2 \alpha}\\sec \alpha+\tan \alpha=sec \alpha+\tan \alpha`

`\tan \alpha+\cot \alpha=sec \alpha*csc \alpha\\ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1}{\cos \alpha*\sin \alpha}\\ \frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\cos \alpha*\sin \alpha}=\frac{1}{\cos \alpha*\sin \alpha}\\ \frac{1}{\cos \alpha*\sin \alpha}=\frac{1}{\cos \alpha*\sin \alpha}`

Goniometrické vzorce