Funkce sinus a kosekans

Pokud pracujeme s trigonometrickými funkcemi, chtělo by to znát jednotkou kružnici (přejít na článek Jednotková kružnice).

Sinus

Funkce sinus bývá definována jako poměr protilehlé strany a přepony v pravoúhlém trojúhelníku. Grafem této funkce je sinusoida a jak vypadá vidíte na následujícím obrázku:

Vlastnosti funkce sinus:

• Definiční obor: `\mathbb{R}`
• Obor hodnot: <-1, 1>
• Rostoucí v intervalu: `\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi; \frac{\pi}{2}+2k\pi\right)`
• Klesající v intervalu: `\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi; -\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)`
• Lichá funkce
• Omezená shora i zdola
• Periodická funkce s periodou `2\pi`

Rýsování grafu funkce sinus

Funkce sinus může mít následující podobu: `a*\sin(b*x+c)+d`. Proměnná a určuje amplitudu funkce. Pokud amplituda není dána, je automaticky rovna 1. Proměnná b určuje periodu funkce a proměnná c je posun funkce na ose x (doleva, doprava). Poslední proměnná, tedy proměnná d určuje posun na ose y (dolů, nahoru).

1) Narýsujte graf funkce sin x.

Funkce sinus standardně začíná v počátku a směřuje směrem nahoru. Amplituda je 1 a proto výška funkce je 1. Perioda funkce je 2π.

2) Narýsujte graf funkce 2sin(x)+2.

Nyní už to začíná být trochu složitější → máme zadanou amplitudu 2 a vertikální posun je 2. Musíme začít tím, že vytvoříme novou osu x ve výšce 2 (na obrázku to je červená osa):

Perioda funkce je opět 2π. Akorát amplituda je 2 - proto bude funkce dvakrát vyšší:

3) Narýsujte funkci `-\sin(\frac{1}{2}x)+1`.

Tentokrát je amplituda -1, vertikální posun +1 a změnila se i perioda funkce. Periodu vypočítáme pomocí vzorce: `perioda = \frac{2\pi}{b}`. V tomto případě je to tedy 4π.

Jelikož je amplituda záporná, začíná funkce sinus klesáním. Perioda je větší než obvykle a proto je sinusoida roztáhlejší.

4) Narýsujte graf funkce `-\frac{1}{2} \sin(x+\frac{\pi}{2})-1`:

Toto je již relativně složitý příklad, protože musíme sinusoidu posunout (posun je kladný a proto posuneme funkce doleva). Jsou dva možná způsoby jak narýsovat tuto funkci. Buď můžeme narýsovat funkci bez posunu a nakonec všechny body posunout o danou vzdálenost, nebo si můžeme vytvořit novou osu y (v tomto případě by byla v bodě `-\frac{\pi}{2}`).

Ony dvě červené přímky na obrázku značí, jak jsme posunuli souřadný systém (vertikální i horizontální posun).

5) Narýsujte graf funkce sin(4x+π):

Než začneme rýsovat, musíme upravit vzorec dané funkce - Pokud je hodnota proměnné b jiná než jedna a vzorec funkce obsahuje horizontální posun, musíme proměnnou b vytknout: `\sin(4*(x+\frac{\pi}{4}))`. Nyní už můžeme postupovat standardním postupem; graf tedy bude vypadat následovně:

Kosekans

Funkce kosekans je definována jako poměr přepony a protilehlé strany v pravoúhlém trojúhelníku. Platí tedy `csc=\frac{1}{\sin}`. Graf vypadá následovně:

Vlastnosti funkce kosekans:

• Definiční obor: `\mathbb{R}-k\pi`
• Obor hodnot: (-∞ -1) ∪ (1, ∞)
• Lichá funkce
• Periodická funkce: perioda je `2\pi`

Rýsování grafu:

Pokud umíte rýsovat graf funkce sinus, umíte rýsovat graf funkce kosekans. Na následujícím obrázku je graf funkce sin x a graf funkce csc x:

Existují dvě možnosti jak narýsovat graf funkce kosekans. Buď si můžete narýsovat danou funkci nejdříve jako sinus a pak lehce doplnit kosekans. Druhá možnost je rýsovat rovnou kosekans, což je obtížnější. Narýsujeme tedy funkci sin x. V těch bodech, kde sinusoida protíná osu x jsou hluché body → v těchto bodech není funkce kosekans definována. V těchto bodech vztyčíme kolmice (na obrázku to jsou přerušované čáry). V těch bodech, kde funkce sinus dosáhla maxima bude počátek paraboly, která bude pouze v jednom sektoru daném kolmicemi.

1) Narýsujte graf funkce 2csc(x)+1:

Nejprve narýsujeme graf funkce 2sin(x)+1 a vztyčíme kolmice v těch bodech, kde sinusoida protíná novou osu x:

Nyní můžeme lehce narýsovat graf 2csc(x)+1:

Stejné pravidlo platí pro všechny tvary funkce kosekans.