Funkce sinus a kosekans

Sinus je goniometrická funkce, která v pravoúhlém trojúhelníku přiřadí ostrému úhlu poměr protilehlé odvěsny a přepony. Pro libovolný úhel je to souřadnice `y` bodu na jednotkové kružnici. Kosekans (značka cosec, v cizí literatuře a v programech csc) je převrácená hodnota sinu: přepona ku protilehlé odvěsně.

`\begin{gathered}\sin\alpha=\dfrac{\text{protilehlá odvěsna}}{\text{přepona}}\\[10pt]\operatorname{cosec}\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha}=\dfrac{\text{přepona}}{\text{protilehlá odvěsna}}\end{gathered}`

Grafu funkce `y = \sin x` se říká sinusoida. Je to pravidelná vlnovka, která prochází počátkem, stoupá k maximu `\left[\frac{\pi}{2};\ 1\right]`, klesá k minimu `\left[\frac{3\pi}{2};\ {-1}\right]` a po `2\pi` se opakuje. Číslu `2\pi` se říká perioda sinu. Graf kosekans se skládá z oddělených větví tvaru U, které leží mimo pás mezi `-1` a `1`.

Tento článek navazuje na úvod do goniometrie a jednotkovou kružnici. Tady jde o sinus a kosekans jako funkce: jak vypadá a jak se rýsuje sinusoida, jaké má vlastnosti, jak narýsovat posunutý a natažený graf a jak z něj dostat graf kosekans.

Sinus a kosekans na jednotkové kružnici

V pravoúhlém trojúhelníku má smysl jen ostrý úhel. Pro libovolné číslo `x` se sinus definuje na jednotkové kružnici, tedy kružnici se středem v počátku a poloměrem 1. Rameno úhlu `\alpha` ji protne v bodě P a jeho souřadnice `y` je `\sin\alpha`. Na obrázku je to modrá svislá úsečka, výška bodu P nad osou `x`.

Kosekans je na stejném obrázku červená úsečka OT: rameno úhlu prodloužené až k vodorovné tečně `y = 1`. Bod T leží na rameni ve výšce 1, zatímco bod P na stejném rameni leží ve výšce `\sin\alpha` a od počátku je vzdálený 1. Z podobnosti je `|OT| = \frac{1}{\sin\alpha}`. Pro `\alpha = 50^\circ` je `\sin 50^\circ \doteq 0{,}766` a `\operatorname{cosec} 50^\circ \doteq 1{,}305`.

Jméno má kosekans od sekans, „ko-“ znamená doplňkový úhel: `\operatorname{cosec}\alpha = \sec(90^\circ - \alpha)`, stejně jako `\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)`. A z obrázku jsou vidět dvě věci, které platí vždy. Sinus leží mezi `-1` a `1`, protože bod na kružnici s poloměrem 1 nemůže být výš ani níž. A kosekans je v absolutní hodnotě aspoň 1, protože přepona nikdy není kratší než odvěsna.

Graf funkce sinus (sinusoida)

Co je sinusoida? Když bod P obíhá kružnici a zapisujeme jeho výšku v závislosti na úhlu, vznikne právě sinusoida. Při úhlu 0 je bod vpravo na ose `x` a sinus je 0. Při `\frac{\pi}{2}` (90°) je bod nahoře a sinus je 1. Při `\pi` (180°) je vlevo a sinus je opět 0, při `\frac{3\pi}{2}` (270°) dole, sinus je `-1`. Po celé otáčce `2\pi` je bod zpátky na začátku a všechno se opakuje.

K ručnímu náčrtu stačí pět bodů na jedné periodě: nulový bod, maximum, nulový bod, minimum, nulový bod.

`[0;\ 0],\ \left[\tfrac{\pi}{2};\ 1\right],\ [\pi;\ 0]`
`\left[\tfrac{3\pi}{2};\ {-1}\right],\ [2\pi;\ 0]`

Body spojte oblou vlnou, ne lomenou čarou. U maxima a minima je graf plochý, přes osu `x` prochází nejstrměji. Při stejném měřítku na obou osách protíná počátek pod úhlem 45°. Další periody jsou kopie první posunuté o `2\pi` doprava i doleva. Šedá čárkovaná křivka v obrázku je kosinusoida: je to tatáž vlna, jen posunutá o `\frac{\pi}{2}` doleva, protože `\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)`.

Pro přesnější náčrt se hodí pár hodnot navíc. Od 180° do 360° se hodnoty sinu opakují se znaménkem minus, protože `\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha`, například `\sin 210^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}`.

Sinus libovolného úhlu ve stupních spočítá kalkulačka hodnot goniometrických funkcí, a to včetně kosekans. Pro úhel v radiánech, třeba `\sin 2`, je tu sinus a kosinus v radiánech, celou tabulku najdete v tabulce hodnot.

Perioda funkce sinus

Perioda sinu je `2\pi`, ve stupních 360°. Přičtením celé otáčky se bod na kružnici vrátí na stejné místo, a proto

`\sin(x + 2\pi) = \sin x`
`\sin 390^\circ = \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}`

Je to nejmenší takové kladné číslo. Polovina otáčky nestačí: `\sin(x + \pi) = -\sin x`, takže po `\pi` se graf nezopakuje, ale překlopí. U funkce `y = \sin bx` se vlna stlačí nebo roztáhne a perioda je

`T = \dfrac{2\pi}{|b|}`

Například `\sin 3x` má periodu `\frac{2\pi}{3}`, tedy tři vlny tam, kde `\sin x` má jednu, a `\sin\frac{x}{2}` má periodu `4\pi`. Amplituda ani svislý posun periodu nemění.

Vlastnosti funkce sinus

• Definiční obor: `D(f) = \mathbb{R}`, sinus existuje pro každé číslo.
• Obor hodnot: `H(f) = \langle -1;\ 1 \rangle`. Funkce je omezená shora i zdola.
• Perioda: `2\pi`.
• Lichá funkce: `\sin(-x) = -\sin x`, graf je souměrný podle počátku.
• Maximum 1 v bodech `x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi`, minimum `-1` v bodech `x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi`.
• Nulové body: `x = k\pi`, tedy 0°, 180°, 360°, ...
• Rostoucí na každém intervalu `\left\langle -\frac{\pi}{2} + 2k\pi;\ \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right\rangle`, klesající na každém intervalu `\left\langle \frac{\pi}{2} + 2k\pi;\ \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right\rangle`.

Všude `k` znamená libovolné celé číslo. Co přesně znamená lichá, omezená nebo periodická funkce, vysvětluje článek vlastnosti funkcí.

Graf funkce y = a · sin(bx + c) + d

Ve škole se rýsují i upravené funkce tvaru `y = a\sin(bx + c) + d`. Každý parametr dělá se sinusoidou jednu věc:

• `a` určuje amplitudu, graf svisle natáhne. Vlna se pak houpe `|a|` nad a pod svou osou. Je-li `a` záporné, graf se navíc překlopí a za počátkem nejdřív klesá.
• `b` mění periodu. Nová perioda je `\dfrac{2\pi}{|b|}`.
• `c` graf vodorovně posune. Posun ale není `c`, nýbrž `-\dfrac{c}{b}`. Nejbezpečnější je vytknout `b`: `\sin(4x + \pi) = \sin\left(4\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)` je posun o `\frac{\pi}{4}` doleva, ne o `\pi`.
• `d` graf posune svisle, o `d` nahoru. Vodorovná přímka `y = d` je nová „osa“, kolem které se vlna houpe.

Postup je vždy stejný. Najdete bod, kam se posunul počátek `[0;\ 0]` základní sinusoidy, spočítáte periodu, rozdělíte ji na čtyři stejné díly a v každém dílku vyznačíte další z pěti bodů. Obor hodnot upravené funkce je `\langle d - |a|;\ d + |a| \rangle`.

Příklad 1: y = 2 sin x + 2

Amplituda je 2, perioda zůstává `2\pi` a svislý posun je 2. Nejdřív narýsujte pomocnou osu `y = 2` (v obrázku zeleně), kolem ní se vlna houpe o 2 nahoru a dolů. Pět bodů dostanete tak, že souřadnice `y` základních bodů vynásobíte dvěma a přičtete 2:

`[0;\ 2],\ \left[\tfrac{\pi}{2};\ 4\right],\ [\pi;\ 2]`
`\left[\tfrac{3\pi}{2};\ 0\right],\ [2\pi;\ 2]`

Obor hodnot je `\langle 0;\ 4 \rangle`. Kontrola: minimum leží přesně na ose `x`, protože `2 \cdot (-1) + 2 = 0`, a rozdíl maxima a minima je 4, dvojnásobek amplitudy.

Příklad 2: y = −sin(½x) + 1

Tady je `a = -1`, takže amplituda je 1 a graf je překlopený, a `d = 1`. Perioda je

`\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi`

Vlna je tedy dvakrát širší než obvykle. Jedna čtvrtina periody je `\pi`. Kvůli znaménku minus graf z bodu `[0;\ 1]` na pomocné ose nejdřív klesá: v `x = \pi` je argument `\frac{\pi}{2}` a `y = -1 + 1 = 0`, to je minimum. Body:

`[0;\ 1],\ [\pi;\ 0],\ [2\pi;\ 1]`
`[3\pi;\ 2],\ [4\pi;\ 1]`

Obor hodnot je `\langle 0;\ 2 \rangle`. Kontrola v `x = 3\pi`: argument je `\frac{3\pi}{2}`, `\sin\frac{3\pi}{2} = -1`, a `y = -(-1) + 1 = 2`. Sedí.

Příklad 3: y = −½ sin(x + π/2) − 1

Příklad, kde se mění skoro všechno najednou. Rozepíšeme parametry: amplituda `\frac{1}{2}`, graf překlopený (minus před zlomkem), perioda `2\pi`, posun o `\frac{\pi}{2}` doleva a o 1 dolů.

1. Pomocné osy. Vodorovná `y = -1` a svislá `x = -\frac{\pi}{2}` (v obrázku zeleně). Bod `\left[-\frac{\pi}{2};\ {-1}\right]` hraje roli počátku, tam je argument sinu nula.
2. Směr. Kvůli minusu graf z tohoto bodu nejdřív klesá, o amplitudu `\frac{1}{2}`.
3. Dílky. Perioda `2\pi` dělená čtyřmi dává krok `\frac{\pi}{2}`. Body: `\left[-\frac{\pi}{2};\ {-1}\right]`, `\left[0;\ {-\frac{3}{2}}\right]`, `\left[\frac{\pi}{2};\ {-1}\right]`, `\left[\pi;\ {-\frac{1}{2}}\right]`, `\left[\frac{3\pi}{2};\ {-1}\right]`.

Kontrola v bodě `x = 0`: `-\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}`. Obor hodnot je `\left\langle -\frac{3}{2};\ {-\frac{1}{2}} \right\rangle`. Mimochodem, protože `\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x`, je to totéž co `y = -\frac{1}{2}\cos x - 1`.

Příklad 4: y = sin(4x + π)

Než začnete rýsovat, vytkněte `b`:

`\sin(4x + \pi) = \sin\left(4\left(x + \tfrac{\pi}{4}\right)\right)`

Posun je tedy `\frac{\pi}{4}` doleva a perioda `\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}`. Počátek základní sinusoidy se přesune do bodu `\left[-\frac{\pi}{4};\ 0\right]` a čtvrtina periody je `\frac{\pi}{8}`. Body:

`\left[-\tfrac{\pi}{4};\ 0\right],\ \left[-\tfrac{\pi}{8};\ 1\right],\ [0;\ 0]`
`\left[\tfrac{\pi}{8};\ {-1}\right],\ \left[\tfrac{\pi}{4};\ 0\right]`

Kontrola dosazením: v `x = \frac{\pi}{8}` je argument `4 \cdot \frac{\pi}{8} + \pi = \frac{3\pi}{2}` a `\sin\frac{3\pi}{2} = -1`. Kdo by posunul graf o celé `\pi`, nedostal by žádný posun: `\pi` jsou dvě celé periody, takže by mu zůstal graf `\sin 4x`, který je proti správnému překlopený. Správný graf je totiž totéž co `y = -\sin 4x`.

Funkce kosekans

Kosekans je převrácená hodnota sinu, `\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}`. V českých učebnicích se značí cosec, v anglické literatuře, na grafických kalkulačkách a v programech csc; obě zkratky znamenají totéž. Píše se „kosekans“, někdy i „cosekans“. Na školní kalkulačce tlačítko nemá, spočítá se jako 1 ÷ sin. Tlačítko sin⁻¹ je něco jiného, viz časté chyby níže.

Názvy jsou trochu matoucí: kosekans patří k sinu a sekans ke kosinu (`\sec x = \frac{1}{\cos x}`), tedy „na křížek“. Sekans a kosinusoidu popisuje sesterský článek funkce kosinus a sekans.

Graf funkce kosekans

Graf kosekans se odvodí ze sinusoidy, protože každou její hodnotu stačí převrátit:

• Kde je `\sin x = 0`, tedy v `x = k\pi`, kosekans neexistuje a graf má svislou asymptotu.
• Kde je `\sin x = 1` nebo `-1`, je kosekans stejný, 1 nebo `-1`. V těchto bodech se graf kosekans sinusoidy dotkne.
• Kde je sinus malý, je kosekans velký. Blízko asymptot proto větve utíkají do nekonečna.

Výsledek jsou větve tvaru U. Nad obloukem sinusoidy nad osou `x` je větev otevřená nahoru s nejnižším bodem `\left[\frac{\pi}{2};\ 1\right]`, pod obloukem pod osou je větev otevřená dolů s nejvyšším bodem `\left[\frac{3\pi}{2};\ {-1}\right]`. Větve se nápadně podobají parabolám, ale paraboly to nejsou: parabola asymptoty nemá, kdežto větev kosekans se k asymptotám přimyká a nikdy se jich nedotkne.

Vlastnosti funkce kosekans

• Definiční obor: všechna reálná čísla kromě násobků `\pi`, `D(f) = \mathbb{R} \setminus \{k\pi;\ k \in \mathbb{Z}\}`.
• Obor hodnot: `H(f) = (-\infty;\ {-1}\rangle \cup \langle 1;\ \infty)`. Hodnoty 1 a `-1` kosekans nabývá, hodnoty mezi nimi nikdy.
• Perioda: `2\pi`, stejná jako u sinu.
• Lichá funkce: `\operatorname{cosec}(-x) = -\operatorname{cosec} x`, graf je souměrný podle počátku.
• Neomezená shora i zdola. Nemá žádné nulové body, protože zlomek s čitatelem 1 nulu nedá.
• Monotonie: klesající na `\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right\rangle`, rostoucí na `\left\langle \frac{\pi}{2};\ \pi\right)`, rostoucí na `\left(\pi;\ \frac{3\pi}{2}\right\rangle` a klesající na `\left\langle \frac{3\pi}{2};\ 2\pi\right)`, vše s periodou `2\pi`.
• Asymptoty: svislé přímky `x = k\pi`. Více o nich v článku asymptota funkce.

Příklad 5: y = 2 cosec x + 1

Graf kosekans se rýsuje přes pomocnou sinusoidu se stejnými parametry, tady `y = 2\sin x + 1` (v obrázku šedě čárkovaně). Její pomocná osa je `y = 1`.

1. Asymptoty vedete tam, kde pomocná sinusoida protíná svou osu `y = 1`, tedy kde `\sin x = 0`: `x = k\pi`. Posun o 1 nahoru na jejich polohu nemá vliv.
2. Vrcholy větví jsou maxima a minima pomocné sinusoidy: `\left[\frac{\pi}{2};\ 3\right]` pro větev nahoru, `\left[\frac{3\pi}{2};\ {-1}\right]` a `\left[-\frac{\pi}{2};\ {-1}\right]` pro větve dolů.
3. Větve vedete od vrcholu k asymptotám, pryč od pomocné osy.

Kontrola: v `x = \frac{\pi}{6}` je `\operatorname{cosec}\frac{\pi}{6} = 2`, takže `y = 2 \cdot 2 + 1 = 5`, a bod `\left[\frac{\pi}{6};\ 5\right]` opravdu leží na větvi nad vrcholem `\left[\frac{\pi}{2};\ 3\right]`. Obor hodnot je `(-\infty;\ {-1}\rangle \cup \langle 3;\ \infty)`: pás mezi `-1` a 3 zůstane prázdný. Stejně se rýsuje každý graf tvaru `a\operatorname{cosec}(bx + c) + d`.

Sinus v praxi

V trojúhelníku sinus spočítá odvěsnu, která leží naproti známému úhlu, typicky výšku. Jako funkce popisuje všechno, co se pravidelně opakuje a v čase nula prochází středem: kmitání závaží na pružině, zvukovou vlnu, střídavé napětí. Napětí v zásuvce se mění zhruba podle `u = 325\sin(100\pi t)` voltů, se špičkou 325 V a periodou `\frac{2\pi}{100\pi} = 0{,}02\ \mathrm{s}`, tedy 50 kmitů za sekundu.

Příklad 6: výška draka

Drak je na šňůře dlouhé 50 m, která je napnutá a se zemí svírá úhel 40°. Jak vysoko nad rukou drak letí? Výška je odvěsna protilehlá k úhlu 40°, šňůra je přepona:

`\sin 40^\circ = \dfrac{h}{50}`
`h = 50 \cdot \sin 40^\circ \doteq 50 \cdot 0{,}643 \doteq 32{,}1\ \mathrm{m}`

Kontrola rozumnosti: při úhlu 30° by drak letěl přesně v polovině délky šňůry, 25 m, protože `\sin 30^\circ = \frac{1}{2}`. Při 40° je šňůra strmější, takže výška musí být větší, a 32,1 m je víc. Stejný výpočet udělá kalkulačka pravoúhlého trojúhelníku z přepony a úhlu. V obecném trojúhelníku se sinus uplatní v sinové větě, viz sinová a kosinová věta.

U kmitání je výchylka `y = A\sin\frac{2\pi t}{T}`, kde `A` je amplituda a `T` perioda. Závaží s amplitudou 10 cm a periodou 2 s je v čase 0,25 s ve výchylce `10 \cdot \sin\frac{\pi}{4} \doteq 7{,}07\ \mathrm{cm}`. Výchylku, rychlost i zrychlení v libovolném čase spočítá kalkulačka harmonický pohyb.

Časté chyby

• Sinusoida začíná maximem. Nezačíná. V nule je `\sin 0 = 0`, graf prochází počátkem a stoupá. Maximem v bodě `[0;\ 1]` začíná kosinusoida.
• Posun o `c` místo o `-\frac{c}{b}`. U `\sin(2x + \pi)` je posun `\frac{\pi}{2}` doleva, ne `\pi`. Vytkněte `b` a ověřte jeden bod dosazením.
• Záporné `a` jako záporná amplituda. Amplituda je vždy kladná, `|a|`. Znaménko minus jen graf překlopí, takže `y = -\sin x` za počátkem klesá a minimum má v `\left[\frac{\pi}{2};\ {-1}\right]`.
• Perioda `\pi`. Sinus má nulové body po `\pi`, ale perioda je `2\pi`: mezi dvěma sousedními nulami je jednou oblouk nahoře a podruhé dole.
• sin⁻¹ není kosekans. Tlačítko sin⁻¹ je arkussinus, tedy úhel k danému sinu: `\arcsin 0{,}5 = 30^\circ`. Kosekans je `\operatorname{cosec} 30^\circ = 1 : \sin 30^\circ = 2`. Úhel ze sinu spočítá kalkulačka arkussinus.
• Stupně a radiány. `\sin 1^\circ \doteq 0{,}017`, ale `\sin 1 \doteq 0{,}841` (jeden radián). Zkontrolujte režim kalkulačky; pomůže převod stupňů na radiány.
• Obor hodnot kosekans s otevřenými závorkami. `\operatorname{cosec}\frac{\pi}{2} = 1`, takže jednička do oboru hodnot patří: `(-\infty;\ {-1}\rangle \cup \langle 1;\ \infty)`.
• Větve kosekans nejsou paraboly. Mají svislé asymptoty a u nich rostou nade všechny meze. Parabola nic takového nemá.

Příklady k procvičení

Kam dál

Hodnoty sinu pro běžné úhly usadí procvičování hodnot na jednotkové kružnici, rovnice se sinem pak procvičování goniometrických rovnic a úlohy s trojúhelníkem goniometrie v trojúhelníku. Z kalkulaček se hodí hodnoty goniometrických funkcí, arkussinus, rovnice sin x = a a jednotková kružnice s vlastním úhlem. Sesterské funkce popisují články funkce kosinus a sekans a funkce tangens a kotangens, vztahy mezi nimi shrnují goniometrické vzorce a na řešení rovnic navazují goniometrické rovnice.