Pascalův trojúhelník

Pascalův trojúhelník je trojúhelníkové schéma čísel, ve kterém jsou na obou okrajích jedničky a každé číslo uvnitř je součtem dvou čísel, která stojí šikmo nad ním. Čísla v jeho řádcích jsou kombinační čísla `\binom{n}{k}` a zároveň koeficienty, které vyjdou při umocnění `(a+b)^n`. Prvních sedm řádků vypadá takto:

`\begin{array}{c} 1\\ 1\quad 1\\ 1\quad 2\quad 1\\ 1\quad 3\quad 3\quad 1\\ 1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\ 1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\ 1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1 \end{array}`

Řádky se číslují od nuly: nultý řádek je samotná jednička, první je 1 1, druhý 1 2 1. Od nuly se počítají i místa v řádku, zleva. Právě díky tomu platí, že v n-tém řádku na k-tém místě stojí `\binom{n}{k}` a že třetí řádek 1 3 3 1 dává koeficienty `(a+b)^3`.

Jak sestrojit Pascalův trojúhelník

Stačí jedno pravidlo. Každý řádek začíná a končí jedničkou a každé číslo mezi nimi je součet dvou sousedních čísel z řádku nad ním. Pátý řádek je 1 5 10 10 5 1. Šestý dostaneme tak, že sečteme sousední dvojice `1+5`, `5+10`, `10+10`, `10+5`, `5+1` a na oba konce připíšeme jedničku:

`1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1`

Jedničky na okrajích ve skutečnosti nejsou výjimka. Když si kolem trojúhelníku představíte samé nuly, je i krajní jednička součtem dvou čísel nad ní, `0+1`. Na obrázku je trojúhelník do desátého řádku, čísla vlevo jsou čísla řádků a červeně je zvýrazněný součet `10+10=20`.

Delší trojúhelník, až do 25. řádku a se součtem každého řádku, vypíše kalkulačka Pascalův trojúhelník.

Příklad 1

Z šestého řádku 1 6 15 20 15 6 1 sestrojte sedmý a osmý řádek.

Řešení. Sčítáme sousední dvojice: `1+6=7`, `6+15=21`, `15+20=35`, `20+15=35` a dál symetricky. Sedmý řádek je 1 7 21 35 35 21 7 1. Stejně z něj: `1+7=8`, `7+21=28`, `21+35=56`, `35+35=70`, takže osmý řádek je 1 8 28 56 70 56 28 8 1.

Kontrola. Součet šestého řádku je 64, sedmého 128 a osmého 256. Každý řádek musí mít dvojnásobný součet než řádek nad ním, protože každé číslo se při stavbě dalšího řádku přičte dvakrát, jednou doleva dolů a jednou doprava dolů. Kdyby součet nevyšel, je chyba v některém sčítání.

Pascalův trojúhelník a kombinační čísla

Kombinační číslo `\binom{n}{k}`, čte se „n nad k“, udává, kolika způsoby lze z n prvků vybrat k, když nezáleží na pořadí. Počítá se vzorcem

`\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}`

V Pascalově trojúhelníku ho najdete v n-tém řádku na k-tém místě, obojí počítáno od nuly. Například `\binom{6}{2}=15`: šestý řádek je 1 6 15 20 15 6 1 a na místech 0, 1, 2 stojí 1, 6, 15.

Pravidlo, podle kterého se trojúhelník staví, se v řeči kombinačních čísel jmenuje Pascalovo pravidlo. Spolu s jedničkami na okrajích zní takto:

`\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}`
`\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1`

Proč platí: vybíráme k žáků z n a jednoho z nich si předem označíme, třeba Aničku. Buď Aničku vybereme, a pak zbývá vybrat `k-1` žáků ze zbylých `n-1`, nebo ji nevybereme, a pak vybíráme všech k ze zbylých `n-1`. Jiná možnost není a obě se nepřekrývají, takže se počty sečtou. To jsou přesně dvě čísla nad `\binom{n}{k}`.

Ze vzorce je vidět i symetrie `\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}`: vybrat 2 lidi z 6 je totéž jako určit 4, kteří vybraní nebudou. Proto se každý řádek čte stejně zleva i zprava.

Příklad 2

Kolika způsoby lze z 8 žáků vybrat trojici na úklid třídy?

Řešení. Na pořadí nezáleží, hledáme `\binom{8}{3}`. Osmý řádek je 1 8 28 56 70 56 28 8 1 a na místě 3 (počítáno 0, 1, 2, 3) stojí 56.

Kontrola vzorcem: `\binom{8}{3}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=\dfrac{336}{6}=56`. Kdo počítá místa od jedničky a vezme třetí číslo řádku, dostane 28, a to je `\binom{8}{2}`.

Pro velká n je rychlejší kalkulačka kombinačního čísla, která ukáže i krácení. Rozlišovat, kdy jde o kombinace a kdy o variace, si můžete vyzkoušet v procvičování kombinací a variací.

Binomická věta: umocňování dvojčlenu

Když umocňujete dvojčlen, dá vám trojúhelník koeficienty. K mocnině `(a+b)^n` patří n-tý řádek. Mocniny a v jednotlivých členech klesají od n do nuly, mocniny b rostou od nuly do n a v každém členu je součet exponentů roven n:

`(a+b)^2=a^2+2ab+b^2`
`(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3`
`(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4`

První řádek je známý vzorec pro druhou mocninu dvojčlenu (ten si můžete procvičit v procvičování vzorců (a ± b)²). Obecně to říká binomická věta:

`\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k`

U rozdílu `(a-b)^n` jsou koeficienty stejné, jen se střídají znaménka, první člen je kladný:

`(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3`

Příklad 3

Roznásobte `(2x-1)^4`.

Řešení. Čtvrtý řádek je 1 4 6 4 1. Za a dosadíme `2x` a za b číslo `-1`, i se znaménkem:

`1\cdot(2x)^4=16x^4`
`4\cdot(2x)^3\cdot(-1)=-32x^3`
`6\cdot(2x)^2\cdot(-1)^2=24x^2`
`4\cdot 2x\cdot(-1)^3=-8x`
`1\cdot(-1)^4=1`

Celkem `(2x-1)^4=16x^4-32x^3+24x^2-8x+1`.

Kontrola. Dosadíme `x=1`: vlevo `(2-1)^4=1`, vpravo `16-32+24-8+1=1`. Tahle zkouška je rychlá a chytí většinu chyb ve znaménkách i v koeficientech. Rozvoj pro exponenty až do 25 vypíše kalkulačka binomická věta.

Vlastnosti Pascalova trojúhelníku

1. Okraje tvoří samé jedničky, protože `\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1`.
2. Druhá šikmá řada od kraje jsou přirozená čísla 1, 2, 3, 4, 5, …, protože `\binom{n}{1}=n`.
3. Třetí šikmá řada jsou trojúhelníková čísla 1, 3, 6, 10, 15, 21, …, tedy počty koulí, které jde složit do trojúhelníku jako kulečníkové koule. Platí `\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}`.
4. Čtvrtá šikmá řada jsou čtyřstěnová čísla 1, 4, 10, 20, 35, 56, …, počty koulí v pyramidě s trojúhelníkovou podstavou.
5. Každý řádek je symetrický a největší číslo má uprostřed. Sudý řádek má jedno prostřední číslo, lichý dvě stejná.
6. Součet n-tého řádku je `2^n`: 1, 2, 4, 8, 16, 32, … Je to zároveň počet všech podmnožin n-prvkové množiny, protože řádek sčítá výběry o 0, 1, 2, …, n prvcích.
7. Se střídavými znaménky dá řádek nulu (od prvního řádku dál), například `1-4+6-4+1=0`.
8. Pravidlo hokejky. Sečtete-li čísla po šikmé řadě od okraje, dostanete číslo o řádek níž, šikmo na opačnou stranu, než kam řada běží: `1+3+6+10=20`. Na obrázku výše jsou to čísla třetí šikmé řady z řádků 2 až 5 a dvacítka ze šestého řádku.
9. Mocniny jedenácti. Řádky 0 až 4 přečtené jako jedno číslo dávají 1, 11, 121, 1331 a 14641, tedy mocniny `11^0` až `11^4`. Od pátého řádku už ne, protože se přenáší do vyššího řádu: `11^5=161051`.
10. Prvočíselné řádky. Je-li n prvočíslo, jsou všechna čísla v řádku kromě krajních jedniček dělitelná n. V sedmém řádku jsou to 7, 21, 35. Pro složená čísla to neplatí: v šestém řádku není 15 ani 20 dělitelné šesti.
11. Fibonacciho čísla. Sčítáte-li čísla po mělkých šikmých řadách, kdy se od krajní jedničky jde vždy o řádek výš a o místo dovnitř, vyjde 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Například z řádků 4, 3 a 2 je to `1+3+1=5`.

Sierpińského trojúhelník

Když v Pascalově trojúhelníku obarvíte jen lichá čísla, objeví se obrazec z trojúhelníků, které mají uprostřed prázdný trojúhelník a v každém rohu menší kopii sebe sama. Je to Sierpińského trojúhelník, jeden z nejznámějších fraktálů. Čím více řádků obarvíte, tím jemnější je obrazec.

Podobně to funguje s jiným dělitelem: čísla, která nejsou dělitelná třemi, tvoří obrazec, kde se každý díl skládá z šesti menších kopií. Z obrázku jde vyčíst i jedna zajímavost: v řádcích 1, 3, 7, 15 a 31 jsou lichá všechna čísla, protože tato čísla mají ve dvojkové soustavě samé jedničky. Obecně je v n-tém řádku `2^j` lichých čísel, kde j je počet jedniček v dvojkovém zápisu n.

K čemu se Pascalův trojúhelník hodí

Kromě kombinačních čísel a rozvoje dvojčlenu se objevuje všude, kde se opakovaně rozhoduje mezi dvěma možnostmi: orel nebo panna, doleva nebo doprava, na sever nebo na východ. Kulička padající přes řady hřebíků (Galtonova deska) se na každém hřebíku odrazí doleva, nebo doprava, a počty cest do jednotlivých přihrádek jsou přesně čísla z trojúhelníku. Proto se kuličky hromadí uprostřed.

Příklad 4

Hodíme čtyřmi mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že padnou právě dva orli?

Řešení. Čtvrtý řádek 1 4 6 4 1 říká, kolika způsoby může padnout 0, 1, 2, 3 a 4 orlů. Všech výsledků je `1+4+6+4+1=16=2^4` a dva orli padnou v 6 z nich:

`P=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}=0{,}375`

Pravděpodobnost je 37,5 %. Kontrola: vypsáním OOPP, OPOP, OPPO, POOP, POPO, PPOO je těch možností opravdu šest. Pro nesymetrickou minci nebo kostku, kde úspěch nemá pravděpodobnost polovinu, se k číslu z trojúhelníku přidají mocniny pravděpodobností; to počítá kalkulačka binomické rozdělení.

Pascalův trojúhelník do 20. řádku

Řádky od nultého do dvacátého. Každý je symetrický, takže tabulka pro kontrolu uvádí i jeho součet `2^n`.

Časté chyby

• Číslování řádků od jedničky. Řádek 1 4 6 4 1 je čtvrtý, ne pátý, a patří k `(a+b)^4`. Nejjistější kontrola: druhé číslo řádku je jeho číslo.
• Zapomenuté znaménko u rozdílu. `(a-b)^n` má znaménka střídavě plus a minus. Pozná se to dosazením `a=b=1`: rozvoj musí dát nulu.
• Neumocněný koeficient. V `(2x-1)^4` je první člen `(2x)^4=16x^4`, ne `2x^4`. Koeficient z trojúhelníku se násobí mocninou celého členu i s číslem.
• Mocniny jedenácti dál než do čtvrtého řádku. Pátý řádek 1 5 10 10 5 1 není 1510105, `11^5` je 161051.
• Sčítání sousedů v tomtéž řádku. Nové číslo je součet dvou čísel z řádku nad sebou, ne dvou sousedů vlevo v tomtéž řádku.

Proč Pascalův, když ho znali dřív

Trojúhelník nese jméno francouzského matematika a filozofa Blaise Pascala, který o něm v roce 1654 napsal pojednání a dokázal v něm řadu jeho vlastností. Znali ho ale už o stovky let dřív matematici v Indii, Persii a Číně. V Číně se mu dodnes říká trojúhelník Jang Chueje. Na obrázku je stránka z čínské knihy z roku 1303, čísla jsou v ní zapsaná počítacími tyčinkami. V Itálii se mu říká Tartagliův trojúhelník.

Příklady k procvičení

`(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2`
`{}+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6`

`x^4+4x^3\cdot(-3)+6x^2\cdot 9`
`{}+4x\cdot(-27)+81`

`\binom{7}{3}=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35`

Kam dál

Trojúhelník až do 25. řádku vypíše kalkulačka Pascalův trojúhelník, jednotlivé číslo z něj spočítá kalkulačka kombinačního čísla a celý rozvoj `(a+b)^n` kalkulačka binomická věta. Faktoriály, kombinace, variace a permutace jsou pohromadě v kalkulačkách pro kombinatoriku. Na výběr s pořadím a bez něj je procvičování kombinací a variací, na vzorce `(a\pm b)^2` procvičování druhé mocniny dvojčlenu.

Souvisí s tím články Exponenty a mocniny, Mnohočlen, Prvočíslo a Geometrická posloupnost a řada, kam patří i součty řádků 1, 2, 4, 8, 16, …