Mnohočlen, jinak také polynom, je výraz složený ze sčítaných členů tvaru „číslo krát mocnina proměnné“, kde exponenty jsou přirozená čísla nebo nula. Mnohočlen v proměnné `x` se obecně píše takto:

`P(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0`

Čísla `a_n,\ \dots,\ a_0` jsou koeficienty, `a_0` je absolutní člen a nejvyšší mocnina, u které je nenulový koeficient, je stupeň mnohočlenu. Například `4x^3-2x^2+7` je mnohočlen třetího stupně s koeficienty `4,\ {-2},\ 0,\ 7`. Člen s `x` chybí, jeho koeficient je nula. Naopak `\frac{1}{x}` ani `\sqrt{x}` mnohočleny nejsou, proměnná v nich má záporný nebo zlomkový exponent.

S mnohočleny se počítá podobně jako s čísly: sčítají se, odčítají, násobí, dosazuje se do nich a hledají se jejich kořeny, tedy čísla, pro která mnohočlen vyjde nula. Funkce daná mnohočlenem se jmenuje polynomická funkce a její graf jde načrtnout jen ze stupně a z kořenů. To všechno je níž, s příklady. Výpočty s vlastním zadáním udělají kalkulačky pro mnohočleny.

Člen, koeficient, stupeň

Názvy si ukážeme na mnohočlenu `P(x)=-2x^4+x^3-5x+3`:

  • členy jsou `-2x^4`, `x^3`, `-5x` a `3`; znaménko patří ke členu,
  • vedoucí člen je ten s nejvyšší mocninou, `-2x^4`, a jeho číslo `-2` je vedoucí koeficient,
  • absolutní člen je `3`, člen bez proměnné,
  • stupeň je `4`,
  • koeficient u `x^2` je `0`, protože takový člen v zápisu není. Celý seznam koeficientů je `-2,\ 1,\ 0,\ {-5},\ 3`.

Mnohočlen se obvykle zapisuje od nejvyšší mocniny po nejnižší. Když je vedoucí koeficient 1, říká se mu normovaný mnohočlen. Podle počtu členů se mluví o jednočlenu (`3x^2`), dvojčlenu (`x+5`) a trojčlenu (`x^2-4x+4`). Podle stupně takto:

stupeňmnohočlenpříkladgraf funkce
0konstantní`5`přímka rovnoběžná s osou `x`
1lineární`2x-3`přímka
2kvadratický`x^2-4x+3`parabola
3kubický`x^3-x`křivka s konci na opačné strany, pro `x^3` kubická parabola
4čtvrtého stupně`x^4-5x^2+4`křivka s oběma konci na stejnou stranu

Samotné číslo 0 je nulový mnohočlen a stupeň se mu nepřiřazuje, nemá žádný nenulový koeficient. Nenulová konstanta, třeba 5, má stupeň 0.

Mnohočlen může mít i víc proměnných. Stupeň členu je pak součet exponentů všech proměnných v něm: `-5x^2y` má stupeň `2+1=3`, a mnohočlen `x^2y^2+3xy-y` má stupeň 4, podle svého nejvyššího členu.

Co je a co není mnohočlen

V mnohočlenu se proměnná smí jen násobit sama sebou a čísly a výsledky se sčítají nebo odčítají. Nesmí být ve jmenovateli, pod odmocninou, v exponentu ani v absolutní hodnotě. Na koeficienty žádné omezení není: můžou to být zlomky, záporná i iracionální čísla. A členů je vždy konečně mnoho.

  • `\dfrac{x^3}{3}` je mnohočlen. Dělí se číslem, ne proměnnou: je to `\frac{1}{3}x^3`.
  • `\sqrt{2}\,x^2-\pi x` je mnohočlen, s iracionálními koeficienty.
  • `(x+1)^2(x-3)` je mnohočlen, jen neroznásobený. Po roznásobení vyjde `x^3-x^2-5x-3`.
  • `\dfrac{1}{x^2}+5` není mnohočlen, protože `\frac{1}{x^2}=x^{-2}` má záporný exponent.
  • `\sqrt{x}+1` není mnohočlen, `\sqrt{x}=x^{1/2}`.
  • `x^2+2^x` není mnohočlen, proměnná je v exponentu.
  • `\dfrac{x^2-1}{x-1}` není mnohočlen, je to lomený výraz. Pro `x\ne 1` se sice rovná `x+1`, ale v čísle 1 definovaný není, viz podmínky lomeného výrazu.

Sčítání, odčítání a násobení mnohočlenů

Sčítat se dají jen členy se stejnou mocninou, a to tak, že se sečtou jejich koeficienty: `3x^2+5x^2=8x^2`, ale `3x^2+5x` už zjednodušit nejde. Při odčítání otočí minus před závorkou znaménko každého členu v závorce.

Příklad 1

Odečtěte `(3x^3-2x^2+5)-(x^3+4x^2-x+1)`.

`\begin{aligned}&3x^3-2x^2+5-x^3-4x^2+x-1\\[6pt] &=2x^3-6x^2+x+4\end{aligned}`

Kontrola: dosadíme `x=1`. Zadání dá `6-5=1`, výsledek `2-6+1+4=1`. Souhlasí. Dosazení jedničky je nejrychlejší zkouška, hodnota mnohočlenu v 1 je prostě součet jeho koeficientů.

Násobí se každý člen s každým a pak se sečtou členy se stejnou mocninou.

Příklad 2

Vynásobte `(2x-3)(x^2+4x-1)`.

`\begin{aligned}&2x^3+8x^2-2x-3x^2-12x+3\\[6pt] &=2x^3+5x^2-14x+3\end{aligned}`

Kontrola v 1: `(2-3)\cdot(1+4-1)=-4` a `2+5-14+3=-4`. Postup po krocích pro jiné zadání ukáže sčítání a násobení mnohočlenů online.

Ze stupňů se dá odhadnout výsledek dřív, než se počítá. Stupeň součinu je součet stupňů: tady `1+2=3`. Stupeň součtu je nejvýš ten větší ze dvou, a může být i menší, když se vedoucí členy odečtou: `(x^2+x)+(-x^2+1)=x+1`.

Na součiny, které se opakují pořád, jsou vzorce, `(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` a `a^2-b^2=(a+b)(a-b)`; procvičit se dají v příkladech na druhou mocninu dvojčlenu. Dělení mnohočlenu mnohočlenem má svůj článek Dělení mnohočlenů a dělení dvojčlenem `x-c` jde nejrychleji Hornerovým schématem (Hornerovo schéma).

Hodnota mnohočlenu a kořen

Hodnota mnohočlenu v čísle `c` je číslo, které vyjde po dosazení `c` za `x`. Pro `P(x)=2x^3-3x^2+x-4` je

`P(2)=16-12+2-4=2`
`P(-1)=-2-3-1-4=-10`

U vyšších stupňů je rychlejší dosazovat Hornerovým schématem, bez počítání mocnin; vyzkoušet se to dá v procvičování hodnoty mnohočlenu.

Číslo `c`, pro které `P(c)=0`, je kořen mnohočlenu. Platí důležitá věta: `c` je kořen právě tehdy, když jde mnohočlen napsat jako

`P(x)=(x-c)\cdot Q(x)`

Dvojčlenu `x-c` se říká kořenový činitel a `Q(x)` má o jedna menší stupeň. Když se činitel v rozkladu opakuje, třeba `(x-1)^2`, je 1 dvojnásobný kořen. Z toho plynou dvě věci, které se hodí pořád:

  • mnohočlen stupně `n` má nejvýš `n` kořenů, i když se každý počítá tolikrát, kolikanásobný je,
  • mnohočlen lichého stupně má aspoň jeden reálný kořen, protože jeho graf přichází z jedné strany osy `x` a odchází na druhou.

V komplexních číslech má mnohočlen stupně `n` kořenů přesně `n`, počítáno s násobností. To je základní věta algebry.

Graf polynomické funkce

Polynomická funkce je `f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0`. Přibližný tvar jejího grafu se dá načrtnout bez tabulky hodnot, stačí tři věci.

1. Konce grafu. Pro velká kladná i záporná `x` přebije vedoucí člen `a_nx^n` všechny ostatní, takže konce grafu určuje jen stupeň a znaménko vedoucího koeficientu:

x y
sudý stupeň, `a_n\gt 0`
↑ ↑
x y
sudý stupeň, `a_n\lt 0`
↓ ↓
x y
lichý stupeň, `a_n\gt 0`
↓ ↑
x y
lichý stupeň, `a_n\lt 0`
↑ ↓

Sudý stupeň má oba konce na stejnou stranu, jako parabola. Lichý stupeň má konce na opačné strany, jako přímka nebo `x^3`.

2. Kořeny a jejich násobnost. V kořenech graf osu `x` potká. Jednoduchý kořen ji protne. Kořen se sudou násobností se jí jen dotkne a graf se vrátí na stejnou stranu, jako `x^2` v nule. Kořen s lichou násobností 3, 5, ... osu protne, ale v tom místě se k ní přimkne naplocho, jako `x^3` v nule.

3. Průsečík s osou y. Je to bod `[0;\ a_0]`, protože `f(0)=a_0`.

−3 −2 −1 1 2 −2 2 4 6 x y protne dotkne se [0; 2] y = (x + 2)(x − 1)²

Na obrázku je `y=(x+2)(x-1)^2`: stupeň 3 a kladný vedoucí koeficient, tedy vlevo dolů a vpravo nahoru. V jednoduchém kořeni `-2` graf osu protne, ve dvojnásobném kořeni 1 se jí dotkne. Osu `y` protíná v bodě `[0;\ 2]`.

Příklad 3

Načrtněte graf funkce `f(x)=-x(x+2)(x-2)^2`.

Stupeň a konce. Stupně činitelů se sečtou: `1+1+2=4`. Vedoucí koeficient je součin vedoucích koeficientů činitelů, tady `-1`. Sudý stupeň a záporný koeficient, takže oba konce jdou dolů. (Po roznásobení vyjde `-x^4+2x^3+4x^2-8x`, souhlasí.)

Kořeny. Každý činitel položíme roven nule: `x=0` a `x=-2` jsou jednoduché, tam graf osu protne. `x=2` je dvojnásobný, tam se jí dotkne.

Kreslení. Zleva graf přichází zespodu, v bodě `-2` protne osu nahoru, v bodě 0 ji protne zpátky dolů, v bodě 2 se osy zespodu dotkne a pokračuje dolů. Konec vpravo jde dolů, jak má. Kontrola jedním bodem v každém úseku: `f(-1)=9\gt 0` a `f(1)=-3\lt 0`.

−2 −1 1 2 −4 −2 2 4 6 8 10 x y dotyk

Náčrt neřekne, kde přesně jsou vrcholy „kopců“ a „údolí“. Na to je derivace, viz Průběh funkce - Hledání extrémů.

Pozor na vedoucí koeficient, když je `x` v závorce s číslem. U `-\frac{1}{20}(2x+3)^3x^2` je stupeň `3+2=5`, ale vedoucí koeficient je `-\frac{1}{20}\cdot 2^3=-\frac{2}{5}`, ne `-\frac{1}{20}`. Na směr konců to vliv nemá, znaménko zůstane, ale na roznásobený tvar ano.

Jak najít kořeny mnohočlenu

Pro mnohočlen stupně 1 je to Lineární rovnice, pro stupeň 2 vzorec s diskriminantem, viz Kvadratická rovnice. Pro stupně 3 a 4 vzorce také existují (Cardanův vzorec pro stupeň 3, Ferrariho pro stupeň 4), jsou ale tak dlouhé, že se ve škole nepoužívají. Pro stupeň 5 a vyšší obecný vzorec neexistuje, to je dokázaná věta (Abel, 1824). Ve škole se proto rovnice vyšších stupňů řeší třemi obraty:

  • vytýkání: `x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)`, viz vytýkání před závorku,
  • vzorce `a^2-b^2`, `(a\pm b)^2` a podobně,
  • racionální kořeny: uhodnout jeden kořen, vydělit a snížit tak stupeň.

Ten třetí obrat stojí na větě o racionálních kořenech. Má-li mnohočlen celočíselné koeficienty a je-li zlomek `\frac{p}{q}` v základním tvaru jeho kořenem, pak

`p \text{ dělí } a_0 \qquad q \text{ dělí } a_n`

Kandidátů je tedy konečně mnoho a každý se vyzkouší, nejlépe Hornerovým schématem. Pozor, `p` a `q` jsou všichni dělitelé, ne jen prvočinitelé: u absolutního členu 12 přicházejí v úvahu i 4, 6 a 12.

Příklad 4

Řešte rovnici `3x^3-5x^2+5x-2=0`.

Dělitelé absolutního členu 2 jsou 1 a 2, dělitelé vedoucího koeficientu 3 jsou 1 a 3. Kandidáti jsou

`\pm 1,\ {\pm 2},\ {\pm\frac{1}{3}},\ {\pm\frac{2}{3}}`

Číslo 1 nevyjde (součet koeficientů je 1, ne 0). Vyjde `\frac{2}{3}`:

`\begin{array}{r|rrrr} & 3 & -5 & 5 & -2 \\
\frac{2}{3} &  & 2 & -2 & 2 \\ \hline
 & 3 & -3 & 3 & \boxed{0}\end{array}`

Zbytek je nula, takže

`\begin{aligned}&3x^3-5x^2+5x-2\\[6pt] &=\left(x-\tfrac{2}{3}\right)(3x^2-3x+3)\\[6pt] &=(3x-2)(x^2-x+1)\end{aligned}`

Kvadratická rovnice `x^2-x+1=0` má diskriminant `1-4=-3`, reálné kořeny tedy nemá. Rovnice má jediný reálný kořen `x=\frac{2}{3}`.

V komplexních číslech by ze zbylé rovnice vyšly ještě `x=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}` (Rovnice s komplexními čísly).

Příklad 5

Rozložte na součin `x^5+x^3-2x^2-12x-8`.

Vedoucí koeficient je 1, kandidáti jsou dělitelé čísla 8: `\pm 1,\ {\pm 2},\ {\pm 4},\ {\pm 8}`. Pozor, člen s `x^4` chybí a jeho koeficient 0 se do schématu musí napsat. Číslo 1 dá `-20`, zkusíme `-1`:

`\begin{array}{r|rrrrrr} & 1 & 0 & 1 & -2 & -12 & -8 \\
-1 &  & -1 & 1 & -2 & 4 & 8 \\ \hline
 & 1 & -1 & 2 & -4 & -8 & \boxed{0}\end{array}`

Kořen může být vícenásobný, a tak zkusíme `-1` znovu, na podíl:

`\begin{array}{r|rrrrr} & 1 & -1 & 2 & -4 & -8 \\
-1 &  & -1 & 2 & -4 & 8 \\ \hline
 & 1 & -2 & 4 & -8 & \boxed{0}\end{array}`

Zbyl kubický mnohočlen `x^3-2x^2+4x-8`. Třetí kolo s číslem 2:

`\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -2 & 4 & -8 \\
2 &  & 2 & 0 & 8 \\ \hline
 & 1 & 0 & 4 & \boxed{0}\end{array}`

Poslední podíl `x^2+4` reálné kořeny nemá, protože `x^2+4` je vždy aspoň 4. Dál tedy rozložit nejde. Výsledek:

`(x+1)^2(x-2)(x^2+4)`

Kontrola stupněm: `2+1+2=5`. V komplexních číslech by šlo ještě `x^2+4=(x-2i)(x+2i)`. Stejný rozklad i s násobností kořenů najde kalkulačka kořenů mnohočlenu.

Descartovo pravidlo znamének

Ještě před hledáním se dá odhadnout, kolik kladných a kolik záporných kořenů mnohočlen má. Koeficienty se napíšou od nejvyšší mocniny, nuly se vynechají, a spočítá se, kolikrát se mezi sousedy změní znaménko.

  • Počet kladných kořenů je roven počtu změn znaménka, nebo je o sudé číslo menší.
  • Počet záporných kořenů se zjistí stejně, jen z `f(-x)`, tedy po otočení znamének u lichých mocnin.

Proč „o sudé číslo menší“: některé kořeny nemusí být reálné, a komplexní kořeny mnohočlenu s reálnými koeficienty chodí vždy v párech.

Příklad 6

Kolik kladných a záporných kořenů může mít `f(x)=x^3-5x^2+4x+2`?

Znaménka jsou `{+}\ {-}\ {+}\ {+}`, mění se dvakrát. Kladné kořeny jsou tedy 2, nebo 0. Pak

`f(-x)=-x^3-5x^2-4x+2`

se znaménky `{-}\ {-}\ {-}\ {+}`, jedna změna, takže záporný kořen je přesně jeden. Skutečně: kořeny jsou přibližně `-0{,}34`, `1{,}53` a `3{,}81`.

Pravidlo dává jen horní mez. U `-x^4+5x^3-8x^2+6x-9` se znaménko mění čtyřikrát, kladných kořenů tedy může být 4, 2 nebo 0, a v `f(-x)=-x^4-5x^3-8x^2-6x-9` se nemění vůbec. Tento mnohočlen ve skutečnosti nemá žádný reálný kořen, všechny čtyři jsou komplexní.

Časté chyby

  • Chybějící mocnina bez nuly. U `x^3-5` jsou koeficienty `1,\ 0,\ 0,\ {-5}`. Bez nul vyjde v Hornerově schématu i v kalkulačce úplně jiný mnohočlen.
  • Minus jen u prvního členu. `-(x^2-3x+1)=-x^2+3x-1`, znaménko se otáčí u všech tří členů.
  • Zapomenutý prostřední člen. `(x+3)^2=x^2+6x+9`, ne `x^2+9`.
  • Stupeň mocniny závorky. `(x+1)^4` má stupeň 4 a `(x^2+1)^3` stupeň `2\cdot 3=6`. Při násobení se stupně sčítají.
  • Prvočinitelé místo dělitelů. Kandidáti na kořen jsou všichni dělitelé absolutního členu, i složená čísla a jednička.
  • Odmocnina ze záporného diskriminantu. `\sqrt{-3}=i\sqrt{3}`, ne `\sqrt{3i}`. To druhé je úplně jiné číslo.

Příklady k procvičení

1. Určete stupeň, vedoucí koeficient a absolutní člen mnohočlenu `P(x)=4-3x^2+x^5-2x`.

2. Které z výrazů jsou mnohočleny? a) `3x^4-\dfrac{{x}}{{2}}`; b) `\dfrac{{2}}{{x}}+1`; c) `\sqrt{{3}}\,x^2-1`; d) `\sqrt{{x}}+1`; e) `(x-1)^3`; f) `x^2+2^x`.

3. Vypočítejte `(2x^2-3x+1)-(x^2-5x+4)` a `(x-2)(x^2+2x+4)`.

4. Pro `P(x)=x^3-2x^2-5x+6` ověřte, že 3 je kořen, a rozložte `P` na součin.

5. Bez počítání kořenů popište graf `f(x)=x(x+3)^2(x-1)^3`: směr konců, kde osu `x` protne a kde se jí dotkne.

6. Ze čtverce plechu o straně 12 cm se v rozích vystřihnou čtverečky o straně `x` a okraje se ohnou na otevřenou krabici. Vyjádřete objem jako mnohočlen, spočítejte ho pro `x=1,\ 2,\ 3\ \mathrm{{cm}}` a zjistěte, pro které `x` je objem `128\ \mathrm{{cm^3}}`.

Kam dál