Lineární rovnice: převést a vydělit

Rovnice tvaru ax + b = c se řeší dvěma kroky. Nejdřív převedeme b na druhou stranu, čímž se z něj stane -b, a zbyde ax = c - b. Pak vydělíme obě strany číslem a a máme x = (c - b) / a.

Pozor na případ, kdy a = 0. Neznámá z rovnice úplně vypadne a zbyde tvrzení o dvou číslech. Když je pravdivé, splní rovnici každé reálné číslo; když není, rovnice nemá řešení. Není to chyba zadání, je to legitimní výsledek, a kalkulačka ho tak i pojmenuje.

Diskriminant rozhoduje o počtu kořenů

U kvadratické rovnice ax² + bx + c = 0 se všechno točí kolem diskriminantu D = b² - 4ac. Je to přesně to, co je pod odmocninou ve vzorci pro kořeny, a proto jeho znaménko rozhoduje:

  • D > 0 - odmocnina je reálná a nenulová, kořeny jsou dva různé,
  • D = 0 - odmocnina je nula, oba kořeny splynou v jeden dvojnásobný,
  • D < 0 - odmocnina ze záporného čísla není reálná, reálné řešení neexistuje.

Samotné kořeny pak vyjdou ze vzorce x = (-b ± √D) / 2a. Stojí za to si všimnout, že jmenovatel je 2a, ne a - to je nejčastější chyba při dosazování.

Proč se tu kořen ukazuje jako zlomek

Když je diskriminant druhou mocninou celého čísla, jsou kořeny racionální a dají se zapsat přesně. Rovnice 2x² - x - 3 = 0 má kořeny 3/2 a -1, ne 1,5 a -1. Pro kontrolu vlastního výpočtu je přesný zlomek k nepoznání užitečnější než zaokrouhlené desetinné číslo, takže se tady ukazuje zlomek všude, kde existuje. Teprve když je kořen iracionální - třeba u x² - 2 = 0 - se přepne na desetinné číslo, protože žádný zlomek by ho nevystihl.

Vietovy vzorce jako zkouška

Pro rovnici v normovaném tvaru x² + px + q = 0 platí, že součet kořenů je -p a jejich součin q. Obecně pro ax² + bx + c = 0 je součet -b/a a součin c/a.

Nejrychlejší využití je zkouška: spočítáte kořeny běžnou cestou a pak ověříte, že jejich součet a součin sedí. Když nesedí, je chyba v dosazení, a najdete ji dřív, než ji najde někdo jiný. Druhým směrem to funguje taky - ze zadaných kořenů se dá rovnice složit zpátky.

Rozklad na kořenové činitele

Jakmile znáte kořeny, jde trojčlen zapsat jako součin a(x - x₁)(x - x₂). Odtud je taky vidět, proč se rovnice řeší právě hledáním kořenů: součin je nulový právě tehdy, když je nulový některý činitel. Když je diskriminant záporný, žádný takový rozklad v reálných číslech neexistuje.

Soustava dvou rovnic přes determinanty

Soustavu a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ lze řešit dosazovací nebo sčítací metodou, ale nejrychleji se rozhodne determinantem D = a₁b₂ - a₂b₁. Když je nenulový, má soustava právě jedno řešení a x = Dx/D, y = Dy/D.

Nulový determinant znamená, že obě rovnice popisují rovnoběžné přímky. Buď jsou to tytéž přímky a řešením je každý jejich bod, nebo jsou různé a společný bod nemají. Kalkulačka obě možnosti rozliší.