Slovní úlohy na poměr

Slovní úlohy na poměr se řeší přes jeden díl. Poměr 3 : 4 říká, že první část má 3 stejné díly a druhá 4, dohromady tedy 7 dílů. Celek vydělíme součtem členů poměru, tím dostaneme velikost jednoho dílu, a ten pak vynásobíme každým členem poměru:

`\begin{gathered} 1\,400 \text{ v poměru } 3 : 4 \\[4pt] 1 \text{ díl} = 1\,400 : 7 = 200 \\[4pt] 3 \cdot 200 = 600, \quad 4 \cdot 200 = 800 \end{gathered}`

Stejný postup funguje, i když celek neznáme a v zadání je jen jedna část nebo rozdíl dvou částí. Z té známé informace se nejdřív vypočítá jeden díl a z něj všechno ostatní. Pomáhá si úlohu nakreslit jako pruh rozdělený na díly.

Níže je postupně: co je poměr a jak se krátí, rozdělení celku v poměru dvou a tří čísel, úlohy se známou částí nebo rozdílem, postupný poměr, zvětšení a zmenšení v poměru, souvislost s trojčlenkou a s měřítkem mapy, časté chyby a na konci příklady k procvičení s řešením.

Co je poměr a jak se zapisuje

Poměr porovnává dvě (nebo více) veličin dělením. Zapisuje se s dvojtečkou, `a : b`, a čte se „a ku b“. Poměr 2 : 5 znamená, že na každé 2 díly první veličiny připadá 5 dílů druhé. Záleží na pořadí: poměr chlapců a dívek 2 : 5 je jiná třída než poměr 5 : 2.

Poměr se nezmění, když oba členy vynásobíme nebo vydělíme stejným číslem (různým od nuly). Proto ho můžeme krátit a rozšiřovat stejně jako zlomek. Poměr je v základním tvaru, když jsou oba členy přirozená čísla, která nemají společného dělitele většího než 1 (jsou nesoudělná). Krátíme největším společným dělitelem:

`\begin{gathered} 45 : 60 = 3 : 4 \quad (\text{děleno } 15) \\[4pt] 0{,}6 : 1{,}5 = 6 : 15 = 2 : 5 \\[10pt] \dfrac{1}{2} : \dfrac{2}{3} = 3 : 4 \quad (\text{krát } 6) \end{gathered}`

Desetinná čísla se nejdřív rozšíří tak, aby z nich byla celá čísla (u 0,6 : 1,5 deseti), zlomky se rozšíří jejich společným jmenovatelem. Když mají veličiny jednotky, musí být stejné: 50 cm : 2 m není 50 : 2, ale 50 cm : 200 cm = 1 : 4. Zkrácení si můžete ověřit na kalkulačce pro zkrácení poměru.

Rozdělení celku v daném poměru

Nejčastější úloha na poměr: celek je známý a máme ho rozdělit. Postup má tři kroky:

1. Sečteme členy poměru, tím zjistíme, na kolik dílů se celek dělí.
2. Celek vydělíme tímto součtem, vyjde jeden díl.
3. Jeden díl vynásobíme každým členem poměru.

Příklad 1: odměna pro dva

Petr a Jana si mají rozdělit odměnu 1 400 Kč v poměru 3 : 4. Kolik dostane každý?

Poměr 3 : 4 má 3 + 4 = 7 dílů. Jeden díl je 1 400 : 7 = 200 Kč. Petr dostane 3 · 200 = 600 Kč, Jana 4 · 200 = 800 Kč.

Kontrola: 600 + 800 = 1 400 a 600 : 800 po zkrácení dvěma sty je 3 : 4. Sedí. Stejný výpočet udělá kalkulačka pro rozdělení v poměru.

Příklad 2: poměr tří čísel

Na beton se míchá cement, písek a štěrk zhruba v poměru 1 : 2 : 3. Kolik kilogramů každé složky je potřeba na 720 kg suché směsi?

U tří čísel se postupuje úplně stejně, jen sčítáme tři členy: 1 + 2 + 3 = 6 dílů. Jeden díl je 720 : 6 = 120 kg.

`\begin{gathered} \text{cement: } 1 \cdot 120 = 120 \ \mathrm{kg} \\[4pt] \text{písek: } 2 \cdot 120 = 240 \ \mathrm{kg} \\[4pt] \text{štěrk: } 3 \cdot 120 = 360 \ \mathrm{kg} \end{gathered}`

Kontrola: 120 + 240 + 360 = 720. Pro poměr tří čísel je tu kalkulačka na rozdělení v poměru tří čísel.

Když známe jen jednu část nebo rozdíl

V těžších úlohách celek chybí. Zadání pak prozradí velikost jedné části, nebo o kolik je jedna část větší než druhá. I tady stačí zjistit, kolik dílů ta známá informace představuje.

Příklad 3: trubka

Z trubky jsme nejprve odřízli 90 cm a zbytek jsme rozdělili na tři části v poměru 3 : 4 : 5. Nejkratší část měřila 45 cm. Jak dlouhá byla trubka na začátku?

Nejkratší část odpovídá nejmenšímu členu poměru, tedy 3 dílům. Jeden díl je 45 : 3 = 15 cm. Druhá část má 4 · 15 = 60 cm, třetí 5 · 15 = 75 cm. K délce trubky musíme přičíst i odříznutý kus:

`90 + 45 + 60 + 75 = 270 \ \mathrm{cm}`

Trubka měřila 270 cm, tedy 2,7 m. Kontrola: zbytek 270 − 90 = 180 cm má 12 dílů po 15 cm a 45 : 60 : 75 se po vydělení patnácti zkrátí na 3 : 4 : 5. Nejčastější chyba v této úloze je zapomenout na odříznutých 90 cm.

Příklad 4: chlapci a dívky

Ve třídě je poměr chlapců a dívek 5 : 7. Dívek je o 6 víc než chlapců. Kolik žáků má třída?

Dívky mají o 7 − 5 = 2 díly víc než chlapci a tyto 2 díly jsou 6 žáků. Jeden díl jsou 3 žáci. Chlapců je 5 · 3 = 15, dívek 7 · 3 = 21, třída má 15 + 21 = 36 žáků.

Kontrola: 21 − 15 = 6 a 15 : 21 = 5 : 7 (děleno třemi). Tady se snadno udělá chyba, když se rozdíl 6 vydělí součtem 12 místo rozdílem dílů.

Postupný poměr

Někdy zadání dá dva poměry, které sdílejí jednu veličinu: `a : b = 2 : 3` a `b : c = 4 : 5`. Spojit je do jednoho poměru `a : b : c` jde jen tehdy, když má společná veličina `b` v obou stejné číslo. Proto oba poměry rozšíříme tak, aby se `b` rovnalo nejmenšímu společnému násobku 3 a 4, tedy 12:

`\begin{gathered} a : b = 2 : 3 = 8 : 12 \\[4pt] b : c = 4 : 5 = 12 : 15 \\[4pt] a : b : c = 8 : 12 : 15 \end{gathered}`

Příklad 5: kapesné tří kamarádů

Pavel a Petr mají peníze v poměru 2 : 3, Petr a Martin v poměru 4 : 5. Dohromady mají 700 Kč. Kolik má každý?

Spojený poměr je 8 : 12 : 15, to je 8 + 12 + 15 = 35 dílů. Jeden díl je 700 : 35 = 20 Kč. Pavel má 8 · 20 = 160 Kč, Petr 12 · 20 = 240 Kč, Martin 15 · 20 = 300 Kč.

Kontrola: 160 + 240 + 300 = 700, 160 : 240 = 2 : 3 a 240 : 300 = 4 : 5. Kdo by poměry jen „slepil“ na 2 : 3 : 5, dostane špatný výsledek: Petr by v něm měl 3 díly, ale ve druhém poměru 4.

Zvětšení a zmenšení v poměru

Zvětšit číslo v poměru 5 : 4 znamená vynásobit ho zlomkem `\frac{5}{4}`. Zmenšit v poměru 3 : 4 znamená vynásobit `\frac{3}{4}`. První člen poměru říká, kolik dílů bude, druhý, kolik jich bylo:

`\begin{gathered} 80 \cdot \dfrac{5}{4} = 100 \\[10pt] 80 \cdot \dfrac{3}{4} = 60 \end{gathered}`

Když je první člen větší, číslo roste, když je menší, klesá. „Zvětšit v poměru 5 : 4“ tedy není totéž jako „zvětšit o 5/4“: 80 zvětšené o pět čtvrtin by bylo 80 + 100 = 180.

Příklad 6: recept

Recept na 4 porce potřebuje 300 g mouky. Kolik mouky dáme na 6 porcí?

Porcí bude víc v poměru 6 : 4 = 3 : 2, ve stejném poměru se zvětší i mouka: `300 \cdot \dfrac{3}{2} = 450` g. Kontrola: na jednu porci připadá 300 : 4 = 75 g a 6 · 75 = 450 g.

Poměr a trojčlenka

Recept z příkladu 6 je ve skutečnosti přímá úměra: kolikrát víc porcí, tolikrát víc mouky, a poměr obou veličin zůstává stejný. Úlohy na přímou úměru se proto dají psát jako rovnost dvou poměrů a řešit trojčlenkou. Když 4 kg jablek stojí 260 Kč, pak 7 kg stojí:

`\begin{gathered} 4 : 7 = 260 : x \\[4pt] x = 260 \cdot \dfrac{7}{4} = 455 \ \mathrm{Kč} \end{gathered}`

U nepřímé úměry se poměr obrací: kolikrát víc dělníků, tolikrát méně dní. Když 6 dělníků udělá práci za 12 dní, 8 dělníků ji udělá za `12 \cdot \dfrac{6}{8} = 9` dní, protože počet dní se zmenší v poměru 6 : 8. Kontrola: součin 6 · 12 = 72 = 8 · 9 zůstal stejný.

Obě úlohy počítají kalkulačky trojčlenka pro přímou úměru a nepřímá úměra, a obě se střídají v procvičování úměry a poměru, kde je pokaždé potřeba poznat, o kterou úměru jde.

Měřítko mapy je také poměr

Měřítko 1 : 50 000 je poměr vzdálenosti na mapě ke skutečné vzdálenosti: 1 cm na mapě odpovídá 50 000 cm ve skutečnosti, tedy 500 m. Úsečka dlouhá 3,5 cm je ve skutečnosti 3,5 · 50 000 = 175 000 cm = 1,75 km. Pozor na plochy: obsah se mění s druhou mocninou měřítka, takže 1 cm² na mapě odpovídá 50 000² cm², tedy 25 hektarům. Převod udělá kalkulačka pro měřítko mapy a úlohu s rozlohou lesa vyřešenou krok za krokem najdete v článku Měřítko na mapě ve slovní úloze.

Časté chyby

• Celek vydělený prvním členem místo součtu. 1 400 v poměru 3 : 4 není 1 400 : 3. Jeden díl je celek děleno součtem všech členů.
• Prohozené pořadí. Poměr chlapců a dívek 5 : 7 dává 5 dílů chlapcům. Když zadání jmenuje veličiny v jiném pořadí než čísla, přepište si poměr nejdřív s popisky.
• Rozdíl vydělený součtem. Když je známý rozdíl dvou částí, odpovídá rozdílu dílů (7 − 5 = 2), ne jejich součtu.
• Různé jednotky. Před krácením převeďte obě veličiny na stejnou jednotku.
• Slepený postupný poměr. Ze 2 : 3 a 4 : 5 nevznikne 2 : 3 : 5. Nejdřív sjednoťte společný člen.
• Bez kontroly. Části musí dát dohromady celek a po zkrácení zadaný poměr. Trvá to deset sekund a odhalí většinu chyb.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování: Úměra a poměr, trojčlenka i rozdělení celku v poměru.
• Kalkulačky: Rozdělení v poměru, Rozdělení v poměru tří čísel, Zkrácení poměru a všechny kalkulačky na trojčlenku a poměr.
• Články: Měřítko na mapě ve slovní úloze, Slovní úlohy se zlomky, Procenta a Největší společný dělitel.