Procento je jedna setina celku: `1\ \% = \frac{1}{100} = 0{,}01`. V každé úloze na procenta vystupují tři čísla. Základ je celek, tedy 100 %. Počet procent říká, jak velkou část chceme. Procentová část je to, kolik ta část skutečně dělá. Dvě z těch tří čísel zadání prozradí a třetí se dopočítá ze vzorce:

`\begin{gathered}\text{procentová část} = \text{základ} \cdot \dfrac{\text{počet procent}}{100}\\[10pt] č = z \cdot \dfrac{p}{100}\end{gathered}`

Nejjistější cesta vede přes jedno procento. Základ vydělíme stem a výsledek vynásobíme počtem procent. Kolik je 7 % z 2 500 Kč? Jedno procento je 2 500 : 100 = 25 Kč, sedm procent je 7 · 25 = 175 Kč.

Každý výpočet si můžete ověřit na kalkulačkách procent, které ukážou i celý postup, a příklady s okamžitou kontrolou najdete v procvičování procent.

Procenta se učí v 7. třídě a potom se s nimi počítá pořád: sleva v obchodě, DPH na účtence, úrok v bance, výsledky voleb. Níže najdete, co procento znamená, tři základní typy úloh, počítání zpaměti, zvýšení a snížení o procenta, cenu před slevou, procentní změnu a procentní bod, DPH, úrok, řešenou slovní úlohu, časté chyby a šest příkladů s řešením.

Co je procento

Slovo procento pochází z latinského per centum, tedy „ze sta“. Celek si rozdělíme na sto stejných dílů a procento je jeden z nich. Když je vybarveno 23 dílků ze 100, je vybarveno 23 %.

23 dílků ze 100 je 23 %

Procenta jsou jen jiný zápis zlomku se jmenovatelem 100. Proto 50 % je polovina, 25 % čtvrtina a 100 % celek. Víc než 100 % také dává smysl: 150 % znamená celek a ještě polovinu navíc. Nejčastější hodnoty je dobré znát nazpaměť, ušetří spoustu počítání:

procentazlomekdesetinné číslozpaměti
1 %`\dfrac{1}{100}`0,01: 100
5 %`\dfrac{1}{20}`0,05: 20
10 %`\dfrac{1}{10}`0,1: 10
20 %`\dfrac{1}{5}`0,2: 5
25 %`\dfrac{1}{4}`0,25: 4
50 %`\dfrac{1}{2}`0,5: 2
33`\tfrac{1}{3}` %`\dfrac{1}{3}`0,333...: 3
75 %`\dfrac{3}{4}`0,75: 4, pak · 3
100 %11celé číslo
150 %`\dfrac{3}{2}`1,5· 1,5

Sloupec „zpaměti“ říká, čím základ vydělit: 25 % z čísla je jeho čtvrtina, takže 25 % ze 640 je 640 : 4 = 160. Zlomek na procenta převede kalkulačka zlomek na procenta (3/8 je 37,5 %).

Promile (‰) je jedna tisícina, tedy desetina procenta: 1 ‰ = 0,1 %. Používá se pro malé podíly, třeba alkohol v krvi nebo sklon trati. 2,5 % je 25 ‰, převod oběma směry dělá kalkulačka procenta na promile.

Tři základní úlohy: část, počet procent, základ

Ve škole se procenta dělí na tři typy podle toho, které číslo hledáme. Prvním krokem každé slovní úlohy je proto poznat, co je základ (ten celek, ze kterého se počítá), co je část a co jsou procenta.

hledámeznámevzorec
procentovou částzáklad a procenta`č = z \cdot \dfrac{p}{100}`
počet procentčást a základ`p = \dfrac{č}{z} \cdot 100`
základčást a procenta`z = \dfrac{č}{p} \cdot 100`

Příklad 1: kolik je procent z čísla

Kolik je 35 % z 860?

`\begin{gathered}1\ \% = 860 : 100 = 8{,}6\\[4pt] 35\ \% = 35 \cdot 8{,}6 = 301\end{gathered}`

Kratší cesta je jedno násobení desetinným číslem: 35 % = 0,35, takže 0,35 · 860 = 301. Kontrola odhadem: 35 % je o něco víc než třetina a třetina z 860 je asi 287, sedí to. Postup ukáže i kalkulačka kolik je procent z čísla.

Příklad 2: kolik procent je číslo z celku

Ve škole je 360 žáků a 54 z nich chodí na kroužek robotiky. Kolik procent žáků to je?

Základ je 360 (všichni žáci), část je 54. Podíl části a základu převedeme na procenta:

`p = \dfrac{54}{360} \cdot 100 = 0{,}15 \cdot 100 = 15\ \%`

Stejně dobře poslouží trojčlenka. Sto procentům odpovídá základ, hledaným procentům část, a protože jde o přímou úměru, poměr části k základu je stejný jako poměr hledaných procent ke stu:

`\begin{gathered}100\ \% \;\ldots\; 360\ \text{žáků}\\[4pt] x\ \% \;\ldots\; 54\ \text{žáků}\\[10pt] x = 100 \cdot \dfrac{54}{360} = 15\ \%\end{gathered}`

Pozor na pořadí: menší počet žáků musí dát menší počet procent. Kdo zlomek obrátí, dostane 100 · 360/54 ≐ 667 %, a to je zjevně nesmysl. Kalkulačka: kolik procent je číslo z celku.

Příklad 3: výpočet základu

Na výlet jelo 18 žáků, což je 60 % třídy. Kolik žáků má třída?

Tady známe část (18) i procenta (60 %) a hledáme celek. Šedesát procent je šest dílů po 10 %, takže:

`\begin{gathered}10\ \% = 18 : 6 = 3\ \text{žáci}\\[4pt] 100\ \% = 3 \cdot 10 = 30\ \text{žáků}\end{gathered}`

Jedním krokem: 18 : 0,6 = 30. Zkouška: 60 % ze 30 je 18. Doma zůstalo 30 − 18 = 12 žáků. Viz kalkulačka výpočet základu z procent.

Procenta zpaměti

Většinu procent jde spočítat bez kalkulačky, když je poskládáme z jednoduchých kousků:

  • 10 % je desetina: posuneme desetinnou čárku o jedno místo doleva. 10 % z 2 480 je 248.
  • 5 % je polovina z 10 %: 5 % z 2 480 je 124.
  • 15 % = 10 % + 5 %: 248 + 124 = 372.
  • 20 % je pětina: 20 % ze 4 800 je 4 800 : 5 = 960.
  • 1 % je setina: posuneme čárku o dvě místa.

A jeden trik: procenta a základ lze prohodit. 8 % z 25 je totéž co 25 % z 8, a čtvrtina z osmi jsou 2. Platí to vždy, protože obojí je 8 · 25 / 100.

Zvýšení a snížení o procenta, sleva

Když se cena zvýší o 6 %, nová cena je 106 % té původní. Když se sníží o 15 %, zbude z ní 85 %. Proto se nová hodnota dá spočítat jedním vynásobením takzvaným koeficientem:

`\begin{gathered}\text{zvýšení o } p\ \%\text{:}\\[2pt] \text{nová} = \text{původní} \cdot \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)\\[14pt] \text{snížení o } p\ \%\text{:}\\[2pt] \text{nová} = \text{původní} \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)\end{gathered}`

Příklad 4: sleva a zdražení

Kolo stojí 12 400 Kč a je ve slevě 15 %. Kolik stojí po slevě?

`12\,400 \cdot 0{,}85 = 10\,540\ \mathrm{Kč}`

Delší cesta dá totéž: sleva je 15 % z 12 400, tedy 1 860 Kč, a 12 400 − 1 860 = 10 540 Kč. Obojí počítá kalkulačka snížení o procenta a sleva.

Mzda 32 000 Kč se zvýší o 6 %. Nová mzda je 32 000 · 1,06 = 33 920 Kč, přidáno bylo 1 920 Kč (kalkulačka zvýšení o procenta).

Zdražení a stejná sleva se nevyruší. Zboží za 1 000 Kč zdraží o 20 % na 1 200 Kč a pak zlevní o 20 %. Těch 20 % se ale teď počítá z 1 200, takže sleva je 240 Kč a cena skončí na 960 Kč, o 4 % níž, než začala. Koeficienty to ukážou hned: 1,2 · 0,8 = 0,96.

Cena před slevou: kde se chybuje nejčastěji

Bunda po slevě 30 % stojí 1 890 Kč. Kolik stála původně? Svádí to přičíst 30 % z 1 890, jenže sleva se počítala z původní ceny, ne z té nové. Cena 1 890 Kč není 100 %, ale 70 % původní ceny:

10 %10 %10 %10 %10 %10 %10 %10 %10 %10 %původní cena = 100 % = ?po slevě: 70 % = 1 890 Kčsleva 30 %
`\begin{gathered}10\ \% = 1\,890 : 7 = 270\ \mathrm{Kč}\\[4pt] 100\ \% = 270 \cdot 10 = 2\,700\ \mathrm{Kč}\end{gathered}`

Jedním krokem se dělí koeficientem: 1 890 : 0,7 = 2 700 Kč. Zkouška: 30 % z 2 700 je 810 a 2 700 − 810 = 1 890, sedí. Kdo by přičetl 30 % z 1 890, dostal by 2 457 Kč, a kdyby z té ceny obchod znovu strhl 30 %, vyšlo by 1 719,90 Kč místo 1 890. Kalkulačka cena před slevou vždy ukáže i tuto zkoušku.

Stejně se počítá hodnota před zvýšením. Po zdražení o 25 % stojí lístek 150 Kč, takže 150 Kč je 125 % původní ceny a ta byla 150 : 1,25 = 120 Kč. Odečíst 25 % z 150 by dalo 112,50 Kč, což je špatně (kalkulačka hodnota před zvýšením).

O kolik procent se hodnota změnila

Rozdíl nové a původní hodnoty vydělíme původní hodnotou, protože ta je sto procent:

`\text{změna} = \dfrac{\text{nová} - \text{původní}}{\text{původní}} \cdot 100\ \%`

Jízdenka zdražila z 24 Kč na 30 Kč. Rozdíl je 6 Kč a 6 : 24 = 0,25, zdražila tedy o 25 %. Kdyby pak zlevnila zpátky z 30 Kč na 24 Kč, dělí se třiceti: 6 : 30 = 0,2, zlevnila o 20 %. Stejný rozdíl, jiný základ, jiná procenta. Kladný výsledek je růst, záporný pokles (kalkulačka procentní změna).

Procento a procentní bod

Když se mění hodnota, která sama je v procentech, rozlišují se dvě věci. Procentní bod je prostý rozdíl dvou procentních hodnot. Procento je změna vzhledem k původní hodnotě.

Nezaměstnanost vzrostla z 3,2 % na 4 %. Vzrostla o 0,8 procentního bodu, protože 4 − 3,2 = 0,8. Zároveň vzrostla o 25 %, protože 0,8 : 3,2 = 0,25. Obě věty jsou pravdivé. Chyba je napsat „vzrostla o 0,8 %“, to by znamenalo jen z 3,2 % na 3,2256 %. Rozdíl spočítá kalkulačka procentní bod.

DPH: cena s daní a bez daně

V Česku platí od roku 2024 dvě sazby DPH: základní 21 % a snížená 12 %, která platí například pro většinu potravin. Daň se počítá z ceny bez DPH, takže cena s daní je 121 % (nebo 112 %) ceny bez daně:

`\begin{gathered}\text{cena s DPH} = \text{cena bez DPH} \cdot 1{,}21\\[4pt] \text{cena bez DPH} = \text{cena s DPH} : 1{,}21\end{gathered}`

Notebook stojí bez DPH 5 000 Kč. Daň je 21 % z 5 000, tedy 1 050 Kč, a cena s DPH 5 000 · 1,21 = 6 050 Kč. Rohlíky za 250 Kč bez daně stojí se sníženou sazbou 250 · 1,12 = 280 Kč (výpočet ceny s DPH).

Opačně je to past stejná jako u slevy. Telefon stojí 6 050 Kč s DPH. Cena bez daně je 6 050 : 1,21 = 5 000 Kč a daň 1 050 Kč. Odečíst 21 % z 6 050 by dalo 4 779,50 Kč a daň 1 270,50 Kč, obojí špatně, protože 6 050 není základ, ze kterého se daň počítala. Daň z ceny s DPH se dá spočítat i přímo jako 6 050 · 21/121 = 1 050 Kč (cena bez DPH).

Úrok

Úroková sazba říká, kolik procent z uložené (nebo půjčené) částky přibude za jeden rok. Při jednoduchém úročení se počítá stále ze stejné částky:

`u = K \cdot \dfrac{p}{100} \cdot t`

kde `K` je vklad, `p` roční úroková sazba v procentech a `t` doba v letech. Vklad 50 000 Kč při sazbě 4 % přinese za rok 50 000 · 0,04 = 2 000 Kč. Z úroku se platí daň 15 %, tedy 300 Kč, takže čistý úrok je 1 700 Kč. Za devět měsíců by byl úrok 9/12 z celoročního, 1 500 Kč, po zdanění 1 275 Kč.

Spočítá to kalkulačka jednoduchého úročení, úlohy na úrok za roky, měsíce i dny jsou v procvičování jednoduchého úročení. Když se úrok přičítá k vkladu a dál se úročí i on, jde o složené úročení.

Řešená slovní úloha: procento odpadu

Z tabule plechu o rozměrech 1,6 m a 0,8 m se vyrobilo 8 kotoučů o průměru 40 cm. Kolik procent plechu je odpad?

1,6 m × 0,8 m, kotouče o průměru 40 cm

Kotouče se vejdou do dvou řad po čtyřech, protože 160 : 40 = 4 a 80 : 40 = 2. Základem je celý plech, částí plocha kotoučů.

Plocha plechu: 1,6 · 0,8 = 1,28 m².

Plocha kotoučů: poloměr je 0,2 m, jeden kotouč má obsah

`\begin{gathered}S_1 = \pi r^2 = \pi \cdot 0{,}2^2 \doteq 0{,}1257\ \mathrm{m^2}\\[4pt] 8 \cdot S_1 \doteq 1{,}0053\ \mathrm{m^2}\end{gathered}`

Procenta: kotouče zabírají

`\dfrac{1{,}0053}{1{,}28} \cdot 100 \doteq 78{,}54\ \%`

plechu, odpad je tedy 100 − 78,54 = 21,46 %, zaokrouhleně 21,5 %. To je 1,28 − 1,0053 ≐ 0,2747 m² plechu. S π ≐ 3,14 vyjde plocha kotoučů 1,0048 m² a podíl 78,5 %, tedy stejný výsledek po zaokrouhlení na desetiny.

Zajímavost na konec: výsledek nezávisí na velikosti plechu ani kotoučů, pokud se kotouče do plechu vejdou beze zbytku, tedy když jsou jeho rozměry násobky průměru. Každý kotouč pak leží ve svém čtverci 40 × 40 cm a kruh vepsaný do čtverce zabírá vždy π/4 ≐ 78,54 % jeho plochy. Obsah kotouče spočítá kalkulačka kruh a kružnice.

Časté chyby

  • Dělí se špatným základem. Procentní změna se počítá vždy z původní hodnoty. Z 24 na 30 je +25 %, z 30 na 24 je −20 %.
  • Zpětná úloha se řeší odečtením. Cena před slevou, hodnota před zvýšením a cena bez DPH se počítají dělením koeficientem (0,7, 1,25, 1,21), ne přičtením nebo odečtením stejných procent.
  • Procenta postupných změn se sčítají. Dvakrát zdražení o 10 % není 20 %, ale 1,1 · 1,1 = 1,21, tedy 21 %. Sleva 20 % a pak 25 % není 45 %, ale 40 %.
  • Trojčlenka napsaná obráceně. V přímé úměře musí menšímu počtu odpovídat méně procent. Když část menší než celek vyjde přes 100 %, je zlomek vzhůru nohama.
  • Procento místo procentního bodu. Z 3,2 % na 4 % je to 0,8 procentního bodu, ne 0,8 %.
  • Výsledek bez kontroly. Zkouška zabere chvilku: spočítejte z výsledku procenta zpátky a podívejte se, jestli vyjde zadané číslo.

Příklady k procvičení

1. Kolik je 12 % z 650?

2. Kolik procent je 27 ze 75?

3. Za sešity Petr zaplatil 42 Kč, což je 35 % všech jeho peněz. Kolik peněz měl?

4. Po zdražení o 12 % stojí lístek na autobus 56 Kč. Kolik stál předtím?

5. Zboží zlevnili o 20 % a za měsíc ještě o 25 % z nové ceny. O kolik procent je teď levnější než na začátku?

6. Strana měla v průzkumu 8 %, v dalším průzkumu 10 %. O kolik procentních bodů a o kolik procent si polepšila?

Kam dál