Zlomek z čísla a část celku

Zlomek z čísla spočítáme ve dvou krocích. Číslo nejdřív vydělíme jmenovatelem a dostaneme jeden díl. Ten potom vynásobíme čitatelem, protože tolik dílů chceme. Kolik jsou například dvě třetiny z 18? Osmnáct rozdělíme na tři stejné díly po 6 a vezmeme dva z nich:

`\begin{gathered}\displaystyle\frac{2}{3}\ \text{z}\ 18 = 12\\[10pt] 18 : 3 = 6 \quad \text{(jedna třetina)}\\[4pt] 6 \cdot 2 = 12 \quad \text{(dvě třetiny)}\end{gathered}`

Výsledek si můžete ověřit na kalkulačce zlomek z čísla, která ukáže i postup a kolik zbývá do celku. Příklady na počítání z hlavy s okamžitou kontrolou najdete v procvičování zlomku z čísla.

Zlomek jako část celku se učí ve 4. a 5. třídě: nejdřív polovina, třetina a čtvrtina, potom zlomky jako dvě pětiny nebo pět osmin. Stačí k tomu malá násobilka a dělení. Níže je vysvětlené, co znamená čitatel a jmenovatel, postup s obrázky, jak se dostat od části zpátky k celku, časté chyby a šest příkladů s řešením.

Část celku: čitatel a jmenovatel

Zlomek popisuje část celku. Celkem může být pizza, tabulka čokolády, třída žáků nebo hromádka bonbonů. Celek rozdělíme na stejně velké díly a některé z nich vezmeme.

Zlomek se píše jako dvě čísla nad sebou a mezi nimi je zlomková čára. Číslo dole je jmenovatel. Říká, na kolik stejných dílů je celek rozdělený. Číslo nahoře je čitatel. Říká, kolik takových dílů bereme. Pizza na posledním obrázku je rozkrojená na 8 dílů a 3 z nich jsou snědené. To jsou `\frac{3}{8}`, tři osminy pizzy.

Jak se zlomky čtou, ukazuje tabulka. Jeden díl má své jméno: polovina, třetina, čtvrtina. Když dílů bereme víc, říkáme dvě třetiny, tři čtvrtiny, pět osmin.

Dvě poloviny, tři třetiny nebo osm osmin jsou dohromady celek, tedy `\frac{8}{8} = 1`. A ještě jedna věc, která na první pohled mate: čím větší jmenovatel, tím menší je jeden díl. Osmina pizzy je menší než čtvrtina, protože se pizza krájí na víc kousků.

Kolik je polovina, třetina nebo čtvrtina z čísla

Jeden díl spočítáme dělením. Celek vydělíme jmenovatelem, tedy rozdělíme na tolik stejných dílů, kolik říká číslo dole.

polovina ze 14 = 14 : 2 = 7
třetina z 27 = 27 : 3 = 9
čtvrtina ze 32 = 32 : 4 = 8

Příklad 1

Kolik je pětina ze 35?

Pětina znamená rozdělit na 5 stejných dílů: 35 : 5 = 7. Pětina ze 35 je 7. Kontrola: pět takových dílů musí dát zpátky celek, 5 · 7 = 35.

Příklad 2: třída

Ve třídě je 24 žáků a třetina z nich jezdí do školy autobusem. Kolik žáků jezdí autobusem?

Třetina z 24 je 24 : 3 = 8. Autobusem jezdí 8 žáků. Kontrola: tři skupiny po osmi jsou 3 · 8 = 24, celá třída.

Dvě třetiny, tři pětiny: nejdřív dělit, potom násobit

Když chceme víc dílů než jeden, přidáme druhý krok:

1. Číslo vydělíme jmenovatelem. Vyjde jeden díl.
2. Jeden díl vynásobíme čitatelem. Vyjde tolik dílů, kolik chceme.

Příklad 3: dvě třetiny z 18 na obrázku

Osmnáct kuliček rozdělíme do tří stejných skupin: 18 : 3 = 6. V jedné skupině je 6 kuliček, to je jedna třetina. Dvě třetiny jsou dvě skupiny, tedy 6 · 2 = 12 kuliček.

Příklad 4

Kolik je pět šestin ze 42?

Jedna šestina: 42 : 6 = 7. Pět šestin: 7 · 5 = 35.

Kontrola úvahou: pět šestin je skoro celek, chybí jen jedna šestina. Výsledek tedy musí být o kousek menší než 42, přesně o jednu šestinu: 42 − 7 = 35. Sedí.

Příklad 5: kapesné

Petr dostal 40 Kč a tři pětiny z nich utratil za pastelky. Kolik korun utratil?

Jedna pětina ze 40 Kč: 40 : 5 = 8. Tři pětiny: 8 · 3 = 24. Petr utratil 24 Kč.

Pořadí kroků jde i otočit: nejdřív násobit, potom dělit. U dvou třetin z 18 je to 18 · 2 = 36 a 36 : 3 = 12, vyjde totéž. Dělit napřed je ale ve 4. třídě snazší, protože čísla zůstanou malá a stačí malá násobilka.

Kolik zbude do celku

Celek má vždy tolik dílů, kolik říká jmenovatel: pět pětin, osm osmin. Z pizzy na obrázku nahoře snědli tři osminy, takže zbylo pět osmin, protože 8 − 3 = 5:

`\displaystyle 1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}`

Stejně u Petra z příkladu 5. Utratil tři pětiny, zbyly mu dvě pětiny. V korunách se to dá spočítat dvěma způsoby, a když oba vyjdou stejně, je výsledek správně:

40 − 24 = 16 Kč
dvě pětiny ze 40: 8 · 2 = 16 Kč

Odčítání od celku a zlomky se stejným jmenovatelem si můžete vyzkoušet v procvičování zlomky se stejným jmenovatelem.

Od části zpátky k celku

Někdy známe část a hledáme celek: „Třetina čísla je 7. Jaké je to číslo?“ Postup se otočí. Jedna třetina je 7 a celek jsou tři třetiny, takže 7 · 3 = 21. Kontrola: třetina z 21 je 21 : 3 = 7.

Když část tvoří víc dílů, jdeme zase přes jeden díl, jen obráceně: část vydělíme čitatelem a vynásobíme jmenovatelem.

Příklad 6

Dvě pětiny čísla jsou 14. Jaké je to číslo?

Dvě pětiny jsou dva díly a mají dohromady 14. Jeden díl, tedy jedna pětina, je 14 : 2 = 7. Celek má pět dílů: 7 · 5 = 35.

Kontrola: dvě pětiny ze 35 jsou 35 : 5 = 7 a 7 · 2 = 14. Sedí. Kalkulačka počítá jen jedním směrem, od celku k části, ale výsledek cesty zpátky se s ní ověřit dá: zadejte dvě pětiny ze 35 a musí vyjít 14.

Příklad 7: výlet

Na výletě jsme ušli 6 km, a to je třetina celé cesty. Jak dlouhá je celá cesta a kolik kilometrů nám ještě zbývá?

Celá cesta jsou tři třetiny: 6 · 3 = 18 km. Zbývají dvě třetiny, 6 · 2 = 12 km. Kontrola: 6 + 12 = 18.

Přehled: co hledáme a jak

Zlomek na číselné ose

Zlomek se dá ukázat i na číselné ose. Celkem je tu úsek od 0 do 1. Rozdělíme ho na tolik stejných dílků, kolik je jmenovatel, a od nuly odpočítáme tolik dílků, kolik je čitatel. Na obrázku je úsek rozdělený na 5 dílků a šipka ukazuje po třech dílcích na `\frac{3}{5}`.

Jmenovatel poznáme podle počtu dílků mezi 0 a 1, ne podle počtu čárek. Pět dílků oddělují čtyři čárky uvnitř a k tomu jsou dvě čárky na krajích, u nuly a u jedničky, dohromady šest. Kdo spočítá čárky, napíše šestiny místo pětin. Vyzkoušet si to můžete v procvičování zlomky na číselné ose.

Časté chyby

• Prohozený čitatel a jmenovatel. Dvě třetiny z 18 nejsou 18 : 2 · 3 = 27. Pozná se to snadno: dvě třetiny jsou méně než celek, a 27 je víc než 18. Když je čitatel menší než jmenovatel, musí výsledek vyjít menší než celek.
• Jen jeden krok. „Dvě třetiny z 18 je 6.“ To je teprve jedna třetina. Po dělení je potřeba ještě násobit čitatelem: 6 · 2 = 12.
• „Čtvrtina je víc než třetina, protože 4 je víc než 3.“ Je to naopak. Čtvrtina z 12 jsou 3, třetina z 12 jsou 4. Čím na víc dílů celek krájíme, tím menší je jeden díl.
• Nestejné díly. Když jablko rozkrojíme na velký a malý kus, nejsou to poloviny. Zlomek platí jen pro díly stejně velké.
• Cesta zpátky dělením. „Třetina čísla je 7, tak číslo je 7 : 3.“ Celek je ale větší než jeho část, takže musí vyjít víc než 7: 7 · 3 = 21.

Pro rodiče

Zlomky jdou nejlépe s věcmi v ruce. Tabulka čokolády se dá lámat na poloviny a čtvrtiny, pizza nebo dort se krájí na osminy a hromádka bonbonů se dá rozdělit na třetiny. Ať dítě nejdřív rozdělí a spočítá a teprve potom zapisuje.

Celý postup stojí na malé násobilce a dělení. Když dítě neví, kolik je 42 : 6, zasekne se dřív, než se ke zlomku vůbec dostane. Pak se vyplatí nejdřív procvičit dělení v oboru násobilky. Pomáhá také říkat postup nahlas, pokaždé stejnými slovy: „Dvě třetiny z osmnácti. Jedna třetina je osmnáct děleno třemi, to je šest. Dvě třetiny jsou dvakrát šest, dvanáct.“

Příklady k procvičení

Kam dál

• Kalkulačka zlomek z čísla: libovolný zlomek z libovolného čísla s postupem, se zbytkem do celku a v procentech.
• Procvičování: zlomek z čísla (i cesta zpátky k celku), zlomky na číselné ose a zlomky se stejným jmenovatelem.
• Článek Zlomky: co následuje od 6. třídy, sčítání, odčítání, násobení, dělení a krácení zlomků.
• Článek Dělení se zbytkem a článek Násobení s malou násobilkou, na kterých zlomek z čísla stojí.
• Pro starší: převod zlomku na procenta. Procento je setina, takže polovina je 50 % a pětina 20 %.