Dělení se zbytkem použijeme, když se dělitel do dělence nevejde beze zbytku. Zjistíme, kolikrát se dělitel do dělence celý vejde, to je podíl, a kolik zbude, to je zbytek. Když třeba 17 bonbonů dáváme do sáčků po 5, naplníme 3 sáčky a 2 bonbony zbudou. Zapisuje se to takto:

17 : 5 = 3 (zb. 2)

Zbytek musí být vždy menší než dělitel. Kdyby byl stejný nebo větší, vešel by se tam dělitel ještě jednou. Výsledek ověříme zkouškou: podíl vynásobíme dělitelem a přičteme zbytek, 3 · 5 + 2 = 17. Vyšel dělenec, takže je výsledek správně.

Podíl a zbytek pro libovolná dvě přirozená čísla spočítá i se zkouškou kalkulačka dělení se zbytkem. Příklady na počítání z hlavy, s okamžitou kontrolou, najdete v procvičování dělení se zbytkem.

Dělení se zbytkem se učí ve 3. třídě v oboru malé násobilky. Vrací se v písemném dělení ve 4. a 5. třídě, v 6. třídě u dělitelnosti a na střední škole třeba při převodu čísla do dvojkové soustavy. Níže je postup krok za krokem, proč je zbytek vždy menší než dělitel, slovní úlohy, časté chyby a šest příkladů s řešením.

Dělenec, dělitel, podíl a zbytek

V příkladu 17 : 5 = 3 (zb. 2) má každé číslo své jméno:

číslonázevco znamená
17dělenecco dělíme (všechny bonbony)
5dělitelčím dělíme (kolik bonbonů je v jednom sáčku)
3podílkolikrát se dělitel celý vejde (plné sáčky)
2zbytekco zbude (bonbony, které se do sáčku nevešly)
17 bonbonů, do sáčku patří 51 · 5 = 52 · 5 = 103 · 5 = 15zbytek 2Kolikrát se 5 vejde do 17?17 : 5 = 3 (zb. 2)

Na obrázku je to dobře vidět. Tři plné sáčky po pěti jsou 3 · 5 = 15 bonbonů a do 17 chybějí ještě 2. Ty do sáčku nedáme, protože by nebyl plný. Dělení se zbytkem tedy odpovídá na otázku „kolik celých skupin a kolik zbude“.

Stejný výsledek dostaneme, když 17 bonbonů rozdělujeme spravedlivě mezi 5 dětí. Každé dostane 3 bonbony a 2 zbudou. Ve škole se těmto dvěma situacím říká dělení podle obsahu a dělení na stejné části, počítají se ale úplně stejně.

Postup: jak dělit se zbytkem

Ve 3. třídě je dělitel jednociferný a celý výpočet se opírá o malou násobilku:

  1. V násobilce dělitele najdeme největší násobek, který není větší než dělenec.
  2. Kolikátý násobek to je, tolik je podíl.
  3. Zbytek je rozdíl mezi dělencem a tímto násobkem.
  4. Zkontrolujeme, že zbytek je menší než dělitel, a uděláme zkoušku.

Příklad 1

Vydělte se zbytkem 29 : 4.

Násobky čtyř jsou 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 a tak dál. Číslo 28 ještě není větší než 29, ale 32 už je. Největší násobek, který se vejde, je 28, a to je 7 · 4. Podíl je tedy 7. Zbytek: od 28 do 29 je 1.

29 : 4 = 7 (zb. 1)

Zbytek 1 je menší než 4. Zkouška: 7 · 4 + 1 = 29.

Příklad 2

Vydělte se zbytkem 47 : 6.

V násobilce šesti je 42 = 7 · 6 a hned za ním 48, které je už víc než 47. Podíl je 7 a zbytek je rozdíl od 42 do 47, tedy 5.

47 : 6 = 7 (zb. 5)

Zbytek 5 je menší než 6, takže je v pořádku. Při dělení šesti je 5 největší zbytek, jaký může vyjít. Zkouška: 7 · 6 + 5 = 47.

Příklad 3: zbytek nula

Vydělte 56 : 8.

Číslo 56 je přímo v násobilce osmi, 7 · 8 = 56. Nic nezbude, zbytek je 0:

56 : 8 = 7 (zb. 0)

Častěji se píše jen 56 : 8 = 7 a říká se, že dělení vyšlo beze zbytku. Takové příklady, obrácenou násobilku, procvičuje dělení do 100.

Příklad 4: dělenec menší než dělitel

Vydělte se zbytkem 3 : 5.

Pětka se do trojky nevejde ani jednou. Podíl je proto 0 a zbude celá trojka:

3 : 5 = 0 (zb. 3)

Zkouška: 0 · 5 + 3 = 3. Vypadá to jako chyták, ale při písemném dělení se to stává uprostřed výpočtu a do podílu se pak píše nula.

Proč je zbytek vždy menší než dělitel

Zbytek je to, co zbude, když už další celou skupinu udělat nejde. Kdyby zbylo 5 bonbonů a do sáčku jich patří 5, naplníme ještě jeden sáček. Proto při dělení pěti může zbýt jen 0, 1, 2, 3 nebo 4. Při dělení čtyřmi zbude nejvýš 3, při dělení devíti nejvýš 8. Největší možný zbytek je vždy o jedna menší než dělitel.

Zbytky se navíc pravidelně opakují. Když dělíme čtyřmi čísla jdoucí po sobě, zbytek pokaždé vzroste o jedna. Než by dorostl na 4, spadne zpátky na nulu a podíl se zvětší o jedna:

dělenípodílzbytek
20 : 450
21 : 451
22 : 452
23 : 453
24 : 460
25 : 461
26 : 462
27 : 463
28 : 470

Ze stejného rytmu jsou sudá a lichá čísla. Sudé číslo má po dělení dvěma zbytek 0, liché zbytek 1. A stejně fungují dny v týdnu: po každých sedmi dnech je zase stejný den (to využívá příklad 7 níže).

Zkouška dělení se zbytkem

Zkouška se dělá násobením a sčítáním: podíl · dělitel + zbytek = dělenec. Když vyjde dělenec, je výpočet správně.

Zkouška ale sama nestačí. Výsledek 29 : 4 = 6 (zb. 5) zkouškou projde, protože 6 · 4 + 5 = 29. Přesto je špatně: zbytek 5 je větší než dělitel 4, čtyřka se tam vejde ještě jednou. Správně je 29 : 4 = 7 (zb. 1). Úplná kontrola má proto dvě části: zkouška vyjde a zbytek je menší než dělitel.

Starší žáci to najdou zapsané písmeny. Pro dělence `a`, dělitele `b`, podíl `q` a zbytek `z` platí:

`a = b \cdot q + z, \qquad 0 \le z \lt b`

V tomhle tvaru vypisuje výsledek i kalkulačka dělení se zbytkem, takže zkoušku máte rovnou před očima.

Zbytek nula: dělitelnost

Když vyjde zbytek 0, říkáme, že dělenec je dělitelný dělitelem. Číslo 56 je dělitelné osmi, protože 56 : 8 = 7 beze zbytku. Číslo 29 dělitelné čtyřmi není, zbude 1.

V 6. třídě se z toho stává celé téma. Aby se nemuselo pokaždé dělit, jsou znaky dělitelnosti: číslo je dělitelné dvěma, když je sudé, pěti, když končí nulou nebo pětkou, a třemi, když je jeho ciferný součet dělitelný třemi. Pro libovolné číslo je všechny projde kalkulačka kritérií dělitelnosti. A čísla větší než 1, která jsou dělitelná jen jedničkou a sama sebou, jsou prvočísla.

Slovní úlohy: kolik plných a kolik zbude

Ve slovní úloze se počítá pořád stejně. Rozhoduje, na co se úloha ptá: odpovědí může být podíl, zbytek, nebo podíl o jedna větší.

Příklad 5: kolik plných a kolik zbude

Babička má 50 vajec a skládá je do krabiček po 6. Kolik krabiček naplní a kolik vajec zbude?

50 : 6 = 8 (zb. 2)

Babička naplní 8 krabiček a 2 vejce zbudou. Zkouška: 8 · 6 + 2 = 50.

Příklad 6: zbytek taky potřebuje místo

Na výletě jede 26 dětí na loďkách. Do jedné loďky se vejdou 4 děti. Kolik loděk potřebují?

26 : 4 = 6 (zb. 2)

Šest loděk odveze 24 dětí a 2 děti by zůstaly na břehu. Potřebují proto 7 loděk, k podílu se přidává jednička.

Pozor, nahoru se nezaokrouhluje vždycky. Za 30 Kč koupíme nanuky po 7 Kč: 30 : 7 = 4 (zb. 2). Koupíme 4 nanuky a 2 Kč zbudou. Na pátý nanuk peníze nestačí, takže tady jednička nepřibývá.

Příklad 7: odpovědí je zbytek

Dnes je pondělí. Jaký den bude za 17 dní?

Týden má 7 dní a po každém celém týdnu je zase pondělí. Celé týdny proto můžeme vynechat a záleží jen na zbytku:

17 : 7 = 2 (zb. 3)

Dva celé týdny nás vrátí na pondělí a pak se posuneme o 3 dny: úterý, středa, čtvrtek. Za 17 dní bude čtvrtek.

Větší čísla a písemné dělení

Ve 4. třídě se dělí i čísla mimo násobilku, třeba 85 : 6. Násobilka šesti končí u 60, a tak se dělí po částech, zleva:

  1. Nejdřív desítky: 8 : 6 = 1 (zb. 2). Do podílu píšeme 1.
  2. Ke zbytku 2 připíšeme další číslici dělence, 5. Máme 25: 25 : 6 = 4 (zb. 1). Do podílu píšeme 4.
  3. Číslice dělence došly. Podíl je 14 a zbytek 1.
85 : 6 = 14 (zb. 1)

Zkouška: 14 · 6 + 1 = 85. Přesně takhle vypadá písemné dělení: zbytky se píšou pod dělenec a připisuje se k nim další číslice. Celý postup, i s dvojciferným dělitelem, ukáže kalkulačka písemného dělení a příklady na papír nabízí procvičování písemného dělení.

Na kapesní kalkulačce zbytek přímo neuvidíte. Ukáže 85 : 6 = 14,1666…, kde celá část 14 je podíl. Zbytek dopočítáte: 85 − 14 · 6 = 85 − 84 = 1. Desetinná část 0,1666… zbytek není. V programování se zbytku po dělení říká modulo a píše se 85 mod 6 nebo 85 % 6.

Časté chyby

  • Zbytek stejný nebo větší než dělitel. 29 : 4 = 6 (zb. 5) je špatně, i když zkouška vyjde. Když zbytek není menší než dělitel, přidejte k podílu jedničku a od zbytku odečtěte dělitel: 29 : 4 = 7 (zb. 1).
  • Zbytek zapsaný jako desetinné číslo. 29 : 4 = 7 (zb. 1) neznamená 7,1. Desetinně vychází 29 : 4 = 7,25, protože i zbylá jednička se dá dělit dál: 1 : 4 = 0,25. Zbytek a desetinná část jsou dvě různé věci.
  • Odpověď, která na zbytek zapomene. U loděk z příkladu 6 je odpověď 7, ne 6. Po výpočtu si přečtěte otázku ještě jednou a rozmyslete, co se zbytkem udělat.
  • „To nejde.“ Dělení 3 : 5 jde, podíl je 0 a zbytek 3. Při písemném dělení pak do podílu patří nula, jinak vyjde výsledek desetkrát menší.

Pro rodiče

Dělení se zbytkem stojí na malé násobilce. Dítě, které ji nemá v hlavě, hledá násobky pomalu a pak chybuje i ve zbytku. Než budete řešit zbytky, vyplatí se procvičit malou násobilku.

Začněte s věcmi v ruce: fazole, kostky, bonbony. Dítě je rozdělí na hromádky po pěti a samo uvidí, co zbylo a proč zbytek nemůže být pět. Potom pomáhá říkat postup nahlas, stejnými slovy jako ve škole: „Kolikrát se vejde čtyřka do 29? Sedmkrát, to je 28. Od 28 do 29 je 1, zbytek 1.“ Zkoušku zvládne dítě samo a samo tak pozná, jestli má výsledek dobře.

Příklady k procvičení

1. Vydělte se zbytkem 23 : 4.

2. Vydělte se zbytkem 60 : 7.

3. Vydělte 45 : 9 a 46 : 9. Které z čísel 45 a 46 je dělitelné devíti?

4. Které číslo patří na místo otazníku? ? : 6 = 7 (zb. 5)

5. Spolužák napsal 52 : 8 = 5 (zb. 12) a tvrdí, že to má dobře, protože mu vyšla zkouška. Má pravdu?

6. Paní učitelka má 75 pastelek a ukládá je do krabiček po 8. Kolik krabiček potřebuje, aby uložila všechny pastelky? Kolik pastelek bude v krabičce, která nebude plná?

Kam dál