Písemné počítání

Písemné počítání znamená sčítat, odčítat, násobit a dělit velká čísla na papíře, číslice po číslici. Čísla napíšeme pod sebe tak, aby byly jednotky pod jednotkami, desítky pod desítkami a stovky pod stovkami. Počítáme zprava, od jednotek, a co se do jednoho sloupce nevejde, si pamatujeme a přidáme do dalšího sloupce vlevo.

Takhle vypadá písemné sčítání 4 587 + 2 976 = 7 563. Malé jedničky nahoře jsou čísla, která si pamatujeme. Každý výpočet se dá ověřit zkouškou, opačným počtem: tady 7 563 − 2 976 = 4 587.

Níže je postup pro všechny čtyři početní operace tak, jak se učí v české škole: odčítání doplňováním, násobení jednociferným i dvojciferným číslem a dělení se zbytky zapsanými pod dělencem. U každé je řešený příklad a zkouška, na konci časté chyby a šest příkladů k procvičení s řešením.

Vlastní příklad si můžete nechat spočítat kalkulačkou pro písemné počítání. Nevypíše jen výsledek, ale nakreslí číslice pod sebou jako v sešitě a ke každému sloupci napíše, co se počítá a co si pamatujeme.

Zápis pod sebou: řád pod řádem

Každá číslice v čísle má svůj řád. V čísle 4 587 je 7 na místě jednotek, 8 na místě desítek, 5 na místě stovek a 4 na místě tisíců. Při písemném počítání musí stát stejné řády přesně pod sebou. Proto se čísla zarovnávají vpravo, podle jednotek, nikdy vlevo.

Sčítáme 352 + 47. Sedmička je jednotka, a proto patří pod dvojku, ne pod trojku. Kdo napíše 47 zarovnané vlevo, sčítá ve skutečnosti 352 + 470 a vyjde mu 822 místo správných 399.

Dobře poslouží čtverečkovaný sešit: do každého čtverečku jedna číslice. Kdo počítá na čistém papíře, ať si sloupce řádů nejdřív lehce nakreslí.

Písemné sčítání

Postup je pořád stejný:

1. Čísla napíšeme pod sebe, jednotky pod jednotky, a pod ně uděláme čáru.
2. Sečteme sloupec jednotek. Když vyjde jednociferné číslo, napíšeme ho pod čáru.
3. Když vyjde 10 nebo víc, napíšeme pod čáru jen jednotky a desítku si pamatujeme: přičteme ji k dalšímu sloupci vlevo.
4. Tak pokračujeme sloupec po sloupci až k poslednímu. Co vyjde v posledním sloupci, napíšeme celé.

Příklad 1

Sečtěte písemně 4 587 + 2 976.

• Jednotky: 7 + 6 = 13, píšeme 3 a 1 si pamatujeme.
• Desítky: 8 + 7 = 15, a jedna, kterou si pamatujeme, je 16. Píšeme 6 a 1 si pamatujeme.
• Stovky: 5 + 9 + 1 = 15, píšeme 5 a 1 si pamatujeme.
• Tisíce: 4 + 2 + 1 = 7, píšeme 7.

Výsledek je 7 563. Rychlá kontrola odhadem: 4 587 je asi 4 600 a 2 976 je asi 3 000, dohromady asi 7 600. Výsledek je blízko, tedy rozumný.

Zkouška sčítání se dělá odčítáním, 7 563 − 2 976 = 4 587, nebo tak, že sečteme sloupce v opačném pořadí, zdola nahoru. Vyjde-li totéž, je výsledek správně.

Sčítání tří a více čísel

Pod sebe můžeme napsat i tři nebo čtyři sčítance. Postup je stejný, jen součet sloupce může přesáhnout 20. Pak si pamatujeme 2, ne 1, a u čtyř sčítanců i 3.

V příkladu 268 + 357 + 499 vyjdou jednotky 8 + 7 + 9 = 24: píšeme 4 a 2 si pamatujeme. Desítky 6 + 5 + 9 + 2 = 22, píšeme 2 a 2 si pamatujeme. Stovky 2 + 3 + 4 + 2 = 11, píšeme 11. Součet je 1 124.

Na sčítání pod sebou je kalkulačka písemného sčítání a na sčítání a odčítání trojciferných čísel procvičování do 1000.

Písemné odčítání doplňováním

V české škole se písemně odčítá doplňováním. Neříkáme „7 minus 4“, ale „od 4 do 7 jsou 3“: ptáme se, kolik musíme přidat ke spodní číslici (menšitel), abychom dostali horní (menšenec). Nahoře je menšenec, pod ním menšitel a pod čarou rozdíl.

Příklad 2: bez přechodu

Odečtěte písemně 857 − 324.

Jednotky: od 4 do 7 jsou 3, píšeme 3. Desítky: od 2 do 5 jsou 3, píšeme 3. Stovky: od 3 do 8 je 5, píšeme 5. Rozdíl je 533.

Příklad 3: s přechodem přes desítku

Těžší je to, když je spodní číslice větší než horní. Odečtěte 5 203 − 1 876.

• Jednotky: od 6 do 3 to nejde. Počítáme proto do 13: od 6 do 13 je 7. Píšeme 7 a 1 si pamatujeme.
• Desítky: zapamatovanou jedničku přičteme ke spodní číslici, 7 + 1 = 8. Od 8 do 0 to nejde, takže od 8 do 10 jsou 2. Píšeme 2 a 1 si pamatujeme.
• Stovky: 8 + 1 = 9, od 9 do 12 jsou 3. Píšeme 3 a 1 si pamatujeme.
• Tisíce: 1 + 1 = 2, od 2 do 5 jsou 3. Píšeme 3.

Rozdíl je 3 327. Zkouška se dělá sčítáním: rozdíl a menšitel musí dát menšenec, 3 327 + 1 876 = 5 203.

Proč se jednička přičítá dole? Když nejde od 6 do 3, počítáme do 13, tedy jsme k menšenci přidali deset jednotek. Aby rozdíl zůstal stejný, musíme stejně přidat i k menšiteli. Přidáme mu jednu desítku, a proto se zapamatovaná jednička přičte k menšiteli v řádu desítek. Rozdíl dvou čísel se nezmění, když k oběma přičteme totéž.

Odčítání pod sebou s vlastními čísly ukáže kalkulačka písemného odčítání, také doplňováním a se všemi zapamatovanými jedničkami.

Písemné násobení

Při násobení jsou obě čísla činitelé a výsledek je součin. Bez malé násobilky to nejde: každý krok je jeden příklad z ní. Kdo v ní ještě chybuje, ať si ji nejdřív zopakuje v procvičování malé násobilky.

Příklad 4: jednociferným činitelem

Vynásobte písemně 346 · 7.

Násobíme sedmičkou každou číslici zprava a k součinu přičteme, co si pamatujeme:

• 7 · 6 = 42, píšeme 2 a 4 si pamatujeme.
• 7 · 4 = 28, a 4 je 32. Píšeme 2 a 3 si pamatujeme.
• 7 · 3 = 21, a 3 je 24. To je poslední číslice, píšeme celé 24.

Součin je 2 422. Odhad: 350 · 7 = 2 450, takže výsledek sedí.

Příklad 5: dvojciferným činitelem

Vynásobte 345 · 27. Násobíme postupně každou číslicí spodního činitele a dostaneme dva částečné součiny, které nakonec sečteme.

1. Násobíme sedmičkou (jednotky): 345 · 7 = 2 415. Píšeme pod čáru, poslední číslicí pod jednotky.
2. Násobíme dvojkou (desítky): 345 · 2 = 690. Tenhle součin píšeme o jedno místo doleva, poslední číslicí pod desítky. Dvojka totiž znamená 20, takže ve skutečnosti počítáme 345 · 20 = 6 900.
3. Částečné součiny sečteme pod sebou, tak jak jsou posunuté: 2 415 + 6 900 = 9 315.

Součin je 9 315. Zkouška se dělá záměnou činitelů, 27 · 345 musí dát také 9 315, nebo dělením: 9 315 : 27 = 345.

U trojciferného činitele přibude třetí částečný součin, posunutý o další místo. Když činitel končí nulou, třeba 236 · 40, stačí vynásobit čtyřkou a nulu připsat: 236 · 4 = 944, tedy 236 · 40 = 9 440.

Postup s vlastními čísly: kalkulačka písemného násobení.

Písemné dělení

Dělíme dělenec dělitelem a výsledek je podíl. V české škole se písemné dělení píše na jeden řádek: 785 : 5 = a za rovnítko postupně píšeme podíl. Pod dělenec se píšou jen zbytky, ke kterým připisujeme další číslice dělence. Součiny, které odčítáme, počítáme zpaměti a nepíšeme je.

Příklad 6: jednociferným dělitelem

Vydělte písemně 785 : 5.

1. Začneme první číslicí dělence: 7 : 5 = 1, zbytek 2 (1 · 5 = 5, od 5 do 7 jsou 2). Do podílu píšeme 1, zbytek 2 pod sedmičku.
2. Ke zbytku připíšeme další číslici dělence, 8. Máme 28: 28 : 5 = 5, zbytek 3. Do podílu píšeme 5.
3. Připíšeme poslední číslici, 5. Máme 35: 35 : 5 = 7, zbytek 0. Do podílu píšeme 7.

Číslice dělence došly a zbytek je 0, takže dělení vyšlo beze zbytku: 785 : 5 = 157. Zkouška: 157 · 5 = 785.

Příklad 7: dělení se zbytkem

Vydělte 947 : 4.

9 : 4 = 2, zbytek 1. Připíšeme 4: 14 : 4 = 3, zbytek 2. Připíšeme 7: 27 : 4 = 6, zbytek 3. Číslice dělence došly, zbývá 3. Píšeme:

947 : 4 = 236 (zb. 3)

Zkouška dělení se zbytkem: podíl vynásobíme dělitelem a přičteme zbytek, 236 · 4 + 3 = 947. Zbytek musí být vždy menší než dělitel. Vyjde-li zbytek větší nebo stejný, vešlo by se tam ještě jednou a číslice v podílu je příliš malá. Víc o zbytku najdete v procvičování dělení se zbytkem.

Příklad 8: nula v podílu

Vydělte 618 : 3.

6 : 3 = 2, zbytek 0. Připíšeme 1 a máme 1. Trojka se do jedničky nevejde, a proto do podílu píšeme 0 a zbytek je 1. Připíšeme 8: 18 : 3 = 6, zbytek 0. Podíl je 206.

Tady se chybuje nejčastěji. Kdo nulu vynechá, dostane 26, a to je desetkrát méně. Pomůže odhad: 600 : 3 = 200, takže výsledek musí být kolem dvou set, ne kolem dvaceti.

Příklad 9: dvojciferným dělitelem

Vydělte 7 865 : 23. Dělitel 23 se do sedmičky nevejde, proto začneme prvními dvěma číslicemi dělence, 78.

1. Kolikrát se 23 vejde do 78? Odhadneme podle desítek: 7 : 2 je asi 3. Zkusíme 3 · 23 = 69, to se vejde a od 69 do 78 je 9. Do podílu píšeme 3, zbytek 9. (Čtyřikrát by to nešlo, 4 · 23 = 92 je víc než 78.)
2. Připíšeme 6, máme 96. Odhad 9 : 2 je asi 4, 4 · 23 = 92, od 92 do 96 jsou 4. Píšeme 4, zbytek 4.
3. Připíšeme 5, máme 45. 1 · 23 = 23, od 23 do 45 je 22. Píšeme 1, zbytek 22.

Výsledek: 7 865 : 23 = 341 (zb. 22). Zkouška: 341 · 23 + 22 = 7 865. Když odhad podle desítek vyjde moc, třeba u 85 : 28, kde 8 : 2 je 4, ale 4 · 28 = 112 je víc než 85, zkusíme o jedna méně: 3 · 28 = 84, to se vejde.

Celý postup s vlastními čísly, se zbytkem nebo na desetinná místa, umí kalkulačka písemného dělení.

Písemné počítání s desetinnými čísly

S desetinnými čísly se počítá stejně, mění se jen to, kam patří desetinná čárka. Tohle přichází na řadu v 5. a 6. třídě.

• Sčítání a odčítání: čárka pod čárkou. Chybějící místa doplníme nulami: 12,5 + 3,75 počítáme jako 12,50 + 3,75 = 16,25 a 4,3 − 1,85 jako 4,30 − 1,85 = 2,45.
• Násobení: čárky si nevšímáme, vynásobíme celá čísla a nakonec oddělíme tolik desetinných míst, kolik jich mají oba činitelé dohromady. 2,4 · 1,3: 24 · 13 = 312, činitelé mají dohromady dvě desetinná místa, takže 3,12.
• Dělení celým číslem: dělíme jako obvykle, a jakmile připíšeme první číslici za čárkou, napíšeme čárku i do podílu. 9,6 : 4 = 2,4.
• Dělení desetinným číslem: posuneme čárku u obou čísel o stejný počet míst doprava, až je dělitel celé číslo. 4,5 : 0,9 je totéž jako 45 : 9 = 5.

Na to jsou dvě procvičování: sčítání a odčítání desetinných čísel a násobení a dělení desetinných čísel. Všechny čtyři kalkulačky písemného počítání berou i desetinná čísla.

Přehled: názvy a zkoušky

Časté chyby

• Čísla zarovnaná vlevo. Řády se pak sčítají přes sebe. Zarovnávejte vždy podle jednotek, vpravo.
• Zapomenutá zapamatovaná jednička. Kdo u 4 587 + 2 976 píše jen jednotky součtu každého sloupce a nic si nepamatuje, dostane 6 453 místo 7 563. Odhad (asi 7 600) chybu hned ukáže.
• Při odčítání „menší od většího“ v každém sloupci. U 5 203 − 1 876 vyjde tak 4 673 místo 3 327. Když je dole větší číslice, počítá se do čísla o deset většího a jednička jde k dalšímu menšiteli.
• Neposunutý druhý částečný součin. U 345 · 27 dá 2 415 + 690 jen 3 105. Násobíme-li desítkami, píšeme o místo doleva.
• Chybějící nula v podílu. 618 : 3 není 26, ale 206. Kdykoli se po připsání číslice dělitel „nevejde“, patří do podílu nula.
• Zbytek větší než dělitel. Znamená, že číslice v podílu je malá. Zbytek musí být vždy menší než dělitel.

Pro rodiče: proč to škola dělá jinak

Pokud dítěti pomáháte s úkolem a sami jste se učili jinde, nebo se díváte na zahraniční videa, narazíte na dvě odlišnosti. Odčítání se v české škole počítá doplňováním a jednička se přičítá k menšiteli; v anglicky psaných návodech se místo toho „půjčuje“ z vyšší číslice menšence a číslice se přeškrtávají. A dělení se u nás píše na jeden řádek a pod dělenec se píšou jen zbytky; v anglických návodech stojí dělenec pod zalomenou čarou a pod ním se píšou i všechny odčítané součiny. Výsledek vyjde stejně, ale škola chce svůj zápis, a dítě, které se doma naučí jiný, se ve škole plete.

Pomáhá nechat dítě počítat nahlas („od 6 do 13 je 7, píšeme 7, 1 si pamatujeme“), počítat ve čtverečkovaném sešitě a každý příklad zakončit zkouškou. Zkoušku umí udělat samo a samo tak pozná, jestli má výsledek dobře. Postup krok za krokem stejnými slovy, jaká používá škola, vypíše kalkulačka písemného počítání; hodí se ke kontrole úkolu, ne místo něj.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Písemné počítání online: sčítání, odčítání, násobení a dělení pod sebou s postupem, i s desetinnými čísly.
• Procvičování sčítání a odčítání do 1000 a dělení se zbytkem.
• Sčítání a odčítání desetinných čísel a násobení a dělení desetinných čísel pro 5. a 6. třídu.
• Článek Násobení: co násobení je, egyptský způsob násobení a proč je minus krát minus plus.