Násobení

Násobení je zkrácené sčítání stejných čísel. Místo `4 + 4 + 4` napíšeme `3 \cdot 4` a čteme „tři krát čtyři“: čtyřku sečteme třikrát.

`3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4 = 12`

Čísla, která násobíme, se jmenují činitelé, výsledek je součin. V příkladu `3 \cdot 4 = 12` jsou 3 a 4 činitelé a 12 je jejich součin. Na pořadí činitelů nezáleží, `4 \cdot 3` je také 12.

`\text{činitel} \cdot \text{činitel} = \text{součin}`

Opačnou operací je dělení: `12 : 3 = 4`, protože `3 \cdot 4 = 12`. Kdo umí malou násobilku a tři pravidla níže, spočítá zpaměti i `25 \cdot 12`. Delší čísla se násobí pod sebou a u záporných čísel rozhoduje znaménko: minus krát minus je plus.

Co násobení znamená

Součin si můžete představit jako obdélník. Tři řady po čtyřech kuličkách jsou dvanáct kuliček. Když obrázek otočíte, jsou to čtyři řady po třech, a kuliček je pořád dvanáct. Proto na pořadí činitelů nezáleží.

Stejně se počítá obsah obdélníku: obdélník 3 cm na 4 cm se rozdělí na 12 čtverečků o straně 1 cm, jeho obsah je `12\ \mathrm{cm}^2`. Obdélník funguje i tam, kde „kolikrát sečíst“ už nedává smysl, třeba u desetinných čísel: `0{,}5 \cdot 6 = 3` je polovina ze šesti.

Znaménko násobení: tečka, křížek, hvězdička

• Tečka `\cdot` je v české škole znaménko násobení od malé násobilky. Píše se doprostřed výšky řádku, ne dolů: `5 \cdot 2`. Desetinná čísla píšeme s čárkou, takže si tečku s ničím nespleteme.
• Křížek × je na kalkulačce a v anglických učebnicích: 5 × 2. V sešitě se mu vyhýbáme, protože se plete s písmenem `x`.
• Hvězdička * je znaménko násobení na počítači, v tabulkách (Excel) i v programování: =5*2.
• Bez znaménka. Mezi číslem a písmenem a před závorkou se tečka vynechává: `5x = 5 \cdot x`, `2(a + b) = 2 \cdot (a + b)`. Mezi dvěma čísly nikdy, 23 není `2 \cdot 3`.

U vektorů mají tečka a křížek každý jiný význam: `\vec u \cdot \vec v` je skalární součin (vyjde číslo) a `\vec u \times \vec v` je vektorový součin (vyjde vektor).

Malá násobilka

Malá násobilka jsou součiny čísel od 1 do 10. Celou ji ukazuje tabulka: v řádku najdete první činitel, ve sloupci druhý a součin leží na jejich průsečíku. Na úhlopříčce jsou zvýrazněné druhé mocniny, třeba `7 \cdot 7 = 49`.

Políček je sto, ale učit se jich musíte mnohem méně:

• Jednička a desítka jsou zadarmo: `1 \cdot 7 = 7`, `10 \cdot 7 = 70`.
• Dvojkou se jen zdvojnásobuje. Pětkou je to polovina desetinásobku: `5 \cdot 8 = 80 : 2 = 40`.
• Devítkou je to desetinásobek, od kterého to číslo jednou odečteme: `9 \cdot 7 = 70 - 7 = 63`. Ciferný součet výsledků je vždy 9 (6 + 3 = 9).
• Tabulka je souměrná podle úhlopříčky, protože `3 \cdot 8 = 8 \cdot 3`. Stačí znát polovinu.

Po tomhle zbude jen 15 součinů z čísel 3, 4, 6, 7 a 8. Nejčastěji se pletou `6 \cdot 7 = 42`, `6 \cdot 8 = 48`, `7 \cdot 8 = 56` a `8 \cdot 8 = 64`. Vyzkoušet se můžete v procvičování Malá násobilka a obrácený směr v Dělení do 100.

Pravidla násobení

Tři zákony a dvě vlastnosti platí pro všechna čísla, celá, desetinná i zlomky. Nejsou to poučky k odříkání, ale nástroje, které počítání zkracují.

Komutativní a asociativní zákon dohromady říkají, že činitele smíte libovolně přeházet a seskupit. Distributivní zákon dovoluje rozložit těžký činitel na snadné části. Tak se násobí zpaměti.

Příklad 1: násobení zpaměti

Spočítejte bez kalkulačky `6 \cdot 47`, `99 \cdot 8`, `25 \cdot 12` a `5 \cdot 64`.

`\begin{aligned} 6 \cdot 47 &= 6 \cdot 40 + 6 \cdot 7 \\ &= 240 + 42 = 282 \\[8pt] 99 \cdot 8 &= 100 \cdot 8 - 1 \cdot 8 \\ &= 800 - 8 = 792 \\[8pt] 25 \cdot 12 &= 25 \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 100 \cdot 3 = 300 \\[8pt] 5 \cdot 64 &= 10 \cdot 64 : 2 \\ &= 640 : 2 = 320 \end{aligned}`

U prvních dvou rozkládáme činitel na kulaté číslo a zbytek (47 = 40 + 7, 99 = 100 − 1), u třetího hledáme dvojici, která dá kulaté číslo (`25 \cdot 4 = 100`), a u pětky využijeme, že je to polovina desítky. Kontrola odhadem: `6 \cdot 47` je o trochu méně než `6 \cdot 50 = 300`, 282 sedí.

Násobení deseti, stem a čísly s nulami

Násobit deseti znamená připsat jednu nulu, stem dvě, tisícem tři: `37 \cdot 100 = 3\,700`. Když mají nuly na konci oba činitelé, vynásobíme čísla bez nul a všechny nuly připíšeme:

`\begin{aligned} 30 \cdot 40 &= 1\,200 &&\text{(}3 \cdot 4 = 12\text{, dvě nuly)} \\[4pt] 500 \cdot 60 &= 30\,000 &&\text{(}5 \cdot 6 = 30\text{, tři nuly)} \end{aligned}`

Pozor na poslední řádek: 5 · 6 = 30 už jednu nulu má, k ní přidáme ještě tři z činitelů, a vyjde pět cifer. U desetinných čísel se nuly nepřipisují, ale posouvá se desetinná čárka: `3{,}25 \cdot 10 = 32{,}5`. A když násobíme dvě desetinná čísla, má výsledek tolik desetinných míst, kolik mají oba činitelé dohromady: `0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}06` (`3 \cdot 2 = 6` a dvě desetinná místa). To si můžete vyzkoušet v procvičování Násobení a dělení desetinných čísel.

Násobení pod sebou (písemné násobení)

Víceciferná čísla se násobí pod sebou. Druhý činitel rozdělíme na jednotky, desítky, stovky a prvním činitelem vynásobíme každou z nich zvlášť. Je to distributivní zákon zapsaný do sešitu.

Příklad 2: 347 · 26

1. Vynásobíme 347 jednotkami druhého činitele: `347 \cdot 6 = 2\,082`.
2. Vynásobíme 347 desítkami: `347 \cdot 2 = 694`. Jsou to desítky, proto tento řádek píšeme o jedno místo doleva. Ve skutečnosti je to `347 \cdot 20 = 6\,940`.
3. Řádky sečteme: `2\,082 + 6\,940 = 9\,022`.

`\begin{array}{r} 347 \\ \cdot\ 26 \\ \hline 2082 \\ 694\phantom{0} \\ \hline 9022 \end{array}`

Odhad: `350 \cdot 25 = 8\,750`, takže výsledek kolem devíti tisíc je v pořádku. Celý postup po číslicích, s tím, co se píše a co si pamatujeme, najdete v článku Písemné počítání. Libovolný příklad vám rozepíše kalkulačka pro písemné násobení.

Egyptské násobení

Staří Egypťané násobilku neznali. Uměli zdvojnásobovat a sčítat, a to jim stačilo. Postup je zapsaný v Rhindově papyru, který kolem roku 1550 př. n. l. opsal písař Ahmes. Ukážeme ho na `13 \cdot 21`:

1. Do levého sloupce píšeme 1, 2, 4, 8, ..., do pravého 21 a v každém dalším řádku obě čísla zdvojnásobíme.
2. Skončíme, než by levé číslo přerostlo 13.
3. Označíme řádky, jejichž levá čísla dají dohromady 13: `8 + 4 + 1 = 13`.
4. Sečteme pravá čísla označených řádků.

`\begin{array}{rrc} \text{levý} & \text{pravý} & \\ \hline 1 & 21 & \checkmark \\ 2 & 42 &  \\ 4 & 84 & \checkmark \\ 8 & 168 & \checkmark \end{array}`

Výsledek: `21 + 84 + 168 = 273`. Proč to funguje? Je to zase distributivní zákon:

`13 \cdot 21 = (1 + 4 + 8) \cdot 21 = 21 + 84 + 168`

Rozložit číslo na součet navzájem různých čísel 1, 2, 4, 8, 16, ... jde vždy a právě jedním způsobem. Je to zápis čísla ve dvojkové soustavě, 13 je dvojkově 1101 (viz Převody soustav). Stejně v podstatě násobí i počítač.

Násobení záporných čísel

Se zápornými čísly vynásobíme nejdřív čísla bez znamének a pak určíme znaménko výsledku. Stejná znaménka dávají plus, různá minus.

Záporné číslo za znaménkem násobení se píše do závorky: `3 \cdot (-4)`, ne `3 \cdot -4`. U více činitelů stačí spočítat minusy. Sudý počet dá plus, lichý minus. Tři minusy dávají záporný výsledek, čtyři kladný:

`\begin{aligned} (-1) \cdot (-2) \cdot (-3) &= -6 \\[4pt] (-2) \cdot (-5) \cdot (-1) \cdot (-3) &= 30 \end{aligned}`

Počítání se znaménky si procvičíte v Počítání se zápornými čísly.

Proč je minus krát minus plus?

Tuhle otázku nám kdysi poslal čtenář:

Můj dotaz zní: Proč platí `-2 \cdot (-2) = 4`? Ano, řeknete mi, že minus krát minus dává plus, ale mě zajímá proč. Má to nějakou geometrickou podstatu, nebo proč to tak je?

Pravidlo si nikdo nevymyslel náhodou. Je to jediná možnost, při které zůstanou platit zákony z tabulky výše. Ukážeme to třemi způsoby.

Vzor, který musí pokračovat

Násobme −2 postupně čísly 3, 2, 1, 0, −1, −2 a −3:

`\begin{aligned} (-2) \cdot 3 &= -6 \\[2pt] (-2) \cdot 2 &= -4 \\[2pt] (-2) \cdot 1 &= -2 \\[2pt] (-2) \cdot 0 &= 0 \\[2pt] (-2) \cdot (-1) &= 2 \\[2pt] (-2) \cdot (-2) &= 4 \\[2pt] (-2) \cdot (-3) &= 6 \end{aligned}`

Druhý činitel se pokaždé zmenší o 1 a součin se pokaždé zvětší o 2. Kdyby za nulou najednou začal zase klesat, pravidlo by se uprostřed zlomilo. Aby vzor pokračoval, musí vyjít `(-2) \cdot (-1) = 2` a `(-2) \cdot (-3) = 6`.

Na číselné ose

Násobit kladným číslem znamená opakovat krok: `2 \cdot 3` jsou tři kroky délky 2 doprava. Krok −2 vede doleva, takže `(-2) \cdot 3` skončí na −6. Násobit záporným číslem znamená udělat totéž a navíc se otočit na druhou stranu nuly. Proto `(-2) \cdot (-3)` skončí na +6.

Z distributivního zákona

Víme, že `(-2) \cdot 3 = -6`, a hledáme `(-2) \cdot (-3)`. Sečtěme je a vytkněme −2:

`\begin{aligned} (-2) \cdot (-3) + (-2) \cdot 3 &= (-2) \cdot \bigl((-3) + 3\bigr) \\ &= (-2) \cdot 0 = 0 \\[8pt] (-2) \cdot (-3) + (-6) &= 0 \\[8pt] (-2) \cdot (-3) &= 6 \end{aligned}`

Součet dvou čísel je nula, takže `(-2) \cdot (-3)` je opačné číslo k −6, tedy `+6`. Kdyby minus krát minus dávalo minus, přestal by platit distributivní zákon a s ním roznásobování závorek.

Ze života

Hladina v nádrži klesá o 2 cm za hodinu, mění se tedy o −2 cm za hodinu. Kde byla před třemi hodinami, tedy v čase −3 h? Výš, o 6 cm: `(-2) \cdot (-3) = +6`. Pohyb pozpátku v čase obrátí i klesání na stoupání.

Násobení stejných čísel: mocnina a faktoriál

Když násobíme pořád stejné číslo, zapíšeme to zkráceně mocninou:

`2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 = 32`

Pozor na závorku u záporného čísla: `(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9`, ale `-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9`. Mocnina patří jen k číslu, u kterého stojí. Víc v článku Mocniny a v procvičování Mocniny.

Součin všech čísel od 1 do `n` se jmenuje faktoriál a píše se s vykřičníkem: `5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120`. Delší součiny se zapisují velkým řeckým písmenem pí, podobně jako součty písmenem sigma:

`\begin{aligned} \prod_{i=1}^{5} i &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \\[10pt] \prod_{i=1}^{5} (i^2 + 1) &= 2 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 17 \cdot 26 \\ &= 44\,200 \end{aligned}`

Časté chyby

• Násobení nulou. `7 \cdot 0 = 0`, ne 7. Splete se to se sčítáním, kde `7 + 0 = 7`.
• Ztracená nula. `30 \cdot 40 = 1\,200`, ne 120: připisují se nuly z obou činitelů. A `500 \cdot 60 = 30\,000`, protože jedna nula je už v `5 \cdot 6 = 30`.
• Přednost násobení. `2 + 3 \cdot 4 = 14`, ne 20. Násobí se dřív, než se sčítá, pokud závorka neříká jinak.
• Závorka se roznásobí celá. `2 \cdot (3 + x) = 6 + 2x`, ne `6 + x`. Činitelem před závorkou se násobí každý člen uvnitř.
• Neposunutý řádek pod sebou. Kdo u 347 · 26 nepíše druhý řádek o místo doleva, sečte `2\,082 + 694 = 2\,776` místo 9 022. Odhad `350 \cdot 25 = 8\,750` chybu hned prozradí.
• Desetinná místa. `0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}06`, ne 0,6. Desetinná místa obou činitelů se sčítají.
• Znaménko u mocniny. `-3^2 = -9`, ale `(-3)^2 = 9`.

Příklady k procvičení

`\begin{array}{rrc} \text{levý} & \text{pravý} & \\ \hline 1 & 23 & \checkmark \\ 2 & 46 & \checkmark \\ 4 & 92 &  \\ 8 & 184 &  \\ 16 & 368 & \checkmark \end{array}`

`\begin{array}{r} 208 \\ \cdot\ 35 \\ \hline 1040 \\ 624\phantom{0} \\ \hline 7280 \end{array}`

`\begin{aligned} 27 \cdot 205 &= 27 \cdot 200 + 27 \cdot 5 \\ &= 5\,400 + 135 = 5\,535\ \text{Kč} \end{aligned}`

Kam dál

• Procvičování: Malá násobilka, Násobení a dělení, Všechny čtyři operace, Záporná čísla a Násobení desetinných čísel.
• Kalkulačka: Písemné násobení s celým postupem pod sebou a všechny čtyři písemné operace.
• Články: Písemné počítání, Zlomky (jak se násobí zlomky), Mocniny a Převody soustav (dvojková soustava za egyptským násobením).