Zaokrouhlování

Zaokrouhlování nahradí číslo jiným, které je mu blízko a má na konci nuly nebo méně desetinných míst. Rozhoduje jediná číslice, ta hned za řádem, na který zaokrouhlujeme. Je-li to 0, 1, 2, 3 nebo 4, zaokrouhlujeme dolů. Je-li to 5, 6, 7, 8 nebo 9, zaokrouhlujeme nahoru. Na desítky tedy rozhoduje číslice na místě jednotek:

`74 \doteq 70 \qquad 75 \doteq 80 \qquad 78 \doteq 80`

Znak ≐ se čte „zaokrouhleně se rovná“ nebo „přibližně se rovná“. Na libovolný řád zaokrouhlí číslo s celým postupem kalkulačka zaokrouhlování, třeba na desítky, stovky a tisíce nebo na desetiny a setiny. Příklady s okamžitou kontrolou jsou v procvičování zaokrouhlování.

Na desítky a stovky se zaokrouhluje ve 3. třídě, na tisíce a větší řády ve 4. a 5. třídě a desetinná čísla na celá, desetiny a setiny od 5. a 6. třídy. Níže je postup krok za krokem, co dělat s pětkou a s devítkami, desetinná čísla, zaokrouhlování nahoru a dolů ve slovních úlohách, odhad výsledku, časté chyby a šest příkladů s řešením.

Pravidlo a postup

Zaokrouhlit na desítky znamená najít nejbližší desítku. Číslo 73 leží mezi 70 a 80 a k 70 má blíž, proto 73 ≐ 70. Číslo 78 má blíž k 80. Na číselné ose je to vidět:

Abychom nemuseli pokaždé kreslit osu, stačí se podívat na jednu číslici. Postup je pro všechny řády stejný:

1. Podtrhneme číslici řádu, na který zaokrouhlujeme (na desítky číslici desítek, na setiny druhou číslici za čárkou).
2. Podíváme se na číslici hned za ní, vpravo. Ta jediná rozhoduje.
3. Je-li 0 až 4, podtržená číslice zůstane. Je-li 5 až 9, podtržená číslice se zvětší o jedna.
4. Číslice za podtrženou se u celých čísel nahradí nulami. Za desetinnou čárkou se škrtnou.

Příklad 1

Zaokrouhlete 3 847 na desítky, na stovky a na tisíce.

Na desítky: podtrhneme 4 (desítky), hned za ní je 7. To je 5 a víc, takže čtyřka se zvětší na pětku a jednotky se nahradí nulou. Na stovky: podtrhneme 8, za ní je 4, takže osmička zůstane. Na tisíce: podtrhneme 3, za ní je 8, takže trojka se zvětší na čtyřku.

`3\,847 \doteq 3\,850`   (na desítky)
`3\,847 \doteq 3\,800`   (na stovky)
`3\,847 \doteq 4\,000`   (na tisíce)

Kontrola: 3 847 leží mezi 3 800 a 3 900 a k 3 800 má blíž, je od něj větší jen o 47. Nuly na konci nesmějí chybět. Kdo napíše 3 847 ≐ 38, udělal z téměř čtyř tisíc číslo menší než čtyřicet.

Na desítky, stovky, tisíce: který řád rozhoduje

Řády čísla se čtou zprava: jednotky, desítky, stovky, tisíce, desetitisíce, statisíce, miliony. Za desetinnou čárkou pokračují desetiny, setiny a tisíciny. Kdo si řády ještě plete, procvičí je v číslech do milionu.

Tabulka ukazuje, která číslice rozhoduje při zaokrouhlování na který řád, a jak dopadne číslo 45 649,37:

Každý řádek je samostatné zaokrouhlení původního čísla. Na tisíce vyjde 46 000, protože rozhoduje šestka, ale na stovky vyjde 45 600, protože rozhoduje čtyřka. Celou takovou tabulku pro libovolné číslo vypíše zaokrouhlení na všechny řády.

Zvlášť si každý řád procvičíte v zaokrouhlování na desítky, na stovky a na tisíce.

Kam se zaokrouhluje pětka

Číslo 75 leží přesně v polovině mezi 70 a 80, k oběma má stejně daleko. Pro tenhle případ je dohoda: pětka se zaokrouhluje nahoru.

`75 \doteq 80 \qquad 345 \doteq 350 \qquad 2\,650 \doteq 2\,700`

Poslední příklad je na stovky. Rozhoduje 5 na místě desítek a nula za ní na tom nic nemění, takže nahoru. Přesně v polovině je číslo jen tehdy, když za rozhodující pětkou jsou samé nuly nebo nic. Jinak má k horní hodnotě blíž, a i tak jde nahoru, takže si to rozlišovat nemusíte.

Pozor na opačný případ. Rozhoduje vždy jen číslice hned za řádem, a 349 na stovky je 300, ne 400. Devítka na konci je sice velká, ale rozhoduje čtyřka na místě desítek. Od 300 je číslo 349 vzdálené 49, od 400 je to 51.

Když se zvětšuje devítka

Když se má zvětšit o jedna devítka, stane se z ní desítka. Na jejím místě zůstane nula a jednička se přičte k řádu vlevo, stejně jako při sčítání.

Příklad 2

Zaokrouhlete 4 975 na desítky a na stovky.

Na desítky: podtržená je 7, rozhoduje 5, takže 7 se zvětší na 8 a vyjde 4 980. Na stovky: podtržená je 9, rozhoduje 7, takže devítka se má zvětšit. Místo stovek bude 0 a tisíce se zvětší ze 4 na 5:

`4\,975 \doteq 4\,980`   (na desítky)
`4\,975 \doteq 5\,000`   (na stovky)

Kontrola: 4 975 leží mezi 4 900 a 5 000 a k 5 000 má blíž, chybí mu jen 25. Stejně dopadne 29 600 na tisíce: rozhoduje 6, devítka se zvětší a vyjde 30 000.

Zaokrouhlování desetinných čísel

Postup je stejný, jen se řády za čárkou jmenují jinak. Na celá čísla (na jednotky) rozhoduje první číslice za čárkou, na desetiny druhá, na setiny třetí. Číslice za zaokrouhleným místem se škrtnou a nuly se za čárku nedopisují. Nula, která tam po zaokrouhlení vyjde, ale zůstane, viz příklad 4.

Příklad 3

Zaokrouhlete 3,14159 na celá čísla, na desetiny, na setiny a na tisíciny.

`3{,}14159 \doteq 3`   (rozhoduje 1)
`3{,}14159 \doteq 3{,}1`   (rozhoduje 4)
`3{,}14159 \doteq 3{,}14`   (rozhoduje 1)
`3{,}14159 \doteq 3{,}142`   (rozhoduje 5)

Na tisíciny rozhoduje pětka na čtvrtém místě za čárkou, takže jednička na třetím místě se zvětší na dvojku.

Příklad 4: nula na konci zůstává

Zaokrouhlete 2,398 na setiny.

Podtržená je 9 na místě setin a rozhoduje 8. Devítka se zvětší, z 39 setin je 40 setin:

`2{,}398 \doteq 2{,}40`

Nulu na konci nevynecháváme. Číslo 2,40 má stejnou hodnotu jako 2,4, ale říká, že jsme zaokrouhlovali na setiny. Kdo napíše 2,4, tvrdí, že číslo zná jen na desetiny. Stejně tak 0,996 na setiny je 1,00 a 19,95 na desetiny je 20,0.

Čísla s desetinnou čárkou procvičíte v zaokrouhlování na celá čísla, na desetiny a na setiny. Kde desetinná čísla leží na ose, ukáže desetinná čísla na číselné ose.

Koruny a haléře

Ceny se píší na setiny, protože koruna má sto haléřů. Haléřové mince ale už neplatí, a tak se při placení v hotovosti celková částka zaokrouhluje na celé koruny. Podle stejného pravidla: 128,45 Kč zaplatíme jako 128 Kč, 37,50 Kč jako 38 Kč. Kartou se platí přesná částka.

Zaokrouhlení nahoru a dolů ve slovních úlohách

Běžné zaokrouhlení jde k bližšímu číslu. Ve slovní úloze ale někdy rozhoduje smysl, ne pětka. Pak se zaokrouhluje nahoru (k většímu číslu) nebo dolů (k menšímu), ať je za řádem cokoli.

Příklad 5: nahoru

Na výlet jede 58 dětí. Do autobusu se vejde 45. Kolik autobusů je potřeba?

58 : 45 = 1,28… Podle běžného pravidla by to byl 1 autobus, jenže v jednom se 13 dětí nesveze. Potřebujeme 2 autobusy, zaokrouhlujeme nahoru. Stejně u barvy: na 23 m² zdi, když plechovka stačí na 10 m², je 23 : 10 = 2,3, a koupit musíme 3 plechovky.

Příklad 6: dolů

Máme 100 Kč a čokoláda stojí 23 Kč. Kolik čokolád koupíme?

100 : 23 = 4,34… Pátá čokoláda by stála 115 Kč celkem, na tu nemáme. Koupíme 4 čokolády, zaokrouhlujeme dolů, a zbude 8 Kč.

Obojí je ve skutečnosti dělení se zbytkem: 58 : 45 = 1 (zb. 13) a 100 : 23 = 4 (zb. 8). Podrobně to vysvětluje článek Dělení se zbytkem. Zaokrouhlení nahoru i dolů na libovolný řád, i u záporných čísel, spočítá kalkulačka zaokrouhlení nahoru a dolů.

Odhad výsledku

K čemu je zaokrouhlování ve škole nejvíc: rychle odhadnout, kolik má vyjít, a podle toho poznat chybu. Čísla zaokrouhlíme tak, aby se s nimi počítalo zpaměti.

398 + 512 ≐ 400 + 500 = 900
49 · 21 ≐ 50 · 20 = 1 000

Přesně vyjde 398 + 512 = 910 a 49 · 21 = 1 029, odhad tedy nebyl daleko. Když písemným násobením 49 · 21 vyjde 129 nebo 10 290, odhad 1 000 hned prozradí, že je něco špatně. Proto se odhad dělá před každým písemným počítáním.

Odhad je jen odhad. Přesný výsledek se zaokrouhlenými čísly nepočítáme a nezaokrouhlujeme ani mezivýsledky. Tři desky po 1,45 m měří přesně 4,35 m ≐ 4,4 m. Kdo by nejdřív zaokrouhlil délku desky na 1,5 m, dostal by 4,5 m. Zaokrouhluje se až konečný výsledek.

Záporná čísla

U záporného čísla zaokrouhlíme číslo bez minusu a minus připíšeme zpátky: −2 650 na stovky je −2 700, −3,46 na desetiny je −3,5. Číslice vyjdou stejně jako u kladného čísla, jen je před nimi minus.

Pozor jen u zaokrouhlení nahoru a dolů. Nahoru znamená k většímu číslu, a u záporných čísel je větší to, které je blíž nule. Číslo −3,2 zaokrouhlené nahoru na celé je −3, dolů je −4. S počítáním se zápornými čísly pomůže procvičování záporných čísel.

Platné číslice (fyzika a chemie)

Ve fyzice a chemii se výsledky často nezaokrouhlují na řád, ale na počet platných číslic. Počítají se od první číslice zleva, která není nula. Nuly na začátku čísla menšího než jedna platné nejsou, jen ukazují, kde je čárka.

`0{,}0045678 \doteq 0{,}00457`   (3 platné)
`384\,400\,000 \doteq 380\,000\,000`   (2 platné)

Velká a malá čísla se pak zapisují s mocninou deseti: 380 000 000 = 3,8 · 10⁸. Obojí umí kalkulačky zaokrouhlení na platné číslice a zápis čísla ve tvaru a · 10ⁿ. Mocniny deseti vysvětluje článek Mocniny a zápis s nimi se procvičuje v příkladech na tvar a · 10ⁿ.

Znak zaokrouhleno: ≐ a ≈

V českých učebnicích se zaokrouhlení píše znakem ≐, rovnítkem s tečkou nahoře. Často se potkáte i se znakem ≈ (dvě vlnovky), který znamená „přibližně se rovná“. Do sešitu pište ten, který používá vaše učebnice, obvykle ≐. Obyčejné rovnítko mezi číslem a jeho zaokrouhlením je chyba, protože 3 847 se nerovná 3 800.

Na klávesnici znak ≐ není. Ve Wordu ho vložíte přes Vložení › Symbol, ve Wordu ve Windows také tak, že napíšete 2250 a hned potom stisknete Alt+X. Na telefonu ho nejsnáz zkopírujete odsud: ≐.

Časté chyby

• Zaokrouhlování postupně zezadu. Číslo 4 449 na stovky je 4 400, rozhoduje čtyřka na místě desítek. Kdo zaokrouhlí nejdřív na desítky (4 450) a pak to na stovky, dostane špatně 4 500. U 45 649,37 by postupné zaokrouhlování přes desetiny, jednotky a desítky dalo 45 700, správně je 45 600. Vždy se zaokrouhluje původní číslo, jedním krokem.
• Rozhodnutí podle poslední číslice. Rozhoduje číslice hned za řádem, ne ta poslední. 349 ≐ 300 na stovky.
• Chybějící nuly. 3 847 na stovky je 3 800, ne 38.
• Vyškrtnutá nula za čárkou. 2,398 na setiny je 2,40, ne 2,4.
• Zaokrouhlené mezivýsledky. Počítá se s přesnými čísly a zaokrouhluje se až výsledek.
• Běžné pravidlo tam, kde rozhoduje smysl. Na 58 dětí nestačí 1 autobus, i když 1,28 ≐ 1.

Rada pro rodiče: když dítě zaokrouhluje špatně, nechte ho rozhodující číslici zakroužkovat a nahlas říct, mezi kterými dvěma čísly zaokrouhlované číslo leží. Většina chyb zmizí, jakmile je vidět, že 349 je mezi 300 a 400.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Zaokrouhlování čísel: procvičování všech řádů najednou, s okamžitou kontrolou.
• Kalkulačky zaokrouhlování: na řády, na desetinná místa, nahoru a dolů, na platné číslice a do tvaru a · 10ⁿ, vždy s postupem.
• Písemné počítání: kde se odhad zaokrouhlením hodí nejvíc.
• Dělení se zbytkem: kdy výsledek slovní úlohy zaokrouhlit nahoru a kdy dolů.
• Mocniny: mocniny deseti a zápis velkých a malých čísel.