Znaky dělitelnosti

Znaky dělitelnosti (říká se jim také kritéria dělitelnosti) prozradí, jestli je jedno číslo dělitelné druhým, aniž bychom museli dělit. Stačí se podívat na poslední číslice, nebo sečíst všechny číslice. Číslo je dělitelné:

• dvěma, když končí sudou číslicí 0, 2, 4, 6 nebo 8,
• třemi, když je jeho ciferný součet dělitelný třemi,
• čtyřmi, když je jeho poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi,
• pěti, když končí nulou nebo pětkou,
• šesti, když je dělitelné dvěma i třemi,
• devíti, když je jeho ciferný součet dělitelný devíti,
• deseti, když končí nulou.

Například 2 718 je dělitelné šesti: je sudé a jeho ciferný součet 2 + 7 + 1 + 8 = 18 je dělitelný třemi. Opravdu 2 718 : 6 = 453, a to bez jediného dělení na papíře.

Které znaky libovolné číslo splňuje, a u každého proč, vypíše kalkulačka kritérií dělitelnosti. Rychlé rozhodování s okamžitou kontrolou si vyzkoušíte v procvičování znaků dělitelnosti.

Znaky dělitelnosti se učí v 6. třídě a vracejí se při krácení zlomků, hledání prvočísel a rozkladu na prvočinitele. Níže je tabulka všech znaků i s osmičkou, pětadvacítkou a jedenáctkou, vysvětlení, proč fungují, časté chyby a šest příkladů s řešením.

Dělitel, násobek a dělitelnost

Číslo je dělitelné jiným číslem, když dělení vyjde beze zbytku. Číslo 24 je dělitelné šesti, protože 24 : 6 = 4. Říkáme také, že 6 je dělitel čísla 24 a 24 je násobek čísla 6. Číslo 26 šesti dělitelné není, protože 26 : 6 = 4 (zb. 2). Jak se dělí se zbytkem, vysvětluje článek Dělení se zbytkem.

V některých učebnicích se dělitelnost zapisuje svislou čarou: 6 | 24 čteme „šest dělí dvacet čtyři“.

Znak dělitelnosti je zkratka. Místo celého dělení se podíváme jen na tu část čísla, která o výsledku rozhoduje. Na které číslice se který znak dívá, ukazuje obrázek:

Tabulka znaků dělitelnosti

Všechny znaky, které se ve škole používají, na jednom místě. Znaky pro 2, 3, 4, 5, 6, 9 a 10 jsou v každé učebnici, ostatní se hodí.

Pro 7, 13 a další prvočísla jednoduchý znak není, těmi je potřeba opravdu vydělit (o sedmičce víc níže).

Dělitelnost 2, 5 a 10: poslední číslice

Každé číslo jde rozdělit na celé desítky a poslední číslici: 2 945 = 2 940 + 5. Celé desítky jsou vždy dělitelné dvěma, pěti i deseti, protože 10 = 2 · 5. O dělitelnosti tedy rozhoduje jen poslední číslice.

• Číslo dělitelné dvěma je sudé, končí 0, 2, 4, 6 nebo 8. Ostatní čísla jsou lichá.
• Pěti je dělitelné číslo, které končí 0 nebo 5. Číslo 2 945 pěti dělitelné je, dvěma ani deseti ne.
• Deseti je dělitelné číslo, které končí nulou. Takové číslo je dělitelné i dvěma a pěti.

Dělitelnost 4, 8 a 25: poslední dvojčíslí a trojčíslí

Sto je dělitelné čtyřmi i pětadvaceti (100 = 4 · 25), takže celé stovky jsou dělitelné čtyřmi i pětadvaceti vždy. Číslo 7 316 = 7 300 + 16 a o dělitelnosti čtyřmi rozhoduje jen poslední dvojčíslí 16.

U osmičky se jde o řád dál: tisíc je dělitelné osmi (1 000 = 8 · 125), a proto rozhoduje poslední trojčíslí.

Příklad 1

Je 7 316 dělitelné čtyřmi? A osmi?

Poslední dvojčíslí je 16 a 16 : 4 = 4. Číslo 7 316 je dělitelné čtyřmi. Zkouška: 7 316 : 4 = 1 829.

Poslední trojčíslí je 316 a 316 : 8 = 39 (zb. 4). Číslo 7 316 není dělitelné osmi.

Když trojčíslí z hlavy osmi vydělit neumíte, půlte ho. Číslo dělitelné osmi jde vydělit dvěma třikrát po sobě: 316 : 2 = 158, 158 : 2 = 79, a 79 je liché. Půlit šlo jen dvakrát, takže 316 je dělitelné čtyřmi, ale ne osmi.

Pětadvaceti je dělitelné číslo, jehož poslední dvojčíslí je 00, 25, 50 nebo 75, protože jiné násobky 25 pod stovkou nejsou. Stem je dělitelné číslo, které končí dvěma nulami.

Pozor na nejčastější chybu: u čtyřky nestačí poslední číslice. 14 končí čtyřkou, a čtyřmi dělitelné není. 32 končí dvojkou, a je.

Dělitelnost 3 a 9: ciferný součet

Ciferný součet je součet všech číslic čísla. Číslo je dělitelné třemi, když je jeho ciferný součet dělitelný třemi, a devíti, když je ciferný součet dělitelný devíti. Tady už nestačí poslední číslice, počítá se s celým číslem.

Příklad 2

Je 58 734 dělitelné třemi? A devíti?

Ciferný součet je 5 + 8 + 7 + 3 + 4 = 27. Číslo 27 je dělitelné devíti, a tedy i třemi. Číslo 58 734 je dělitelné devíti i třemi. Zkouška: 58 734 : 9 = 6 526.

Když vyjde ciferný součet pořád velký, sečtěte znovu jeho číslice: z 27 je 2 + 7 = 9.

Proč to funguje. Deset je o jedna víc než devět, sto o jedna víc než 99 a tisíc o jedna víc než 999. Číslo 4 356 se proto dá rozepsat takto:

`\begin{gathered}4\,356 = 4\cdot 1\,000 + 3\cdot 100 + 5\cdot 10 + 6\\[4pt] = 4\cdot 999 + 3\cdot 99 + 5\cdot 9\\ + \,(4 + 3 + 5 + 6)\end{gathered}`

Část 4 · 999 + 3 · 99 + 5 · 9 je dělitelná devíti (i třemi) vždy, protože 999, 99 i 9 jsou násobky devíti. O dělitelnosti tak rozhoduje jen to, co zůstalo v závorce, a to je právě ciferný součet 18.

Každé číslo dělitelné devíti je dělitelné i třemi, obráceně to ale neplatí: 12 je dělitelné třemi, devíti ne. A ciferný součet funguje jen pro 3 a 9. Číslo 13 má ciferný součet 4, a čtyřmi dělitelné není.

Dělitelnost 6 a další složené znaky

Šest je 2 · 3, a proto je číslo dělitelné šesti, když je dělitelné dvěma i třemi: je sudé a jeho ciferný součet je dělitelný třemi.

Příklad 3

Je 2 718 dělitelné šesti? A osmnácti?

Číslo je sudé a ciferný součet 2 + 7 + 1 + 8 = 18 je dělitelný třemi. Je tedy dělitelné šesti, 2 718 : 6 = 453.

Osmnáct je 2 · 9. Číslo je sudé a ciferný součet 18 je dělitelný i devíti, takže je dělitelné osmnácti: 2 718 : 18 = 151.

Stejně se skládají další znaky: dvanácti je dělitelné číslo dělitelné třemi i čtyřmi (12 = 3 · 4), patnácti číslo dělitelné třemi i pěti (15 = 3 · 5).

Spojovat se dají jen čísla, která nemají společného dělitele kromě jedničky, takzvaná nesoudělná čísla. Číslo 12 je dělitelné čtyřmi i šesti, a dvaceti čtyřmi dělitelné není. Čísla 4 a 6 mají společného dělitele 2, a proto z nich dělitelnost 24 neplyne.

Dělitelnost 11: střídavý součet číslic

Tenhle znak se neučí ve všech třídách, ale hodí se. Číslice sčítáme a odčítáme střídavě, zprava: první číslici zprava přičteme, druhou odečteme, třetí přičteme a tak dál. Když je výsledek dělitelný jedenácti, je jedenácti dělitelné i celé číslo. Výsledek může vyjít i 0 nebo záporný, nula a −11 jsou také dělitelné jedenácti.

Příklad 4

Jsou čísla 2 728 a 9 581 dělitelná jedenácti?

U 2 728 je střídavý součet zprava 8 − 2 + 7 − 2 = 11. Číslo je dělitelné jedenácti, 2 728 : 11 = 248.

U 9 581 vyjde 1 − 8 + 5 − 9 = −11, a to je také dělitelné jedenácti. Číslo je dělitelné jedenácti, 9 581 : 11 = 871.

A co sedmička?

Pro sedmičku se ve škole znak dělitelnosti neučí. Postup existuje: odtrhněte poslední číslici, zdvojnásobte ji a odečtěte od zbytku čísla. Pokud vyjde násobek sedmi, je jím dělitelné i původní číslo. Třeba u 343 je to 34 − 2 · 3 = 28 = 4 · 7, takže 343 je dělitelné sedmi (343 = 7 · 49).

U větších čísel se ale postup musí opakovat a bývá stejně pracný jako dělení. Sedmičkou se proto obvykle prostě dělí, třeba v kalkulačce dělení se zbytkem, která ukáže i zbytek.

K čemu jsou znaky dělitelnosti

Krácení zlomků. Znaky dělitelnosti hned ukážou, čím zlomek krátit. U zlomku 135/180 mají čitatel i jmenovatel ciferný součet 9, oba jsou tedy dělitelné devíti:

`\dfrac{135}{180} = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}`

Po vydělení devíti oba končí pětkou nebo nulou, takže se ještě krátí pěti. Víc o zlomcích v článku Zlomky a v procvičování krácení zlomků.

Prvočísla a rozklad. Když hledáte, jestli je číslo prvočíslo, nebo ho rozkládáte na prvočinitele, znaky dělitelnosti vyřídí dvojku, trojku a pětku bez dělení. Z nich se pak počítá největší společný dělitel i nejmenší společný násobek.

Příklad 5

Na školní výlet jede 156 žáků. Dají se rozdělit do skupin po čtyřech, po šesti, po osmi nebo po devíti tak, aby nikdo nezbyl?

• Po čtyřech: poslední dvojčíslí 56 = 4 · 14, ano, vznikne 39 skupin.
• Po šesti: 156 je sudé a ciferný součet 1 + 5 + 6 = 12 je dělitelný třemi, ano, 26 skupin.
• Po osmi: trojčíslí 156 osmi dělitelné není, 156 : 8 = 19 (zb. 4), ne.
• Po devíti: ciferný součet 12 devíti dělitelný není, ne.

Zkouška: 39 · 4 = 156 a 26 · 6 = 156.

Časté chyby

• Dívat se u čtyřky a osmičky jen na poslední číslici. Rozhoduje dvojčíslí, u osmičky trojčíslí: 14 čtyřmi dělitelné není, 32 je.
• Používat ciferný součet u jiných čísel než 3 a 9. Číslo 13 má ciferný součet 4 a čtyřmi dělitelné není.
• Myslet si, že co je dělitelné třemi, je dělitelné i devíti. Platí to jen obráceně: 15 je dělitelné třemi, devíti ne.
• Spojovat znaky čísel se společným dělitelem. Dělitelnost čtyřmi a šesti nedává dělitelnost 24, jen 12.
• Považovat nulu nebo záporný střídavý součet za „nedělitelné“. Vyjde-li u jedenáctky 0 nebo −11, číslo jedenácti dělitelné je, jako 10 032 nebo 9 581.

Rozhodování s okamžitou kontrolou si vyzkoušíte v procvičování znaků dělitelnosti: střídají se tam trojka, čtyřka, šestka, osmička, devítka a jedenáctka, a ke každé chybě se ukáže, proč.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Kalkulačka kritérií dělitelnosti: pro libovolné číslo projde znaky dělitelnosti 2 až 25 a u každého napíše proč.
• Procvičování znaků dělitelnosti a navazující procvičování prvočísel.
• Všechny kalkulačky dělitelnosti: dělitelé čísla, rozklad na prvočinitele, NSD, NSN a krácení zlomků.
• Článek Prvočíslo: jak poznat prvočíslo, Eratosthenovo síto a tabulka prvočísel do 1 000.
• Článek Prvočíselný rozklad: rozklad na prvočinitele krok za krokem.
• Článek Dělení se zbytkem: podíl, zbytek a zkouška.