Velká čísla: řády, čtení, zápis a porovnávání

Velké číslo se čte i píše po trojicích číslic zprava. Každá trojice je jedna třída: poslední jsou jednotky, před nimi tisíce, před nimi miliony. Řády jdou zprava v tomto pořadí: jednotky, desítky, stovky, tisíce, desetitisíce, statisíce, miliony, potom desetimiliony a stamiliony. Číslo 45 307 528 tedy čteme „čtyřicet pět milionů tři sta sedm tisíc pět set dvacet osm“:

`45\,307\,528 = 45 \text{ milionů} + 307 \text{ tisíc} + 528`

Dvě čísla porovnáme tak, že nejdřív spočítáme číslice: číslo s více číslicemi je větší. Mají-li obě stejně číslic, rozhoduje první číslice zleva, která se liší. Řády, rozvinutý zápis, porovnávání a sousední čísla s okamžitou kontrolou jsou v procvičování Čísla do milionu (4. třída) a Čísla přes milion (5. třída), zápis ze slov ve Velká čísla slovy.

S čísly do milionu se začíná ve 4. třídě, přes milion se jde v 5. třídě. Níže je tabulka řádů, třídy a mezery v zápisu, čtení, zápis ze slov s nulami, rozvinutý zápis, porovnávání, sousední čísla, co je po milionu, časté chyby a šest příkladů s řešením.

Řády: jednotky, desítky, stovky, tisíce, desetitisíce, statisíce, miliony

Každé místo v čísle je jeden řád. Každý řád je desetkrát větší než ten vpravo od něj: deset jednotek je jedna desítka, deset desítek jedna stovka, deset stovek jeden tisíc a tak dál. Ve škole se řády zkracují písmeny, která se píší nad tabulku řádů:

Názvy mají pravidelnou stavbu. Desetitisíc je deset tisíc, statisíc je sto tisíc, desetimilion je deset milionů. Kdo si to zapamatuje, nemusí tabulku umět nazpaměť: za jednotkami, desítkami a stovkami přijdou tisíce, desítky tisíc a stovky tisíců, a potom totéž s miliony.

Třídy: proč se číslo píše s mezerami

Tři řády za sebou tvoří jednu třídu. Třída jednotek má jednotky, desítky a stovky. Třída tisíců má tisíce, desetitisíce a statisíce, tedy jednotky, desítky a stovky tisíců. Třída milionů má totéž s miliony. Mezi třídami se v zápisu dělá mezera, a proto se dlouhé číslo dá přečíst na první pohled:

Mezera se dělá vždycky zprava, po třech číslicích. Zleva zůstane, co zbude: jedna, dvě nebo tři číslice. Číslo 4507 tak napíšeme 4 507, číslo 1250000 jako 1 250 000. Mezi třídami se nepíše tečka ani čárka, čárka je v češtině desetinná.

Třídy pomáhají i najít řád. Statisíce jsou stovky tisíců, takže v čísle 45 307 528 je hledáme ve třídě tisíců 307 na místě stovek: je tam 3. Desetitisíce jsou desítky tisíců, tam je 0. Nula je také číslice a na svém místě opravdu stojí.

Jak se velké číslo čte

Číslo rozdělíme zprava na trojice. Potom zleva čteme každou trojici jako obyčejné číslo do tisíce a za ni řekneme jméno třídy: miliony, tisíce. Trojici jednotek čteme bez jména. Trojice ze samých nul se nečte vůbec.

Tvar jména třídy se řídí číslem před ním, stejně jako u jiných slov: tisíc, dva tisíce, pět tisíc; milion, dva miliony, pět milionů. Jednička se před tisícem a milionem obvykle neříká: 1 000 je „tisíc“, 1 000 000 je „milion“.

Příklad 1

Přečtěte číslo 3 040 506.

Trojice zprava: 506, 040, 3. Zleva: tři miliony, čtyřicet tisíc (nula na začátku trojice se nečte), pět set šest. Dohromady tři miliony čtyřicet tisíc pět set šest.

Kontrola: číslo má sedm číslic, a sedm číslic mají čísla od milionu do deseti milionů (milion je jednička a šest nul). Začínáme tedy slovem „miliony“, sedí to.

Zápis ze slov: kam patří nuly

Při zápisu ze slov se nejčastěji ztratí nula. Pomůže pravidlo: za slovem tisíc jsou vždycky přesně tři číslice, za slovem milion šest. Když se desítky nebo stovky neřeknou, napíšeme na jejich místo nulu.

Postup: napíšeme číslo milionů, potom trojici tisíců, potom trojici jednotek. Trojici, která má méně než tři číslice, doplníme zleva nulami.

Příklad 2

Zapište číslem: dva miliony sedm tisíc třicet.

Miliony: 2. Tisíců je sedm, trojice musí mít tři číslice: 007. Jednotek je třicet, také tři číslice: 030. Dohromady 2 007 030.

Kontrola: 2 007 030 má sedm číslic jako každé číslo od milionu do deseti milionů a přečte se zpátky „dva miliony sedm tisíc třicet“. Kdo napíše 2 730 nebo 27 030, vynechal nuly a dostal úplně jiné číslo.

Rozvinutý zápis čísla

Číslo se dá rozepsat podle řádů: kolikrát je v něm statisíc, kolikrát desetitisíc a tak dál. To je rozvinutý zápis. Řády, kde je nula, se v rozvinutém zápisu vynechají:

`\begin{gathered} 608\,019 = 6 \cdot 100\,000 + 8 \cdot 1\,000 \\ {} + 1 \cdot 10 + 9 \cdot 1 \end{gathered}`

Obráceně je to stejné jako zápis ze slov. Ze zadání „4 statisíce a 5 desítek“ nebo `4 \cdot 100\,000 + 5 \cdot 10` napíšeme čtyřku na místo statisíců, pětku na místo desítek a všechna místa mezi nimi i za nimi zaplníme nulami:

Vyjde 400 050. Tabulka řádů je nejjistější cesta: každý řád má svůj sloupeček a prázdný sloupeček je nula.

Porovnávání velkých čísel

Dvě pravidla, v tomto pořadí:

1. Víc číslic znamená větší číslo. Šesticiferné číslo je vždycky větší než pěticiferné, i když začíná jedničkou.
2. Při stejném počtu číslic rozhoduje první rozdíl zleva. Číslice porovnáváme od začátku, a kde se poprvé liší, tam je rozhodnuto. Co je dál vpravo, už nic nezmění.

Příklad 3

Které číslo je větší: 98 765, nebo 102 345? A které z čísel 456 789 a 457 123?

98 765 má pět číslic, 102 345 šest. Větší je tedy 102 345, přestože 98 765 začíná devítkou. Zapíšeme `98\,765 \lt 102\,345`.

456 789 a 457 123 mají obě šest číslic. Statisíce 4 a 4 jsou stejné, desetitisíce 5 a 5 také, na místě tisíců je 6 a 7. Sedm je víc, větší je 457 123: `456\,789 \lt 457\,123`. Že má 456 789 na konci větší číslice, nevadí, ty už o ničem nerozhodují.

Kontrola: na číselné ose leží 456 789 před 457 000 a 457 123 až za ním.

Při řazení více čísel nejdřív roztřídíme čísla podle počtu číslic a teprve skupinu se stejným počtem porovnáváme zleva. Hrot znaku `\lt` a `\gt` míří vždycky k menšímu číslu.

Pro rodiče: nejlépe se to procvičuje na číslech, která dítě potkává: ceny aut a bytů v inzerátech, počty obyvatel měst, vzdálenosti. Nechte ho číslo nahlas přečíst a ukázat, kde je mezera mezi tisíci; kdo to zvládne, porovná i dvě taková čísla.

Sousední čísla a přechod přes devítky

Číslo, které následuje hned po daném čísle, je o jedna větší, číslo hned před ním o jedna menší. Těžké je to jen tam, kde jsou na konci devítky nebo nuly, protože se mění víc číslic najednou. Devítky se změní na nuly a číslice před nimi se zvětší o jedna:

`\begin{gathered} 399\,999 + 1 = 400\,000 \\[4pt] 399\,990 + 10 = 400\,000 \\[4pt] 500\,000 - 1 = 499\,999 \end{gathered}`

Obráceně, když jdeme o jedna dolů od okrouhlého čísla, nuly se změní na devítky a číslice před nimi se zmenší o jedna. Před 500 000 je tedy 499 999.

Co je po milionu? Číslo, které následuje po 1 000 000, je 1 000 001, milion jedna. Před milionem je 999 999, největší šesticiferné číslo. Ptá-li se úloha na řád, který přijde po milionech, jsou to desetimiliony, pak stamiliony a po nich miliardy.

Za milionem: miliarda a bilion

Za stamiliony přichází nová třída, miliardy. Miliarda je tisíc milionů, jednička a devět nul. Další třída jsou biliony, tisíc miliard, jednička a dvanáct nul. Každá další třída je tisíckrát větší a přidá tři nuly:

Pro představu: v Česku žije skoro 11 milionů lidí, na celé Zemi přes 8 miliard. Slunce je od Země daleko asi 150 milionů kilometrů.

Pozor na angličtinu: anglické billion je naše miliarda, ne bilion. Ve zprávách přeložených z angličtiny se to občas splete.

Zaokrouhlování velkých čísel

U velkých čísel často stačí vědět „asi kolik“, a tak se zaokrouhlují na tisíce, desetitisíce, statisíce nebo miliony. Rozhoduje vždycky číslice o jeden řád níž: 0 až 4 dolů, 5 až 9 nahoru. Například číslo 4 386 512:

`\begin{gathered} \text{na miliony: } 4\,386\,512 \doteq 4\,000\,000 \\[4pt] \text{na statisíce: } 4\,386\,512 \doteq 4\,400\,000 \\[4pt] \text{na tisíce: } 4\,386\,512 \doteq 4\,387\,000 \end{gathered}`

Na miliony rozhoduje trojka na místě statisíců, a ta zaokrouhluje dolů. Na statisíce rozhoduje osmička na místě desetitisíců, a ta nahoru. Celý postup i s chytáky je v článku Zaokrouhlování, příklady v procvičování Zaokrouhlování na tisíce. Libovolné číslo zaokrouhlené na všechny řády najednou vypíše kalkulačka zaokrouhlení na všechny řády.

Časté chyby

• Vynechaná nula. „Tři tisíce pět“ není 305 ani 35, ale 3 005. Za tisíci musí být tři číslice. Kontrola: přečtěte napsané číslo nahlas a poslouchejte, jestli zní stejně jako zadání.
• Porovnání podle první číslice bez ohledu na délku. 98 765 začíná devítkou, a přesto je menší než 102 345. Nejdřív se počítají číslice.
• Mezery zleva. 4507 se nepíše 450 7, ale 4 507. Trojice se odpočítávají vždycky zprava.
• Řád počítaný zleva. „Třetí číslice“ není totéž co stovky. Stovky jsou třetí číslice zprava, a statisíce jsou stovky tisíců, tedy třetí číslice třídy tisíců zprava.
• Přechod přes devítky. Po 399 999 nenásleduje 3 991 000 ani 399 1000, ale 400 000. Všechny devítky na konci se změní na nuly.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Čísla do milionu: řády, rozvinutý zápis, porovnávání a sousední čísla pro 4. třídu, s okamžitou kontrolou.
• Čísla přes milion: totéž až po stamiliony, pro 5. třídu.
• Velká čísla slovy: zápis čísel do milionu ze slov a jejich čtení.
• Zaokrouhlování na tisíce a článek Zaokrouhlování: další krok s velkými čísly.
• Zaokrouhlení na všechny řády: kalkulačka vypíše číslo zaokrouhlené na každý řád.
• Písemné počítání: sčítání, odčítání, násobení a dělení velkých čísel pod sebou.
• Římské číslice: jiný způsob zápisu čísel, bez řádů a bez nuly.