Měřítko mapy

Měřítko mapy 1 : n říká, že 1 cm na mapě je ve skutečnosti n cm. Platí to pro jakoukoli jednotku: na mapě s měřítkem 1 : 50 000 je 1 mm ve skutečnosti 50 000 mm, tedy 50 m, a 1 cm je 50 000 cm, tedy 500 m. Skutečnou vzdálenost dostaneme tak, že délku na mapě vynásobíme číslem n, a délku na mapě tak, že skutečnou délku číslem n vydělíme:

`\begin{gathered} \text{skutečnost} = \text{mapa} \cdot n \\[4pt] \text{mapa} = \text{skutečnost} : n \\[4pt] n = \text{skutečnost} : \text{mapa} \end{gathered}`

Obě délky musí být ve stejných jednotkách, výsledek se převádí na metry nebo kilometry až na konci. U obsahu pozor: plocha se nezvětší n-krát, ale `n^2`-krát, protože se zvětší obě strany. Na mapě 1 : 5 000 má 1 cm² ve skutečnosti 2 500 m².

Níže je postupně: co měřítko znamená a jak se zapisuje, tabulka běžných měřítek, převod z mapy na skutečnost a zpět, jak měřítko určit, výpočet skutečné rozlohy (i původní úloha o lese ve tvaru lichoběžníku), časté chyby a na konci příklady k procvičení s řešením.

Co znamená měřítko mapy

Měřítko je poměr délky na mapě ke skutečné délce. Zápis 1 : 25 000 se čte „jedna ku dvaceti pěti tisícům“ a znamená, že mapa je 25 000krát zmenšená. Každá úsečka na mapě je 25 000krát kratší než ve skutečnosti, ať ji měříme v milimetrech, centimetrech nebo palcích. Proto se k číslu v měřítku nepíše žádná jednotka.

Na mapách se měřítko uvádí třemi způsoby:

• číselné měřítko, například 1 : 25 000,
• slovní měřítko, například „1 cm na mapě = 250 m ve skutečnosti“,
• grafické měřítko, úsečka rozdělená na dílky s popsanou skutečnou délkou.

Grafické měřítko má jednu výhodu: když mapu vytisknete zmenšenou nebo ji přiblížíte na displeji, úsečka se zmenší nebo zvětší spolu s mapou a platí dál. Číselné měřítko po zmenšení kopie neplatí.

Kolik je 1 mm a 1 cm na mapě

Na tuhle otázku stačí jednoduché pravidlo. Při měřítku 1 : n je

• 1 mm na mapě tolik metrů, kolik zbude z n po škrtnutí tří nul (1 : 50 000 dává 50 m),
• 1 cm na mapě tolik metrů, kolik zbude z n po škrtnutí dvou nul (1 : 50 000 dává 500 m),
• 1 cm na mapě tolik kilometrů, kolik zbude po škrtnutí pěti nul (1 : 500 000 dává 5 km).

Pravidlo plyne z převodů jednotek: 1 m = 1 000 mm = 100 cm a 1 km = 100 000 cm. Běžná měřítka jsou v tabulce, poslední sloupec patří k obsahu, ke kterému se dostaneme níže.

Čím menší je číslo n, tím je mapa podrobnější. Mapa 1 : 10 000 se proto nazývá mapa většího měřítka než 1 : 50 000, i když je v jejím zápisu menší číslo: zlomek `\frac{1}{10\,000}` je větší než `\frac{1}{50\,000}`. Stejné území na ní zabere víc místa a vejde se na ni víc podrobností.

Z mapy na skutečnost

Délku na mapě vynásobíme číslem n a výsledek převedeme na metry nebo kilometry. Pro jednu vzdálenost to udělá i kalkulačka pro měřítko mapy.

Příklad 1: výlet podle turistické mapy

Na turistické mapě s měřítkem 1 : 50 000 měří trasa 7,4 cm. Jak dlouhá je ve skutečnosti?

`\begin{gathered} 7{,}4\ \mathrm{cm} \cdot 50\,000 = 370\,000\ \mathrm{cm} \\[4pt] 370\,000\ \mathrm{cm} = 3\,700\ \mathrm{m} = 3{,}7\ \mathrm{km} \end{gathered}`

Kontrola: 1 cm je 500 m, tedy 7 cm jsou 3,5 km a 0,4 cm je 200 m. Dohromady 3,7 km. Trasa je dlouhá 3,7 km. Pozor, to je délka křivky na mapě. Měřit se musí podél cesty, třeba provázkem, ne pravítkem vzdušnou čarou.

Ze skutečnosti na mapu

Opačný směr: skutečnou délku převedeme na centimetry (nebo milimetry) a vydělíme číslem n.

Příklad 2: kolik centimetrů na mapě

Dvě obce jsou od sebe vzdušnou čarou 3,2 km. Jak daleko od sebe budou na mapě 1 : 25 000?

`\begin{gathered} 3{,}2\ \mathrm{km} = 320\,000\ \mathrm{cm} \\[4pt] 320\,000 : 25\,000 = 12{,}8\ \mathrm{cm} \end{gathered}`

Kontrola: na této mapě je 1 km rovno 4 cm (tabulka výše), takže 3,2 km je 3,2 · 4 = 12,8 cm. Na mapě budou obce od sebe 12,8 cm.

Jak určit měřítko mapy

Když známe skutečnou vzdálenost i vzdálenost na mapě, měřítko je jejich podíl. Obě délky nejdřív převedeme na stejnou jednotku, jinak vyjde nesmysl.

Příklad 3: neznámé měřítko

Most dlouhý 1,5 km je na mapě nakreslen jako úsečka 6 cm. Jaké je měřítko mapy?

`\begin{gathered} 1{,}5\ \mathrm{km} = 150\,000\ \mathrm{cm} \\[4pt] n = 150\,000 : 6 = 25\,000 \\[4pt] \text{měřítko } 1 : 25\,000 \end{gathered}`

Kontrola: 6 cm · 25 000 = 150 000 cm = 1,5 km. Kdybychom dělili 1,5 : 6 bez převodu, vyšlo by 0,25, tedy „měřítko 1 : 0,25“, a to je zvětšení, ne mapa.

Měřítko nemusí být jen zmenšení. Na technickém výkresu malé součástky se píše třeba 5 : 1, což znamená, že výkres je pětkrát větší než skutečnost. Délka na výkresu se pak dělí pěti.

Měřítko a obsah: skutečná rozloha

Tady se chybuje nejčastěji. Když se každá délka zvětší n-krát, obsah se zvětší `n \cdot n = n^2`-krát. Čtverec o straně 1 cm na mapě 1 : 5 000 je ve skutečnosti čtverec o straně 50 m a jeho obsah je 50 · 50 = 2 500 m², tedy 25 milionkrát víc než 1 cm².

Skutečnou rozlohu lze proto spočítat dvěma způsoby:

1. převést každý rozměr na skutečnost a teprve pak spočítat obsah (bezpečnější, chyba s mocninou nehrozí),
2. spočítat obsah na mapě a vynásobit ho číslem `n^2`.

Výsledek pak převedeme na hektary nebo ary. Platí 1 a = 100 m², 1 ha = 100 a = 10 000 m² a 1 km² = 100 ha. Převody obsahu udělá i převodník jednotek obsahu.

Příklad 4: rozloha lesa

Les má tvar lichoběžníku. Na mapě s měřítkem 1 : 5 000 má základny `a = 120\ \mathrm{mm}` a `c = 80\ \mathrm{mm}` a výšku `v = 40\ \mathrm{mm}`. Jaká je skutečná rozloha lesa v hektarech?

První způsob, přes skutečné rozměry. Milimetry převedeme na centimetry (12 cm, 8 cm a 4 cm) a každý rozměr vynásobíme 5 000:

`\begin{gathered} a = 12 \cdot 5\,000 = 60\,000\ \mathrm{cm} = 600\ \mathrm{m} \\[4pt] c = 8 \cdot 5\,000 = 40\,000\ \mathrm{cm} = 400\ \mathrm{m} \\[4pt] v = 4 \cdot 5\,000 = 20\,000\ \mathrm{cm} = 200\ \mathrm{m} \end{gathered}`

Obsah lichoběžníku je polovina součinu součtu základen a výšky:

`\begin{gathered} S = \dfrac{(a + c) \cdot v}{2} \\[10pt] S = \dfrac{(600 + 400) \cdot 200}{2} = 100\,000\ \mathrm{m^2} \end{gathered}`

Protože 1 ha = 10 000 m², je 100 000 m² = 10 ha.

Druhý způsob, přes obsah na mapě. Na mapě má les obsah `\frac{(12 + 8) \cdot 4}{2} = 40\ \mathrm{cm^2}`. Podle tabulky je při měřítku 1 : 5 000 jeden centimetr čtvereční 2 500 m², takže skutečnost je 40 · 2 500 = 100 000 m² = 10 ha. Oba způsoby se shodují.

Kdo by obsah na mapě vynásobil jen 5 000, dostal by 200 000 cm² = 20 m², tedy les velikosti pokoje. Takový výsledek se dá poznat odhadem: les o stranách stovek metrů má rozlohu v hektarech, ne v metrech čtverečních.

Příklad 5: plánek bytu

Na plánku bytu v měřítku 1 : 50 má obývák tvar obdélníku 8 cm × 7 cm. Jakou má skutečnou podlahovou plochu?

`\begin{gathered} 8 \cdot 50 = 400\ \mathrm{cm} = 4\ \mathrm{m} \\[4pt] 7 \cdot 50 = 350\ \mathrm{cm} = 3{,}5\ \mathrm{m} \\[4pt] S = 4 \cdot 3{,}5 = 14\ \mathrm{m^2} \end{gathered}`

Obývák má 14 m². Kontrola druhým způsobem: na plánku 56 cm², krát 50² = 2 500 dává 140 000 cm² = 14 m².

Časté chyby

• Různé jednotky. Měřítko platí jen mezi stejnými jednotkami. Centimetry na mapě krát n dávají centimetry, ne metry ani kilometry. Převádí se až výsledek.
• Obsah násobený jen n. Plocha se mění s druhou mocninou měřítka. Bezpečné je převést na skutečnost každý rozměr zvlášť a obsah počítat až potom.
• Špatné převody obsahu. 1 m² není 100 cm², ale 10 000 cm². Mezi sousedními jednotkami obsahu je převod stokrát, ne desetkrát.
• Prohozený směr. Ze skutečnosti na mapu se dělí, z mapy na skutečnost násobí. Odhad pomůže: na mapě je všechno menší.
• „Větší měřítko“. Mapa 1 : 10 000 má větší měřítko než 1 : 100 000, protože je podrobnější. Větší číslo za dvojtečkou znamená menší měřítko.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Kalkulačky: Měřítko mapy přepočítá vzdálenost z mapy na skutečnost i zpět, převod jednotek obsahu a převod jednotek délky pomohou s jednotkami, lichoběžník spočítá obsah.
• Procvičování: Převádění jednotek včetně obsahu a Úměra a poměr.
• Články: Slovní úlohy na poměr, Slovní úlohy se zlomky a Procenta.