Úhly

Úhel je část roviny, kterou ohraničují dvě polopřímky se společným počátkem. Polopřímkám se říká ramena, jejich společnému bodu vrchol. Velikost úhlu se ve škole měří ve stupních: plný úhel má 360°, přímý 180° a pravý 90°. Menší části stupně jsou minuty a vteřiny, a na rozdíl od metrů a centimetrů se nedělí po stu, ale po šedesáti:

`1^{\circ} = 60' \qquad 1' = 60''`

Proto je 35,5° totéž co 35°30′, a ne 35°50′. Kdo počítá s úhly, musí převádět přes šedesát stejně jako u hodin a minut. Převody, sčítání, odčítání i dopočítání úhlu v trojúhelníku s postupem krok po kroku zvládnou kalkulačky úhlů.

Na čísla rovnou se dá jít v procvičování: převod stupňů a minut, sčítání a odčítání úhlů, vedlejší a vrcholové úhly, úhly v trojúhelníku a úhly v mnohoúhelníku. Každý příklad se hned opraví.

Úhly se probírají v 6. třídě a mnohoúhelníky v 7. třídě. Níže jsou druhy úhlů, převody mezi stupni a minutami, počítání s úhly, vedlejší, vrcholové, souhlasné a střídavé úhly, součet úhlů v trojúhelníku a v mnohoúhelníku, časté chyby a šest příkladů s řešením. Pokud s úkolem pomáháte jako rodič, nejdůležitější je oddíl o minutách: skoro každá chyba v šesté třídě vzniká tím, že se s minutami počítá jako se setinami.

Co je úhel a jak se značí

Úhel s vrcholem V a rameny VA a VB se zapisuje `\sphericalangle AVB`, čte se „úhel AVB“ a písmeno vrcholu je vždy uprostřed. Častěji se úhly značí malými řeckými písmeny: α (alfa), β (beta), γ (gama), δ (delta). Velikost se měří úhloměrem: jeho střed se položí na vrchol, nula na jedno rameno a na stupnici se přečte, kudy prochází druhé rameno.

Dvě ramena ve skutečnosti rozdělí rovinu na dva úhly, menší a větší, které mají dohromady 360°. Úhel nejvýš přímý (do 180°) se jmenuje konvexní, větší než přímý nekonvexní. Když se neřekne jinak, myslí se vždy ten konvexní.

Druhy úhlů

Podle velikosti se úhly dělí takto:

Pravý úhel se v obrázku nekreslí obloučkem, ale čtverečkem s tečkou. Pozor, že „tupý“ neznamená „velký“: 179° je ještě tupý, 180° už přímý.

Stupně, minuty a vteřiny

Jeden stupeň má 60 úhlových minut (′) a jedna minuta 60 úhlových vteřin (″), takže stupeň má 3 600 vteřin. Úhel se dá zapsat dvojím způsobem: jako desetinné číslo stupňů (35,7°), nebo ve stupních a minutách (35°42′). Kalkulačka a goniometrické tabulky často počítají s desetinnými stupni, rýsování a školní úlohy se stupni a minutami.

Příklad 1: desetinné stupně na stupně a minuty

Převeďte 35,7° na stupně a minuty.

Celé stupně zůstanou, převede se jen desetinná část. Ta je zlomek stupně, a protože stupeň má 60 minut, násobí se šedesáti:

`0{,}7^{\circ} = 0{,}7 \cdot 60' = 42'`
`35{,}7^{\circ} = 35^{\circ}42'`

Kontrola: 0,7 je o něco víc než polovina a 42′ je o něco víc než polovina z 60′. Když po vynásobení zůstanou zase desetiny minut, převedou se stejně na vteřiny: 12,345° je 12° a 0,345 · 60 = 20,7′, tedy 20′ a 0,7 · 60 = 42″. Dohromady 12°20′42″. Převod oběma směry s postupem dělá kalkulačka stupně na minuty.

Příklad 2: stupně a minuty na desetinné stupně

Převeďte 48°15′ na desetinné číslo.

Opačným směrem se minuty dělí šedesáti, protože minuta je šedesátina stupně:

`15' = (15 : 60)^{\circ} = 0{,}25^{\circ}`
`48^{\circ}15' = 48{,}25^{\circ}`

Ne vždy to vyjde přesně. 10°20′ je 10 + 20 : 60 = 10,333...°, protože 20 : 60 je jedna třetina, a ta má nekonečný desetinný rozvoj. Takové číslo se zaokrouhlí, obvykle na dvě až čtyři desetinná místa (kalkulačka minuty na stupně to u výsledku napíše).

Sčítání a odčítání úhlů

Stupně se sčítají se stupni a minuty s minutami. Když minut vyjde 60 nebo víc, každých 60′ se převede na 1° a přičte se ke stupňům, stejně jako se 60 minut převede na hodinu.

Příklad 3: sčítání s přechodem přes 60 minut

`\begin{aligned} 35^{\circ}42' + 20^{\circ}35' &= 55^{\circ}77' \\ &= 56^{\circ}17' \end{aligned}`

77′ je 60′ + 17′, tedy 1°17′. Ten jeden stupeň se přičte k 55°. Zápis 55°77′ jako výsledek nestačí: minut smí být nejvýš 59.

Příklad 4: odčítání s rozměněním stupně

Vypočítejte 50°10′ − 20°45′.

Od 10′ se 45′ odečíst nedá. Jeden stupeň se proto rozmění na 60 minut: 50°10′ je totéž co 49°70′. Pak už se odečítá po složkách:

`\begin{aligned} 50^{\circ}10' - 20^{\circ}45' &= 49^{\circ}70' - 20^{\circ}45' \\ &= 29^{\circ}25' \end{aligned}`

Kontrola sčítáním: 29°25′ + 20°45′ = 49°70′ = 50°10′. Stejně se odečítá od celých stupňů: 180° se napíše jako 179°60′, 90° jako 89°60′. Sčítání i odčítání s celým postupem ukáže kalkulačka sčítání a odčítání úhlů.

Násobení a dělení úhlu číslem

Násobí se zase zvlášť stupně a zvlášť minuty, a nadbytečné minuty se převedou na stupně:

`\begin{aligned} 25^{\circ}35' \cdot 3 &= 75^{\circ}105' \\ &= 76^{\circ}45' \end{aligned}`

Dělí se odshora, jako při dělení se zbytkem. Například 50°20′ : 3: nejdřív 50 : 3 = 16 (zb. 2). Zbylé 2° jsou 120′, s původními 20′ je to 140′, a 140 : 3 = 46 (zb. 2). Zbylé 2′ jsou 120″ a 120 : 3 = 40. Výsledek je 16°46′40″. Postup ukazuje kalkulačka násobení a dělení úhlu. Dělení dvěma je potřeba pro osu úhlu, která úhel rozpůlí.

Vedlejší a vrcholové úhly

Když se protnou dvě přímky, vzniknou čtyři úhly. Dva úhly, které mají společné jedno rameno a druhá ramena tvoří přímku, se jmenují vedlejší. Dohromady dávají přímý úhel:

`\alpha + \beta = 180^{\circ}`

Dva úhly, které leží naproti sobě, se jmenují vrcholové, a ty jsou vždy shodné. Na obrázku jsou vrcholové úhly α a α′, a β je vedlejší k oběma.

Když se tedy zná jeden ze čtyř úhlů, znají se všechny: dva mají jeho velikost a dva doplněk do 180°.

Příklad 5: vedlejší úhel

Úhel α = 65°25′. Určete vedlejší a vrcholový úhel.

`\begin{aligned} \beta &= 180^{\circ} - 65^{\circ}25' \\ &= 179^{\circ}60' - 65^{\circ}25' \\ &= 114^{\circ}35' \end{aligned}`

Vrcholový úhel je shodný s α, má tedy také 65°25′. Kontrola: 65°25′ + 114°35′ = 179°60′ = 180°. Stejný obrázek i výpočet dá kalkulačka vedlejší a vrcholové úhly.

Příklad 6: vedlejší úhly v poměru

Vedlejší úhly jsou v poměru 2 : 3. Jak jsou velké?

Dohromady mají 180° a ty se rozdělí na 2 + 3 = 5 dílů. Jeden díl je 180° : 5 = 36°, úhly jsou tedy 2 · 36° = 72° a 3 · 36° = 108°. Kontrola: 72° + 108° = 180°. Podobně se řeší úloha „jeden úhel je o 40° větší než druhý“: bez rozdílu zbude 180° − 40° = 140°, menší úhel je polovina, 70°, a větší 110°.

Souhlasné a střídavé úhly u rovnoběžek

Když dvě rovnoběžky a, b protne třetí přímka p (příčka), vznikne u každého průsečíku čtveřice úhlů a dohromady osm úhlů. Na obrázku jsou očíslované.

• Souhlasné úhly leží u obou průsečíků na stejném místě, například 1 a 5 (oba vpravo nad rovnoběžkou), 2 a 6, 3 a 7, 4 a 8. Souhlasné úhly jsou shodné.
• Střídavé úhly leží na opačných stranách příčky, oba mezi rovnoběžkami nebo oba vně, například 3 a 5, 4 a 6, ale i 1 a 7 nebo 2 a 8. Střídavé úhly jsou také shodné.

Vrcholové úhly se tu přidají k souhlasným, takže všech osm úhlů má jen dvě velikosti. Na obrázku mají liché úhly (modré) 62° a sudé úhly (zelené) 180° − 62° = 118°. Platí to i naopak: když jsou souhlasné úhly shodné, jsou přímky a, b rovnoběžné. Tak se rovnoběžky dají i rýsovat.

Součet úhlů v trojúhelníku

Vnitřní úhly každého trojúhelníku mají dohromady 180°:

`\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}`

Proč to platí, ukáže rovnoběžka. Vrcholem C se vede přímka p rovnoběžná se stranou AB. U vrcholu C pak vedle úhlu γ leží úhly shodné s α a β, protože jsou to střídavé úhly u rovnoběžek AB a p. Všechny tři dohromady tvoří přímý úhel, tedy 180°.

Proto ve trojúhelníku stačí znát dva úhly a třetí se dopočítá. Hned z toho plyne i to, že trojúhelník může mít nejvýš jeden pravý nebo jeden tupý úhel: dva by samy daly 180° nebo víc.

Příklad 7: třetí úhel trojúhelníku

V trojúhelníku ABC je α = 52°40′ a β = 71°35′. Vypočítejte γ.

`\begin{aligned} \alpha + \beta &= 123^{\circ}75' = 124^{\circ}15' \\ \gamma &= 179^{\circ}60' - 124^{\circ}15' \\ &= 55^{\circ}45' \end{aligned}`

Kontrola: 52°40′ + 71°35′ + 55°45′ = 178°120′ = 180°. Na obrázku z kalkulačky třetí úhel trojúhelníku je vidět, že jsou všechny tři úhly ostré.

Druhy trojúhelníků podle úhlů

Rozhoduje největší úhel. Trojúhelník je ostroúhlý, když jsou všechny tři úhly ostré, pravoúhlý, když má jeden úhel 90°, a tupoúhlý, když má jeden úhel tupý. Trojúhelník z příkladu 7 je ostroúhlý, jeho největší úhel má 71°35′.

• V pravoúhlém trojúhelníku mají dva ostré úhly dohromady 90°. Když je jeden 34°20′, je druhý 89°60′ − 34°20′ = 55°40′.
• V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly při základně shodné. Když má úhel při vrcholu 40°, zbývá na dva úhly při základně 140° a každý má 70°. Počítá to kalkulačka úhly v rovnoramenném trojúhelníku.
• V rovnostranném trojúhelníku jsou všechny tři úhly shodné, 180° : 3 = 60°.

Když se o trojúhelníku znají jen délky stran, druh se určí podle Pythagorovy věty a velikosti úhlů kosinovou větou. To je učivo vyšších ročníků, viz Kam dál.

Příklad 8: úhel ve hřebeni střechy

Sedlová střecha má sklon 38°, tedy obě střešní roviny svírají s vodorovnou půdou úhel 38°. Jaký úhel svírají nahoře ve hřebeni?

Průřez střechou je rovnoramenný trojúhelník a 38° jsou jeho úhly při základně. Ve hřebeni je úhel při vrcholu:

`180^{\circ} - 2 \cdot 38^{\circ} = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}`

Kontrola: 38° + 38° + 104° = 180°. Úhel ve hřebeni je tupý, a čím je střecha plošší, tím je větší.

Vnější úhel trojúhelníku

Vnější úhel je vedlejší k vnitřnímu, má tedy 180° minus vnitřní úhel. Rovná se také součtu dvou vnitřních úhlů u zbylých vrcholů. V příkladu 7 je vnější úhel u C roven 180° − 55°45′ = 124°15′, a to je přesně α + β.

Součet úhlů v mnohoúhelníku

Mnohoúhelník s n vrcholy se úhlopříčkami z jednoho vrcholu rozdělí na n − 2 trojúhelníků. Každý z nich má součet úhlů 180°, takže součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku je

`(n - 2) \cdot 180^{\circ}`

Pětiúhelník se tak rozdělí na tři trojúhelníky a jeho vnitřní úhly mají dohromady 3 · 180° = 540°. Platí to pro každý pětiúhelník, i nepravidelný jako na obrázku.

V pravidelném mnohoúhelníku jsou všechny vnitřní úhly shodné, takže se součet vydělí počtem vrcholů. Vnější úhly mají u každého konvexního mnohoúhelníku dohromady 360°, u pravidelného je proto každý 360° : n.

* Vnitřní a vnější úhel jednoho vrcholu platí jen pro pravidelný mnohoúhelník, součet pro každý.

Čtyřúhelník má součet úhlů 360°, a to je dobrá kontrola: čtverec má čtyři pravé úhly, 4 · 90° = 360°. Pravidelný šestiúhelník má vnitřní úhly 120°, a proto se dá složit ze šesti rovnostranných trojúhelníků. Pro libovolné n to spočítá kalkulačka součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku.

Příklad 9: počet vrcholů z úhlu

Pravidelný mnohoúhelník má vnitřní úhel 140°. Kolik má vrcholů?

Nejsnáz přes vnější úhel: ten je 180° − 140° = 40°. Vnější úhly dávají dohromady 360°, takže vrcholů je 360 : 40 = 9. Je to devítiúhelník. Kontrola: (9 − 2) · 180° = 1 260° a 1 260° : 9 = 140°.

Časté chyby

• Minuty jako setiny. 35,5° není 35°50′, ale 35°30′. A 48°15′ není 48,15°, ale 48,25°. Kontrola: půl stupně je 30′, čtvrt stupně 15′.
• Výsledek s 60 a víc minutami. 55°77′ je potřeba dopočítat na 56°17′.
• Odčítání bez rozměnění. Z 180° − 63°48′ nevyjde 117°48′ ani 116°52′. Správně 179°60′ − 63°48′ = 116°12′. Zkouška sčítáním chybu vždy odhalí.
• Vedlejší a vrcholový úhel se pletou. Vedlejší úhel je doplněk do 180°, vrcholový je stejně velký. Vrcholové úhly leží naproti sobě a nemají společné rameno.
• Součet 360° u trojúhelníku. 360° má čtyřúhelník. Trojúhelník má 180°, vzorec (n − 2) · 180° dá pro n = 3 právě 1 · 180°.
• Dělení počtem vrcholů u nepravidelného mnohoúhelníku. Vzorec (n − 2) · 180° platí vždy, ale vydělit ho n smí jen u pravidelného, kde jsou všechny úhly stejné.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování: převod stupňů a minut, sčítání a odčítání úhlů, vedlejší a vrcholové úhly, úhly v trojúhelníku a úhly v mnohoúhelníku.
• Kalkulačky: všech osm kalkulaček úhlů, od převodu stupňů na minuty po součet úhlů mnohoúhelníku.
• Trojúhelník dál: vzorce pro strany, výšky a obsah v článku Trojúhelník - Vzorečky, pravoúhlý trojúhelník v článku Pythagorova věta a úhly z délek stran v článku Sinová a kosinová věta. Druh trojúhelníku ze tří stran určí kalkulačka jaký je to trojúhelník.
• Na střední škole se úhly měří také v radiánech: plný úhel je 2π. Převod vysvětluje článek Jednotková kružnice a procvičit ho jde v stupních a radiánech.