Matematika pro každého
Osová souměrnost s osou o přiřadí každému bodu A bod A' na druhé straně osy, ve stejné vzdálenosti od ní. Oba body leží na jedné kolmici k ose, takže osa o je osou úsečky AA': prochází jejím středem a je na ni kolmá.
`AA'\perp o` `|AS|=|SA'|,\quad S\in o`
Bod S je průsečík úsečky AA' s osou. Body, které na ose leží, se nikam nepohnou, zobrazí se samy na sebe. Takovým bodům se říká samodružné body.
Osová souměrnost se zapisuje `O(o): A\to A'` a patří mezi shodná zobrazení: obraz úsečky je stejně dlouhý, obraz úhlu stejně velký, obraz trojúhelníku shodný s původním. Je to přesně to, co dělá zrcadlo postavené kolmo na papír podél osy.
Jak sestrojit obraz bodu
Úloha zní: sestrojte obraz bodu A v osové souměrnosti s osou o. Stačí trojúhelník s ryskou a kružítko.
- Bodem
Aveďte kolmiciqk oseo(ryskou). - Průsečík kolmice s osou označte
S. - Zapíchněte kružítko do
S, nastavte ho na vzdálenost|SA|a udělejte oblouk na druhé straně osy. - Kde oblouk protne kolmici
q, je bodA'.
Zápis konstrukce, jak se píše do sešitu: `q;\ q\perp o,\ A\in q`, pak `S;\ S\in o\cap q`, pak `k(S;\ |SA|)` a nakonec `A';\ A'\in k\cap q,\ A'\ne A`. Kontrola: úsečka AA' musí být kolmá na osu a osa ji musí půlit. Pokud jste bod A' „odměřili“ šikmo, třeba podle čtverečků na papíře, nebude kolmice sedět.
Obraz trojúhelníku a dalších útvarů
Příklad 1
Sestrojte obraz trojúhelníku ABC v osové souměrnosti s osou o.
Trojúhelník je určen třemi vrcholy, takže stačí třikrát zopakovat konstrukci obrazu bodu: kolmice z A, B a C k ose, na každé z nich odměřit kružítkem stejnou vzdálenost na druhou stranu. Vzniknou body A', B', C' a spojíme je.
Kontrola: odpovídající si strany musí být stejně dlouhé, `|AB|=|A'B'|`, `|BC|=|B'C'|`, `|CA|=|C'A'|`. Všimněte si ale jedné věci. Když obejdete trojúhelník ABC v pořadí A, B, C, jdete proti směru hodinových ručiček. U obrazu v pořadí A', B', C' jdete po směru. Osová souměrnost obrací orientaci, stejně jako zrcadlo prohodí levou a pravou ruku. Proto se jí říká nepřímá shodnost, na rozdíl od posunutí, otočení nebo středové souměrnosti, které orientaci zachovávají.
Stejně se zobrazí jakýkoli mnohoúhelník: obraz každého vrcholu a pak je spojit. U kružnice stačí zobrazit střed, poloměr zůstává. Přímka se zobrazí na přímku, takže stačí zobrazit dva její body. Když vrchol leží přímo na ose, je samodružný a jeho obraz je on sám, nic se nerýsuje.
Co je samodružný bod
Samodružný bod je bod, který se v daném zobrazení zobrazí sám na sebe, platí pro něj `A=A'`. V osové souměrnosti jsou samodružné právě body osy o, žádné jiné: bod mimo osu má svůj obraz na druhé straně, tedy jinde.
Kromě bodů mluvíme také o samodružných přímkách, to jsou přímky, které se zobrazí samy na sebe (jako celek, jednotlivé body se na nich mohou přesunout). V osové souměrnosti jsou to:
- osa
o, na ní je samodružný každý bod, - každá přímka kolmá k ose, ta se zobrazí sama na sebe, ale její body si vymění místa podle průsečíku s osou. Samodružný je na ní jen tento průsečík.
Pro srovnání s ostatními shodnými zobrazeními:
| zobrazení | samodružné body |
|---|---|
| osová souměrnost | všechny body osy |
| středová souměrnost | jen střed souměrnosti |
| otočení (o nenulový úhel menší než 360°) | jen střed otočení |
| posunutí (o nenulový vektor) | žádné |
| identita | všechny body roviny |
Typická otázka v testu: „Který bod je v osové souměrnosti samodružný?“ Odpověď je bod ležící na ose. A naopak: „Má osová souměrnost samodružný bod?“ Ano, nekonečně mnoho, celou osu.
Vlastnosti osové souměrnosti
- Zachovává délky úseček a velikosti úhlů, je to shodné zobrazení. Obraz útvaru je s ním shodný.
- Zobrazí přímku na přímku a rovnoběžky na rovnoběžky. Přímka rovnoběžná s osou má obraz rovnoběžný s osou, na druhé straně ve stejné vzdálenosti.
- Přímka, která osu protíná, se zobrazí na přímku, která ji protíná ve stejném bodě a pod stejným úhlem, jen z druhé strany.
- Obrací orientaci (nepřímá shodnost), viz příklad 1.
- Použijete-li ji dvakrát po sobě se stejnou osou, dostanete zpět původní bod: obrazem
A'je znovuA.
Osa souměrnosti útvaru
Útvar je osově souměrný, pokud existuje přímka, podle které se zobrazí sám na sebe. Taková přímka je jeho osa souměrnosti. Prakticky: když útvar přeložíte podél osy, obě poloviny do sebe přesně zapadnou. Útvar může mít jednu osu souměrnosti, několik, nekonečně mnoho, nebo žádnou.
| útvar | počet os souměrnosti | které to jsou |
|---|---|---|
| úsečka | 2 | osa úsečky a přímka, na které úsečka leží |
| přímka | nekonečně mnoho | ona sama a každá kolmice k ní |
| kružnice, kruh | nekonečně mnoho | každá přímka procházející středem |
| úhel (menší než přímý) | 1 | osa úhlu |
| obecný trojúhelník | 0 | žádná |
| rovnoramenný trojúhelník | 1 | osa základny, prochází hlavním vrcholem |
| rovnostranný trojúhelník | 3 | osy všech tří stran, každá jde vrcholem |
| čtverec | 4 | 2 úhlopříčky a 2 spojnice středů protějších stran |
| obdélník | 2 | 2 spojnice středů protějších stran, úhlopříčky ne |
| kosočtverec | 2 | 2 úhlopříčky |
| kosodélník | 0 | žádná, je jen středově souměrný |
| rovnoramenný lichoběžník | 1 | spojnice středů obou základen |
| deltoid | 1 | úhlopříčka mezi vrcholy, kde se stýkají stejné strany |
pravidelný n-úhelník | n | šestiúhelník 6, osmiúhelník 8 |
Počty platí pro útvar, který není zároveň speciálnějším případem: čtverec je také obdélník i kosočtverec, rovnostranný trojúhelník je také rovnoramenný, a proto mají os víc.
Osa souměrnosti trojúhelníku
Obecný trojúhelník, který má všechny strany různé, osu souměrnosti nemá. Rovnoramenný trojúhelník má jednu: je to osa základny. Prochází hlavním vrcholem (tím proti základně) a středem základny, a je proto zároveň výškou, těžnicí i osou úhlu při hlavním vrcholu. Úsek osy uvnitř trojúhelníku je výška na základnu. Když znáte základnu a rameno, spočítáte ji třeba v kalkulačce rovnoramenný trojúhelník ze základny a ramene. Rovnostranný trojúhelník má tři osy souměrnosti, každá vede jedním vrcholem a středem protější strany a všechny tři se protínají v jednom bodě. Rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník má jen jednu, je to rovnoramenný trojúhelník jako každý jiný.
Osa souměrnosti čtverce
Čtverec má čtyři osy souměrnosti: obě úhlopříčky a dvě přímky spojující středy protějších stran. Všechny čtyři procházejí středem čtverce. Obdélník, který není čtverec, má jen dvě. Více o čtverci v článku Čtverec - vzorečky.
Jak najít osu souměrnosti
Opačná úloha: známe bod A i jeho obraz A' a hledáme osu. Protože osa půlí úsečku AA' a je na ni kolmá, osa souměrnosti je osa úsečky AA'. Sestrojí se kružítkem:
- Zapíchněte kružítko do
Aa udělejte oblouk nad i pod úsečkouAA'. Poloměr zvolte větší než polovina|AA'|. - Se stejným poloměrem udělejte totéž z bodu
A'. - Oblouky se protnou ve dvou bodech. Přímka jimi vedená je osa
o.
Jestliže máte celý útvar a jeho obraz, stačí najít osu pro jednu dvojici odpovídajících si bodů. Pro kontrolu ji udělejte ještě pro druhou dvojici: musí vyjít stejná přímka. Pokud nevyjde, útvary nejsou osově souměrné.
Osová souměrnost v souřadnicích
Když jsou body zadané souřadnicemi, nic se nerýsuje, stačí přepsat souřadnice. Podle osy x se mění jen znaménko druhé souřadnice, podle osy y jen první.
| osa souměrnosti | obraz bodu `[x;\ y]` | příklad: `[3;\ {-2}]` |
|---|---|---|
osa x | `[x;\ {-y}]` | `[3;\ 2]` |
osa y | `[-x;\ y]` | `[-3;\ {-2}]` |
| přímka `y=x` | `[y;\ x]` | `[-2;\ 3]` |
| přímka `y=-x` | `[-y;\ {-x}]` | `[2;\ {-3}]` |
| přímka `x=c` | `[2c-x;\ y]` | pro `c=1`: `[-1;\ {-2}]` |
| přímka `y=c` | `[x;\ 2c-y]` | pro `c=1`: `[3;\ 4]` |
Příklad 2
Trojúhelník má vrcholy `A[1;\ 2]`, `B[4;\ 1]`, `C[2;\ 5]`. Najděte jeho obraz v osové souměrnosti podle osy y a podle přímky `x=3`.
Podle osy y změníme znaménko první souřadnice: `A'[-1;\ 2]`, `B'[-4;\ 1]`, `C'[-2;\ 5]`.
Podle přímky `x=3` počítáme první souřadnici jako `2\cdot 3-x=6-x`: `A''[5;\ 2]`, `B''[2;\ 1]`, `C''[4;\ 5]`.
Kontrola: bod A je od přímky `x=3` vzdálen 2 doleva, A'' 2 doprava. A délky stran sedí, třeba `|AB|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}` a `|A'B'|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}`. Obraz bodu podle os si můžete procvičit v procvičování osové a středové souměrnosti.
Využití: nejkratší cesta přes přímku
Osová souměrnost řeší jednu klasickou úlohu z praxe, na kterou by se jinak musely použít derivace.
Příklad 3
Dům A stojí 300 m od rovného břehu řeky, stáj B 500 m od břehu na stejné straně. Podél řeky jsou od sebe vzdálené 800 m. Farmář jde z domu k řece pro vodu a pak do stáje. Kam k řece má dojít, aby šel co nejkratší cestou, a jak dlouhá bude?
Zobrazíme stáj B v osové souměrnosti podle břehu, dostaneme B' na druhé straně řeky, 500 m od břehu. Pro jakékoli místo P na břehu je `|PB|=|PB'|`, protože souměrnost zachovává vzdálenosti. Cesta `A\to P\to B` je tedy stejně dlouhá jako lomená čára `A\to P\to B'`, a ta je nejkratší, když je přímá. Hledané P je průsečík úsečky AB' s břehem.
V souřadnicích (osa x = břeh, stovky metrů): `A[0;\ 3]`, `B[8;\ 5]`, `B'[8;\ {-5}]`. Úsečka AB' klesá z výšky 3 na −5, tedy o 8 na 8 dílků, o jeden na každý dílek. Osu x protne po 3 dílcích, `P[3;\ 0]`. Délka cesty:
`|AB'|=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt2\doteq 11{,}31`
Farmář má dojít k řece 300 m od místa naproti domu, směrem ke stáji a ujde asi 1 131 m. Kontrola po částech: `|AP|=\sqrt{3^2+3^2}\doteq 4{,}24` a `|PB|=\sqrt{5^2+5^2}\doteq 7{,}07`, dohromady `11{,}31`. Kdyby šel k řece přesně do poloviny, do `[4;\ 0]`, ušel by `5+\sqrt{41}\doteq 11{,}40`, tedy o 9 m víc. Stejně funguje odraz světla od zrcadla a odraz kulečníkové koule od mantinelu: úhel dopadu se rovná úhlu odrazu.
Časté chyby
- Úhlopříčky obdélníku nejsou osy souměrnosti. Když obdélník přeložíte podél úhlopříčky, rohy nezapadnou. Úhlopříčky jsou osami jen u čtverce a kosočtverce.
- Kosodélník není osově souměrný, i když tak na první pohled vypadá. Je souměrný jen středově.
- Vzdálenost od osy se měří kolmo. Obraz nesmí být jen „někde naproti“. Pokud osa není svislá ani vodorovná, čtverečky na papíře nepomohou, potřebujete kolmici.
- Záměna s osou úsečky a osou úhlu. Osa úsečky je osa její souměrnosti, osa úhlu je osa souměrnosti úhlu. Obě jsou osy souměrnosti, ale každá jiného útvaru.
- Zapomenutý samodružný bod. Vrchol ležící na ose se nezobrazuje jinam, je sám svým obrazem. A naopak bod mimo osu samodružný nikdy není.
Příklady k procvičení
1. Kolik os souměrnosti má obdélník, kosočtverec, rovnostranný trojúhelník, pravidelný šestiúhelník a kosodélník?
Obdélník 2 (spojnice středů protějších stran), kosočtverec 2 (úhlopříčky), rovnostranný trojúhelník 3, pravidelný šestiúhelník 6 (3 spojnice protějších vrcholů a 3 spojnice středů protějších stran), kosodélník 0.
2. Která z velkých tiskacích písmen A, B, F, H, N, O, S, X jsou osově souměrná a kolik os mají? Uvažujte jednoduché písmo bez patek.
A má jednu svislou osu, B jednu vodorovnou, H, O a X mají dvě (svislou a vodorovnou). Kdyby bylo O dokonale kulaté, mělo by jich nekonečně mnoho jako kružnice. F, N a S osově souměrná nejsou. N a S jsou ovšem souměrná středově: otočená o 180° vypadají stejně.
3. Najděte obraz bodu `A[-3;\ 5]` v osové souměrnosti podle osy x, podle osy y a podle přímky `y=x`.
Podle osy x: `[-3;\ {-5}]`. Podle osy y: `[3;\ 5]`. Podle přímky `y=x` se souřadnice prohodí: `[5;\ {-3}]`.
4. Bod A leží 4 cm od osy o. Jak daleko je od svého obrazu A'? Pro které body je vzdálenost bodu od jeho obrazu nulová?
A' leží 4 cm od osy na druhé straně, na stejné kolmici, takže `|AA'|=8\ \mathrm{cm}`. Nulová je vzdálenost pro body ležící na ose o, to jsou samodružné body.
5. Bod `A'[5;\ 6]` je obrazem bodu `A[1;\ 2]` v osové souměrnosti. Najděte osu souměrnosti.
Osa je osa úsečky AA'. Její střed je `S\left[\frac{1+5}{2};\ \frac{2+6}{2}\right]=[3;\ 4]`. Vektor `\overrightarrow{AA'}=(4;\ 4)` je normálový vektor osy, takže osa má rovnici `4x+4y+c=0`, po vydělení `x+y+c'=0`. Dosazením S: `3+4+c'=0`, `c'=-7`.
Osa souměrnosti je přímka `x+y-7=0`, tedy `y=-x+7`. Kontrola: bod A má od ní vzdálenost `\frac{|1+2-7|}{\sqrt2}=\frac{4}{\sqrt2}` a bod A' `\frac{|5+6-7|}{\sqrt2}=\frac{4}{\sqrt2}`, stejně.
6. Dva domy stojí na stejné straně rovné silnice, dům A 400 m od ní, dům B 200 m. Podél silnice jsou od sebe 900 m. Kam na silnici postavit společnou autobusovou zastávku, aby součet cest z obou domů k ní byl co nejmenší? Jaký bude?
Stejně jako v příkladu 3. V souřadnicích (silnice = osa x, stovky metrů) je `A[0;\ 4]`, `B[9;\ 2]` a obraz `B'[9;\ {-2}]`. Úsečka AB' klesne na 9 dílcích o 6, tedy o `\frac23` na dílek, a výšku 0 má po `4:\frac23=6` dílcích.
Zastávka patří 600 m od místa naproti domu A (300 m od místa naproti domu B). Součet cest je `|AB'|=\sqrt{9^2+6^2}=\sqrt{117}\doteq 10{,}82`, tedy asi 1 082 m. Kontrola: `\sqrt{6^2+4^2}+\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{52}+\sqrt{13}\doteq 7{,}21+3{,}61=10{,}82`.
Kam dál
Obraz bodu podle osy x, osy y i přímky `y=x` si procvičte v procvičování osové a středové souměrnosti. Druhé souměrnosti v rovině se věnuje článek Středová souměrnost.
Osy souměrnosti se objevují u všech rovinných útvarů: vzorce pro trojúhelník najdete v článku Trojúhelník - vzorečky, zda je trojúhelník rovnoramenný (a má tedy osu souměrnosti), zjistí ze tří stran kalkulačka jaký je to trojúhelník a obsah a úhlopříčku čtverce kalkulačka čtverec.