Středová souměrnost

Středová souměrnost se středem S přiřadí každému bodu A bod A' tak, že bod S je středem úsečky AA'. Obraz leží na přímce AS, na druhé straně od středu a ve stejné vzdálenosti od něj.

`S\in AA'`
`|AS|=|SA'|`

Bod S se nazývá střed souměrnosti a jako jediný bod roviny se zobrazí sám na sebe. Středové souměrnosti se také říká bodová souměrnost nebo souměrnost podle bodu. Zapisuje se `S(S): A\to A'`.

Středová souměrnost je totéž co otočení o 180° kolem bodu S. Patří mezi shodná zobrazení: obraz úsečky je stejně dlouhý, obraz úhlu stejně velký a obraz trojúhelníku je s původním trojúhelníkem shodný.

Ve škole se probírá obvykle v 7. třídě, po osové souměrnosti. Rozdíl mezi nimi je jednoduchý: osová souměrnost překlápí útvar přes přímku, středová ho převrací kolem bodu.

Jak sestrojit obraz bodu

Úloha zní: sestrojte obraz bodu A ve středové souměrnosti se středem S. Stačí pravítko a kružítko.

1. Body A a S veďte přímku p.
2. Zapíchněte kružítko do S a nastavte ho na vzdálenost |SA|.
3. Udělejte oblouk na přímce p na druhé straně od bodu S, než leží A.
4. Průsečík oblouku s přímkou p je bod A'.

Zápis konstrukce do sešitu: `p;\ A\in p,\ S\in p`, pak `k(S;\ |SA|)` a nakonec `A';\ A'\in k\cap p,\ A'\ne A`. Kružnice k protne přímku p ve dvou bodech. Jeden z nich je samotné A, obraz je ten druhý.

Kontrola: bod S musí ležet mezi body A a A' a úsečku AA' musí půlit. Pokud leží A' na stejné straně jako A, spletli jste si stranu.

Středová souměrnost trojúhelníku a dalších útvarů

Příklad 1

Sestrojte obraz trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti se středem S.

Trojúhelník je určený třemi vrcholy, takže stačí třikrát zopakovat konstrukci obrazu bodu. Vedeme přímky AS, BS, CS, na každé odměříme kružítkem stejnou vzdálenost za bod S a vzniklé body A', B', C' spojíme.

Kontrola: odpovídající si strany jsou stejně dlouhé, `|AB|=|A'B'|`, `|BC|=|B'C'|`, `|CA|=|C'A'|`. Navíc jsou rovnoběžné: `A'B'\parallel AB` a tak dál. Obraz vypadá jako původní trojúhelník otočený „vzhůru nohama“, nikoli zrcadlově převrácený.

Tím se středová souměrnost liší od osové. Když obejdete trojúhelník ABC v pořadí A, B, C proti směru hodinových ručiček, obejdete i obraz A', B', C' proti směru. Středová souměrnost zachovává orientaci, je to přímá shodnost. Osová souměrnost orientaci obrací.

Obraz jiných útvarů se sestrojí stejně:

• mnohoúhelník: zobrazit každý vrchol a spojit je ve stejném pořadí,
• kružnice: stačí zobrazit její střed, poloměr zůstane stejný,
• přímka: zobrazit dva její body. Obraz je s původní přímkou rovnoběžný. Přímka, která prochází středem S, se zobrazí sama na sebe,
• když je střed S zároveň vrcholem útvaru, je tento vrchol svým vlastním obrazem.

Středová souměrnost v souřadnicích

V soustavě souřadnic se obraz bodu dá spočítat bez rýsování. Protože S je střed úsečky AA', platí pro každou souřadnici `s_1=\dfrac{a_1+a'_1}{2}`. Odtud:

`A=[a_1;\ a_2],\ S=[s_1;\ s_2]`
`A'=[2s_1-a_1;\ 2s_2-a_2]`

Nejčastější případ je souměrnost podle počátku O[0; 0]. Tam se jen obě souřadnice změní na opačné: `[x;\ y]\to[-x;\ {-y}]`.

Příklad 2

Najděte obraz bodu `A[2;\ 2]` ve středové souměrnosti podle počátku.

Obě souřadnice změníme na opačné: `A'[-2;\ {-2}]`. Zkouška: střed úsečky AA' je `\left[\frac{2+(-2)}{2};\ \frac{2+(-2)}{2}\right]=[0;\ 0]`, tedy počátek.

Příklad 3

Sestrojte obraz trojúhelníku ABC s vrcholy `A[0;\ 0]`, `B[2;\ 0]`, `C[1;\ 1]` ve středové souměrnosti se středem `S[1;\ 2]`.

Každý vrchol dosadíme do `A'=[2s_1-a_1;\ 2s_2-a_2]`, kde `2s_1=2` a `2s_2=4`:

`A'=[2-0;\ 4-0]=[2;\ 4]`
`B'=[2-2;\ 4-0]=[0;\ 4]`
`C'=[2-1;\ 4-1]=[1;\ 3]`

Zkouška na obrázku: strana A'B' je rovnoběžná se stranou AB, je stejně dlouhá (2 jednotky) a leží o 4 jednotky výš, jen s prohozenými konci: A' je vpravo a B' vlevo. Obraz bodu si můžete ověřit i v kalkulačce Střed úsečky: jako bod A zadejte zobrazovaný bod, jako bod B střed souměrnosti a v řádku „Bod souměrný k A podle B“ je obraz.

Jak najít střed souměrnosti

Opačná úloha: známe bod a jeho obraz a hledáme střed. Střed souměrnosti je střed úsečky AA'. Rýsováním ho najdete tak, že sestrojíte osu úsečky AA' (dva oblouky stejného poloměru z A a z A') a její průsečík s úsečkou je S. V souřadnicích stačí zprůměrovat:

`S=\left[\dfrac{a_1+a'_1}{2};\ \dfrac{a_2+a'_2}{2}\right]`

Například pro body `A[0;\ 0]` a `A'[2;\ 2]` je střed souměrnosti `S[1;\ 1]`. Více o výpočtu je v článku Střed úsečky.

Příklad 4

Trojúhelník A'B'C' s vrcholy `A'[5;\ 5]`, `B'[2;\ 5]`, `C'[4;\ 3]` je obrazem trojúhelníku ABC s vrcholy `A[1;\ 1]`, `B[4;\ 1]`, `C[2;\ 3]` ve středové souměrnosti. Najděte její střed.

Střed leží uprostřed každé úsečky, která spojuje vrchol s jeho obrazem. Stačí jedna dvojice:

`S=\left[\dfrac{1+5}{2};\ \dfrac{1+5}{2}\right]=[3;\ 3]`

Zbylé dvě dvojice slouží jako zkouška: střed BB' je `\left[\frac{4+2}{2};\ \frac{1+5}{2}\right]=[3;\ 3]` a střed CC' je `\left[\frac{2+4}{2};\ \frac{3+3}{2}\right]=[3;\ 3]`. Všechny tři vyšly stejně, takže trojúhelníky opravdu jsou středově souměrné. Kdyby každá dvojice dala jiný střed, nejde o středovou souměrnost, ale o jiné zobrazení (nebo jsou špatně přiřazené vrcholy).

Při rýsování se postupuje stejně: spojte A s A' a B s B', průsečík obou úseček je S. Třetí úsečka CC' musí projít stejným bodem.

Středově souměrné útvary

Útvar je středově souměrný, pokud existuje bod, podle kterého se zobrazí sám na sebe. Tento bod je střed souměrnosti útvaru. Prakticky: když útvar otočíte o 180° kolem středu, vypadá přesně stejně.

Má trojúhelník střed souměrnosti?

Nemá, žádný trojúhelník. Ani rovnostranný, přestože má tři osy souměrnosti. Důvod je jednoduchý: středová souměrnost musí převést vrchol na vrchol. Vrchol se nemůže zobrazit sám na sebe (to umí jen střed S, a kdyby byl S vrcholem, obraz trojúhelníku by ležel na druhé straně od něj). Vrcholy se tedy musí rozdělit do dvojic A, A', a tři vrcholy do dvojic rozdělit nejde. Na obrázku s trojúhelníkem je vidět, co se stane: rovnostranný trojúhelník otočený o 180° kolem těžiště míří špičkou dolů.

Stejná úvaha platí pro každý mnohoúhelník s lichým počtem vrcholů. Středově souměrný mnohoúhelník má vždy sudý počet vrcholů a jeho protější strany jsou rovnoběžné a stejně dlouhé. Sudý počet ale nestačí, rovnoramenný lichoběžník má čtyři vrcholy a střed souměrnosti nemá.

Středově souměrná jsou i některá písmena: N, S, Z, H, I, O, X. Poslední čtyři mají navíc i osy souměrnosti, první tři žádnou. Zkuste je napsat na papír a otočit ho vzhůru nohama.

Příklad 5: doplnění rovnoběžníku

Rovnoběžník ABCD má vrcholy `A[1;\ 1]`, `B[5;\ 2]` a jeho úhlopříčky se protínají v bodě `S[4;\ 4]`. Určete vrcholy C a D.

Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí, takže S je střed souměrnosti rovnoběžníku a vrchol C je obraz vrcholu A, vrchol D obraz vrcholu B:

`C=[8-1;\ 8-1]=[7;\ 7]`
`D=[8-5;\ 8-2]=[3;\ 6]`

Zkouška: v rovnoběžníku musí být strany AB a DC stejně dlouhé a stejně natočené. Z A do B se jde o 4 doprava a 1 nahoru, z D[3; 6] do C[7; 7] také o 4 doprava a 1 nahoru. Sedí to. Stejná úloha se rýsuje v 7. třídě bez souřadnic: přímky AS a BS a na nich kružítkem body C a D.

Vlastnosti středové souměrnosti

• Je to shodné zobrazení: zachovává délky úseček i velikosti úhlů.
• Zachovává orientaci (přímá shodnost), protože jde o otočení o 180°.
• Jediný samodružný bod je střed S. Samodružné přímky jsou všechny přímky, které středem procházejí: zobrazí se samy na sebe, jen jejich body si vymění strany.
• Přímka, která středem neprochází, se zobrazí na rovnoběžnou přímku na druhé straně od S, ve stejné vzdálenosti.
• Použijete-li ji dvakrát po sobě, vrátíte se do původního bodu: obrazem A' je zase A.
• Dvě osové souměrnosti s navzájem kolmými osami provedené po sobě dají středovou souměrnost se středem v průsečíku os. Proto se bod zobrazí podle počátku stejně, jako když ho zobrazíte nejdřív podle osy x a pak podle osy y.

Časté chyby

• Obraz na stejné straně. Bod A' se odměří od S na tu stranu, kde už leží A. Střed S pak není mezi nimi. Kontrola: S musí půlit úsečku AA'.
• Záměna s osovou souměrností. Obraz trojúhelníku vyjde zrcadlově převrácený. Ve středové souměrnosti jsou strany obrazu rovnoběžné s původními a trojúhelník je jen otočený.
• Špatný vzorec v souřadnicích. Místo `2S-A` se počítá `S-A` nebo `2S+A`. Zkouška průměrem to odhalí hned: průměr bodu a jeho obrazu musí dát S.
• „Rovnostranný trojúhelník má střed souměrnosti.“ Nemá. Těžiště je střed otočení o 120°, ne o 180°. Viz výše.
• Záměna středu souměrnosti a osy souměrnosti útvaru. Obdélník má dvě osy i střed, rovnoramenný trojúhelník jen osu, rovnoběžník (který není obdélník ani kosočtverec) jen střed a žádnou osu.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování osové a středové souměrnosti: obraz bodu podle počátku, os a přímky `y=x`.
• Procvičování středu úsečky: přesně to, co se počítá při hledání středu souměrnosti.
• Kalkulačka Střed úsečky: spočítá střed i bod souměrný podle druhého krajního bodu.
• Osová souměrnost: shodné zobrazení, které se probírá před středovou, samodružné body a osy souměrnosti útvarů.
• Střed úsečky: vzorec a příklady v souřadnicích.