Čtverec - Vzorečky

Čtverec je čtyřúhelník, který má všechny čtyři strany stejně dlouhé a všechny čtyři úhly pravé. Stačí tedy znát jeho stranu `a` a dopočítá se z ní všechno ostatní. Základní vzorce pro čtverec jsou:

`\displaystyle o = 4a`
`\displaystyle S = a^2 = a \cdot a`
`\displaystyle u = a\sqrt{2} \doteq 1{,}414\, a`

Tady `o` je obvod, `S` obsah a `u` úhlopříčka. Čtverec o straně 5 cm má obvod 20 cm, obsah 25 cm² a úhlopříčku asi 7,07 cm. Pokud znáte jen obvod, obsah nebo úhlopříčku, spočítáte nejdřív stranu a od ní pokračujete, jak ukazuje tabulka níže.

Čtverec je zvláštní případ obdélníku, jehož strany jsou stejně dlouhé. Proto se jeho obsah počítá stejně jako obsah obdélníku, strana krát strana, a z obdélníku se zase odvozuje obsah trojúhelníku.

Přehled vzorců pro čtverec

Na obrázku je čtverec `ABCD` se stranou `a`, úhlopříčkou `u`, kružnicí vepsanou (oranžová, poloměr `\rho`) a kružnicí opsanou (modrá, poloměr `r`). Obě kružnice mají střed v průsečíku úhlopříček. V posledním sloupci tabulky je každý vzorec spočítaný pro `a = 5\ \mathrm{cm}`.

Všechno si můžete nechat spočítat v kalkulačce čtverce: zadáte stranu a ukáže obvod, obsah, úhlopříčku i oba poloměry i s dosazením do vzorce. Pozor, kalkulačka značí poloměr kružnice opsané `R` a vepsané `r`, kdežto ve škole se častěji píše `r` a `\rho` jako tady.

Obvod čtverce

Obvod je délka čáry kolem čtverce, tedy součet všech čtyř stran. Strany jsou stejné, takže stačí jednu vynásobit čtyřmi:

`\displaystyle o = a + a + a + a = 4a`

Obvod je délka, vychází tedy v centimetrech nebo metrech, ne ve čtverečních jednotkách. Čtverec o straně 7 cm má obvod `o = 4 \cdot 7 = 28\ \mathrm{cm}`.

Opačně, ze známého obvodu dostanete stranu vydělením čtyřmi: `a = o : 4`. Čtvercový záhon obehnaný 18 metry obrubníku má stranu `18 : 4 = 4{,}5\ \mathrm{m}`.

Obsah čtverce

Obsah říká, kolik místa čtverec zabírá, tedy kolik čtverečků o straně 1 cm (nebo 1 m) se do něj vejde. Do čtverce o straně 3 cm se vejdou 3 řady po 3 čtverečcích, celkem 9. Obecně:

`\displaystyle S = a \cdot a = a^2`

Proto se obsah udává ve čtverečních jednotkách: `\mathrm{cm^2}`, `\mathrm{m^2}`, u pozemků ar a hektar. Převádět mezi nimi pomůže převodník jednotek obsahu; `1\ \mathrm{m^2}` je `100 \cdot 100 = 10\,000\ \mathrm{cm^2}`, ne 100.

Na druhém obrázku má čtverec dvakrát delší stranu, 6 cm, a vejdou se do něj čtyři původní čtverce, obsah je 36 cm². Když stranu zdvojnásobíte, obsah se zečtyřnásobí; když ji ztrojnásobíte, obsah bude devětkrát větší.

Ze známého obsahu dostanete stranu odmocněním: `a = \sqrt{S}`. Čtverec s obsahem 64 cm² má stranu 8 cm, protože `8 \cdot 8 = 64`. Když obsah není druhou mocninou celého čísla, použijte odmocninu na kalkulačce: pro 50 cm² vyjde `a = \sqrt{50} \doteq 7{,}07\ \mathrm{cm}`.

Úhlopříčka čtverce

Úhlopříčka spojuje dva protější vrcholy, třeba `A` a `C`. Rozdělí čtverec na dva pravoúhlé trojúhelníky se dvěma stejnými odvěsnami `a` a přeponou `u`. Podle Pythagorovy věty:

`\displaystyle u^2 = a^2 + a^2 = 2a^2`
`\displaystyle u = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}`

Číslo `\sqrt{2} \doteq 1{,}414`, takže úhlopříčka je zhruba o 41 % delší než strana. Čtverec o straně 10 cm má úhlopříčku `10\sqrt{2} \doteq 14{,}14\ \mathrm{cm}`.

Ze známé úhlopříčky se strana spočítá dělením:

`\displaystyle a = \frac{u}{\sqrt{2}} = \frac{u\sqrt{2}}{2}`

A obsah jde spočítat přímo z úhlopříčky, bez strany: `S = a^2 = \dfrac{u^2}{2}`. Je to stejný vzorec jako pro kosočtverec, `S = \dfrac{e \cdot f}{2}`, jen jsou tu obě úhlopříčky stejné. Čtverec s úhlopříčkou 6 cm má obsah `36 : 2 = 18\ \mathrm{cm^2}`.

Úhlopříčky čtverce jsou stejně dlouhé, jsou na sebe kolmé, navzájem se půlí a půlí i úhly ve vrcholech, takže s každou stranou svírají 45°.

Kružnice vepsaná a opsaná

Kružnice vepsaná se dotýká všech čtyř stran zevnitř. Její střed je ve středu čtverce a vzdálenost ke každé straně je polovina strany:

`\displaystyle \rho = \frac{a}{2}`

Kružnice opsaná prochází všemi čtyřmi vrcholy. Ze středu k vrcholu je to polovina úhlopříčky:

`\displaystyle r = \frac{u}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \doteq 0{,}707\, a`

Pro čtverec o straně 8 cm je `\rho = 4\ \mathrm{cm}` a `r = 4\sqrt{2} \doteq 5{,}66\ \mathrm{cm}`. Poměr `r : \rho` je vždy `\sqrt{2} : 1`, ať je čtverec jakkoli velký. Obsah kruhu z poloměru spočítá kalkulačka kruhu.

Jak dopočítat stranu z obvodu, obsahu nebo úhlopříčky

Ve slovních úlohách bývá strana neznámá a zadané je něco jiného. Postup je vždy stejný: nejdřív strana `a`, potom z ní ostatní.

Až znáte stranu, zbytek dopočítá kalkulačka čtverce.

Vlastnosti čtverce

• Všechny strany jsou stejně dlouhé a protější strany jsou rovnoběžné.
• Všechny vnitřní úhly jsou pravé, jejich součet je 360°.
• Úhlopříčky jsou stejně dlouhé, kolmé a navzájem se půlí.
• Má čtyři osy souměrnosti: dvě úhlopříčky a dvě spojnice středů protějších stran (viz osová souměrnost). Je také středově souměrný podle průsečíku úhlopříček (středová souměrnost).
• Čtverec je zároveň obdélník (má pravé úhly) i kosočtverec (má stejné strany). Proto pro něj platí vzorce obou: obdélník `S = a \cdot b` s `b = a`, kosočtverec `S = \dfrac{e \cdot f}{2}` s `e = f = u`.
• Je to pravidelný čtyřúhelník, tedy pravidelný n-úhelník pro `n = 4`.

Ze všech obdélníků se stejným obvodem má čtverec největší obsah. Ze 40 m pletiva ohradíte čtverec 10 × 10 m, tedy 100 m², ale obdélník 15 × 5 m jen 75 m².

Řešené příklady

Příklad 1: obvod a obsah ze strany

Čtverec má stranu 12 cm. Vypočítejte obvod, obsah a úhlopříčku.

`\displaystyle o = 4a = 4 \cdot 12 = 48\ \mathrm{cm}`
`\displaystyle S = a^2 = 12^2 = 144\ \mathrm{cm^2}`
`\displaystyle u = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \doteq 16{,}97\ \mathrm{cm}`

Kontrola: úhlopříčka musí být delší než strana a kratší než dvě strany, `12 \lt 16{,}97 \lt 24`. Výsledek si můžete ověřit v kalkulačce čtverce.

Příklad 2: dlaždice do koupelny

Podlaha koupelny je čtverec o straně 2,4 m. Kolik čtvercových dlaždic 30 × 30 cm je potřeba, pokud nepočítáme prořez?

Délku podlahy převedeme na centimetry: `2{,}4\ \mathrm{m} = 240\ \mathrm{cm}`. Do jedné řady se vejde `240 : 30 = 8` dlaždic a řad je také 8, celkem `8 \cdot 8 = 64` dlaždic.

Kontrola přes obsahy: podlaha má `2{,}4^2 = 5{,}76\ \mathrm{m^2}`, jedna dlaždice `0{,}3^2 = 0{,}09\ \mathrm{m^2}`, a `5{,}76 : 0{,}09 = 64`. Potřeba je 64 dlaždic. Při skutečném pokládání se přidává rezerva na řezání, tu započítá kalkulačka dlažby.

Příklad 3: strana z úhlopříčky

Čtvercový stolek má úhlopříčku 1,2 m. Jak dlouhá je jeho hrana a jakou plochu má deska?

`\displaystyle \begin{gathered} a = \frac{u}{\sqrt{2}} = \frac{1{,}2}{\sqrt{2}} \doteq 0{,}85\ \mathrm{m} \\[10pt] S = \frac{u^2}{2} = \frac{1{,}2^2}{2} = 0{,}72\ \mathrm{m^2} \end{gathered}`

Hrana měří asi 85 cm, deska má 0,72 m². Kontrola: `0{,}85^2 \doteq 0{,}72`, sedí.

Příklad 4: čtverec s dvojnásobným obsahem

Čtverec má stranu 4 cm. Jak dlouhou stranu má čtverec s dvakrát větším obsahem?

Původní obsah je `4^2 = 16\ \mathrm{cm^2}`, nový má být 32 cm². Strana je `a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \doteq 5{,}66\ \mathrm{cm}`.

Strana tedy nevzroste dvakrát (čtverec o straně 8 cm by měl obsah 64 cm², čtyřikrát víc), ale jen `\sqrt{2}`krát. A `4\sqrt{2}` je přesně úhlopříčka původního čtverce: čtverec postavený nad úhlopříčkou má vždy dvojnásobný obsah. Tuhle úlohu řeší už Sókratés s otrokem v Platónově dialogu Menón.

Doplnění na čtverec a čtverec dvojčlenu

Ve výrazech se slovem „čtverec“ často myslí druhá mocnina. Čtverec dvojčlenu je vzorec

`\displaystyle (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2`

a dá se doslova nakreslit: čtverec o straně `a + b` se rozpadne na čtverec `a^2`, čtverec `b^2` a dva obdélníky `ab`.

Doplnění na čtverec je postup opačným směrem: k výrazu jako `x^2 + 6x` se přičte, co chybí do úplného čtverce, tady `9`, a vznikne `(x + 3)^2`. Na obrázku je to chybějící rožek `b^2`. Tak se řeší a odvozuje kvadratická rovnice, podrobně krok za krokem v článku odvození vzorce pro kvadratickou rovnici. Roznásobování závorek si můžete vyzkoušet v procvičování (a + b)², (a − b)² a a² − b².

Časté chyby

• Zaměněné jednotky. Obvod je v cm, obsah v cm². Čtverec o straně 4 cm má obvod 16 cm a obsah 16 cm²: stejné číslo, ale úplně jiné veličiny.
• „Dvakrát delší strana, dvakrát větší obsah.“ Ne, čtyřikrát (obrázek u obsahu). A naopak dvojnásobný obsah znamená stranu jen asi 1,41krát delší (příklad 4).
• Úhlopříčka jako dvojnásobek strany. Platí `u = a\sqrt{2} \doteq 1{,}41\, a`, ne `2a`. Rychlá kontrola: úhlopříčka je vždy delší než strana, ale kratší než dvě strany dohromady.
• Převod plošných jednotek po deseti nebo stech. `1\ \mathrm{m^2} = 10\,000\ \mathrm{cm^2}`, protože se převádějí obě strany: `100\ \mathrm{cm} \cdot 100\ \mathrm{cm}`.
• Různé jednotky v jednom výpočtu. Podlaha v metrech a dlaždice v centimetrech se nejdřív převedou na stejnou jednotku (příklad 2).
• Zaokrouhlení příliš brzy. Z `\sqrt{2} \doteq 1{,}4` vyjde pro stranu 50 cm úhlopříčka 70 cm místo 70,7 cm. Zaokrouhlujte až výsledek.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování obvodu a obsahu útvarů: čtverec, obdélník, rovnoběžník a trojúhelník.
• Kalkulačka čtverce, obdélníku a kosočtverce, s rozepsaným postupem.
• Trojúhelník - vzorečky: obsah, obvod, výšky a kružnice v trojúhelníku.
• Pythagorova věta, ze které vychází vzorec pro úhlopříčku, a její procvičování.
• Hranol: krychle je hranol, jehož všechny stěny jsou čtverce.