Hranol je těleso, které má dvě shodné rovnoběžné podstavy (mnohoúhelníky) a boční stěny tvaru rovnoběžníku, u kolmého hranolu obdélníku. Objem každého hranolu je obsah podstavy krát výška a povrch jsou dvě podstavy plus plášť:

`\begin{gathered}V = S_p \cdot v \\[6pt] S = 2 \cdot S_p + S_{pl}\end{gathered}`

U pravidelného hranolu je podstavou pravidelný n-úhelník se stranou `a` a plášť tvoří `n` shodných obdélníků `a \times v`, takže `S_{pl} = n \cdot a \cdot v`. Obsah podstavy je pro trojboký hranol `\frac{\sqrt{3}}{4}a^2`, pro čtyřboký `a^2` a pro šestiboký `\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2`. Obecný vzorec pro n-boký hranol i s odvozením je níže.

Dále najdete, kolik má hranol vrcholů, hran a stěn, tabulku vzorců pro trojboký až osmiboký hranol, šest řešených příkladů (i kosý hranol a bazén se šikmým dnem), úhlopříčky, časté chyby a příklady k procvičení s řešením.

Co je hranol

Hranol vznikne, když mnohoúhelník posuneme mimo jeho rovinu: výchozí mnohoúhelník je dolní podstava, posunutý horní podstava a úsečky mezi odpovídajícími vrcholy jsou boční hrany. Všechny boční hrany jsou proto rovnoběžné a stejně dlouhé. Výška hranolu `v` je vzdálenost rovin obou podstav.

a v Sp Sp v b
  • Kolmý hranol má boční hrany kolmé k podstavě. Boční stěny jsou obdélníky a boční hrana je stejně dlouhá jako výška.
  • Kosý hranol má boční hrany skloněné. Boční stěny jsou rovnoběžníky a boční hrana `b` je delší než výška `v` (druhý obrázek).
  • Pravidelný hranol je kolmý hranol, jehož podstava je pravidelný mnohoúhelník: všechny strany podstavy mají délku `a` a všechny vnitřní úhly jsou stejné.

Podle podstavy se hranoly jmenují: trojúhelník dává trojboký hranol, čtyřúhelník čtyřboký, pětiúhelník pětiboký, šestiúhelník šestiboký, osmiúhelník osmiboký a obecně n-úhelník n-boký hranol. Číslo udává počet bočních stěn, ne počet všech stěn. Kvádr je kolmý čtyřboký hranol s obdélníkovou podstavou a krychle je pravidelný čtyřboký hranol, jehož výška je rovna hraně podstavy. Válec hranol není, jeho podstava je kruh, ale objem se počítá stejně: podstava krát výška.

Kolik má hranol vrcholů, hran a stěn

n-boký hranol má dvě podstavy po `n` vrcholech a `n` hranách, k tomu `n` bočních hran a `n` bočních stěn:

`\begin{gathered}\text{vrcholy: } 2n \\[6pt] \text{hrany: } 3n \\[6pt] \text{stěny: } n + 2\end{gathered}`
trojboký čtyřboký pětiboký šestiboký osmiboký
HranolVrcholyHranyStěny
trojboký695
čtyřboký8126
pětiboký10157
šestiboký12188
osmiboký162410
n-boký`2n``3n``n + 2`

Pro kontrolu slouží Eulerova věta: stěny + vrcholy = hrany + 2. Pro šestiboký hranol 8 + 12 = 18 + 2. Pozor na název: šestiboký hranol má šest bočních stěn, ale stěn celkem osm.

Vzorce pro hranol: objem a povrch

Objem hranolu se počítá jako u kvádru: kolik plochy má podstava, tolikrát se vrství do výšky. Platí pro každý hranol, kolmý i kosý, s jakoukoli podstavou.

`V = S_p \cdot v`

Povrch je součet obsahů všech stěn. Rozložíme-li kolmý hranol do sítě, boční stěny leží vedle sebe a tvoří jeden obdélník. Jeho jedna strana je výška `v`, druhá je celý obvod podstavy `o`. Plášť je proto obvod podstavy krát výška a k němu přičteme obě podstavy:

plášť o = 6a v a Sp Sp 
`\begin{gathered}S_{pl} = o \cdot v \\[6pt] S = 2 \cdot S_p + o \cdot v\end{gathered}`

U pravidelného n-bokého hranolu je obvod podstavy `o = n \cdot a`, takže

`\begin{gathered}S_{pl} = n \cdot a \cdot v \\[6pt] S = 2 \cdot S_p + n \cdot a \cdot v\end{gathered}`

Vzorec pro plášť `o \cdot v` platí jen pro kolmý hranol. U kosého hranolu jsou boční stěny rovnoběžníky a jejich obsah se počítá každý zvlášť (strana krát výška na ni).

Obsah podstavy pravidelného hranolu

Pravidelný n-úhelník se dá rozdělit spojnicemi se středem `S` na `n` shodných rovnoramenných trojúhelníků. Každý má základnu `a` a výšku `\rho`, což je poloměr kružnice vepsané. Úhel u středu je `\frac{360^\circ}{n}` a výška ho půlí na `\frac{180^\circ}{n}`.

S ρ r 36° a/2

V pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami `\rho` a `\frac{a}{2}` je `\mathrm{tg}\,\frac{180^\circ}{n} = \dfrac{a/2}{\rho}`, odtud

`\begin{gathered}\rho = \dfrac{a}{2 \cdot \mathrm{tg}\,\frac{180^\circ}{n}} \\[10pt] S_p = n \cdot \dfrac{a \cdot \rho}{2} = \dfrac{n \cdot a^2}{4 \cdot \mathrm{tg}\,\frac{180^\circ}{n}}\end{gathered}`

Poloměr kružnice opsané je přepona téhož trojúhelníku, `r = \dfrac{a}{2 \cdot \sin\frac{180^\circ}{n}}`. Vnitřní úhel pravidelného n-úhelníku je `\alpha = \dfrac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}`, u šestiúhelníku tedy 120°. Pro nejčastější podstavy to vychází takto:

PodstavaVnitřní úhelObsah podstavy
trojúhelník60°`\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 \doteq 0{,}433\,a^2`
čtverec90°`a^2 \doteq 1{,}000\,a^2`
pětiúhelník108°`\dfrac{5a^2}{4\,\mathrm{tg}\,36^\circ} \doteq 1{,}720\,a^2`
šestiúhelník120°`\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \doteq 2{,}598\,a^2`
osmiúhelník135°`2(1 + \sqrt{2})\,a^2 \doteq 4{,}828\,a^2`
desetiúhelník144°`\dfrac{10a^2}{4\,\mathrm{tg}\,18^\circ} \doteq 7{,}694\,a^2`

U trojúhelníku, čtverce, šestiúhelníku a osmiúhelníku vyjde přesný tvar s odmocninou, u pětiúhelníku a desetiúhelníku se počítá přes tangens. Obsah i oba poloměry pro libovolné `n` spočítá kalkulačka pravidelného n-úhelníku. Úhly si můžete procvičit v procvičování úhlů v mnohoúhelníku.

Vzorečky pro trojboký až osmiboký hranol

Dosazením obsahu podstavy do `V = S_p \cdot v` a `S = 2S_p + n \cdot a \cdot v` dostaneme vzorce pro jednotlivé pravidelné hranoly:

Pravidelný hranolObjem VPovrch S
trojboký`\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 v``\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2 + 3av`
čtyřboký`a^2 v``2a^2 + 4av`
pětiboký`\doteq 1{,}720\,a^2 v``\doteq 3{,}441\,a^2 + 5av`
šestiboký`\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 v``3\sqrt{3}\,a^2 + 6av`
osmiboký`2(1 + \sqrt{2})\,a^2 v``4(1 + \sqrt{2})\,a^2 + 8av`
n-boký`\dfrac{n a^2 v}{4\,\mathrm{tg}\frac{180^\circ}{n}}``\dfrac{n a^2}{2\,\mathrm{tg}\frac{180^\circ}{n}} + nav`

Pro pravidelný čtyřboký hranol s výškou rovnou hraně (`v = a`) dostanete krychli: `V = a^3` a `S = 6a^2`. Hranol s obdélníkovou podstavou počítá kalkulačka kvádru, pravidelný hranol s libovolným počtem stran kalkulačka pravidelného hranolu.

Řešené příklady

Příklad 1: pravidelný trojboký hranol

Pravidelný trojboký hranol má hranu podstavy 6 cm a výšku 10 cm. Vypočítejte objem a povrch.

Podstava je rovnostranný trojúhelník:

`\begin{gathered}S_p = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9\sqrt{3} \doteq 15{,}59\ \mathrm{cm^2} \\[10pt] \begin{aligned} V &= S_p \cdot v = 9\sqrt{3} \cdot 10 \\ &= 90\sqrt{3} \doteq 155{,}88\ \mathrm{cm^3}\end{aligned} \\[10pt] S_{pl} = 3 \cdot 6 \cdot 10 = 180\ \mathrm{cm^2} \\[10pt] \begin{aligned} S &= 2 \cdot 9\sqrt{3} + 180 \\ &= 18\sqrt{3} + 180 \doteq 211{,}18\ \mathrm{cm^2}\end{aligned}\end{gathered}`

Kontrola odhadem: kvádr 6 × 6 × 10 by měl objem 360 cm³ a trojúhelník zabírá necelou polovinu čtverce (0,43), takže asi 155 cm³ sedí.

Příklad 2: pravidelný šestiboký hranol

Pravidelný šestiboký hranol má hranu podstavy 4 cm a výšku 10 cm. Jaký má objem a povrch?

Šestiúhelník se skládá ze šesti rovnostranných trojúhelníků o straně 4 cm:

`\begin{gathered}S_p = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = 24\sqrt{3} \doteq 41{,}57\ \mathrm{cm^2} \\[10pt] V = 24\sqrt{3} \cdot 10 = 240\sqrt{3} \doteq 415{,}69\ \mathrm{cm^3} \\[10pt] \begin{aligned} S &= 2 \cdot 24\sqrt{3} + 6 \cdot 4 \cdot 10 \\ &= 48\sqrt{3} + 240 \doteq 323{,}14\ \mathrm{cm^2}\end{aligned}\end{gathered}`

Stejný výpočet s postupem ukáže kalkulačka pravidelného hranolu, kde jsou tyto hodnoty předvyplněné.

Příklad 3: pravidelný pětiboký hranol

Pravidelný pětiboký hranol má hranu podstavy 5 cm a výšku 8 cm. Určete objem a povrch.

Pětiúhelník nemá hezký tvar s odmocninou, použijeme obecný vzorec s `\frac{180^\circ}{5} = 36^\circ`:

`\begin{gathered}S_p = \dfrac{5 \cdot 5^2}{4 \cdot \mathrm{tg}\,36^\circ} = \dfrac{125}{2{,}906} \doteq 43{,}012\ \mathrm{cm^2} \\[10pt] V = 43{,}012 \cdot 8 \doteq 344{,}10\ \mathrm{cm^3} \\[10pt] S = 2 \cdot 43{,}012 + 5 \cdot 5 \cdot 8 \doteq 286{,}02\ \mathrm{cm^2}\end{gathered}`

Kalkulačka musí být přepnutá na stupně. V radiánech vyjde `\mathrm{tg}\,36 \doteq 7{,}75` a obsah podstavy nesmyslně malý, asi 4 cm². Rozumnost výsledku ověříte odhadem: obsah pětiúhelníku musí ležet mezi čtvercem (25 cm²) a šestiúhelníkem (2,6 · 25 ≐ 65 cm²) se stejnou stranou, a 43 cm² tam leží.

Příklad 4: výška z objemu

Pravidelný čtyřboký hranol má objem 200 cm³ a hranu podstavy 5 cm. Jak je vysoký a jaký má povrch?

`\begin{gathered}S_p = 5^2 = 25\ \mathrm{cm^2} \\[10pt] v = \dfrac{V}{S_p} = \dfrac{200}{25} = 8\ \mathrm{cm} \\[10pt] S = 2 \cdot 25 + 4 \cdot 5 \cdot 8 = 50 + 160 = 210\ \mathrm{cm^2}\end{gathered}`

Zkouška: 5 · 5 · 8 = 200 cm³.

Příklad 5: bazén se šikmým dnem

Bazén je 10 m dlouhý a 4 m široký. U mělkého konce je hloubka vody 1,2 m, u hlubokého 2 m a dno klesá rovnoměrně. Kolik litrů vody se do něj vejde?

Bazén je hranol ležící na boku. Jeho podstavou je boční řez, lichoběžník se základnami 1,2 m a 2 m a výškou 10 m, a „výškou“ hranolu je šířka bazénu 4 m:

`\begin{gathered}S_p = \dfrac{1{,}2 + 2}{2} \cdot 10 = 16\ \mathrm{m^2} \\[10pt] V = 16 \cdot 4 = 64\ \mathrm{m^3} = 64\,000\ \mathrm{l}\end{gathered}`

Protože dno klesá rovnoměrně, je to totéž jako bazén s konstantní průměrnou hloubkou 1,6 m: 10 · 4 · 1,6 = 64 m³. Tak to spočítá i kalkulačka objemu bazénu, když do ní zadáte průměrnou hloubku.

Příklad 6: kosý hranol

Kosý čtyřboký hranol má podstavu čtverec o straně 4 cm. Boční hrany mají délku 10 cm a svírají s rovinou podstavy úhel 60°. Jaký má objem?

Do vzorce patří výška, ne boční hrana. Výška je odvěsna pravoúhlého trojúhelníku, jehož přeponou je boční hrana:

`\begin{gathered}v = b \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \doteq 8{,}66\ \mathrm{cm} \\[10pt] V = 4^2 \cdot 5\sqrt{3} = 80\sqrt{3} \doteq 138{,}56\ \mathrm{cm^3}\end{gathered}`

Kdo dosadí boční hranu, dostane 160 cm³, což je objem kolmého hranolu s hranou 10 cm. Kosý hranol je stejně „dlouhý“, ale nižší, a proto má menší objem.

Úhlopříčky hranolu

Stěnová úhlopříčka leží v boční stěně, tělesová úhlopříčka spojuje vrchol dolní podstavy s vrcholem horní podstavy, které neleží ve stejné stěně. Obě se počítají Pythagorovou větou: jedna odvěsna je výška `v`, druhá je úsečka v podstavě.

  • Kvádr `a \times b \times c`: tělesová úhlopříčka `u = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}`, u krychle `u = a\sqrt{3}`.
  • Pravidelný šestiboký hranol: stěnová úhlopříčka `\sqrt{a^2 + v^2}`, kratší tělesová `\sqrt{3a^2 + v^2}` (v podstavě kratší úhlopříčka `a\sqrt{3}`) a delší tělesová `\sqrt{4a^2 + v^2}` (v podstavě delší úhlopříčka `2a`).

Pro šestiboký hranol z příkladu 2 (a = 4 cm, v = 10 cm) je stěnová úhlopříčka `\sqrt{116} \doteq 10{,}77\ \mathrm{cm}`, kratší tělesová `\sqrt{148} \doteq 12{,}17\ \mathrm{cm}` a delší `\sqrt{164} \doteq 12{,}81\ \mathrm{cm}`. Další příklady s šestibokým hranolem jsou v článku Stereometrie - Další příklady.

Časté chyby

  • Jedna podstava místo dvou. Povrch je `2S_p + S_{pl}`. Kontrola: u krychle musí vyjít `6a^2`, ne `5a^2`. Výjimkou je nádoba bez víka (akvárium, bazén), tam se počítá jen jedna podstava, ale to říká zadání.
  • Chybějící čtyřka ve vzorci pro podstavu. Správně je `S_p = \dfrac{n a^2}{4\,\mathrm{tg}\frac{180^\circ}{n}}`. Bez čtyřky vyjde čtverec o straně 1 s obsahem 4. Zkouška na čtverci (n = 4, tg 45° = 1) chybu hned odhalí.
  • Kalkulačka v radiánech. tg 36° je 0,727, tg 36 v radiánech 7,75. Podstava pětibokého hranolu pak vyjde asi desetkrát menší.
  • Boční hrana místo výšky u kosého hranolu. Objem je `S_p \cdot v`, kde `v` je vzdálenost podstav. Boční hrana je delší (příklad 6).
  • Trojboký hranol není čtyřstěn. Trojboký hranol má 5 stěn a 6 vrcholů, trojboký jehlan (čtyřstěn) 4 stěny a 4 vrcholy a jeho objem je třetinový: `\frac{1}{3} S_p v`. Vzorce pro jehlan jsou v článku Úvod do Stereometrie.
  • Jednotky. Obsah a povrch jsou v cm², objem v cm³. Při převodu 1 dm³ = 1 000 cm³ = 1 l, 1 m³ = 1 000 l.

Příklady k procvičení

1. Kolik vrcholů, hran a stěn má osmiboký hranol?

2. Pravidelný čtyřboký hranol má hranu podstavy 3 cm a výšku 7 cm. Vypočítejte objem a povrch.

3. Pravidelný šestiboký hranol má hranu podstavy 2 dm a výšku 5 dm. Vypočítejte objem a povrch.

4. Pravidelný trojboký hranol je vysoký 8 cm a jeho plášť má obsah 144 cm². Jaká je hrana podstavy a jaký objem má hranol?

5. Pravidelný osmiboký hranol má hranu podstavy 2 cm a výšku 5 cm. Vypočítejte objem a povrch.

6. Stan má tvar trojbokého hranolu ležícího na boku. Vchod je rovnoramenný trojúhelník se základnou 2 m a výškou 1,5 m, stan je 3 m dlouhý. Kolik má stan vzduchu a kolik látky je potřeba na obě střešní plochy a obě čelní stěny (bez podlahy)?

Kam dál