Podobnost trojúhelníků

Dva trojúhelníky jsou podobné, když mají stejné úhly a jejich odpovídající strany jsou ve stejném poměru. Tomuto poměru se říká poměr podobnosti a značí se `k`. Podobný trojúhelník je tedy zvětšenina nebo zmenšenina původního: má stejný tvar, jen jinou velikost.

`\begin{gathered} \triangle A'B'C' \sim \triangle ABC \\[10pt] k = \dfrac{a'}{a} = \dfrac{b'}{b} = \dfrac{c'}{c} \end{gathered}`

Zápis se čte „trojúhelník A′B′C′ je podobný trojúhelníku ABC“. Pořadí vrcholů v něm není libovolné: první vrchol odpovídá prvnímu, druhý druhému a třetí třetímu, takže úhel u A′ je stejně velký jako úhel u A. Zbylé strany podobného trojúhelníku spočítá kalkulačka podobnosti trojúhelníků, i s obvodem a obsahem.

Níže je postupně: co říká poměr podobnosti, věty sss, sus a uu, podle kterých se podobnost pozná, výpočet stran, obvodu a obsahu, příčka rovnoběžná se stranou, podobnost v pravoúhlém trojúhelníku, výška stromu podle stínu, časté chyby a na konci příklady k procvičení s řešením.

Poměr podobnosti k

Na obrázku má trojúhelník ABC strany 4, 5 a 6 cm a trojúhelník A′B′C′ strany 6; 7,5 a 9 cm. Každá strana je 1,5krát delší, protože 6 : 4 = 7,5 : 5 = 9 : 6 = 1,5. Poměr podobnosti je k = 1,5 a úhly α, β, γ jsou v obou trojúhelnících stejné. Podle velikosti k poznáme, co se s trojúhelníkem stalo:

• k > 1: trojúhelník A′B′C′ je zvětšenina ABC,
• k < 1: je to zmenšenina, při k = 0,5 má všechny strany poloviční,
• k = 1: trojúhelníky jsou shodné. Shodnost je tedy zvláštní případ podobnosti.

Poměr podobnosti je strana nového trojúhelníku lomeno odpovídající strana původního, k = a′ : a. Když zadání říká „A′B′C′ vznikl z ABC v poměru k“, je původní ABC. Kdybychom dělili obráceně, 4 : 6, vyšlo by k = 2/3, a to je poměr, ve kterém by naopak ABC vznikl z A′B′C′.

Podobnost znáte i z map a plánů. Krajina a její obraz na mapě jsou podobné útvary a měřítko 1 : 50 000 je poměr podobnosti k = 1/50 000. Přepočet vzdáleností na mapě má vlastní kalkulačku měřítka mapy a článek Měřítko na mapě ve slovní úloze. Obecně o poměrech, jejich krácení a dělení celku v poměru je článek Slovní úlohy na poměr.

Věty o podobnosti trojúhelníků

Abychom poznali, že jsou dva trojúhelníky podobné, nemusíme ověřovat všechny strany i všechny úhly. Stačí jedna ze tří vět o podobnosti. Připomínají věty o shodnosti, jen místo „strany jsou stejně dlouhé“ říkají „strany jsou ve stejném poměru“:

Věta uu potřebuje jen dva úhly, protože třetí je pak stejný sám od sebe: součet úhlů v trojúhelníku je vždy 180°. U věty sus musí jít o úhel mezi oběma stranami, úhel naproti jedné z nich nestačí. Na střední škole se přidává ještě věta Ssu: dvě dvojice stran ve stejném poměru a shodné úhly proti delší z obou stran.

Příklad 1: věta sss

Jsou podobné trojúhelník KLM se stranami 6, 8 a 9 cm a trojúhelník PQR se stranami 18, 12 a 16 cm? A trojúhelník XYZ se stranami 12, 16 a 20 cm?

Strany obou trojúhelníků seřadíme od nejkratší. Nejkratší strana jednoho trojúhelníku odpovídá nejkratší straně druhého, prostřední prostřední a nejdelší nejdelší:

`\begin{gathered} 6,\ 8,\ 9 \quad \text{a} \quad 12,\ 16,\ 18 \\[10pt] \dfrac{12}{6} = \dfrac{16}{8} = \dfrac{18}{9} = 2 \end{gathered}`

Všechny tři podíly jsou stejné, trojúhelníky jsou podle věty sss podobné s poměrem k = 2. U trojúhelníku XYZ vyjde 12 : 6 = 2 a 16 : 8 = 2, ale 20 : 9 ≐ 2,22. Jeden podíl nesedí, takže XYZ s KLM podobný není, i když jsou dvě jeho strany přesně dvojnásobné.

Kdybychom strany PQR nechali v pořadí ze zadání, dělili bychom 18 : 6 = 3 a 12 : 8 = 1,5 a došli k mylnému závěru, že podobné nejsou. Párovat se musí odpovídající strany, ne strany ve stejném pořadí zápisu.

Příklad 2: věta uu

Trojúhelník ABC má úhly α = 50° a β = 60°, trojúhelník KLM úhly κ = 50° a λ = 70°. Jsou podobné?

Dopočítáme třetí úhly: γ = 180° − 50° − 60° = 70° a μ = 180° − 50° − 70° = 60°. Oba trojúhelníky mají úhly 50°, 60° a 70°, takže jsou podobné podle věty uu. Odpovídají si vrcholy A a K (50°), B a M (60°), C a L (70°), proto zapíšeme △ABC ∼ △KML, ne △ABC ∼ △KLM.

A příklad na větu sus: trojúhelník se stranami 5 a 8 cm, které svírají úhel 40°, a trojúhelník se stranami 7,5 a 12 cm, které svírají také 40°, jsou podobné, protože 7,5 : 5 = 12 : 8 = 1,5 a úhel mezi nimi je stejný.

Jak vypočítat strany podobného trojúhelníku

Postup je vždy stejný. Z dvojice odpovídajících stran, kterou známe celou, vypočítáme k. Tím pak vynásobíme ostatní strany původního trojúhelníku.

Příklad 3

Trojúhelník ABC má strany a = 4 cm, b = 5 cm a c = 6 cm. Trojúhelník A′B′C′ je s ním podobný a jeho strana a′ měří 10 cm. Vypočítejte zbylé strany a obvod trojúhelníku A′B′C′.

`\begin{gathered} k = \dfrac{a'}{a} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5 \\[10pt] b' = k \cdot b = 2{,}5 \cdot 5 = 12{,}5\ \mathrm{cm} \\[4pt] c' = k \cdot c = 2{,}5 \cdot 6 = 15\ \mathrm{cm} \\[4pt] o' = 10 + 12{,}5 + 15 = 37{,}5\ \mathrm{cm} \end{gathered}`

Kontrola: obvod ABC je 4 + 5 + 6 = 15 cm a 15 · 2,5 = 37,5 cm, souhlasí. Přesně tohle zadání má jako ukázku kalkulačka podobnosti trojúhelníků, která navíc dopočítá obsah, výšky a úhly.

Když známe stranu podobného trojúhelníku a hledáme stranu původního, dělíme: a = a′ : k. Například při k = 2,5 a b′ = 20 cm je b = 20 : 2,5 = 8 cm.

Obvod a obsah podobných trojúhelníků

Všechny délky v podobném trojúhelníku jsou k-krát větší: strany, obvod, ale také výšky, těžnice a poloměry kružnice opsané i vepsané. Úhly se nemění. Jinak je to s obsahem:

`\begin{gathered} o' = k \cdot o \\[4pt] S' = k^2 \cdot S \end{gathered}`

Obsah trojúhelníku je polovina součinu strany a výšky k ní. Při zvětšení se k-krát prodlouží strana i výška, takže obsah vzroste k · k = k²-krát. Na obrázku je trojúhelník zvětšený v poměru 2. Jeho střední příčky ho rozdělí na čtyři trojúhelníky, které jsou všechny shodné s původním. Obsah je proto čtyřikrát větší, ne dvakrát.

Příklad 4

Trojúhelník má obsah 20 cm². Jaký obsah má trojúhelník s ním podobný v poměru k = 1,5?

`S' = k^2 \cdot S = 1{,}5^2 \cdot 20 = 2{,}25 \cdot 20 = 45\ \mathrm{cm^2}`

Výsledek 1,5 · 20 = 30 cm² je nejčastější chyba u celé podobnosti: obvod se násobí k, obsah k². Funguje to i obráceně. Když mají dva podobné trojúhelníky obsahy 12 cm² a 27 cm², je k² = 27 : 12 = 2,25 a k = √2,25 = 1,5.

Příčka rovnoběžná se stranou

Častá úloha v 9. třídě: uvnitř trojúhelníku je úsečka rovnoběžná s jednou jeho stranou. Odřízne u protějšího vrcholu menší trojúhelník, který je s celým podobný podle věty uu. Úhel u vrcholu C mají oba společný a úhly u A a u X jsou shodné, protože jsou to souhlasné úhly u rovnoběžek.

Příklad 5

V trojúhelníku ABC leží bod X na straně AC a bod Y na straně BC tak, že `XY \parallel AB`. Platí |CX| = 4 cm, |XA| = 8 cm a |AB| = 9 cm. Jak dlouhá je úsečka XY?

Trojúhelník XYC je zmenšenina trojúhelníku ABC. Strana CX malého trojúhelníku odpovídá straně CA velkého a ta měří 4 + 8 = 12 cm. Poměr podobnosti je

`\begin{gathered} k = \dfrac{|CX|}{|CA|} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \\[10pt] |XY| = k \cdot |AB| = \dfrac{1}{3} \cdot 9 = 3\ \mathrm{cm} \end{gathered}`

Chyba, kterou udělá skoro každý aspoň jednou: vydělit 4 : 8, tedy dva kousky jedné strany. Vyjde k = 0,5 a |XY| = 4,5 cm, což je špatně. Úsečka XA není stranou žádného z obou trojúhelníků. Vždy porovnávejte celé strany, malou CX s velkou CA.

Podobnost v pravoúhlém trojúhelníku

Výška na přeponu rozdělí pravoúhlý trojúhelník na dva menší pravoúhlé trojúhelníky. Každý z nich má s celým trojúhelníkem společný pravý úhel a jeden ostrý úhel, takže je s ním podobný podle věty uu. Proto jsou podobné i oba malé trojúhelníky navzájem. Z poměrů jejich stran se dokazují Euklidovy věty, například věta o výšce `v_c^2 = c_a \cdot c_b`.

Na trojúhelníku s odvěsnami 6 a 8 cm a přeponou 10 cm to vypadá takto: výška rozdělí přeponu na úseky c_a = 3,6 cm a c_b = 6,4 cm a sama měří 4,8 cm. Z podobnosti obou malých trojúhelníků platí

`\dfrac{v_c}{c_b} = \dfrac{c_a}{v_c}, \qquad \dfrac{4{,}8}{6{,}4} = \dfrac{3{,}6}{4{,}8} = 0{,}75`

Vynásobením obou stran rovnosti dostaneme právě `v_c^2 = c_a \cdot c_b`. Výpočty s výškou a úseky přepony dělá kalkulačka Euklidova věta o výšce.

Výška stromu podle stínu

Nejznámější slovní úloha na podobnost. Slunce je tak daleko, že jeho paprsky dopadají v jednu chvíli všude pod stejným úhlem. Svislá tyč se svým stínem a svislý strom se svým stínem proto tvoří dva pravoúhlé trojúhelníky se stejnými úhly, a ty jsou podle věty uu podobné.

Příklad 6

Tyč vysoká 1,5 m vrhá stín dlouhý 2 m. Ve stejnou chvíli má stín stromu délku 14 m. Jak vysoký je strom?

`\begin{gathered} k = \dfrac{14}{2} = 7 \\[10pt] x = k \cdot 1{,}5 = 7 \cdot 1{,}5 = 10{,}5\ \mathrm{m} \end{gathered}`

Kontrola: poměr výšky ke stínu musí být u tyče i u stromu stejný, 1,5 : 2 = 0,75 a 10,5 : 14 = 0,75. Stejně se dá změřit výška domu, komína nebo kostelní věže, jen tyč a předmět musí stát svisle na rovné zemi. Úlohy se stínem jsou i v procvičování podobnosti trojúhelníků.

Časté chyby

• Obsah vynásobený k místo k². Při k = 2 je obsah čtyřikrát větší, při k = 0,5 čtvrtinový. Obvod se násobí jen k.
• Špatně spárované strany. Odpovídají si strany ležící proti stejným úhlům. Když úhly neznáme, párujeme podle velikosti: nejkratší s nejkratší, nejdelší s nejdelší.
• Kousek strany místo celé strany u příčky rovnoběžné se stranou. Poměr je |CX| : |CA|, ne |CX| : |XA|.
• Převrácený poměr. Když má zvětšenina vyjít větší a vychází menší, dělili jste obráceně. Pro zvětšeninu musí být k větší než 1.
• Úhel u věty sus, který neleží mezi stranami. Shodný úhel naproti jedné ze stran podobnost nezaručuje.
• Různé jednotky. Tyč 80 cm a stín 1,2 m nejdřív převeďte na stejnou jednotku, teprve potom dělte.

Příklady k procvičení

`\begin{gathered} \dfrac{1{,}8}{s} = \dfrac{5}{s + 4} \\[10pt] 1{,}8\,(s + 4) = 5s \\[4pt] 1{,}8s + 7{,}2 = 5s \\[4pt] 7{,}2 = 3{,}2s \\[4pt] s = 2{,}25\ \mathrm{m} \end{gathered}`

Kam dál

• Procvičování: Podobnost trojúhelníků (strany, poměr k, obvod, obsah a stíny), Úhly v trojúhelníku a Euklidovy věty.
• Kalkulačky: Podobnost trojúhelníků, Výpočet trojúhelníku ze tří stran (úhly ze stran, když chcete podobnost ověřit přes úhly), Euklidova věta o výšce, Měřítko mapy a všechny kalkulačky trojúhelníku.
• Články: Euklidova věta, Pythagorova věta, Slovní úlohy na poměr a Úhly.