Výpočet úhlu v trojúhelníku záleží na tom, co o trojúhelníku víte. Ze dvou úhlů dostanete třetí odečtením od 180°. V pravoúhlém trojúhelníku stačí dvě strany a sinus, kosinus nebo tangens. V obecném trojúhelníku se třemi známými stranami dá úhel kosinová věta:

`\begin{gathered}\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\\[10pt]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\end{gathered}`

Níže je to rozepsané pro každou kombinaci zadaných údajů a pak následuje sbírka řešených příkladů a slovních úloh: úhly ze tří stran, sklon střechy, šířka řeky z pozorovatelny, výška kosmické lodi nad Zemí, výška věže změřená ze dvou míst, úhel mezi dvěma cestami a trojúhelník, který má dvě řešení. Každá úloha má náčrt nebo postup krok za krokem a na konci kontrolu.

Samotné věty i s odvozením vysvětluje článek Sinová a kosinová věta, přehled všech vzorců je v článku Trojúhelník - Vzorečky a sinus, kosinus a tangens v pravoúhlém trojúhelníku v Úvodu do goniometrie.

Výpočet úhlu v trojúhelníku

Podle zadaných údajů vyberte řádek. Ve druhém sloupci je, čím úhel spočítat, a kalkulačka, ve které si výsledek ověříte i s postupem.

Co znáteJak vypočítat úhel
dva úhly`\gamma=180^\circ-\alpha-\beta`
Součet úhlů v trojúhelníku
pravoúhlý trojúhelník, dvě strany`\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{a}{b}`, `\sin\alpha=\dfrac{a}{c}` nebo `\cos\alpha=\dfrac{b}{c}`
Úhel z tangens
tři stranykosinová věta
Trojúhelník ze tří stran
dvě strany a úhel mezi nimikosinovou větou třetí stranu, pak úhel
Ze dvou stran a úhlu (sus)
dvě strany a úhel proti jedné z nichsinová věta, pozor na dvě řešení
Nejednoznačný případ (ssu)
strana a dva úhlytřetí úhel do 180°, strany sinovou větou
Ze dvou úhlů a strany (uus)

Úhel z goniometrické funkce dá na kapesní kalkulačce tlačítko `\cos^{-1}`, `\sin^{-1}` nebo `\mathrm{tg}^{-1}`, kalkulačka přitom musí být přepnutá na stupně (DEG). Desetinnou část stupně převedete na minuty vynásobením šedesáti: `27{,}80^\circ=27^\circ\,48'`.

Příklad 1: úhly ze tří stran

Trojúhelník má strany `a=7`, `b=8` a `c=13`. Určete všechny jeho úhly.

Začněte největším úhlem, tedy úhlem `\gamma` proti nejdelší straně. Jen ten může být tupý a kosinová věta to pozná podle znaménka:

`\begin{gathered}\cos\gamma=\dfrac{7^2+8^2-13^2}{2\cdot 7\cdot 8}=\dfrac{-56}{112}=-0{,}5\\[10pt]\gamma=120^\circ\end{gathered}`

Záporný kosinus znamená tupý úhel, trojúhelník je tupoúhlý. Druhý úhel opět kosinovou větou, třetí dopočítáme do 180°:

`\begin{gathered}\cos\alpha=\dfrac{8^2+13^2-7^2}{2\cdot 8\cdot 13}=\dfrac{184}{208}\doteq 0{,}8846\\[10pt]\alpha\doteq 27^\circ\,48'\\[10pt]\beta=180^\circ-120^\circ-27^\circ\,48'=32^\circ\,12'\end{gathered}`

Kontrola: `\cos\beta=\dfrac{7^2+13^2-8^2}{2\cdot 7\cdot 13}=\dfrac{154}{182}\doteq 0{,}8462`, a to je opravdu `32^\circ\,12'`. Nejmenší úhel leží proti nejkratší straně, jak má.

Příklad 2: sklon střechy

Sedlová střecha je široká 9 m a hřeben je 2,4 m nad okrajem střechy. Jaký má střecha sklon a jak dlouhé jsou krokve?

Svislice z hřebene rozdělí štít na dva pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnami 4,5 m (polovina šířky) a 2,4 m. Sklon je úhel u okraje, výška je k němu protilehlá a polovina šířky přilehlá:

`\begin{gathered}\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{2{,}4}{4{,}5}\doteq 0{,}5333\\[10pt]\alpha\doteq 28^\circ\,04'\\[10pt]k=\sqrt{4{,}5^2+2{,}4^2}=\sqrt{26{,}01}=5{,}1\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Střecha má sklon asi 28° a krokve měří 5,1 m (bez přesahu). Kontrola: `\sin\alpha=\dfrac{2{,}4}{5{,}1}\doteq 0{,}4706` dá stejný úhel. Délku krokve počítá i Pythagorova věta v kalkulačce.

Jak řešit slovní úlohu s trojúhelníkem

  1. Nakreslete náčrt a zapište do něj všechno zadané. Úhly zakreslete obloučkem u správného vrcholu.
  2. Najděte trojúhelník, ve kterém znáte tři údaje, z toho aspoň jednu stranu. Často je to pomocný trojúhelník, ne ten, na který se úloha ptá.
  3. Vyberte větu. Pravý úhel znamená goniometrické funkce a Pythagorovu větu. Dvojice strana a protilehlý úhel znamená sinovou větu. Tři strany nebo dvě strany s úhlem mezi nimi znamenají kosinovou větu.
  4. Počítejte bez zaokrouhlování mezivýsledků a na konci výsledek zkontrolujte: proti větší straně leží větší úhel, součet úhlů je 180° a výsledek musí dávat smysl v realitě.

Řešené slovní úlohy

Příklad 3: šířka řeky z pozorovatelny

Pozorovatelna je vysoká 15 m a stojí 30 m od břehu řeky. Z jejího vrcholu je šířka řeky vidět pod zorným úhlem `\varphi=15^\circ`. Jak široká je řeka?

PABV15 m30 mx = ?15°ρβ

Postup přes pravoúhlý trojúhelník. Úhel u vrcholu `V` mezi svislicí a směrem k bližšímu břehu je v pravoúhlém trojúhelníku `PAV`:

`\begin{gathered}\mathrm{tg}\,|\angle PVA|=\dfrac{30}{15}=2\\[10pt]|\angle PVA|\doteq 63^\circ\,26'\end{gathered}`

K protějšímu břehu je to o zorný úhel víc, `|\angle PVB|\doteq 78^\circ\,26'`. V pravoúhlém trojúhelníku `PBV` je pak `|PB|=15\cdot\mathrm{tg}\,|\angle PVB|`. Úhel do tangens dosaďte nezaokrouhlený, z paměti kalkulačky:

`\begin{gathered}\begin{aligned}|PB|&=15\cdot\mathrm{tg}\,(63{,}435^\circ+15^\circ)\\&\doteq 15\cdot 4{,}8868\doteq 73{,}30\ \mathrm{m}\end{aligned}\\[4pt]x=73{,}30-30=43{,}30\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Postup přes sinovou větu. V trojúhelníku `PAV` spočítáme přeponu a úhel `\rho`, v obecném trojúhelníku `AVB` pak úhel `\beta` a stranu `x`:

`\begin{gathered}|VA|=\sqrt{15^2+30^2}=\sqrt{1125}\doteq 33{,}54\ \mathrm{m}\\[10pt]\mathrm{tg}\,\rho=\dfrac{15}{30}\ \Rightarrow\ \rho\doteq 26^\circ\,34'\\[10pt]|\angle VAB|=180^\circ-\rho\doteq 153^\circ\,26'\\[10pt]\beta=180^\circ-153^\circ\,26'-15^\circ=11^\circ\,34'\\[10pt]x=\dfrac{|VA|\cdot\sin\varphi}{\sin\beta}\doteq\dfrac{33{,}54\cdot\sin 15^\circ}{\sin 11^\circ\,34'}\doteq 43{,}3\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Řeka je široká asi 43,3 m. Oba postupy se shodují. Kontrola odhadem: pod úhlem 15° z výšky 15 m vidíte nanejvýš desítky metrů, ne stovky. Kdyby se úhel `\rho` zaokrouhlil na `26^\circ\,30'`, vyšlo by 43,5 m, a to je přesně chyba, kterou tato úloha dříve na této stránce měla.

Příklad 4: výška kosmické lodi nad Zemí

Radar na povrchu Země zaměřil kosmickou loď pod výškovým úhlem `\alpha=20^\circ\,35'` nad obzorem ve vzdálenosti `d=520\ \mathrm{km}`. V jaké výšce je loď? Poloměr Země je `r=6\,378\ \mathrm{km}`.

SPKrdhtαφ

Výškový úhel se měří od vodorovné roviny, tedy od tečny `t` v bodě `P`. Tečna je kolmá na poloměr `SP`, takže úhel `\varphi=|\angle SPK|` v trojúhelníku `SPK` je o pravý úhel větší:

`\varphi=90^\circ+20^\circ\,35'=110^\circ\,35'`

Známe dvě strany `r`, `d` a úhel mezi nimi, takže vzdálenost lodi od středu Země dá kosinová věta. Kosinus tupého úhlu je záporný, poslední člen se proto přičte:

`\begin{gathered}|SK|^2=r^2+d^2-2rd\cos\varphi\\[4pt]|SK|^2\doteq 40\,678\,884+270\,400+2\,332\,002\\[4pt]|SK|^2\doteq 43\,281\,286\ \Rightarrow\ |SK|\doteq 6\,578{,}85\ \mathrm{km}\\[4pt]h=|SK|-r\doteq 6\,578{,}85-6\,378\doteq 201\ \mathrm{km}\end{gathered}`

Loď je asi 201 km nad Zemí. Odečítá se poloměr Země, ne průměr: `|SK|` se měří od středu. Kontrola: kdyby byla Země placka, byla by loď ve výšce `520\cdot\sin 20^\circ\,35'\doteq 183\ \mathrm{km}`. Povrch se ale pod lodí zakřivuje pryč, takže skutečná výška musí vyjít o něco větší, a vychází.

Příklad 5: výška věže ze dvou míst

Z bodu `A` je vrchol věže vidět pod výškovým úhlem 30°. Po přímé cestě k věži ujdeme 50 m do bodu `B` a odtud je vrchol vidět pod úhlem 45°. Jak vysoká je věž? K patě věže se dojít nedá, proto nestačí jedno měření.

ABPTh50 m30°45°15°

V trojúhelníku `ABT` známe stranu `|AB|=50\ \mathrm{m}` a dopočítáme úhly. Úhel u `B` doplňuje 45° do přímého úhlu, úhel u `T` dorovná součet na 180°:

`\begin{gathered}|\angle ABT|=180^\circ-45^\circ=135^\circ\\[4pt]|\angle ATB|=180^\circ-30^\circ-135^\circ=15^\circ\end{gathered}`

Strana `AB` leží proti úhlu 15°, strana `AT` proti úhlu 135°. Sinová věta a pak pravoúhlý trojúhelník `APT`:

`\begin{gathered}|AT|=\dfrac{50\cdot\sin 135^\circ}{\sin 15^\circ}\doteq\dfrac{50\cdot 0{,}7071}{0{,}2588}\doteq 136{,}6\ \mathrm{m}\\[10pt]h=|AT|\cdot\sin 30^\circ\doteq 136{,}6\cdot 0{,}5=68{,}3\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Věž je vysoká asi 68,3 m. Kontrola jiným postupem: z obou pravoúhlých trojúhelníků je `|AP|=h\sqrt{3}` a `|BP|=h`, rozdíl je 50 m, tedy `h\,(\sqrt{3}-1)=50` a `h=25\,(\sqrt{3}+1)\doteq 68{,}30\ \mathrm{m}`. Výpočet jedné výšky z jednoho úhlu a známé vzdálenosti ukazuje článek Výškový rozdíl.

Příklad 6: úhel mezi dvěma cestami

Z rozcestí vede jedna rovná cesta k chatě vzdálené 3,2 km, druhá ke studánce vzdálené 4,5 km. Chata a studánka jsou od sebe vzdušnou čarou 5,1 km. Jaký úhel svírají cesty?

Hledaný úhel `\gamma` leží u rozcestí, tedy proti straně 5,1 km. Tři strany, takže kosinová věta:

`\begin{gathered}\cos\gamma=\dfrac{3{,}2^2+4{,}5^2-5{,}1^2}{2\cdot 3{,}2\cdot 4{,}5}=\dfrac{4{,}48}{28{,}8}\doteq 0{,}1556\\[10pt]\gamma\doteq 81^\circ\,03'\end{gathered}`

Cesty svírají úhel asi 81°. Kontrola: `5{,}1^2=26{,}01` je jen o něco méně než `3{,}2^2+4{,}5^2=30{,}49`, takže úhel je ostrý, ale blízko pravému. Stejný výpočet i se zbylými úhly udělá kalkulačka Trojúhelník ze tří stran.

Příklad 7: dvě strany a úhel proti jedné (dvě řešení)

Určete zbylé strany a úhly trojúhelníku `ABC`, je-li `a=38\ \mathrm{cm}`, `b=48\ \mathrm{cm}` a `\alpha=37^\circ`.

Zadaný úhel leží proti kratší ze dvou stran, a to je případ, kdy mohou vyjít dva trojúhelníky. Rozhodne porovnání `b\sin\alpha\doteq 48\cdot 0{,}6018\doteq 28{,}89` se stranou `a`: platí `28{,}89\lt 38\lt 48`, takže řešení jsou dvě. Úhel `\beta` ze sinové věty:

`\begin{gathered}\sin\beta=\dfrac{b\sin\alpha}{a}=\dfrac{48\cdot\sin 37^\circ}{38}\doteq 0{,}7602\\[10pt]\beta_1\doteq 49^\circ\,29'\\[10pt]\beta_2=180^\circ-\beta_1\doteq 130^\circ\,31'\end{gathered}`

Každou větev dořešíme zvlášť: třetí úhel do 180°, třetí stranu sinovou větou.

`\begin{gathered}\gamma_1\doteq 93^\circ\,31'\\[10pt]c_1=\dfrac{38\cdot\sin\gamma_1}{\sin 37^\circ}\doteq 63{,}02\ \mathrm{cm}\\[10pt]\gamma_2\doteq 12^\circ\,29'\\[10pt]c_2=\dfrac{38\cdot\sin\gamma_2}{\sin 37^\circ}\doteq 13{,}65\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Úloha má dvě řešení, jeden trojúhelník skoro pravoúhlý a jeden tupoúhlý s krátkou stranou `c`. Kontrola první větve kosinovou větou: `\sqrt{38^2+48^2-2\cdot 38\cdot 48\cdot\cos 93^\circ\,31'}\doteq 63{,}02`. Proč vycházejí dva trojúhelníky, ukazuje obrázek v článku Sinová a kosinová věta, oba je vypíše i kalkulačka pro případ ssu.

Časté chyby

  • Zaokrouhlený mezivýsledek. V příkladu 3 dá úhel `26^\circ\,30'` místo `26^\circ\,34'` šířku 43,5 m místo 43,3 m. U malých úhlů, jako je tam `\beta`, se chyba zesílí. Mezivýsledky nechávejte v paměti kalkulačky a zaokrouhlete až výsledek.
  • Kalkulačka v radiánech. V režimu RAD je `\sin 30\doteq -0{,}988` místo 0,5. Když vyjde záporný sinus úhlu v trojúhelníku nebo úhel přes 180°, zkontrolujte přepnutí na DEG.
  • Tupý úhel ze sinové věty. Tlačítko `\sin^{-1}` vrací jen úhel do 90°. V příkladu 1 by sinová věta pro `\gamma` dala 60° místo 120°. Úhel, který může být tupý, tedy úhel proti nejdelší straně, počítejte kosinovou větou.
  • Zapomenuté druhé řešení. Když je zadaný úhel proti kratší ze dvou známých stran, může existovat ještě trojúhelník s úhlem `180^\circ-\beta_1`, jako v příkladu 7.
  • Poloměr, nebo průměr. Vzdálenost od středu koule se zmenšuje o poloměr. Text této stránky kdysi radil „odečíst průměr Země“, s číslem 6 378 km, které je ale poloměr.

Příklady k procvičení

1. Žebřík dlouhý 6 m je opřený o zeď a jeho pata je 1,5 m od zdi. Jaký úhel svírá žebřík se zemí?

2. Trojúhelník má strany 5 cm, 7 cm a 8 cm. Jak velký je úhel proti straně 7 cm?

3. V trojúhelníku je `a=10\ \mathrm{cm}`, `\alpha=70^\circ` a `\beta=50^\circ`. Dopočítejte strany `b` a `c`.

4. Z rozcestí vyjdou současně dva chodci po dvou rovných cestách, které svírají úhel 70°. První jde rychlostí 4 km/h, druhý 5 km/h. Jak daleko od sebe budou za 2 hodiny?

5. Dva pozorovatelé stojí na rovné silnici 200 m od sebe. Balon nad silnicí mezi nimi vidí první pod výškovým úhlem 35°, druhý pod úhlem 50°. V jaké výšce je balon?

Kam dál