Výškový rozdíl (převýšení) dvou míst je rozdíl jejich nadmořských výšek. Od výšky cíle odečtete výšku místa, odkud vycházíte. Kladný výsledek znamená, že cesta stoupá, záporný, že klesá.

`\Delta h = h_B - h_A`

Když nadmořské výšky neznáte, dá se výškový rozdíl dopočítat ze vzdálenosti a ze sklonu terénu. Vodorovná vzdálenost `d`, výškový rozdíl `h` a cesta po svahu `l` tvoří pravoúhlý trojúhelník a stačí jedna goniometrická funkce:

`\begin{gathered}h = d \cdot \mathrm{tg}\,\alpha \\[10pt] h = l \cdot \sin \alpha \\[10pt] h = d \cdot \dfrac{p}{100}\end{gathered}`
ABCd (vodorovně, z mapy)l (po svahu)hα

První vzorec platí pro vodorovnou vzdálenost, třeba změřenou na mapě, druhý pro délku naměřenou přímo po svahu, třeba délku lana lanovky. Třetí je pro stoupání `p` zadané v procentech, jak ho ukazuje dopravní značka.

Výška `h` je v trojúhelníku odvěsna proti úhlu `\alpha`. Vodorovná vzdálenost `d` je odvěsna přilehlá, proto tangens: protilehlá ku přilehlé. Délka po svahu `l` je přepona, proto sinus: protilehlá ku přeponě. Plete-li se vám to, projděte si úvod do goniometrie.

Výškový rozdíl z nadmořských výšek

Nadmořská výška se v zeměpisu jmenuje také absolutní výška: je to výška nad hladinou moře. Výškový rozdíl mezi dvěma místy je relativní výška jednoho z nich vůči druhému. Turistické mapy a ukazatele píšou nadmořskou výšku jako „m n. m.“.

Příklad 1

Nejvyšší bod Česka je Sněžka, 1 603 m n. m. Nejníže leží hladina Labe u Hřenska, 115 m n. m. Jaký je mezi nimi výškový rozdíl?

`\Delta h = 1\,603 - 115 = 1\,488\ \mathrm{m}`

Kontrola odhadem: 1 600 − 100 = 1 500, výsledek je blízko.

Příklad 2: místo pod hladinou moře

Mount Everest má 8 849 m n. m., hladina Mrtvého moře leží asi 430 m pod hladinou moře, tedy ve výšce −430 m. Výškový rozdíl je

`\begin{aligned} \Delta h &= 8\,849 - (-430) \\ &= 8\,849 + 430 = 9\,279\ \mathrm{m} \end{aligned}`

Odečíst záporné číslo znamená přičíst. Kdo napíše 8 849 − 430, dostane 8 419 m a splete se o 860 m.

Výškový rozdíl ze stoupání v procentech

Dopravní značka „stoupání 12 %“ říká, že silnice na každých 100 m vodorovné vzdálenosti vystoupá o 12 m. Stoupání v procentech je tedy výškový rozdíl dělený vodorovnou vzdáleností, krát 100, a je to totéž číslo jako `100 \cdot \mathrm{tg}\,\alpha`.

`\begin{gathered}p = \dfrac{h}{d} \cdot 100\ \% \\[10pt] h = d \cdot \dfrac{p}{100}\end{gathered}`

Železnice se počítá v promilích, tedy na 1 000 m. Stoupání 10 ‰ je 10 m na kilometr, a i nejstrmější česká trať, ozubnicová z Tanvaldu do Kořenova, stoupá nejvýš 58 ‰, tedy 5,8 %.

Příklad 3

Silnice stoupá 12 % a na mapě měří 800 m. O kolik metrů vystoupá?

`h = 800 \cdot \dfrac{12}{100} = 96\ \mathrm{m}`

Kdyby 800 m nebylo z mapy, ale ujeté po silnici (třeba podle tachometru), je to přepona a přesně vychází

`h = 800 \cdot \dfrac{12}{\sqrt{100^2 + 12^2}} \doteq 95{,}3\ \mathrm{m}`

Při běžném sklonu silnice je rozdíl menší než procento, takže v praxi se počítá jednoduše `d \cdot p / 100`.

Procenta nejsou stupně

Stoupání 100 % neznamená svislou stěnu. Znamená, že na 100 m vodorovně vystoupáte o 100 m, a to je úhel 45°. Úhel ze stoupání spočítáte jako `\alpha = \mathrm{arctg}\,\dfrac{p}{100}`, na kalkulačce tlačítkem tan⁻¹ nebo na kalkulačce arkustangens (pro 12 % zadejte 0,12).

stoupáníúhelcesta po svahu na 100 m vodorovně
5 %`2^{\circ}52'``100{,}1\ \mathrm{m}`
8 %`4^{\circ}34'``100{,}3\ \mathrm{m}`
10 %`5^{\circ}43'``100{,}5\ \mathrm{m}`
12 %`6^{\circ}51'``100{,}7\ \mathrm{m}`
15 %`8^{\circ}32'``101{,}1\ \mathrm{m}`
20 %`11^{\circ}19'``102{,}0\ \mathrm{m}`
25 %`14^{\circ}02'``103{,}1\ \mathrm{m}`
50 %`26^{\circ}34'``111{,}8\ \mathrm{m}`
100 %`45^{\circ}00'``141{,}4\ \mathrm{m}`

Poslední sloupec ukazuje, proč na rozdílu mezi vodorovnou vzdáleností a cestou po svahu u silnic skoro nezáleží: i při 12 % je cesta delší jen o 0,7 %. U strmé sjezdovky nebo střechy už o hodně víc.

Výškový rozdíl z úhlu sklonu

Je-li sklon zadaný úhlem, rozhoduje, jak byla změřena vzdálenost. Vodorovná vzdálenost (z mapy, z plánu) je odvěsna, takže `h = d \cdot \mathrm{tg}\,\alpha`. Délka po svahu (po trati, po laně) je přepona, takže `h = l \cdot \sin \alpha`. Obojí spočítá i kalkulačka pravoúhlého trojúhelníku z přepony a úhlu (zadejte délku po svahu a úhel `\alpha`) a z odvěsny a úhlu. Ta chce úhel proti zadané odvěsně, takže k vodorovné vzdálenosti zadejte `90^{\circ} - \alpha`, úhel u vrcholu B.

Příklad 4

Jaký je výškový rozdíl míst A a B na trati, která má stoupání 8°25′? Vzdálenost z A do B je 1 275 m.

Nejdřív minuty převedeme na stupně: `25' = (25 : 60)^{\circ} \doteq 0{,}4167^{\circ}`, takže `8^{\circ}25' \doteq 8{,}4167^{\circ}` a `\mathrm{tg}\ 8^{\circ}25' \doteq 0{,}14796`.

Je-li 1 275 m vodorovná vzdálenost (změřená na mapě):

`\begin{aligned} h &= 1\,275 \cdot \mathrm{tg}\ 8^{\circ}25' \\ &\doteq 1\,275 \cdot 0{,}14796 \doteq 188{,}65\ \mathrm{m} \end{aligned}`

Je-li 1 275 m délka po trati, je to přepona:

`\begin{aligned} h &= 1\,275 \cdot \sin 8^{\circ}25' \\ &\doteq 1\,275 \cdot 0{,}14637 \doteq 186{,}62\ \mathrm{m} \end{aligned}`

Výsledky se liší o 2 m, protože úhel je malý. Kontrola: stoupání 8°25′ je asi 14,8 %, tedy zhruba 15 m na každých 100 m, a 12,75 · 14,8 ≐ 189. Sedí to.

Pozor na zaokrouhlení. Kdo zaokrouhlí tangens na 0,147, dostane 1 275 · 0,147 = 187,4 m a přijde o metr. Hodnotu funkce nechte v kalkulačce celou a zaokrouhlete až výsledek.

Jak vysoký je kopec nebo věž: výškový úhel

Výšku, ke které se nedostanete, změříte z dálky. Stačí znát vzdálenost k patě a úhel, pod kterým vidíte vrchol nad vodorovnou rovinou (výškový úhel).

Příklad 5

Stojíte 250 m od paty věže a její vrchol vidíte pod výškovým úhlem 14°. Oči máte ve výšce 1,6 m. Jak vysoká je věž?

`\begin{gathered}250 \cdot \mathrm{tg}\ 14^{\circ} \doteq 250 \cdot 0{,}2493 \doteq 62{,}3\ \mathrm{m} \\[6pt] v \doteq 62{,}3 + 1{,}6 \doteq 63{,}9\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Tangens dává výšku vrcholu nad očima, ne nad zemí, proto se výška očí přičítá. Kontrola: 14° je o něco víc než čtvrtina z 45°, kde by věž byla stejně vysoká jako vzdálenost, a výsledek je o něco víc než čtvrtina z 250 m.

Když vzdálenost k patě změřit nejde (hora, věž za řekou), změří se výškový úhel ze dvou míst za sebou. Takovou úlohu najdete v posledním cvičení.

Výškový rozdíl z mapy: vrstevnice a měřítko

Vrstevnice je čára, která na mapě spojuje místa se stejnou nadmořskou výškou. Sousední vrstevnice se liší vždy o stejný počet metrů, tomu se říká interval vrstevnic a najdete ho v legendě mapy. Výškový rozdíl dvou míst je počet rozestupů mezi nimi krát interval.

400420440460480500520AB531vrstevnice po 20 m

Na obrázku leží A na vrstevnici 420 a B na vrstevnici 500. Mezi nimi jsou čtyři rozestupy po 20 m, výškový rozdíl je tedy 4 · 20 = 80 m, stejně jako 500 − 420. Kde jsou vrstevnice hustě u sebe, je svah strmý, kde jsou daleko od sebe, je mírný.

Příklad 6

Na mapě v měřítku 1 : 25 000 jsou dvě místa 2,4 cm od sebe. Jedno leží na vrstevnici 420 m, druhé na 510 m. Jaké je mezi nimi průměrné stoupání?

Vodorovná vzdálenost: `2{,}4\ \mathrm{cm} \cdot 25\,000 = 60\,000\ \mathrm{cm} = 600\ \mathrm{m}` (přepočet ukáže i kalkulačka měřítka mapy). Výškový rozdíl je `510 - 420 = 90\ \mathrm{m}`.

`\begin{gathered}p = \dfrac{90}{600} \cdot 100\ \% = 15\ \% \\[10pt] \alpha = \mathrm{arctg}\ 0{,}15 \doteq 8^{\circ}32'\end{gathered}`

Cesta po svahu je o něco delší než 600 m: `\sqrt{600^2 + 90^2} \doteq 607\ \mathrm{m}`. Více o měřítku najdete v článku měřítko na mapě ve slovní úloze.

Výškový rozdíl v zeměpisu a ve fyzice

  • Teplota. Ve vzduchu teplota s výškou klesá, v průměru asi o 0,65 °C na každých 100 m (učebnice zeměpisu často počítají s 0,6 °C, použijte číslo ze zadání). Je-li v údolí ve výšce 400 m n. m. 18 °C, na vrcholu ve výšce 1 600 m n. m. bude přibližně `18 - 12 \cdot 0{,}65 = 10{,}2\ {}^{\circ}\mathrm{C}`, protože výškový rozdíl je 1 200 m, tedy 12 stovek metrů.
  • Tlak vzduchu klesá s výškou zhruba o 1 hPa na každých 8 m (platí blízko hladiny moře, výš je to víc metrů na hektopascal). Proto umí výškoměr v hodinkách měřit výšku z tlaku.
  • Polohová energie. Turista o hmotnosti 70 kg, který vystoupá o 1 200 m, získá polohovou energii `E_p = m g h = 70 \cdot 9{,}81 \cdot 1\,200 \doteq 824\ \mathrm{kJ}`. Rozhoduje jen výškový rozdíl, ne délka cesty. Spočítá to kalkulačka polohové energie.

Časté chyby

  • Minuty jako desetiny. 8°25′ není 8,25°, ale 8,4167°. S 8,25° vyjde v příkladu 4 výškový rozdíl 184,87 m místo 188,65 m. Na kalkulačce zadejte `8 + 25 : 60`, nebo použijte tlačítko °′″.
  • Sinus místo tangensu a naopak. Vodorovná vzdálenost (mapa) patří k tangensu, délka po svahu k sinu. Nakreslete si trojúhelník a vyznačte, která strana je zadaná.
  • 100 % jako 90°. Stoupání 100 % je 45°. Procenta převádějte přes `\mathrm{arctg}\,(p/100)`, nikdy trojčlenkou na stupně.
  • Kalkulačka v radiánech. Je-li na displeji RAD, vyjde `\mathrm{tg}\ 14 \doteq 7{,}24` a věž v příkladu 5 by měřila přes 1,8 km. Přepněte na DEG.
  • Různé jednotky. Vzdálenost z mapy vychází v centimetrech, výšky jsou v metrech. Než dělíte, převeďte obojí na metry.
  • Znaménko. Pod hladinou moře je výška záporná a odečítá se se závorkou: `h_B - (-430)`.

Rychlé procvičení tangensu, sinu a kosinu v pravoúhlém trojúhelníku najdete v procvičování goniometrie v trojúhelníku.

Příklady k procvičení

1. Horská chata stojí ve výšce 1 087 m n. m., parkoviště v údolí ve výšce 642 m n. m. Jaký výškový rozdíl překonáte cestou z parkoviště k chatě?

2. Silnice má stoupání 9 % a na mapě měří 1,5 km. O kolik metrů vystoupá a jaký je to úhel?

3. Lano lanovky je dlouhé 1 240 m a stoupá pod úhlem 21°. Jaký výškový rozdíl lanovka překoná? (Lano berte jako rovné.)

4. Na mapě v měřítku 1 : 50 000 je úsek cesty dlouhý 3,2 cm. Začíná na vrstevnici 380 m a končí na vrstevnici 540 m. Jaké je průměrné stoupání v procentech a ve stupních?

5. Na úpatí hory ve výšce 750 m n. m. je 14 °C. Jaká teplota bude přibližně na vrcholu ve výšce 1 600 m n. m., klesá-li teplota o 0,65 °C na 100 m?

6. Vrchol kopce je z místa A vidět pod výškovým úhlem 18°. Když přejdete o 150 m blíž (po vodorovné rovině přímo ke kopci), vidíte ho pod úhlem 27°. Jaký je výškový rozdíl mezi vrcholem a rovinou, na které stojíte? (Výšku očí zanedbejte.)

Kam dál