Stereometrie - Další příklady

Pravidelný šestiúhelník je mnohoúhelník, který má šest stejně dlouhých stran a šest stejně velkých vnitřních úhlů. Spojnice jeho středu s vrcholy ho rozdělí na šest rovnostranných trojúhelníků se stranou `a`, a z toho plynou všechny jeho vzorce: obvod je šest stran a obsah šest takových trojúhelníků.

`o = 6a`
`S = 6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2`

Níže najdete, jak šestiúhelník vypadá, jak velké má úhly a všechny jeho vzorce v tabulce. Druhá polovina článku jsou řešené příklady ze stereometrie na pravidelný šestiboký hranol, jehož podstavou je právě takový šestiúhelník: objem a povrch, tělesové úhlopříčky, odchylka dvou přímek, vzdálenost bodu od přímky a vzdálenost dvou bodů v prostoru. Na konci je osmistěn vepsaný do krychle a příklady k procvičení s řešením.

Jak vypadá pravidelný šestiúhelník

Středový úhel mezi dvěma sousedními vrcholy je `360^\circ : 6 = 60^\circ`. Každý ze šesti trojúhelníků u středu `S` je rovnoramenný (dvě jeho strany jsou poloměry) a má u vrcholu 60°, takže i zbylé dva úhly mají po 60° a trojúhelník je rovnostranný. Proto je poloměr kružnice opsané stejně dlouhý jako strana: `R = a`. Žádný jiný pravidelný mnohoúhelník tuto vlastnost nemá.

Z toho je i nejjednodušší konstrukce: narýsujte kružnici o poloměru `a` a kružítkem se stejným rozevřením na ni nanášejte body jeden za druhým. Po šesti krocích se vrátíte přesně do výchozího bodu.

Šestiúhelník potkáte častěji, než by se zdálo: buňky včelí plástve, matice a hlavy šroubů, šestiboká tužka, zámková dlažba. Šestiúhelníky totiž (stejně jako čtverce a rovnostranné trojúhelníky) vyplní rovinu bez mezer.

Úhly v šestiúhelníku

Úhlopříčky z jednoho vrcholu rozdělí konvexní šestiúhelník na čtyři trojúhelníky, proto je součet vnitřních úhlů 720°:

`(n-2)\cdot 180^\circ = (6-2)\cdot 180^\circ = 720^\circ`

U pravidelného šestiúhelníku jsou všechny úhly stejné, takže každý vnitřní úhel má `720^\circ : 6 = 120^\circ`. Vnější úhel (vedlejší k vnitřnímu) má `180^\circ - 120^\circ = 60^\circ` a šest vnějších úhlů dá dohromady 360°, jako u každého konvexního mnohoúhelníku.

Pozor na nepravidelný šestiúhelník: součet jeho vnitřních úhlů je také 720°, ale jednotlivé úhly mohou být různé, klidně i jeden větší než 180°. Součet pro libovolný počet vrcholů spočítá kalkulačka součtu vnitřních úhlů mnohoúhelníku a vyzkoušet se můžete v procvičování úhlů v mnohoúhelníku.

Vzorce pro pravidelný šestiúhelník

Šestiúhelník má dva druhy úhlopříček. Delší úhlopříčka (například `FC`) vede středem a skládá se ze dvou poloměrů, má tedy délku `2a`. Kratší úhlopříčka (například `AC`) je dvojnásobek výšky rovnostranného trojúhelníku, `2\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}`. Stejně dlouhá je i vzdálenost dvou protějších stran, protože ta je rovna dvěma poloměrům kružnice vepsané.

Pro vlastní stranu vám všechno najednou spočítá kalkulačka pravidelného šestiúhelníku, pro pětiúhelník, osmiúhelník a další kalkulačka pravidelného n-úhelníku.

Příklad 1

Matice se utahuje klíčem 13, tedy vzdálenost jejích protějších stran je 13 mm. Jak dlouhá je strana šestiúhelníku a jaký je rozměr matice přes rohy?

Vzdálenost protějších stran je `a\sqrt{3}`, rozměr přes rohy je delší úhlopříčka `2a`:

`a\sqrt{3} = 13 \ \Rightarrow\ a = \dfrac{13}{\sqrt{3}} \doteq 7{,}51\ \mathrm{mm}`
`2a \doteq 15{,}01\ \mathrm{mm}`

Kontrola: přes rohy musí vyjít víc než přes plochy, a to v poměru `2 : \sqrt{3} \doteq 1{,}15`. Skutečná matice má rohy trochu sražené, takže posuvným měřítkem naměříte o kousek méně než 15 mm.

Pravidelný šestiboký hranol

Pravidelný šestiboký hranol má dvě podstavy tvaru pravidelného šestiúhelníku a šest bočních stěn, které jsou shodné obdélníky `a \times v`. Objem je obsah podstavy krát výška, povrch jsou dvě podstavy a plášť:

`V = S_p \cdot v = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2 v`
`S = 2S_p + 6av = 3\sqrt{3}\,a^2 + 6av`

Ve všech dalších příkladech počítáme s hranolem `ABCDEFA'B'C'D'E'F'`, který má hranu podstavy `a = |AB| = 4\ \mathrm{cm}` a výšku `v = 7\ \mathrm{cm}`. Objem a povrch hranolu s libovolnou pravidelnou podstavou vám spočítá kalkulačka pravidelného hranolu, vzorce pro ostatní hranoly jsou v článku Hranol - Vzorečky.

Příklad 2

Vypočítejte objem a povrch hranolu.

`S_p = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 4^2 = 24\sqrt{3} \doteq 41{,}57\ \mathrm{cm^2}`
`V = 24\sqrt{3}\cdot 7 = 168\sqrt{3} \doteq 290{,}98\ \mathrm{cm^3}`
`S_{pl} = 6\cdot 4\cdot 7 = 168\ \mathrm{cm^2}`
`\begin{aligned} S &= 2\cdot 24\sqrt{3} + 168 \\[4pt] &= 48\sqrt{3} + 168 \doteq 251{,}14\ \mathrm{cm^2} \end{aligned}`

Kontrola objemu: hranol leží uvnitř válce s poloměrem `R = 4` a sám obsahuje válec s poloměrem `\rho = 2\sqrt{3}`, oba s výškou 7 cm. Jejich objemy jsou `\pi\cdot 16\cdot 7 \doteq 351{,}9` a `\pi\cdot 12\cdot 7 \doteq 263{,}9\ \mathrm{cm^3}`, a 290,98 leží mezi nimi.

Příklad 3

Jak dlouhé jsou tělesové úhlopříčky hranolu?

Tělesová úhlopříčka spojuje vrchol dolní podstavy s vrcholem horní podstavy, který neleží ve stejné boční stěně. Z vrcholu `A` vedou tři: do `C'`, `D'` a `E'`. Každá je přeponou pravoúhlého trojúhelníku, jehož jedna odvěsna je úhlopříčka podstavy a druhá je výška hranolu. Protože má šestiúhelník dvě různé úhlopříčky, má i hranol dvě různě dlouhé tělesové úhlopříčky:

`\begin{aligned} |AD'| &= \sqrt{(2a)^2 + v^2} = \sqrt{64 + 49} \\[4pt] &= \sqrt{113} \doteq 10{,}63\ \mathrm{cm} \\[12pt] |AC'| &= \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + v^2} = \sqrt{48 + 49} \\[4pt] &= \sqrt{97} \doteq 9{,}85\ \mathrm{cm} \end{aligned}`

Stejně dlouhá jako `AC'` je i `AE'`.

Pro srovnání: úhlopříčka boční stěny `|AB'| = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \doteq 8{,}06\ \mathrm{cm}` je ze všech tří nejkratší, jak má být.

Odchylka přímek AF a BC

Příklad 4

Určete odchylku přímek `AF` a `BC`.

Obě přímky leží v rovině podstavy a nejsou rovnoběžné, takže se protínají. Prodlužte strany `AF` a `BC` za vrcholy `A` a `B` a průsečík označte `G`. Úhel `BAG` je vedlejší k vnitřnímu úhlu šestiúhelníku u vrcholu `A`, má tedy `180^\circ - 120^\circ = 60^\circ`. Ze stejného důvodu má 60° i úhel `ABG`. Na třetí úhel trojúhelníku `ABG` zbývá

`|\angle AGB| = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ`

Odchylka přímek `AF` a `BC` je 60°. Trojúhelník `ABG` je navíc rovnostranný, takže `|AG| = |BG| = 4\ \mathrm{cm}` a trojúhelník `FGC` je rovnostranný se stranou 8 cm. To se hodí v dalším příkladu.

Stejnou odchylku mají i mimoběžky `A'F'` a `BC`: přímka `A'F'` je rovnoběžná s `AF` a odchylka mimoběžek se měří právě přes takovou rovnoběžku. Víc o tom v článku Odchylka přímek, se směrovými vektory to spočítá kalkulačka odchylky dvou přímek.

Vzdálenost bodu G od přímky EF

Příklad 5

Vypočítejte vzdálenost bodu `G` z předchozího příkladu od přímky `EF`.

Vzdálenost bodu od přímky se měří po kolmici, potřebujeme tedy patu kolmice z `G` na přímku `EF`. Prodlužte strany `EF` a `AB`, protnou se v bodě `P`. Stejnou úvahou jako v příkladu 4 je trojúhelník `AFP` rovnostranný se stranou 4 cm.

V trojúhelníku `FPG` teď známe `|FP| = 4`, `|FG| = |FA| + |AG| = 8` a úhel u vrcholu `F` je 60° (úhel rovnostranného trojúhelníku `AFP`). Strana `FP` je přesně polovina `FG`, takže je to polovina rovnostranného trojúhelníku a úhel u `P` je pravý. Bod `P` je tedy hledaná pata kolmice a

`\begin{aligned} |GP| &= |FG|\cdot\sin 60^\circ = 8\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[6pt] &= 4\sqrt{3} \doteq 6{,}93\ \mathrm{cm} \end{aligned}`

Kontrola Pythagorovou větou v pravoúhlém trojúhelníku `FPG`: `4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64 = 8^2`. Další takové úlohy, i mimo rovinu podstavy, najdete v článku Vzdálenost bodu od přímky.

Vzdálenost bodů P a D′

Příklad 6

Vypočítejte vzdálenost bodu `P` z příkladu 5 od vrcholu `D'`.

Tady už opouštíme rovinu podstavy. Postup má dva kroky: nejdřív vzdálenost `|PD|` v podstavě, pak pravoúhlý trojúhelník `PDD'` s pravým úhlem u `D`, protože boční hrana `DD'` je kolmá k podstavě.

Vzdálenost `|PD|` spočítáme z trojúhelníku `PED`. Bod `P` leží na prodloužení strany `EF`, takže `|EP| = |EF| + |FP| = 4 + 4 = 8\ \mathrm{cm}`, dále `|ED| = 4\ \mathrm{cm}` a úhel u vrcholu `E` je vnitřní úhel šestiúhelníku, 120°. Podle kosinové věty:

`\begin{aligned} |PD|^2 &= |EP|^2 + |ED|^2 \\ &\quad {}- 2\cdot|EP|\cdot|ED|\cdot\cos 120^\circ \\[6pt] &= 64 + 16 - 2\cdot 8\cdot 4\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) \\[4pt] &= 80 + 32 = 112 \end{aligned}`

Tedy `|PD| = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} \doteq 10{,}58\ \mathrm{cm}`. Odmocninu ale zatím nevyčíslujeme, do Pythagorovy věty stejně potřebujeme druhou mocninu:

`|PD'|^2 = |PD|^2 + |DD'|^2 = 112 + 49 = 161`
`|PD'| = \sqrt{161} \doteq 12{,}69\ \mathrm{cm}`

Kontrola: v souřadnicích se středem podstavy v počátku je `P = [-6;\ {-2\sqrt{3}}]` a `D = [2;\ 2\sqrt{3}]`, takže `|PD|^2 = 8^2 + (4\sqrt{3})^2 = 64 + 48 = 112`, stejně jako z kosinové věty. Výsledek si můžete ověřit i v kalkulačce vzdálenosti dvou bodů v prostoru.

Osmistěn vepsaný do krychle

Příklad 7

Středy všech šesti stěn krychle `ABCDEFGH` s hranou 4 cm jsou vrcholy tělesa. Jaké těleso to je a jaký má objem a povrch?

Vznikne pravidelný osmistěn, jedno z pěti platónských těles. Rozdělíme ho na dva shodné pravidelné čtyřboké jehlany se společnou podstavou `KLMN` (středy bočních stěn) a vrcholy `T` (střed horní stěny) a `U` (střed dolní stěny).

Hrana osmistěnu. Body `K` a `L` leží ve stejné výšce 2 cm. Při pohledu shora leží `K` nad středem hrany `AB` a `L` nad středem hrany `BC`, tedy 2 cm doprava a 2 cm dozadu od sebe:

`|KL| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \doteq 2{,}83\ \mathrm{cm}`

Objem. Podstava jehlanu je čtverec o straně `2\sqrt{2}`, tedy s obsahem 8 cm², výška jehlanu je polovina hrany krychle, 2 cm:

`V = 2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 8\cdot 2 = \dfrac{32}{3} \doteq 10{,}67\ \mathrm{cm^3}`

Kontrola: krychle má objem 64 cm³ a `64 : 6 \doteq 10{,}67`. Osmistěn ze středů stěn zabírá vždy přesně šestinu krychle.

Povrch. Všech osm stěn jsou rovnostranné trojúhelníky se stranou `2\sqrt{2}`:

`\begin{aligned} S &= 8\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot(2\sqrt{2})^2 = 8\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 8 \\[6pt] &= 16\sqrt{3} \doteq 27{,}71\ \mathrm{cm^2} \end{aligned}`

Objem a povrch osmistěnu (i ostatních platónských těles) pro libovolnou hranu spočítá kalkulačka platónských těles.

Časté chyby

• Obsah šestiúhelníku jako `6\cdot\dfrac{a^2}{2}`. Trojúhelníky u středu nejsou pravoúhlé, jsou rovnostranné, a jeden má obsah `\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2`. Rychlá kontrola: šestiúhelník se stranou 1 má obsah asi 2,6, ne 3.
• Záměna úhlopříček a poloměrů. Přes střed vede delší úhlopříčka `2a`, kratší má `a\sqrt{3}`. Poloměr kružnice opsané je `a`, vepsané `\dfrac{a\sqrt{3}}{2}`.
• Vnitřní úhel 60°. 60° je středový a vnější úhel, vnitřní úhel pravidelného šestiúhelníku je 120°.
• Úhlopříčka `FC` nedělí šestiúhelník na rovnoběžníky. Vzniknou dva shodné rovnoramenné lichoběžníky: v `ABCF` je `AB` rovnoběžná s `FC`, ale `AF` a `BC` se protínají v bodě `G`.
• Odchylka 120°. Odchylka dvou přímek je vždy nejvýše 90°. Vyjde-li vám tupý úhel, odchylka je jeho doplněk do 180°.
• Průběžné zaokrouhlování. Kdo v příkladu 6 zaokrouhlí `|PD|` na 10,6 a pak ho umocní, dostane `|PD'| \doteq 12{,}70` místo 12,69; kdo v příkladu 7 počítá s hranou 2,82, dostane objem 10,60 a povrch 27,55 místo 10,67 a 27,71. Počítejte s odmocninami a zaokrouhlete až výsledek.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování: úhly v mnohoúhelníku - vnitřní a vnější úhly šestiúhelníku i ostatních n-úhelníků.
• Procvičování: objem a povrch těles - hranoly, jehlany, válce a kužele.
• Pravidelný šestiúhelník online - obsah, obvod, obě úhlopříčky a poloměry ze strany.
• Pravidelný hranol online - objem a povrch šestibokého i jiného hranolu.
• Stereometrie online - odchylky, vzdálenosti a řez krychle s postupem.
• Hranol - Vzorečky - vzorce pro pravidelný n-boký hranol.
• Stereometrie - Příklady - další řešené slovní úlohy ze stereometrie.
• Platónská tělesa - osmistěn a ostatní pravidelná tělesa.