Intervaly - zápis, průnik a sjednocení

Interval je množina všech reálných čísel, která leží mezi dvěma čísly, krajními body intervalu. Zapisuje se krajními body v závorkách a středníkem mezi nimi. Lomená závorka ⟨ ⟩ říká, že krajní bod do intervalu patří, kulatá závorka ( ), že nepatří:

`\begin{gathered}\langle a;\ b\rangle:\ a \le x \le b\\[4pt](a;\ b):\ a \lt x \lt b\\[4pt]\langle a;\ b):\ a \le x \lt b\\[4pt](a;\ b\rangle:\ a \lt x \le b\end{gathered}`

Například `\langle -2;\ 3)` jsou všechna čísla od −2 do 3, přičemž −2 do intervalu patří a 3 ne. Libovolný interval nakreslí na osu a zapíše nerovností kalkulačka intervalu na číselné ose, průnik a sjednocení dvou intervalů spočítá kalkulačka průniku a sjednocení intervalů. Jestli už to umíte, vyzkoušejte se v příkladech na intervaly.

Na číselné ose se interval kreslí jako úsečka, patřící krajní bod plným kolečkem, nepatřící prázdným. Interval `\langle -2;\ 3)` vypadá takto:

Intervaly se probírají v 1. ročníku střední školy, někde už v 9. třídě s nerovnicemi. Potřebujete je u nerovnic, definičních oborů funkcí a rovnic s absolutní hodnotou: všude tam, kde řešením není jedno číslo, ale celý úsek osy.

Závorky: uzavřený, otevřený a polouzavřený interval

Podle toho, jestli krajní body do intervalu patří, rozlišujeme čtyři druhy intervalů. Pro krajní body −2 a 3 vypadají takto:

Poslední dva se souhrnně nazývají polouzavřené (nebo polootevřené). Lomené závorce v nerovnosti vždy odpovídá neostrá nerovnost `\le`, kulaté ostrá `\lt`.

Několik věcí k zápisu:

• Menší číslo se píše vlevo. Interval `(3;\ {-2})` nedává smysl, správně je `(-2;\ 3)`.
• Mezi krajními body je středník, protože čárka je v češtině desetinná: `\langle 1{,}5;\ 4)` je interval od jedné a půl do čtyř.
• Jiná značení. Místo lomené závorky se často, hlavně v zahraničí a na kalkulačkách, píše hranatá: `[-2;\ 3]` je totéž co `\langle -2;\ 3\rangle`. Ve starších a francouzských knihách se nepatřící krajní bod značí obrácenou hranatou závorkou, `]{-2};\ 3[` je totéž co `(-2;\ 3)`. Ve škole používejte lomené a kulaté závorky.

Délka intervalu je rozdíl krajních bodů, větší minus menší. Interval `\langle -2;\ 3)` má délku `3 - (-2) = 5`, a stejnou délku mají i ostatní tři intervaly v tabulce: jeden bod délku nezmění. Střed je průměr krajních bodů, `\dfrac{-2 + 3}{2} = 0{,}5`.

Neomezené intervaly a nekonečno

Interval nemusí mít oba konce. Všechna čísla větší než 1 tvoří interval `(1;\ \infty)`, kde `\infty` čteme „nekonečno“. Všechna čísla menší než 1 jsou `(-\infty;\ 1)`. Takovým intervalům říkáme neomezené, na ose jsou to polopřímky se šipkou:

U nekonečna je závorka vždycky kulatá. Nekonečno není číslo, které by do intervalu mohlo patřit. Říká jen, že na té straně interval nekončí. Zápis `\langle 1;\ \infty\rangle` je chyba.

Celá číselná osa je interval `(-\infty;\ \infty)`, tedy množina všech reálných čísel `\mathbb{R}`. Kladná čísla jsou `(0;\ \infty)`, nula mezi ně nepatří. Nezáporná čísla, tedy kladná i s nulou, jsou `\langle 0;\ \infty)`.

Zápis nerovnosti intervalem a naopak

Převod mezi nerovností a intervalem je nejčastější úloha s intervaly. Postup:

1. Najděte krajní body a napište je v pořadí od menšího k většímu.
2. U každého krajního bodu se podívejte na znak: `\le` nebo `\ge` dává lomenou závorku, `\lt` nebo `\gt` kulatou.
3. Kde krajní bod chybí, napište nekonečno s kulatou závorkou.

Příklad 1

Zapište intervalem: a) `-3 \lt x \le 5`, b) `x \ge -1`, c) `x` je nejvýš 7, d) `x \lt 2` a zároveň `x \ge -4`.

1. Krajní body −3 a 5. U −3 je ostrá nerovnost, u 5 neostrá: `(-3;\ 5\rangle`.
2. x může být −1 a cokoli většího, shora omezené není: `\langle -1;\ \infty)`.
3. „Nejvýš 7“ znamená `x \le 7`, sedmička tedy patří a dolů interval nekončí: `(-\infty;\ 7\rangle`.
4. Obě podmínky dohromady jsou `-4 \le x \lt 2`, tedy `\langle -4;\ 2)`. Menší číslo jde dopředu, i když v zadání bylo uvedené až druhé.

Kontrola: dosaďte do nerovnosti krajní bod a jedno číslo uvnitř. Pro c) je `7 \le 7` pravda, sedmička tedy patří a závorka u ní je lomená. Číslo 0 vyhovuje také a opravdu leží uvnitř.

Opačný směr je stejně jednoduchý: `(-\infty;\ 0)` je `x \lt 0`, `\langle 2;\ 9)` je `2 \le x \lt 9`. Pozor na směr u neomezených intervalů. `x \ge -1` míří doprava, k plus nekonečnu, protože „větší“ leží na ose vpravo.

Celá čísla v intervalu, nejmenší a největší prvek

Interval obsahuje všechna reálná čísla mezi krajními body, i desetinná a iracionální, takže čísel je v něm nekonečně mnoho. Celých čísel je v omezeném intervalu ale konečně mnoho a úlohy se na ně často ptají.

Příklad 2

Kolik celých čísel leží v intervalu `\langle -3;\ 4)`? A kolik v `(-3;\ 4)`?

V `\langle -3;\ 4)` patří −3, ale ne 4. Celá čísla jsou −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, tedy 7 čísel. V otevřeném `(-3;\ 4)` chybí i −3, zbývá 6 čísel: −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Nevypisujte je, když jich je hodně: počet celých čísel od `m` do `n` včetně je `n - m + 1`. Od −3 do 3 je to `3 - (-3) + 1 = 7`. Častá chyba je vzít jen rozdíl krajních bodů, `4 - (-3) = 7`, což tady náhodou sedí, ale u `(-3;\ 4)` by to dalo 7 místo 6.

U desetinných krajních bodů hledejte první celé číslo uvnitř: v `\langle -1{,}5;\ 2{,}5\rangle` leží celá čísla −1, 0, 1, 2, tedy 4.

Nejmenší prvek má interval jen tehdy, když jeho levý krajní bod patří dovnitř. `\langle -3;\ 4)` má nejmenší prvek −3, ale největší prvek nemá: 4 do něj nepatří, a ke každému číslu menšímu než 4 najdeme ještě větší, které je pořád menší než 4 (k 3,9 číslo 3,99, k 3,99 číslo 3,999...). Největší celé číslo v něm je přesto 3.

Průnik intervalů

Průnik `A \cap B` jsou čísla, která leží v intervalu A i v intervalu B zároveň. Na ose je to úsek, kde se oba intervaly překrývají. Je to tatáž operace jako průnik množin ve Vennově diagramu, jen jsou množiny úseky osy.

Postup:

1. Nakreslete oba intervaly nad jednu osu, pod sebe.
2. Průnik začíná u většího z levých krajních bodů a končí u menšího z pravých.
3. Krajní bod patří do průniku, jen když patří do obou intervalů.

Příklad 3

Určete průnik intervalů `A = \langle -2;\ 5)` a `B = (1;\ 8\rangle`.

Větší z levých krajních bodů je 1, menší z pravých je 5. Bod 1 do B nepatří, takže do průniku také ne. Bod 5 nepatří do A, takže také ne. Výsledek:

`A \cap B = (1;\ 5)`

Kontrola: číslo 3 leží v A i v B, a opravdu je v průniku. Číslo 6 je jen v B, a v průniku není.

Příklad 4: prázdný průnik a průnik v jednom bodě

Intervaly `(-\infty;\ 1)` a `\langle 4;\ \infty)` se nepřekrývají nikde, jejich průnik je prázdná množina, `\emptyset`.

Zajímavější je, když se intervaly jen dotknou. `\langle 1;\ 3\rangle \cap \langle 3;\ 6) = \{3\}`: číslo 3 patří do obou, takže průnik je jediný bod a píše se ve složených závorkách jako množina. Kdyby u trojky byla aspoň v jednom intervalu kulatá závorka, třeba `(1;\ 3) \cap \langle 3;\ 6)`, průnik by byl prázdný.

Sjednocení intervalů

Sjednocení `A \cup B` jsou čísla, která leží aspoň v jednom z intervalů. Krajní bod do sjednocení patří, když patří aspoň do jednoho z nich.

Pro `A = \langle -2;\ 5)` a `B = (1;\ 8\rangle` z příkladu 3 se intervaly překrývají, takže sjednocení je jeden interval od nejmenšího do největšího krajního bodu. Bod −2 patří do A, bod 8 do B:

`A \cup B = \langle -2;\ 8\rangle`

Když mezi intervaly zůstane mezera, jedním intervalem sjednocení zapsat nejde a nechává se se znakem `\cup`:

`(-\infty;\ 1) \cup \langle 4;\ \infty)`

To je výsledek, ne nedodělaná úloha. Psát místo něj `(-\infty;\ \infty)` je chyba, čísla 1 až 4 v něm nejsou:

Příklad 5: intervaly, které na sebe navazují

Určete `(1;\ 3) \cup \langle 3;\ 6)`.

Trojka nepatří do prvního intervalu, ale patří do druhého, takže ve sjednocení je. Mezera mezi intervaly není žádná a výsledek je jediný interval:

`(1;\ 3) \cup \langle 3;\ 6) = (1;\ 6)`

Kdyby trojka nepatřila ani do jednoho, jako v `(1;\ 3) \cup (3;\ 6)`, chyběl by ve sjednocení právě jeden bod. Jedním intervalem se to zapsat nedá, takže zápis zůstává tak, jak je. Totéž lze napsat i jako `(1;\ 6) \setminus \{3\}`.

Kalkulačka průniku a sjednocení spočítá i rozdíl `A \setminus B`, tedy čísla z A, která nejsou v B. Pro intervaly z příkladu 3 je `A \setminus B = \langle -2;\ 1\rangle`: jednička do B nepatří, a proto v rozdílu zůstává.

K čemu jsou intervaly: nerovnice

Rovnice má obvykle jeden nebo několik kořenů. Řešením nerovnice bývá celý úsek osy, nekonečně mnoho čísel, a proto se zapisuje intervalem. Lineární nerovnici řešíme stejně jako lineární rovnici, s jedním rozdílem: při násobení nebo dělení záporným číslem se znak nerovnosti otočí.

Příklad 6

Řešte nerovnice a) `3x - 2 \le 7`, b) `4 - 2x \lt 10`.

`\begin{gathered}3x - 2 \le 7\\[4pt]3x \le 9\\[4pt]x \le 3\\[4pt]K = (-\infty;\ 3\rangle\end{gathered}`

Zkouška: pro `x = 3` vyjde `7 \le 7`, pravda, trojka do řešení patří. Pro `x = 4` vyjde `10 \le 7`, nepravda, a čtyřka v intervalu opravdu není.

`\begin{gathered}4 - 2x \lt 10\\[4pt]-2x \lt 6\quad \big|:(-2)\\[4pt]x \gt -3\\[4pt]K = (-3;\ \infty)\end{gathered}`

Dělili jsme −2, proto se `\lt` změnilo na `\gt`. Zkouška s `x = 0`: `4 \lt 10`, pravda, a 0 opravdu leží v `(-3;\ \infty)`.

Příklad 7: soustava nerovnic je průnik

Když musí x splňovat dvě nerovnice zároveň, vyřešíme každou zvlášť a výsledek je průnik obou řešení. Pro soustavu `x + 2 \gt 1` a `2x \le 8`:

`\begin{gathered}x + 2 \gt 1\ \Rightarrow\ x \gt -1\\[4pt]2x \le 8\ \Rightarrow\ x \le 4\\[4pt]K = (-1;\ \infty) \cap (-\infty;\ 4\rangle = (-1;\ 4\rangle\end{gathered}`

Kdyby stačilo, aby platila aspoň jedna z nerovnic (spojka „nebo“), byl by výsledek sjednocení.

Stejně se intervaly objevují u definičního oboru, kde se podmínky spojují průnikem, a u rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou, kde se číselná osa rozdělí nulovými body na intervaly a v každém se počítá zvlášť. Takové nerovnice s postupem po intervalech vyřeší kalkulačka nerovnic s absolutní hodnotou.

Časté chyby

• Lomená závorka u nekonečna. `\langle 2;\ \infty\rangle` je špatně, správně `\langle 2;\ \infty)`.
• Krajní body v opačném pořadí. Z `x \gt 5` vznikne `(5;\ \infty)`, ne `(-\infty;\ 5)`. Nakreslete si osu: větší čísla jsou vpravo.
• Interval jen z celých čísel. `\langle 1;\ 3\rangle` neobsahuje jen 1, 2 a 3, ale i 1,5, 2,71 nebo `\sqrt{2}`. Množina `\{1;\ 2;\ 3\}` je něco jiného.
• Průnik a sjednocení zaměněné. Průnik je to, co mají intervaly společné, a bývá menší než každý z nich. Sjednocení je všechno dohromady a bývá větší.
• Krajní bod průniku podle jednoho intervalu. V `\langle -2;\ 5) \cap (1;\ 8\rangle` patří 5 do druhého intervalu, ale ne do prvního, takže do průniku nepatří.
• Zapomenuté otočení znaku při dělení záporným číslem v nerovnici. Zkouška jedním číslem z výsledku to odhalí hned.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Příklady na intervaly: průnik, sjednocení, zápis nerovnosti a celá čísla v intervalu, s vysvětlením každé chyby.
• Interval na číselné ose: zápis nerovností, druh intervalu, délka, střed a celá čísla v něm.
• Průnik a sjednocení intervalů: A ∩ B, A ∪ B i A \ B, nakreslené na ose.
• Článek Rovnice s absolutní hodnotou: metoda nulových bodů, kde se s intervaly počítá v každém kroku.
• Článek Definiční obor: podmínky funkce zapsané intervalem.
• Článek Slovní úlohy s množinami a Vennův diagram: průnik a sjednocení u množin, které nejsou úseky osy.