Definiční obor funkce je množina všech čísel `x`, která smíme dosadit do předpisu funkce tak, aby vyšlo nějaké číslo. Značí se `D(f)`, někdy `D_f`. Funkce `f(x) = \dfrac{1}{x}` má třeba za definiční obor všechna reálná čísla kromě nuly, protože nulou dělit nejde:

`D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}`

Při hledání definičního oboru hlídáme tři místa: jmenovatel nesmí být nula, pod sudou odmocninou nesmí být záporné číslo (nula smí) a logaritmovat jde jen kladné číslo. Každé takové místo v předpisu dá jednu podmínku a definiční obor tvoří čísla, která splní všechny podmínky současně.

Výsledek se zapisuje intervalem, sjednocením intervalů, nebo jako `\mathbb{R}` bez několika bodů. Když v předpisu není zlomek s `x` ve jmenovateli, odmocnina ani logaritmus, jako u `f(x) = x^2 - 3x + 1`, je definičním oborem celé `\mathbb{R}`.

Co je to definiční obor

Funkce každému číslu `x` přiřadí právě jedno číslo `y = f(x)`. Definiční obor říká, kterým číslům `x` funkce něco přiřazuje, tedy jaké vstupy přijme. Některá čísla předpis nezpracuje: `\dfrac{1}{0}` ani `\sqrt{-4}` mezi reálnými čísly neexistuje.

Na grafu je definiční obor vidět jako „stín“ grafu na ose `x`: všechna `x`, nad nebo pod kterými leží nějaký bod grafu. Na obrázcích je vyznačený červeně.

−2−11234512y = √(x + 1)
−2−11234−3−2−1123y = 2/(x − 1)

Graf `y = \sqrt{x + 1}` začíná v bodě `[-1;\ 0]` a pokračuje doprava, takže `D(f) = \langle -1;\ \infty)`. Graf `y = \dfrac{2}{x - 1}` má nad `x = 1` přerušení (svislou asymptotu), takže `D(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}`.

Definiční obor se plete s oborem hodnot `H(f)`. Ten je stínem grafu na ose `y`: říká, jaká čísla mohou vyjít. Pro `y = \sqrt{x + 1}` je `D(f) = \langle -1;\ \infty)` a `H(f) = \langle 0;\ \infty)`. Víc o obou najdete v článku Funkce a jejich grafy.

Podmínky: zlomek, odmocnina, logaritmus

Tyto výrazy v předpisu omezují, co lze dosadit. Za `A` a `B` si představte cokoli, co obsahuje `x`.

Ve výrazu jePodmínkaPříklad
zlomek `\dfrac{A}{B}``B \ne 0``\dfrac{5}{x - 4}`: `x \ne 4`
sudá odmocnina `\sqrt{A}``A \ge 0``\sqrt{x + 2}`: `x \ge -2`
odmocnina ve jmenovateli `\dfrac{1}{\sqrt{A}}``A \gt 0``\dfrac{1}{\sqrt{x}}`: `x \gt 0`
logaritmus `\log A`, `\ln A``A \gt 0``\log (x - 1)`: `x \gt 1`
tangens `\mathrm{tg}\, A``A \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi``\mathrm{tg}\, x`: `x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi`
kotangens `\mathrm{cotg}\, A``A \ne k\pi``\mathrm{cotg}\, x`: `x \ne k\pi`

U tangens a kotangens je `k` libovolné celé číslo. Lichá odmocnina žádnou podmínku nedává: `\sqrt[3]{-8} = -2`, takže `y = \sqrt[3]{x}` má definiční obor `\mathbb{R}`. Stejně tak mocniny s přirozeným exponentem, `\sin`, `\cos`, absolutní hodnota a exponenciála `2^x`.

Definiční obory základních funkcí

FunkceDefiniční obor
lineární `y = ax + b``\mathbb{R}`
kvadratická `y = ax^2 + bx + c``\mathbb{R}`
nepřímá úměrnost `y = \dfrac{k}{x}``\mathbb{R} \setminus \{0\}`
druhá odmocnina `y = \sqrt{x}``\langle 0;\ \infty)`
třetí odmocnina `y = \sqrt[3]{x}``\mathbb{R}`
absolutní hodnota `y = |x|``\mathbb{R}`
exponenciální `y = a^x``\mathbb{R}`
logaritmická `y = \log_a x``(0;\ \infty)`
`y = \sin x`, `y = \cos x``\mathbb{R}`
`y = \mathrm{tg}\, x``\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}`
`y = \mathrm{cotg}\, x``\mathbb{R} \setminus \{k\pi\}`

Definiční obor odmocniny a odmocnina z nuly

Druhá odmocnina ze záporného čísla mezi reálnými čísly neexistuje, ale odmocnina z nuly existuje: `\sqrt{0} = 0`. Proto je podmínka neostrá, `A \ge 0`, a krajní bod do definičního oboru patří. V zápisu intervalu to říká lomená závorka:

`\begin{gathered}f(x) = \sqrt{x - 3} \\[6pt] x - 3 \ge 0 \\[6pt] x \ge 3 \\[6pt] D(f) = \langle 3;\ \infty)\end{gathered}`

Dosazením si to ověříte: `f(3) = \sqrt{0} = 0` vyjde, kdežto `f(2) = \sqrt{-1}` ne.

Jinak je to, když odmocnina stojí ve jmenovateli. Ve funkci `g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x - 3}}` by pro `x = 3` vyšlo `\dfrac{1}{0}`, takže tady musí být výraz pod odmocninou kladný: `D(g) = (3;\ \infty)`, s kulatou závorkou.

Pozor také na znaménko u `x`. U `f(x) = \sqrt{6 - 2x}` dá podmínka `6 - 2x \ge 0` po úpravě `x \le 3`, takže `D(f) = (-\infty;\ 3\rangle`. Definiční obor odmocniny tedy nemusí mířit doprava.

Definiční obor logaritmu

Logaritmus je definovaný jen pro kladná čísla: `\log 0` ani `\log (-5)` neexistuje, protože žádná mocnina kladného základu nedá nulu ani záporné číslo. Pro každý logaritmus v předpisu proto píšeme podmínku, že jeho argument je větší než nula, ostře:

`\begin{gathered}f(x) = \log (2x + 8) \\[6pt] 2x + 8 \gt 0 \\[6pt] x \gt -4 \\[6pt] D(f) = (-4;\ \infty)\end{gathered}`

Pro přirozený logaritmus `\ln` i logaritmus o jakémkoli jiném základu platí totéž. Kdyby proměnná byla i v základu, jako u `\log_x 5`, přibude podmínka `x \gt 0` a `x \ne 1`.

Je-li argument kvadratický, podmínka je kvadratická nerovnice. Její řešení najdete z paraboly, jak ukazuje příklad 5 níže. Kalkulačka definiční obor logaritmu to spočítá s postupem pro jakýkoli argument `ax^2 + bx + c`. Je-li argumentem zlomek, třeba `\log \dfrac{x + 1}{x - 2}`, musí být zlomek kladný a rozhodne tabulka znamének: vyjde `(-\infty;\ {-1}) \cup (2;\ \infty)`, jak ukáže kalkulačka definiční obor logaritmu zlomku.

Jak určit definiční obor: postup

  1. Projděte předpis a najděte každý zlomek s `x` ve jmenovateli, každou sudou odmocninu a každý logaritmus.
  2. Ke každému napište podmínku podle tabulky výše.
  3. Každou podmínku vyřešte jako rovnici nebo nerovnici.
  4. Udělejte průnik: definiční obor tvoří čísla, která splní všechny podmínky naráz. Pomůže číselná osa.
  5. Výsledek zapište intervalem a zkontrolujte krajní body: lomená závorka jen tam, kde se krajní bod smí dosadit.

Průnik intervalů s nakreslením na osu spočítá kalkulačka průnik a sjednocení intervalů; jak se intervaly zapisují, ukazuje interval na číselné ose.

Řešené příklady

Příklad 1: zlomek

Určete definiční obor funkce `f(x) = \dfrac{x}{x + 2}`.

Jediné omezení je jmenovatel:

`\begin{gathered}x + 2 \ne 0 \\[6pt] x \ne -2\end{gathered}`

`D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2\} = (-\infty;\ {-2}) \cup (-2;\ \infty)`. Kontrola: `f(-2) = \dfrac{-2}{0}` nedává smysl, `f(0) = 0` ano. Čitatel nic neomezuje, nula v čitateli je v pořádku.

Příklad 2: odmocnina a logaritmus

Určete definiční obor funkce `f(x) = \sqrt{x - 3} + \ln (x + 2)`.

Dvě podmínky, odmocnina a logaritmus:

`\begin{gathered}x - 3 \ge 0 \ \Rightarrow\ x \ge 3 \\[6pt] x + 2 \gt 0 \ \Rightarrow\ x \gt -2\end{gathered}`

Obě musí platit zároveň. Na číselné ose je průnik tam, kde se oba pruhy překrývají:

3x ≥ 3−2x > −23obojí

`D(f) = \langle 3;\ \infty)`. Kontrola: `f(3) = 0 + \ln 5 \doteq 1{,}61` existuje; pro `x = 0` by byl logaritmus v pořádku, ale `\sqrt{-3}` ne.

Příklad 3: dva body vypadnou

Určete definiční obor funkce `f(x) = \dfrac{3}{x^2 - 4}`.

`\begin{gathered}x^2 - 4 \ne 0 \\[6pt] x^2 \ne 4 \\[6pt] x \ne 2 \ \text{ a zároveň } \ x \ne -2\end{gathered}`

`D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2;\ 2\}`. Častá chyba je vyloučit jen `2`: rovnice `x^2 = 4` má dvě řešení a v obou by se dělilo nulou.

Příklad 4: odmocnina v čitateli, proměnná ve jmenovateli

Určete definiční obor funkce `f(x) = \dfrac{\sqrt{6 - 2x}}{x + 1}`.

`\begin{gathered}6 - 2x \ge 0 \ \Rightarrow\ x \le 3 \\[6pt] x + 1 \ne 0 \ \Rightarrow\ x \ne -1\end{gathered}`

Při dělení nerovnice `-2x \ge -6` záporným číslem se otočí znaménko, proto `x \le 3`. Bod `-1` leží uvnitř intervalu `(-\infty;\ 3\rangle`, takže ho musíme vyříznout:

3x ≤ 3−1x ≠ −1−13obojí

`D(f) = (-\infty;\ {-1}) \cup (-1;\ 3\rangle`. Kontrola: `f(3) = \dfrac{0}{4} = 0`, tedy trojka do definičního oboru patří.

Příklad 5: logaritmus kvadratického výrazu

Určete definiční obor funkce `f(x) = \log (x^2 - x - 6)`.

Argument musí být kladný: `x^2 - x - 6 \gt 0`. Rozložíme na součin, `x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)`, takže kořeny jsou `-2` a `3`. Parabola `y = x^2 - x - 6` je otevřená nahoru, nad osou `x` je tedy vlevo od menšího kořene a vpravo od většího:

−3−2−11234−6−5−4−3−2−11234y = x² − x − 6

`D(f) = (-\infty;\ {-2}) \cup (3;\ \infty)`. Kořeny samotné nepatří, tam je argument nula. Kontrola: pro `x = 0` je argument `-6`, takže nula do definičního oboru nepatří, a opravdu leží mezi kořeny. Stejnou nerovnici vyřeší kalkulačka kvadratická nerovnice.

Příklad 6: logaritmus absolutní hodnoty

Určete definiční obor funkce `f(x) = \log |1 - \sqrt{x}|`.

Odmocnina žádá `x \ge 0`. Logaritmus žádá `|1 - \sqrt{x}| \gt 0`. Absolutní hodnota záporná být nemůže, takže stačí vyloučit nulu:

`\begin{gathered}1 - \sqrt{x} \ne 0 \\[6pt] \sqrt{x} \ne 1 \\[6pt] x \ne 1\end{gathered}`

`D(f) = \langle 0;\ 1) \cup (1;\ \infty)`. Nula patří: `f(0) = \log 1 = 0`.

Příklad 7: logaritmus v logaritmu (náročnější)

Určete definiční obor funkce `f(x) = \ln \big(1 - \ln (x^2 - 5x + 6)\big)`.

Vnitřní logaritmus: `x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \gt 0`, tedy `x \lt 2` nebo `x \gt 3`.

Vnější logaritmus: `1 - \ln (x^2 - 5x + 6) \gt 0`, tedy `\ln (x^2 - 5x + 6) \lt 1`. Logaritmus je rostoucí, takže to znamená `x^2 - 5x + 6 \lt e`. Kořeny rovnice `x^2 - 5x + 6 - e = 0` jsou

`\begin{gathered}x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{1 + 4e}}{2} \\[10pt] x_1 \doteq 0{,}78 \qquad x_2 \doteq 4{,}22\end{gathered}`

a parabola je pod hodnotou `e` mezi nimi. Průnik obou podmínek je

`\begin{aligned} D(f) = {} &\left(\dfrac{5 - \sqrt{1 + 4e}}{2};\ 2\right) \\[8pt] &\cup \left(3;\ \dfrac{5 + \sqrt{1 + 4e}}{2}\right) \end{aligned}`

přibližně `(0{,}78;\ 2) \cup (3;\ 4{,}22)`. Kontrola v bodě `x = 1`: `\ln 2 \doteq 0{,}69`, `1 - 0{,}69 = 0{,}31 \gt 0`, funkce je definovaná.

Definiční obor daný zadáním

Ve slovní úloze předpis často nic neomezuje, ale omezí ho smysl úlohy. Záhon tvaru obdélníku obehneme plotem dlouhým 40 m. Je-li jedna strana `x`, druhá je `20 - x` a obsah

`S(x) = x\,(20 - x)`

Samotný předpis by vzal jakékoli `x`, ale strany musí být kladné: `x \gt 0` a `20 - x \gt 0`. Definičním oborem této funkce je `(0;\ 20)`. Definiční obor může být i rovnou zadaný, třeba „`f(x) = 2x`, `x \in \langle 0;\ 5\rangle`“; pak se nepočítá, jen se přečte.

Definiční obor výrazu

Stejně se hledají podmínky výrazu, tedy čísla, pro která má výraz smysl. U lomeného výrazu to jsou všechna `x`, pro která není žádný jmenovatel nulový, a to i jmenovatel, který při úpravách zmizí. Jmenovatel rozloží na součin a podmínky vypíše kalkulačka podmínky lomeného výrazu, úpravy samotné ukazuje článek Úpravy lomených výrazů.

Časté chyby

  • Ostrá nerovnost u odmocniny. `\sqrt{x - 3}` má podmínku `x - 3 \ge 0`, ne `\gt 0`. Odmocnina z nuly je nula.
  • Neostrá nerovnost u logaritmu. `\log (x - 1)` má podmínku `x - 1 \gt 0`. Logaritmus nuly neexistuje, krajní bod je s kulatou závorkou.
  • Zapomenutá podmínka. Ve funkci se zlomkem i odmocninou platí obě podmínky. Projděte předpis od začátku do konce a každé omezení si zapište.
  • Sjednocení místo průniku. Podmínky platí zároveň, takže výsledkem je průnik. Kdo je sjednotí, dostane v příkladu 2 interval `(-2;\ \infty)` a zahrne do něj i `x = 0`, kde `\sqrt{-3}` neexistuje.
  • Krácení před určením podmínek. `\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2` jen pro `x \ne 2`. Funkce `f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}` má definiční obor `\mathbb{R} \setminus \{2\}`, i když se po zkrácení zdá, že ji lze počítat všude.
  • Jen jeden kořen. Z `x^2 \ne 9` plyne `x \ne 3` i `x \ne -3`, a z `x^2 \gt 9` plyne `x \lt -3` nebo `x \gt 3`, ne jen `x \gt 3`.
  • Lomená závorka u nekonečna. Nekonečno není číslo a do intervalu nepatří: píše se vždy `\infty)`, nikdy `\infty\rangle`.

Příklady k procvičení

1. Určete definiční obor funkce `f(x) = \dfrac{5}{2x - 6}`.

2. Určete definiční obor funkce `f(x) = \sqrt{8 - 2x}`.

3. Určete definiční obor funkce `f(x) = \log (x + 4) + \sqrt{1 - x}`.

4. Určete definiční obor funkce `f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 9}`.

5. Určete definiční obor funkce `f(x) = \sqrt{x^2 - 2x - 8}`.

6. Z obdélníkového plechu 20 cm × 12 cm vystřihneme v každém rohu čtverec o straně `x` a okraje ohneme do krabičky bez víka. Její objem je `V(x) = x\,(20 - 2x)(12 - 2x)`. Jaký je definiční obor funkce `V`, má-li krabička opravdu vzniknout?

Další příklady s okamžitou kontrolou najdete v procvičování definiční obor funkce: zlomky, odmocniny, logaritmy i jejich kombinace, výsledek se většinou vybírá jako interval.

Kam dál