Definiční obor

Vydáno dne 22. 11. 2009 v kategorii Funkce; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 93 958

Definiční obor funkce je množina všech čísel, pro které je daná funkce definována.

Každá funkce f má svůj definiční obor. Definiční obor je interval všech hodnot x, pro které má daná funkce smysl. Pro funkci f(x): y=x je definiční obor $D_f=\mathbb{R}$ (všechna reálná čísla). Ale funkce $g(x): y=\frac{1}{x}$ už bude mít jiný definiční obor, protože ve jmenovateli zlomku nesmí být nula. Definiční obor funkce je tedy $D_g\ =\ \mathbb{R}\ \backslash\ \{0\}$ .

Po teoretickém základu zkusíme vypočítat definiční obory některých funkcí.

1) Určete definiční obor funkce $f(x):\ y\ =\ \frac{x}{x+2}$ → Ve jmenovateli nesmí být nula → $(x+2)\ne 0$

Definiční obor je $D_f=\mathbb{R}\backslash\{-2\}=(-\infty,-2)\cup(-2, \infty)$

2) Určete definiční obor funkce $f(x):\ y\ =\ \sqrt{x-3}+\ln(x+2)$

Abychom mohli vypočítat tento příklad, musíme si uvědomit jaké definiční obory má odmocnina a přirozený logaritmus → pod odmocninou mohou být pouze kladná čísla včetně nuly a definiční obor přirozeného logaritmu jsou pouze kladná čísla. Funkci můžeme zapsat jako součet dvou funkcí $f(x)=a+b,\ a(x)=\sqrt{x-3},\ b(x)=\ln(x+2)$ . Definiční obor potom bude roven $D_f=D_a\ \cap\ D_b$ .

Popřípadě se to dá zapsat takto:

3) Určete definiční obor funkce $f(x):\ y\ =\ \log|1-\sqrt{x}|$

Logaritmus má definiční obor $\mathbb{R}^{+}\backslash\{0\}$ . Musí tedy platit $|1-\sqrt{x}|\ \gt\ 0$ . Výraz $1-\sqrt{x}$ je v absolutní hodnotě a absolutní hodnota jakéhokoliv čísla nabývá pouze kladných hodnot a nuly. Nikdy tedy nemůže nastat případ, že by $|1-\sqrt{x}|$ bylo menší nule. Jediné tedy co musíme zkontrolovat je, jestli se $|1-\sqrt{x}|$ nemůže rovnat nule:

A jelikož naše funkce obsahuje i odmocninu a pod tou nesmí být záporná čísla, musíme x vybírat z intervalu $x\ \in\ \langle0,\ \infty)$ .

Definiční obor celé funkce je roven $(x\ \in\ \langle0,\ \infty))\ \wedge\ (x\ \ne\ 1)\ \Longrightarrow\ D_f=\mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\ \cup\ \{0\}=\langle 0,\ 1)\ \cup\ (1,\ \infty)$

4) Nalezněte definiční obor k funkci $f(x):\ y\ =\ \ln(1-\ln(x^2-5x+6))$

Vycházíme ze vztahu $(1-\ln(x^2-5x+6)\ \gt\ 0)\ \wedge\ (x^2-5x+6\ \gt\ 0)$

Definiční obor

Test

Hlavolam