Definiční obor

Vydáno dne v kategorii Funkce; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 93 691

Definiční obor funkce je množina všech čísel, pro které je daná funkce definována.


Každá funkce f má svůj definiční obor. Definiční obor je interval všech hodnot x, pro které má daná funkce smysl. Pro funkci f(x): y=x je definiční obor D_f=\mathbb{R} (všechna reálná čísla). Ale funkce g(x): y=\frac{1}{x} už bude mít jiný definiční obor, protože ve jmenovateli zlomku nesmí být nula. Definiční obor funkce je tedy D_g\ =\ \mathbb{R}\ \backslash\ \{0\}.

Po teoretickém základu zkusíme vypočítat definiční obory některých funkcí.

1) Určete definiční obor funkce f(x):\  y\ =\ \frac{x}{x+2} → Ve jmenovateli nesmí být nula → (x+2)\ne 0

\begin{array}{rcl}(x+2)&\ne& 0\\x&\ne&-2\end{array}

Definiční obor je D_f=\mathbb{R}\backslash\{-2\}=(-\infty,-2)\cup(-2, \infty)

2) Určete definiční obor funkce f(x):\ y\  =\ \sqrt{x-3}+\ln(x+2)

Abychom mohli vypočítat tento příklad, musíme si uvědomit jaké definiční obory má odmocnina a přirozený logaritmus → pod odmocninou mohou být pouze kladná čísla včetně nuly a definiční obor přirozeného logaritmu jsou pouze kladná čísla. Funkci f můžeme zapsat jako součet dvou funkcí f(x)=a+b,\ a(x)=\sqrt{x-3},\ b(x)=\ln(x+2). Definiční obor potom bude roven D_f=D_a\ \cap\ D_b.

a(x)=\sqrt{x-3}\\x-3\ \ge\ \0\\x\ \ge\ 3\\x\ \in \ \langle3,\ \infty)\\D_a=\langle3,\ \infty)

b(x)=\ln(x+2)\\x+2\ >\ 0\\x\ >\ -2\\x\ \in\ (-2,\ \infty)\\D_b=(-2,\ \infty)

D_f=D_a\ \cap\ D_b=\langle3,\ \infty)\ \cap\ (-2,\ \infty)=\langle 3,\ \infty)

Popřípadě se to dá zapsat takto:

(x-3\ \ge\ 0)\ \wedge\ (x+2\ >\ 0)\ \Longrightarrow\  x\in \langle 3,\ \infty)\ \cap\ (-2,\ \infty)\ \Longrightarrow \ x \in \langle 3,\ \infty)\ \Longrightarrow\  D_f=\langle 3,\ \infty)

3) Určete definiční obor funkce f(x):\ y\ =\ \log|1-\sqrt{x}|

Logaritmus má definiční obor \mathbb{R}^{+}\backslash\{0\}. Musí tedy platit |1-\sqrt{x}|\ \gt\ 0. Výraz 1-\sqrt{x} je v absolutní hodnotě a absolutní hodnota jakéhokoliv čísla nabývá pouze kladných hodnot a nuly. Nikdy tedy nemůže nastat případ, že by |1-\sqrt{x}| bylo menší nule. Jediné tedy co musíme zkontrolovat je, jestli se |1-\sqrt{x}| nemůže rovnat nule:

\begin{array}{rcl}1-\sqrt{x}\  &\ne&\ 0\\\sqrt{x}\ &\ne&\ 1\\x\ &\ne&\ 1\end{array}

A jelikož naše funkce obsahuje i odmocninu a pod tou nesmí být záporná čísla, musíme x vybírat z intervalu x\ \in\ \langle0,\ \infty).

Definiční obor celé funkce je roven (x\ \in\ \langle0,\ \infty))\ \wedge\ (x\ \ne\ 1)\ \Longrightarrow\  D_f=\mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\ \cup\ \{0\}=\langle 0,\ 1)\ \cup\ (1,\ \infty)

4) Nalezněte definiční obor k funkci f(x):\  y\ =\ \ln(1-\ln(x^2-5x+6))

Vycházíme ze vztahu (1-\ln(x^2-5x+6)\ \gt\ 0)\ \wedge\ (x^2-5x+6\ \gt\ 0)

(1-\ln(x^2-5x+6)\ \gt\ 0)\ \wedge\ (x^2-5x+6\ \gt\ 0)\ \Longrightarrow\ (\ln(x^2-5x+6)\ \lt\ 1)\ \wedge\ ((x-2)(x-3)\ \gt\ 0)\ \Longrightarrow\\\Longrightarrow\ (x^2-5x+6\ \lt\ e)\ \wedge\ ((x-2)(x-3)\ \gt\ 0)\ \Longrightarrow\\\Longrightarrow\ \left(x-\frac{5+\sqrt{1+4e}}{2}\right)\left(x-\frac{5-\sqrt{1+4e}}{2}\right)\ \lt\ 0\ \wedge\ (x\ \in\ (-\infty,\ 2)\ \cup\ (3,\ \infty))\ \Longrightarrow\\\Longrightarrow\ x\ \in\ \left(\frac{5-\sqrt{1+4e}}{2},\ \frac{5+\sqrt{1+4e}}{2}\right)\ \cap\ ((-\infty,\ 2)\ \cup\ (3,\ \infty))\ \Longrightarrow\\\Longrightarrow\ D_f\ =\ \left(\frac{5-\sqrt{1+4e}}{2},\ 2\right)\ \cup\ \left(3,\ \frac{5+\sqrt{1+4e}}{2}\right)

Test

Určete asymptotu se směrnicí funkce f(x)=x^4+\frac{1}{x}-2


Hlavolam

Máte kostky s čísly od 1 do 6. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami dostanete součet 7?