Každá funkce f má svůj definiční obor. Definiční obor je interval všech hodnot x, pro které má daná funkce smysl. Pro funkci `f(x): y=x` je definiční obor `D_f=\mathbb{R}` (všechna reálná čísla). Ale funkce `g(x): y=\frac{1}{x}` už bude mít jiný definiční obor, protože ve jmenovateli zlomku nesmí být nula. Definiční obor funkce je tedy `D_g\ =\ \mathbb{R}\ \backslash\ \{0\}`.

Po teoretickém základu zkusíme vypočítat definiční obory některých funkcí.

1) Určete definiční obor funkce `f(x):\ y\ =\ \frac{x}{x+2}` → Ve jmenovateli nesmí být nula → `(x+2)\ne 0`

`\begin{array}{rcl}(x+2)&\ne& 0\\x&\ne&-2\end{array}`

Definiční obor je `D_f=\mathbb{R}\backslash\{-2\}=(-\infty,-2)\cup(-2, \infty)`

2) Určete definiční obor funkce `f(x):\ y\ =\ \sqrt{x-3}+\ln(x+2)`

Abychom mohli vypočítat tento příklad, musíme si uvědomit jaké definiční obory má odmocnina a přirozený logaritmus → pod odmocninou mohou být pouze kladná čísla včetně nuly a definiční obor přirozeného logaritmu jsou pouze kladná čísla. Funkci `f` můžeme zapsat jako součet dvou funkcí `f(x)=a+b,\ a(x)=\sqrt{x-3},\ b(x)=\ln(x+2)`. Definiční obor potom bude roven `D_f=D_a\ \cap\ D_b`.

`a(x)=\sqrt{x-3}\\x-3\ \ge\ \0\\x\ \ge\ 3\\x\ \in \ \langle3,\ \infty)\\D_a=\langle3,\ \infty)`

`b(x)=\ln(x+2)\\x+2\ >\ 0\\x\ >\ -2\\x\ \in\ (-2,\ \infty)\\D_b=(-2,\ \infty)`

`D_f=D_a\ \cap\ D_b=\langle3,\ \infty)\ \cap\ (-2,\ \infty)=\langle 3,\ \infty)`

Popřípadě se to dá zapsat takto:

`(x-3\ \ge\ 0)\ \wedge\ (x+2\ >\ 0)\ \Longrightarrow\  x\in \langle 3,\ \infty)\ \cap\ (-2,\ \infty)\ \Longrightarrow \ x \in \langle 3,\ \infty)\ \Longrightarrow\  D_f=\langle 3,\ \infty)`

3) Určete definiční obor funkce `f(x):\ y\ =\ \log|1-\sqrt{x}|`

Logaritmus má definiční obor `\mathbb{R}^{+}\backslash\{0\}`. Musí tedy platit `|1-\sqrt{x}|\ \gt\ 0`. Výraz `1-\sqrt{x}` je v absolutní hodnotě a absolutní hodnota jakéhokoliv čísla nabývá pouze kladných hodnot a nuly. Nikdy tedy nemůže nastat případ, že by `|1-\sqrt{x}|` bylo menší nule. Jediné tedy co musíme zkontrolovat je, jestli se `|1-\sqrt{x}|` nemůže rovnat nule:

`\begin{array}{rcl}1-\sqrt{x}\  &\ne&\ 0\\\sqrt{x}\ &\ne&\ 1\\x\ &\ne&\ 1\end{array}`

A jelikož naše funkce obsahuje i odmocninu a pod tou nesmí být záporná čísla, musíme x vybírat z intervalu `x\ \in\ \langle0,\ \infty)`.

Definiční obor celé funkce je roven `(x\ \in\ \langle0,\ \infty))\ \wedge\ (x\ \ne\ 1)\ \Longrightarrow\ D_f=\mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\ \cup\ \{0\}=\langle 0,\ 1)\ \cup\ (1,\ \infty)`

4) Nalezněte definiční obor k funkci `f(x):\ y\ =\ \ln(1-\ln(x^2-5x+6))`

Vycházíme ze vztahu `(1-\ln(x^2-5x+6)\ \gt\ 0)\ \wedge\ (x^2-5x+6\ \gt\ 0)`

`(1-\ln(x^2-5x+6)\ \gt\ 0)\ \wedge\ (x^2-5x+6\ \gt\ 0)\ \Longrightarrow\ (\ln(x^2-5x+6)\ \lt\ 1)\ \wedge\ ((x-2)(x-3)\ \gt\ 0)\ \Longrightarrow\\\Longrightarrow\ (x^2-5x+6\ \lt\ e)\ \wedge\ ((x-2)(x-3)\ \gt\ 0)\ \Longrightarrow\\\Longrightarrow\ \left(x-\frac{5+\sqrt{1+4e}}{2}\right)\left(x-\frac{5-\sqrt{1+4e}}{2}\right)\ \lt\ 0\ \wedge\ (x\ \in\ (-\infty,\ 2)\ \cup\ (3,\ \infty))\ \Longrightarrow\\\Longrightarrow\ x\ \in\ \left(\frac{5-\sqrt{1+4e}}{2},\ \frac{5+\sqrt{1+4e}}{2}\right)\ \cap\ ((-\infty,\ 2)\ \cup\ (3,\ \infty))\ \Longrightarrow\\\Longrightarrow\ D_f\ =\ \left(\frac{5-\sqrt{1+4e}}{2},\ 2\right)\ \cup\ \left(3,\ \frac{5+\sqrt{1+4e}}{2}\right)`