Slovní úlohy s množinami a Vennův diagram

Slovní úlohy s množinami se řeší Vennovým diagramem: každou skupinu (žáky, kteří se učí angličtinu, ty, kteří mají psa...) nakreslíme jako kruh a čísla zapisujeme do oblastí, které kruhy vytvoří. Kdo patří do obou skupin, leží v průniku. Klíčový je jeden vztah. Když sečteme počty dvou skupin, započítáme ty, kdo jsou v obou, dvakrát, a proto je jednou odečteme:

`|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|`

Zápis |A| znamená počet prvků množiny A, tedy kolik lidí nebo věcí do skupiny patří. Sjednocení A ∪ B jsou všichni, kdo patří aspoň do jedné skupiny, a průnik A ∩ B ti, kdo patří do obou zároveň. Kdo nepatří do žádné skupiny, leží v diagramu mimo oba kruhy, a s ním dohromady musí oblasti dát počet všech.

Diagram se vyplňuje zevnitř ven: nejdřív průnik, pak to, co je jen v jedné množině, a nakonec ti, kdo nejsou v žádné. Nejdřív si ukážeme, co která oblast v diagramu znamená a jak se o ní mluví v zadání. Pak přijdou řešené úlohy se dvěma množinami, úlohy s procenty, otázka, kolik nejméně a nejvíc může být v průniku, úlohy se třemi množinami a na konci příklady k procvičení s řešením.

Vennův diagram a jeho oblasti

Obdélník je celek, o kterém úloha mluví: všichni žáci třídy, všichni dotázaní, všechny domácnosti. Matematicky je to základní množina. Dva kruhy, které se překrývají, ho rozdělí na čtyři oblasti a každý prvek leží právě v jedné z nich:

Nejvíc záleží na tom, jak oblasti poznat ve slovech zadání. Pozor hlavně na rozdíl mezi „učí se angličtinu“ a „učí se jen angličtinu“. Číslo u celého kruhu A zahrnuje i ty, kdo jsou v průniku. Slovo „jen“ nebo „pouze“ znamená jen srpek kruhu bez průniku.

Jak se s množinami počítá obecně, když jsou dané výčtem prvků, ukazuje kalkulačka množinové operace, která spočítá sjednocení, průnik i rozdíl, a doplněk množiny. Slova „a“, „nebo“ a „ne“ odpovídají spojkám výrokové logiky, viz článek Výroková logika.

Postup řešení slovní úlohy se dvěma množinami

1. Pojmenujte obě množiny (A = učí se angličtinu, B = učí se němčinu) a nakreslete dva překrývající se kruhy v obdélníku.
2. Rozhodněte, o které oblasti mluví každé číslo zadání: celý kruh, jen srpek, průnik, nebo nikdo z obou.
3. Vyplňte diagram zevnitř ven. Když průnik známe, zapíšeme ho rovnou. Když ho neznáme, spočítáme ho ze vzorce nahoře.
4. Zkontrolujte, že součet všech čtyř oblastí je počet všech a že žádná oblast nevyšla záporná.

Příklad 1

Ve třídě je 28 žáků. Anglický jazyk se jich učí 12 a německý jazyk 20. Tři žáci se neučí ani angličtinu, ani němčinu, mají jiný jazyk. Kolik žáků ve třídě se učí zároveň anglický i německý jazyk?

Řešení. Aspoň jeden z obou jazyků se učí všichni kromě těch tří, tedy 28 − 3 = 25 žáků. Když sečteme angličtináře a němčináře, dostaneme 12 + 20 = 32. To je o 7 víc než 25, protože žáky, kteří se učí oba jazyky, jsme započítali dvakrát, jednou mezi angličtináři a jednou mezi němčináři:

`\begin{gathered} |A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| \\[6pt] |A \cap B| = 12 + 20 - 25 = 7 \end{gathered}`

Oba jazyky se učí 7 žáků. Teď můžeme vyplnit celý diagram. Jen angličtinu se učí 12 − 7 = 5 žáků, jen němčinu 20 − 7 = 13 žáků:

Zkouška: 5 + 7 + 13 + 3 = 28, sedí to s počtem žáků ve třídě. Kruh angličtiny má 5 + 7 = 12 žáků a kruh němčiny 7 + 13 = 20 žáků, přesně jak říká zadání.

Číslo 32 tedy není počet žáků. Je to počet „přihlášek“ do jazyků, a protože někteří žáci mají dvě, je větší než počet žáků ve třídě. Že je součet obou skupin větší než počet všech, je první znamení, že se skupiny musí překrývat. Stejnou úlohu s vlastními čísly spočítá kalkulačka Vennův diagram a diagram rovnou nakreslí.

Příklad 2

Ve třídě je 26 žáků. Psa má doma 15 žáků, kočku 9 žáků a 4 žáci mají psa i kočku. Kolik žáků nemá ani psa, ani kočku?

Řešení. Tady průnik známe, takže ho zapíšeme rovnou doprostřed. Jen psa má 15 − 4 = 11 žáků, jen kočku 9 − 4 = 5 žáků. Aspoň jedno z těch zvířat má

`|A \cup B| = 15 + 9 - 4 = 20`

žáků, což je totéž jako 11 + 4 + 5 = 20. Ani psa, ani kočku nemá 26 − 20 = 6 žáků. Zkouška: 11 + 4 + 5 + 6 = 26.

Příklad 3

Ve třídě je 32 žáků. Matematika baví 21 žáků, fyzika 16 žáků a 5 žáků nebaví ani jeden z těch předmětů. Kolik žáků baví právě jeden z obou předmětů?

Řešení. Aspoň jeden předmět baví 32 − 5 = 27 žáků. Oba předměty baví 21 + 16 − 27 = 10 žáků. Jen matematika baví 21 − 10 = 11 žáků a jen fyzika 16 − 10 = 6 žáků. Právě jeden předmět tedy baví 11 + 6 = 17 žáků.

Rychleji: „právě jeden“ je „aspoň jeden“ bez těch, kdo mají oba, tedy 27 − 10 = 17. „Právě jeden“ a „aspoň jeden“ jsou dvě různé otázky. Aspoň jeden předmět baví 27 žáků, právě jeden jen 17.

Příklad 4

Na výletě bylo 40 dětí. Jen zmrzlinu si koupilo 14 dětí, jen limonádu 9 dětí a 7 dětí si nekoupilo nic. Kolik dětí si koupilo zmrzlinu i limonádu a kolik dětí si koupilo zmrzlinu?

Řešení. Tady zadání dává rovnou tři oblasti diagramu ze čtyř. Na průnik zbývá 40 − 14 − 9 − 7 = 10 dětí. Zmrzlinu si koupily děti, které si koupily jen zmrzlinu, i ty, které si koupily obojí, celkem 14 + 10 = 24 dětí. Kdo by odpověděl 14, přehlédl slovo „jen“.

Úlohy s procenty

Když zadání místo počtů dává procenta, počítá se úplně stejně. Celek, tedy obdélník, je 100 %.

Příklad 5

V anketě 60 % dotázaných uvedlo, že čte noviny, 50 % sleduje zprávy v televizi a 20 % nedělá ani jedno. Kolik procent dotázaných čte noviny a zároveň sleduje zprávy? Kolik lidí to je, když se anketa ptala 250 lidí?

Řešení. Aspoň jedno z toho dělá 100 − 20 = 80 % dotázaných. Obojí dělá 60 + 50 − 80 = 30 % dotázaných. Z 250 lidí je to 250 · 0,3 = 75 lidí. Že 60 + 50 = 110 je přes 100 %, je zase znamení, že se obě skupiny překrývají.

Kolik nejméně a nejvíc může být v průniku

Když zadání neříká, kolik prvků je mimo obě množiny, průnik se jednoznačně spočítat nedá. Lze ale říct, mezi kterými čísly leží. Je to častá otázka v přijímacích zkouškách.

Příklad 6

Ve třídě je 28 žáků, angličtinu se jich učí 12 a němčinu 20. Kolik nejméně a kolik nejvíc žáků se může učit oba jazyky?

Nejvíc: průnik je částí každého z obou kruhů, nemůže tedy mít víc prvků než menší z nich. Nejvíc je to 12 žáků, kdyby se všichni angličtináři učili i němčinu. Pak se aspoň jeden jazyk učí jen 20 žáků a 8 žáků se neučí ani jeden.

Nejméně: kruhy se musí překrývat aspoň o tolik, o kolik je jejich součet větší než počet všech. To je 12 + 20 − 28 = 4 žáci. Pak se nikdo neučí jiný jazyk, každý žák se učí aspoň jeden z obou.

`|A| + |B| - n \le |A \cap B| \le \min(|A|, |B|)`

Tady `n` je počet všech. Když vyjde levá strana záporná, je nejmenší možný průnik 0. V příkladu 1 se dodatečnou informací o třech žácích s jiným jazykem vybrala jedna možnost z tohoto rozmezí, průnik 7.

Vennův diagram se třemi množinami

Tři kruhy rozdělí obdélník na osm oblastí: střed, kde jsou všechny tři množiny, tři oblasti, kde jsou právě dvě, tři oblasti, kde je jen jedna, a vnějšek. Postup je stejný, zevnitř ven, jen kroků je víc. Pro sjednocení platí vzorec, kterému se říká princip inkluze a exkluze:

`\begin{aligned} |A \cup B \cup C| = {} & |A| + |B| + |C| \\ & - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| \\ & + |A \cap B \cap C| \end{aligned}`

Proč se trojitý průnik na konci přičítá: prvek ve všech třech množinách jsme v prvním řádku započítali třikrát a ve druhém třikrát odečetli, takže by ve výsledku chyběl.

Příklad 7

Ve třídě je 50 žáků. Plavání se věnuje 23 z nich, fotbalu 20 a tenisu 15. Plavání i fotbalu se věnuje 8 žáků, plavání i tenisu 6, fotbalu i tenisu 5 a všem třem sportům 3 žáci. Kolik žáků nedělá žádný z těch sportů a kolik jich dělá jen plavání?

Řešení. Do středu zapíšeme 3. Počet „plavání i fotbal“ zahrnuje i ty tři, kdo dělají všechno, takže jen plavání a fotbal (bez tenisu) dělá 8 − 3 = 5 žáků. Stejně jen plavání a tenis 6 − 3 = 3 žáci a jen fotbal a tenis 5 − 3 = 2 žáci. Jen plavání pak dělá 23 − 3 − 5 − 3 = 12 žáků, jen fotbal 20 − 3 − 5 − 2 = 10 žáků a jen tenis 15 − 3 − 3 − 2 = 7 žáků:

Aspoň jeden sport dělá 12 + 10 + 7 + 5 + 3 + 2 + 3 = 42 žáků. Vzorec dá totéž:

`23 + 20 + 15 - 8 - 6 - 5 + 3 = 42`

Žádný sport tedy nedělá 50 − 42 = 8 žáků. Ze stejného diagramu se dá přečíst i to, že právě dva sporty dělá 5 + 3 + 2 = 10 žáků a právě jeden sport 12 + 10 + 7 = 29 žáků. Osm oblastí dopočítá i kalkulačka Vennův diagram se třemi množinami.

Časté chyby

• Sečíst obě skupiny a nic neodečíst. 12 + 20 = 32 žáků ve třídě s 28 žáky je nesmysl. Kdo je v obou skupinách, je v součtu dvakrát.
• Splést si „angličtinu“ a „jen angličtinu“. Číslo u celé skupiny obsahuje i průnik. Než ho zapíšete do srpku, odečtěte od něj průnik.
• Zapomenout na ty, kdo nejsou v žádné skupině. Bez nich nesedí součet oblastí s počtem všech a průnik vyjde špatně.
• U tří množin zapsat do oblasti „A i B“ celé číslo ze zadání. „Plavání i fotbal“ zahrnuje i ty, kdo dělají všechny tři sporty. Do oblasti mezi dvěma kruhy patří až rozdíl, 8 − 3 = 5.
• Zapomenout ve vzorci pro tři množiny přičíst trojitý průnik. V příkladu 7 by vyšlo 39 místo 42.
• Nezkontrolovat výsledek. Součet všech oblastí musí dát počet všech a žádná oblast nesmí vyjít záporná. Záporné číslo znamená chybu ve výpočtu, nebo zadání, které nemůže platit.

Příklady k procvičení

Další úlohy s náhodnými čísly a okamžitou kontrolou najdete v procvičování Vennovy diagramy.

Kam dál

• Procvičování Vennovy diagramy - slovní úlohy se dvěma i třemi množinami, výsledek vždy celé číslo.
• Vennův diagram se dvěma množinami a se třemi množinami - kalkulačky, které dopočítají všechny oblasti a nakreslí diagram.
• Množiny a výroková logika - všechny kalkulačky k množinám i výrokům.
• Výroková logika - konjunkce, disjunkce a negace, které odpovídají průniku, sjednocení a doplňku.
• Pravděpodobnost - stejný vzorec pro sjednocení platí i pro pravděpodobnost dvou jevů.
• Procenta - když jsou množiny zadané v procentech.