Jak se množina zapisuje

Množina je soubor prvků, u kterého se dá o každé věci říct, jestli do něj patří, nebo ne. Nejjednodušší zápis je výčet prvků ve složených závorkách, třeba A = {1, 2, 3, 4}. Na pořadí nezáleží a každý prvek se počítá jen jednou, takže {1, 2, 2, 3} je táž množina jako {1, 2, 3}. Množina, která nemá žádný prvek, je prázdná a píše se ∅. Počet prvků množiny A se značí |A|.

Do kalkulaček výše se množina píše stejně jako do sešitu. Prvky mohou být čísla i slova. Jsou-li mezi nimi desetinná čísla, oddělte je středníkem, {1,5; 2; 3,25}, jinak by se čárka nedala odlišit od desetinné čárky.

Sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk

Sjednocení A ∪ B tvoří všechno, co je aspoň v jedné z obou množin. Průnik A ∩ B je jen to, co mají obě společné. Rozdíl A \ B dostanete tak, že z A vyškrtnete všechno, co je i v B. Pro A = {1, 2, 3, 4} a B = {3, 4, 5} vyjde A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, A ∩ B = {3, 4}, A \ B = {1, 2} a B \ A = {5}. Rozdíl tedy na pořadí záleží, sjednocení a průniku ne. Množiny, které nemají společný prvek, se nazývají disjunktní a jejich průnik je prázdná množina.

Doplněk A′ má smysl jen vzhledem k nějaké základní množině U, ve které A leží: jsou to prvky U, které v A nejsou. Pro doplňky platí De Morganovy zákony: doplněk sjednocení je průnik doplňků, (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′, a doplněk průniku je sjednocení doplňků, (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′. V některých učebnicích se doplněk značí A s pruhem nad písmenem.

Vennův diagram a slovní úlohy

Vennův diagram kreslí každou množinu jako kruh a základní množinu jako obdélník kolem nich. Dva kruhy se překrývají a rozdělí obdélník na čtyři části: jen A, A i B, jen B a nic. Typická úloha zní: ve třídě je 28 žáků, 18 se učí angličtinu, 15 němčinu a 3 ani jeden jazyk. Kolik se jich učí oba? Aspoň jeden jazyk má 28 - 3 = 25 žáků. Když sečtete 18 + 15 = 33, započítáte ty, kdo se učí oba jazyky, dvakrát, takže oba jazyky má 33 - 25 = 8 žáků. Jen angličtinu pak 18 - 8 = 10 a jen němčinu 15 - 8 = 7.

Obecně platí |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|. U tří množin se diagram vyplňuje zevnitř ven: nejdřív průnik všech tří, pak části patřící právě do dvou, nakonec části patřící jen do jedné. Nejčastější chyba je zapsat do části „A a B" celý průnik A ∩ B, i s těmi, kdo jsou zároveň v C, a tím je započítat dvakrát.

Výroky a logické spojky

Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říct, jestli je pravdivé, nebo nepravdivé. Pravdivý výrok má hodnotu 1, nepravdivý 0. Z jednoduchých výroků se pomocí spojek skládají složené:

  • negace ¬A, „není pravda, že A", má opačnou hodnotu než A,
  • konjunkce A ∧ B, „A a B", platí, jen když platí oba,
  • disjunkce A ∨ B, „A nebo B", platí, když platí aspoň jeden; spojka „nebo" tu není vylučovací,
  • implikace A ⇒ B, „jestliže A, pak B", neplatí jedině tehdy, když A platí a B ne,
  • ekvivalence A ⇔ B, „A právě tehdy, když B", platí, když mají oba stejnou hodnotu.

Nejvíc překvapí implikace. Výrok „když bude pršet, vezmu si deštník" neporušíte, ani když si deštník vezmete za sucha. Porušíte ho jen tak, že prší a deštník nemáte. Proto je implikace s nepravdivým předpokladem vždycky pravdivá.

Pravdivostní tabulka vypíše hodnotu složeného výroku pro všechny kombinace hodnot jeho proměnných, při dvou proměnných ve 4 řádcích, při třech v 8. Výrok pravdivý v každém řádku je tautologie, výrok nepravdivý v každém řádku kontradikce. Dva výroky jsou ekvivalentní, když mají v tabulce stejný sloupec. Tak se dá ověřit třeba to, že implikace A ⇒ B a její obměna ¬B ⇒ ¬A znamenají totéž, kdežto obrácená implikace B ⇒ A ne.

Negace složeného výroku

Negace konjunkce a disjunkce se řídí De Morganovými zákony: ¬(A ∧ B) je ¬A ∨ ¬B a ¬(A ∨ B) je ¬A ∧ ¬B. Negací výroku „umím angličtinu a němčinu" tedy není „neumím angličtinu a neumím němčinu", ale „neumím angličtinu nebo neumím němčinu". Negace implikace A ⇒ B je A ∧ ¬B: předpoklad platí a závěr ne. Negace ekvivalence je (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B), platí právě jedna strana. Dvojí negace se ruší, ¬¬A je A.

Kalkulačka čte výrok tak, že nejsilněji váže negace, pak konjunkce, disjunkce, vylučovací disjunkce ⊕, implikace a nejslaběji ekvivalence. A ∨ B ∧ C je proto A ∨ (B ∧ C). Kde si nejste jistí, napište závorky; ve výsledku se vždycky vypíšou, aby bylo vidět, jak se výrok přečetl. Z klávesnice se smí místo spojek psát ! pro negaci, * pro konjunkci, + pro disjunkci, = pro ekvivalenci a slovo imp pro implikaci.