Pravděpodobnost

Pravděpodobnost říká, jak moc můžeme čekat, že nastane nějaký jev. Je to číslo od 0 do 1: nemožný jev má pravděpodobnost 0, jistý jev 1. Když má pokus n stejně možných výsledků a m z nich jevu A vyhovuje (jsou příznivé), je pravděpodobnost jevu A

`P(A) = \dfrac{m}{n} = \dfrac{\text{počet příznivých výsledků}}{\text{počet všech výsledků}}`

Na kostce padne šestka s pravděpodobností `\frac{1}{6}`, protože ze šesti stejně možných výsledků je příznivý jen jeden. Sudé číslo padne s pravděpodobností `\frac{3}{6} = \frac{1}{2}`, tedy v 50 % hodů. Pravděpodobnost se píše zlomkem, desetinným číslem i v procentech: `\frac{1}{4}`, 0,25 a 25 % jsou totéž.

Zlomek s postupem, desetinným číslem i procenty spočítá kalkulačka klasická pravděpodobnost. Pro kostky, karty, osudí a opakované pokusy jsou v sadě pravděpodobnost samostatné kalkulačky, na které odkazujeme u každého příkladu.

Pravděpodobnost se na střední škole probírá obvykle ve 3. ročníku, hned po kombinatorice, ze které bere počty výsledků, a patří k maturitním tématům. Jednoduché úlohy s kostkou a mincí se objevují už na základní škole. Níže jsou nejdřív pojmy, pak klasická pravděpodobnost na kostkách, karty a osudí, opačný jev, sjednocení a průnik jevů, nezávislé jevy, stromový diagram s podmíněnou pravděpodobností a binomické rozdělení, každé s řešeným příkladem. Na konci jsou časté chyby a šest příkladů s řešením.

Náhodný pokus, výsledek a jev

Náhodný pokus je děj, jehož výsledek dopředu neznáme: hod kostkou, hod mincí, vytažení karty, losování. Všechny jeho možné výsledky tvoří množinu, značí se Ω. U hodu kostkou je Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Jev je tvrzení o výsledku, o kterém po pokusu umíme říct, jestli nastal: „padne sudé číslo“, „padne víc než 4“. Každému jevu odpovídá skupina výsledků, které mu vyhovují. Jev „padne sudé číslo“ tvoří výsledky 2, 4 a 6.

• Jistý jev nastane vždy („padne číslo od 1 do 6“), P = 1.
• Nemožný jev nenastane nikdy („padne sedmička“), P = 0.
• Opačný jev k jevu A, značí se A′, nastane právě tehdy, když A nenastane. K jevu „padne šestka“ je opačný „nepadne šestka“. Platí `P(A') = 1 - P(A)`.

Vzorec m/n platí jen tehdy, když jsou všechny výsledky stejně možné. Kostka je pravidelná, žádná stěna nemá přednost, takže každá padá se stejnou pravděpodobností. Kde to neplatí, vzorec dává nesmysl. Nejznámější případ je součet na dvou kostkách hned v další části.

Klasická pravděpodobnost na kostkách

Příklad 1: součet 7 na dvou kostkách

Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet 7?

Lákavá odpověď zní 1/11: součtů je jedenáct, od 2 do 12, a sedmička je jeden z nich. Je špatně, protože součty nejsou stejně možné. Dvojka padne jen jako 1 + 1, sedmička šesti způsoby. Stejně možné jsou dvojice čísel na kostkách, když si kostky rozlišíme, třeba jedna červená a druhá modrá. Takových dvojic je `6 \cdot 6 = 36` a tabulka ukazuje součet každé z nich:

Součet 7 dává šest políček: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 a 6 + 1. Proto

`P(\text{součet } 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}`

Kontrola: sedmička leží na celé úhlopříčce tabulky, a ta je nejdelší, takže sedmička musí být nejčastější součet. Ze stejné tabulky se dá vyčíst pravděpodobnost každého součtu:

Všechny počty v druhém řádku dávají dohromady 36, takže pravděpodobnosti dávají dohromady 1. To platí vždy, když se vypíšou všechny výsledky, a je to dobrá kontrola. Součty na dvou i více kostkách, kde se už tabulka nakreslit nedá, počítá kalkulačka hod kostkami, a to i „aspoň“ a „nejvýš“.

Karty a osudí: počty z kombinatoriky

Když se táhne několik kuliček nebo karet najednou, je výsledků tolik, že se vypsat nedají. Spočítají se kombinacemi, protože na pořadí vytažených kusů nezáleží. Postup je vždy stejný: všechny výběry jsou `\binom{n}{k}`, příznivé se poskládají pravidlem součinu. Kombinační čísla a pravidlo součinu vysvětluje článek Kombinace, variace a permutace.

Příklad 2: kuličky z osudí

V osudí je 10 kuliček, 4 červené a 6 modrých. Najednou vytáhneme 3. Jaká je pravděpodobnost, že budou právě 2 červené?

Všech výběrů 3 kuliček z 10 je `\binom{10}{3} = 120`. V příznivém výběru jsou 2 červené ze 4 a 1 modrá z 6, tedy `\binom{4}{2} \cdot \binom{6}{1} = 6 \cdot 6 = 36` výběrů. Proto

`P = \dfrac{\binom{4}{2} \cdot \binom{6}{1}}{\binom{10}{3}} = \dfrac{36}{120} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3`

Kontrola: horní čísla v čitateli dávají dohromady 4 + 6 = 10 a dolní 2 + 1 = 3, přesně jako ve jmenovateli. Když nesedí, chybí v čitateli nějaká skupina. Úlohy tohoto typu počítá kalkulačka tahání z osudí bez vracení. Na stejném principu stojí Sportka, kterou počítá článek o kombinacích.

Příklad 3: aspoň jedno eso

Z mariášových karet (32 karet, z toho 4 esa) vytáhneme 4. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude aspoň jedno eso?

„Aspoň jedno“ znamená jedno, dvě, tři nebo čtyři esa, to by byly čtyři výpočty. Rychlejší je opačný jev: žádné eso. Všechny 4 karty jsou pak z 28 ostatních, a takových výběrů je `\binom{28}{4} = 20\,475` ze všech `\binom{32}{4} = 35\,960`:

`\begin{gathered}P(A) = 1 - P(A') = 1 - \dfrac{20\,475}{35\,960}\\[10pt] = \dfrac{3097}{7192} \doteq 0{,}43\end{gathered}`

Aspoň jedno eso tedy vytáhneme zhruba ve 43 % případů. Na odhad: kdyby se 4 karty losovaly každá zvlášť s vracením, bylo by eso v jednom tahu 1/8 a „aspoň jedno ze čtyř“ by vyšlo `1 - (7/8)^4 \doteq 0{,}41`. Bez vracení je to o kousek víc, protože každá vytažená karta, která není eso, zvyšuje šanci dalších tahů. Esa, krále, figury i jednu barvu v balíčku 32 nebo 52 karet počítá kalkulačka pravděpodobnost s kartami.

Opačný jev a „aspoň jednou“

Opačný jev je nejužitečnější trik celé pravděpodobnosti. Kdykoli se v zadání objeví „aspoň jeden“, „aspoň jednou“ nebo „alespoň“, vyplatí se spočítat, že jev nenastane vůbec, a odečíst to od jedničky. Když se pokus n-krát nezávisle opakuje a jev v jednom pokusu nastane s pravděpodobností p, platí

`P(\text{aspoň jednou}) = 1 - (1 - p)^n`

Příklad 4: aspoň jedna šestka ze čtyř hodů

Kostkou hodíme čtyřikrát. Jaká je pravděpodobnost, že padne aspoň jedna šestka?

V jednom hodu šestka nepadne s pravděpodobností 5/6. Ve všech čtyřech hodech nepadne s pravděpodobností `\left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}`, a tak

`P = 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = \dfrac{671}{1296} \doteq 0{,}518`

Je to o málo víc než polovina. Častá chybná úvaha sečte `4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3}`. Že je špatná, je vidět hned u sedmi hodů: vyšlo by 7/6, víc než jistota. Součet počítá víckrát ty série hodů, ve kterých padlo šestek víc. Kolik hodů je potřeba, aby šestka padla aspoň s 50%, 90% nebo 99% pravděpodobností (4, 13 a 26), spočítá kalkulačka aspoň jednou.

Sjednocení a průnik jevů

Jev „nastane A nebo B“ (aspoň jeden z nich) je sjednocení A ∪ B. Jev „nastane A a zároveň B“ je průnik A ∩ B. Pro sjednocení platí

`P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)`

Průnik se odečítá, protože výsledky, které vyhovují oběma jevům, jsme v P(A) i v P(B) započítali dvakrát. Jevy, které nemohou nastat současně, se jmenují neslučitelné (vylučují se). Jejich průnik je nemožný jev a vzorec se zkrátí na `P(A \cup B) = P(A) + P(B)`.

Příklad 5: eso nebo srdce

Z 32 mariášových karet vytáhneme jednu. Jaká je pravděpodobnost, že je to eso nebo srdce?

Es je 4, srdcí 8. Jedna karta je obojí, srdcové eso, takže by se v součtu 4 + 8 počítala dvakrát:

`P = \dfrac{4}{32} + \dfrac{8}{32} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{11}{32}`

Kontrola výčtem: vyhovují 4 esa a 7 srdcí, která nejsou esa, celkem 11 karet z 32.

Nezávislé jevy

Dva jevy jsou nezávislé, když to, zda nastal jeden, nijak nemění pravděpodobnost druhého: dvě mince, dvě kostky, dva střelci, kteří o sobě nevědí. Pro nezávislé jevy se pravděpodobnost průniku počítá součinem:

`P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)`

Příklad 6: dva střelci

První střelec zasáhne terč s pravděpodobností 0,8, druhý s pravděpodobností 0,7. Oba vystřelí jednou. Jaká je pravděpodobnost, že terč zasáhnou oba, aspoň jeden, právě jeden a ani jeden?

• oba: `0{,}8 \cdot 0{,}7 = 0{,}56`,
• ani jeden: oba minou, `0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}06`,
• aspoň jeden: opačný jev k „ani jeden“, `1 - 0{,}06 = 0{,}94`,
• právě jeden: první zasáhne a druhý ne, nebo naopak, `0{,}8 \cdot 0{,}3 + 0{,}2 \cdot 0{,}7 = 0{,}38`.

Kontrola: oba, právě jeden a ani jeden se navzájem vylučují a jiná možnost není, takže musí dát dohromady jedničku: `0{,}56 + 0{,}38 + 0{,}06 = 1`. Aspoň jeden vyjde i ze vzorce pro sjednocení: `0{,}8 + 0{,}7 - 0{,}56 = 0{,}94`. Všechny čtyři hodnoty pro jakékoli dvě pravděpodobnosti spočítá kalkulačka nezávislé jevy.

Neslučitelné není totéž co nezávislé. Neslučitelné jevy jsou naopak silně závislé: když nastal jeden, druhý nastat nemůže. Neslučitelné jevy se sčítají, nezávislé násobí.

Stromový diagram a podmíněná pravděpodobnost

Když se kuličky táhnou postupně a nevracejí se, druhý tah nezávislý není: jeho šance závisí na tom, co padlo v prvním. Takové pokusy přehledně zachytí stromový diagram. Na každé větvi je pravděpodobnost, že pokus půjde tudy, a pravděpodobnost celé cesty je součin čísel na větvích. Strom pro osudí z příkladu 2 (4 červené Č, 6 modrých M) a dva tahy bez vracení:

Po vytažení červené zbývá 9 kuliček a z nich 3 červené, proto je na druhé větvi 3/9, ne 4/10. Obě kuličky jsou červené s pravděpodobností `\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{2}{15}`. Kombinacemi vyjde totéž, `\binom{4}{2} : \binom{10}{2} = 6 : 45 = \frac{2}{15}`, a to je dobrá kontrola. Jednu červenou a jednu modrou dávají dvě cesty, ČM i MČ, a ty se sčítají: `\frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8}{15}`. Všechny čtyři konce dávají dohromady 1.

Číslo 3/9 na větvi je podmíněná pravděpodobnost: pravděpodobnost jevu B (druhá je červená) za podmínky, že nastal jev A (první byla červená). Značí se P(B | A) a obecně

`P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}`

Tady `P(B \mid A) = \frac{2}{15} : \frac{4}{10} = \frac{1}{3} = \frac{3}{9}`, přesně jako na větvi. Jevy A a B jsou nezávislé právě tehdy, když P(B | A) = P(B), tedy když podmínka nic nemění. Při tahání s vracením by na druhé větvi bylo zase 4/10 a tahy by nezávislé byly.

Binomické rozdělení: k úspěchů z n pokusů

Když se stejný pokus n-krát nezávisle opakuje, v každém se podaří s pravděpodobností p a otázka zní, jaká je pravděpodobnost právě k úspěchů, platí vzorec binomického rozdělení (Bernoulliho schéma):

`P(X = k) = \dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}`

X je tu počet úspěchů v n pokusech. Jedna určitá posloupnost k úspěchů a n − k neúspěchů má pravděpodobnost `p^k (1-p)^{n-k}`. Kombinační číslo říká, kolik takových posloupností je, tedy kolika způsoby lze vybrat, ve kterých k pokusech z n nastal úspěch.

Příklad 7: dvě šestky z deseti hodů

Kostkou hodíme desetkrát. Jaká je pravděpodobnost, že šestka padne právě dvakrát?

`\begin{gathered}P(X = 2) = \dbinom{10}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^8\\[10pt] = 45 \cdot \dfrac{1}{36} \cdot \dfrac{390\,625}{1\,679\,616} \doteq 0{,}291\end{gathered}`

Asi ve 29 % případů. Kontrola: v deseti hodech padne průměrně `10 \cdot \frac{1}{6} \doteq 1{,}7` šestky, takže dvě šestky jsou jeden z nejčastějších výsledků a téměř třetina je rozumná hodnota.

U mince je p = 1/2 a všechny posloupnosti jsou stejně pravděpodobné, takže stačí kombinační čísla, tedy řádek Pascalova trojúhelníku. Pro pět hodů mincí:

Aspoň tři orly padnou s pravděpodobností `\frac{10 + 5 + 1}{32} = \frac{1}{2}`, což sedí se souměrností: aspoň tři orly je totéž jako nejvýš dvě panny. „Aspoň k“ a „nejvýš k“ se počítají jako součet několika členů. Celou tabulku i se střední hodnotou `n \cdot p` vypíše kalkulačka binomické rozdělení.

Časté chyby

• Výsledky, které nejsou stejně možné. Součet 7 na dvou kostkách není 1/11 a „dva orly ze dvou hodů mincí“ nejsou 1/3 (dva orly, dvě panny, od každého jedno), ale 1/4. Kostky i mince je potřeba rozlišit, i když vypadají stejně.
• Sčítání tam, kde se má počítat přes opačný jev. Aspoň jedna šestka ze čtyř hodů není 4/6. Vyjde-li pravděpodobnost větší než 1, je výpočet určitě špatně.
• Sčítání jevů, které nejsou neslučitelné. Eso nebo srdce není 4/32 + 8/32, srdcové eso se musí jednou odečíst.
• Násobení závislých jevů. Dvě červené kuličky bez vracení nejsou `\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10}`. Ve druhém tahu se mění počty.
• „Teď už musí padnout.“ Po pěti pannách za sebou padne orel pořád s pravděpodobností 1/2. Mince si nepamatuje, co padalo, hody jsou nezávislé.

Příklady k procvičení

`\begin{gathered}P(X = 5) = \dbinom{10}{5} \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^5\\[10pt] = 252 \cdot \dfrac{243}{1\,048\,576} \doteq 0{,}058\end{gathered}`

Kam dál

Kalkulačky, které ukážou celý postup:

• klasická pravděpodobnost, příznivé lomeno všemi,
• hod kostkami, pravděpodobnost s kartami a tahání z osudí bez vracení,
• nezávislé jevy, aspoň jednou a binomické rozdělení,
• všechny na jednom místě: pravděpodobnost.

Počty výsledků se počítají kombinatorikou, kterou vysvětluje článek Kombinace, variace a permutace s procvičováním kombinací a variací. Kombinační čísla v binomickém rozdělení jsou řádky Pascalova trojúhelníku a o tom, jak nepředstavitelně malá umí být pravděpodobnost, je článek Opice píší Hamleta.