Průměr (aritmetický průměr) je součet všech hodnot vydělený jejich počtem. Medián je prostřední hodnota, když čísla seřadíme podle velikosti. Modus je hodnota, která se vyskytuje nejčastěji. Všechny tři odpovídají na otázku „jaká hodnota je typická“, každý ale trochu jinak:

`\begin{gathered}\text{průměr} = \dfrac{\text{součet hodnot}}{\text{počet hodnot}}\\[10pt] \text{medián} = \text{prostřední ze seřazených}\\[4pt] \text{modus} = \text{nejčastější hodnota}\end{gathered}`

Pro čísla 2, 9, 4, 4, 6 je průměr (2 + 9 + 4 + 4 + 6) : 5 = 25 : 5 = 5. Seřazená jsou 2, 4, 4, 6, 9, takže medián je prostřední číslo 4. Modus je také 4, protože čtyřka je tam dvakrát a ostatní čísla jen jednou.

Výsledky si můžete ověřit na kalkulačkách aritmetický průměr, medián a modus, které ukážou i postup. Příklady s okamžitou kontrolou jsou v procvičování průměru, mediánu a modu.

Průměr znají děti dřív, než se ho učí, z průměru známek. Medián a modus přicházejí s kapitolou o statistice, obvykle v 8. nebo 9. třídě. Níže je každý z nich rozepsaný s příklady, k tomu vážený průměr a průměr známek, kdy která hodnota klame, pro střední školu kvartily a směrodatná odchylka, časté chyby a šest příkladů s řešením.

Aritmetický průměr

Hodnoty sečteme a součet vydělíme tím, kolik jich je. Ve vzorci se průměr značí `\bar{x}` (čte se „x s pruhem“):

`\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}`

Příklad 1: průměrná teplota

V poledne naměřili během týdne teploty 12, 15, 11, 18, 14, 20 a 15 °C. Jaká byla průměrná polední teplota?

`\begin{aligned}\bar{x} &= \dfrac{12 + 15 + 11 + 18 + 14 + 20 + 15}{7}\\[8pt] &= \dfrac{105}{7} = 15\ {}^{\circ}\mathrm{C}\end{aligned}`

Kontrola: průměr musí ležet mezi nejmenší a největší hodnotou (11 a 20 °C), což 15 °C splňuje. Přesnější kontrola: rozdíly od průměru (−3, 0, −4, 3, −1, 5, 0) dávají dohromady nulu. U správného průměru to vyjde vždycky. Postup ukáže kalkulačka aritmetický průměr.

Příklad 2: kolik potřebuji v posledním testu

Tomáš má z prvních tří testů 18, 15 a 21 bodů. Kolik bodů musí získat ve čtvrtém, aby měl průměr 19?

Průměr 19 ze čtyř testů znamená součet 4 · 19 = 76 bodů. Zatím má 18 + 15 + 21 = 54, takže ve čtvrtém testu potřebuje 76 − 54 = 22 bodů. Zkouška: (54 + 22) : 4 = 19.

Tenhle obrat se hodí často: z průměru a počtu se dá vždy dopočítat součet, a se součtem se pak počítá snadno.

Vážený průměr a průměr známek

Když nemají všechny hodnoty stejnou důležitost, každou vynásobíme její váhou, součiny sečteme a vydělíme součtem vah:

`\bar{x} = \dfrac{x_1 w_1 + x_2 w_2 + \dots + x_n w_n}{w_1 + w_2 + \dots + w_n}`

Váhou může být třeba množství. Koupíme 3 kg jablek po 30 Kč a 2 kg po 45 Kč. Průměrná cena za kilo není (30 + 45) : 2 = 37,50 Kč, protože levnějších jablek je víc. Je to (3 · 30 + 2 · 45) : 5 = 180 : 5 = 36 Kč (kalkulačka vážený průměr).

Příklad 3: průměr známek s vahami

Ve školních systémech jako Bakaláři nebo Edookit má každá známka váhu: písemka třeba 10, test 5, aktivita 3. Petra má tyto známky:

známkaváhaznámka · váha
1 (písemka)1010
3 (test)515
2 (zkoušení)510
2 (písemka)1020
1 (aktivita)33
celkem3358
`\bar{x} = \dfrac{58}{33} \doteq 1{,}76`

Obyčejný průměr bez vah by byl (1 + 3 + 2 + 2 + 1) : 5 = 1,8. Rozdíl dělá trojka z testu, která má jen poloviční váhu. Spočítá to kalkulačka průměr známek, kam se známky a váhy napíšou tak, jak je ukazuje žákovská knížka.

Jakou známku potřebuji? Petra chce průměr nejvýš 1,5 a čeká ji písemka s vahou 10. S jedničkou by měla (58 + 10) : (33 + 10) = 68 : 43 ≐ 1,58, takže jedna písemka nestačí ani na jedničku. Se dvěma jedničkami by to bylo (58 + 20) : 53 = 78 : 53 ≐ 1,47, to už stačí. Tohle za vás dopočítá kalkulačka jakou známku potřebuji.

Pro rodiče jedna poznámka: známka na vysvědčení není jen zaokrouhlený průměr. Průměr je pro učitele vodítko, konečné slovo má on.

Medián

Medián se značí `\tilde{x}`. Postup má dva kroky a první z nich se nesmí vynechat:

  1. Seřadit hodnoty od nejmenší po největší.
  2. Při lichém počtu hodnot je medián ta prostřední. Při sudém počtu jsou uprostřed dvě a medián je jejich průměr.
lichý počet: medián je prostřední, 393638394041sudý počet: průměr dvou prostředních, 10,5579121520

Lichý počet: velikosti bot pěti kamarádů jsou 38, 41, 36, 40 a 39. Seřazeno 36, 38, 39, 40, 41, prostřední je třetí, medián je 39. U `n` hodnot je prostřední ta na místě `(n + 1) : 2`, tady `(5 + 1) : 2 = 3`.

Sudý počet: čísla 12, 5, 9, 20, 7, 15 seřadíme na 5, 7, 9, 12, 15, 20. Uprostřed jsou dvě, 9 a 12, a medián je (9 + 12) : 2 = 10,5. Medián tedy nemusí být žádná z hodnot (kalkulačka medián).

Medián dělí hodnoty na dvě poloviny: polovina je menší nebo rovna mediánu, polovina větší nebo rovna.

Modus

Modus je nejčastější hodnota. Nic se nepočítá, jen se zjistí, kolikrát se která hodnota vyskytuje, tedy její četnost.

Deset žáků odpovědělo, kolik mají sourozenců: 1, 0, 2, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1. Žádné sourozence mají dva žáci, jednoho pět, dva sourozence dva žáci a tři jeden žák. Nejčastější odpověď je 1, modus je tedy 1. Četnosti přehledně sestaví kalkulačka tabulka četností.

Dvě zvláštní situace:

  • Dvě stejně časté hodnoty: čísla 2, 3, 3, 5, 5, 7 mají dva mody, 3 a 5.
  • Nic se neopakuje: u čísel 1, 2, 3, 4 je každé jednou a modus se neurčuje.

Modus jako jediný funguje i pro hodnoty, které nejsou čísla. Nejčastější oblíbená barva ve třídě je modus, průměrnou barvu spočítat nejde. Obchod s botami zajímá hlavně modus: objedná nejvíc té velikosti, kterou lidé kupují nejčastěji. Z prodaných velikostí 38, 40, 39, 38, 42, 38, 40, 41 je modus 38 (kalkulačka modus).

Průměr, nebo medián? Kdy která hodnota klame

Malá firma má pět zaměstnanců s měsíční mzdou 32 000, 35 000, 36 000, 41 000 a 156 000 Kč (to je ředitel).

04080120160tisíce Kč měsíčněmedián 36průměr 60

Průměrná mzda je 300 000 : 5 = 60 000 Kč, ale tolik nebo víc nevydělávají čtyři z pěti lidí. Medián je 36 000 Kč a odpovídá tomu, co dostává běžný zaměstnanec. Jedna velmi vysoká hodnota průměr vytáhne nahoru, medián skoro nepohne. Proto Český statistický úřad uvádí vedle průměrné mzdy i medián mzdy, který bývá výrazně nižší.

mírakdy se hodíkdy klame
průměr
součet : počet		hodnoty bez extrémů, známky, teploty, body z testůjedna velká nebo malá hodnota ho odtáhne (mzdy, ceny domů)
medián
prostřední		mzdy, ceny, cokoli s odlehlými hodnotaminevidí, jak daleko jsou ostatní hodnoty
modus
nejčastější		velikosti, odpovědi v anketě, hodnoty, které nejsou číslakdyž se nic neopakuje, nebo je nejčastějších hodnot víc

Když jsou hodnoty rozložené souměrně a bez extrémů, jako teploty z příkladu 1, vyjdou průměr a medián blízko sebe a je jedno, který použijete. Když se výrazně liší, je to znamení, že v datech je nějaká odlehlá hodnota.

Pro střední školu: kvartily, rozptyl a směrodatná odchylka

Průměr, medián a modus říkají, kde hodnoty leží. Na střední škole se k nim přidává otázka, jak moc jsou rozptýlené.

Variační rozpětí je rozdíl největší a nejmenší hodnoty. Kvartily dělí seřazené hodnoty na čtvrtiny: dolní kvartil `Q_1` má pod sebou čtvrtinu hodnot, horní kvartil `Q_3` tři čtvrtiny, medián je `Q_2`. Podle definice v českých učebnicích se spočítá `n \cdot p` (pro `Q_1` je `p = 0{,}25`). Když nevyjde celé číslo, zaokrouhlí se nahoru a vezme se hodnota na tom místě. Když vyjde celé, vezme se průměr hodnoty na tom místě a té následující.

Pro devět hodnot 3, 7, 8, 5, 12, 14, 21, 13, 18, seřazeno 3, 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21:

  • `9 \cdot 0{,}25 = 2{,}25`, nahoru na 3. hodnotu, `Q_1 = 7`,
  • medián je 5. hodnota, `Q_2 = 12`,
  • `9 \cdot 0{,}75 = 6{,}75`, nahoru na 7. hodnotu, `Q_3 = 14`.

Mezikvartilové rozpětí je 14 − 7 = 7, variační rozpětí 21 − 3 = 18. Krabicový graf ukazuje všechno najednou: krabice sahá od `Q_1` do `Q_3`, čára uvnitř je medián a „vousy“ vedou k minimu a maximu.

0510152025

Některé programy, třeba tabulkové procesory, počítají kvartily jinou metodou a mohou dát trochu jiné číslo. Kalkulačka kvartily a krabicový graf počítá podle školní definice.

Rozptyl je průměr druhých mocnin odchylek od průměru, směrodatná odchylka je jeho odmocnina:

`\begin{gathered}s^2 = \dfrac{(x_1 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}\\[10pt] s = \sqrt{s^2}\end{gathered}`

Pro hodnoty 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 je průměr 40 : 8 = 5. Druhé mocniny odchylek jsou 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, dohromady 32. Rozptyl je 32 : 8 = 4 a směrodatná odchylka `s = \sqrt{4} = 2`. Odchylky se umocňují proto, že samotné se vždy sečtou na nulu. U výběrového rozptylu, který se používá, když data jsou jen vzorkem z většího celku, se dělí `n - 1` místo `n`, tady by vyšlo 32 : 7 ≐ 4,57. Obě verze ukáže kalkulačka směrodatná odchylka a rozptyl.

Časté chyby

  • Medián bez seřazení. Prostřední číslo neseřazeného seznamu není medián. Z čísel 8, 2, 6, 1, 4 to není 6, ale po seřazení 1, 2, 4, 6, 8 číslo 4.
  • Sudý počet hodnot. Uprostřed jsou dvě a medián je jejich průměr, ne jedna z nich.
  • Zapomenutá hodnota. Nula je hodnota jako každá jiná. Žák bez sourozenců se do průměru počítá, jen přidá k součtu nulu a k počtu jedničku.
  • Průměr průměrů. Průměr dvou tříd s průměry 1,8 a 2,4 není 2,1, pokud nemají stejný počet žáků. Je to vážený průměr, váhou je počet žáků.
  • Modus jako četnost. Modus je hodnota, která je nejčastější (1 sourozenec), ne to, kolikrát se vyskytuje (pětkrát).
  • Průměr tam, kde klame. U mezd a cen s jednou extrémní hodnotou řekne medián víc.

Příklady k procvičení

1. Určete průměr, medián a modus čísel 7, 4, 9, 6, 9.

2. Určete medián čísel 14, 3, 9, 11, 6, 20, 9, 2.

3. Průměr pěti čísel je 12. Čtyři z nich jsou 10, 15, 8 a 13. Jaké je páté?

4. Eva má z matematiky jedničku z písemky (váha 10), čtyřku z písemky (váha 10) a dvojku ze zkoušení (váha 5). Jaký má průměr?

5. Průměrný věk 11 hráčů fotbalového týmu je 22 let. S trenérem je průměrný věk všech 12 lidí 24 let. Kolik let je trenérovi?

6. V ulici se za rok prodalo sedm domů. Jejich ceny v milionech korun byly 6, 7, 7, 8, 8, 9 a 32. Spočítejte průměr a medián. Které číslo lépe vystihuje cenu běžného domu v ulici?

Kam dál