Průměr, medián a modus

Všechny tři odpovídají na otázku, jaká hodnota je pro soubor typická, a každý jinak. Aritmetický průměr je součet vydělený počtem. Medián je prostřední hodnota po seřazení. Modus je ta, která se vyskytuje nejčastěji.

Rozdíl je nejlépe vidět na platech. Když ve firmě pracuje devět lidí za 35 tisíc a ředitel za 400 tisíc, průměrný plat vyjde 71 500 Kč, i když tolik nevydělává nikdo z nich. Medián i modus zůstanou na 35 tisících. Průměr reaguje na každou extrémní hodnotu, medián ne, a proto se u mezd a cen bytů uvádí spíš medián.

Medián při sudém počtu hodnot

Při lichém počtu leží uprostřed jedna hodnota a medián je prostě ona. Při sudém jsou uprostřed dvě a medián je jejich průměr: u hodnot 1, 3, 5, 7, 9, 12 jsou prostřední 5 a 7, medián je 6. Nejčastější chyba je vzít prostřední číslo tak, jak byla data zadaná, bez seřazení.

Vážený průměr a průměr známek

Když hodnoty neváží stejně, násobí se každá svou vahou a výsledek se dělí součtem vah, ne počtem hodnot. Přesně tak počítají průměr známek Bakaláři: jednička z písemky s vahou 10 a trojka ze zkoušení s vahou 5 dají (1 · 10 + 3 · 5) / 15, tedy asi 1,67, a ne 2, jak by vyšlo bez vah.

Kalkulačka „jakou známku potřebuji" jde opačným směrem. Z dosavadních známek a z průměru, pod kterým chcete zůstat, spočítá nejhorší známku, kterou si z příští písemky ještě můžete dovolit. A když nestačí ani jednička, řekne, kolik jich je potřeba.

Rozptyl a směrodatná odchylka

Průměr neříká nic o tom, jak moc se hodnoty rozcházejí. Soubory 4, 5, 6 a 0, 5, 10 mají stejný průměr 5, ale ten druhý je mnohem víc rozházený. To měří rozptyl: průměr druhých mocnin odchylek od průměru. Směrodatná odchylka je jeho odmocnina a má stejnou jednotku jako data, takže se dá číst přímo - „výška je 172 cm, plus minus 6".

Ve škole se rozptyl dělí počtem hodnot n. Kalkulačky a Excel často ukazují výběrový rozptyl, který dělí n - 1, a hodí se, když data jsou jen vzorek z většího celku. Kalkulačka výše vypíše oba.

Kvartily a krabicový graf

Kvartily dělí seřazená data na čtyři stejně velké části. Dolní kvartil má pod sebou čtvrtinu hodnot, horní tři čtvrtiny, a medián je prostřední kvartil. Krabicový graf je nakreslí: krabice sahá od dolního do horního kvartilu, čára uvnitř je medián a vousy vedou k nejmenší a největší hodnotě.

Pozor, kvartily nemají jedinou definici a učebnice se v nich rozcházejí. Kalkulačka počítá podle středoškolské a u dat, kde jiná běžná metoda dává jiné číslo, vypíše i to.

Průměr, medián a modus z hlavy si můžete vyzkoušet v procvičování průměru, mediánu a modu.