Lineární lomená funkce je funkce, která má v čitateli i ve jmenovateli lineární výraz (mnohočlen prvního stupně), proto se jí říká také lineárně lomená funkce. Jejím grafem je hyperbola se dvěma asymptotami, svislou a vodorovnou:

`\begin{gathered}\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\\[10pt]c\neq 0,\quad ad-bc\neq 0\end{gathered}`

Definiční obor jsou všechna reálná čísla kromě `x=-\frac{d}{c}`, kde by byla ve jmenovateli nula. Obor hodnot jsou všechna reálná čísla kromě `y=\frac{a}{c}`. Přesně tyto dvě hodnoty dávají asymptoty: svislou `x=-\frac{d}{c}` a vodorovnou `y=\frac{a}{c}`. Jejich průsečík je střed hyperboly.

Obě podmínky mají svůj důvod. Pro `c=0` by šlo o obyčejnou lineární funkci a grafem by byla přímka. Pro `ad-bc=0` se zlomek zkrátí na konstantu, například `\dfrac{2x+4}{x+2}=2` pro všechna `x\neq -2`, a grafem je vodorovná přímka s jedním vynechaným bodem.

Nejjednodušší hyperbola: y = k/x

Nejjednodušší lineární lomená funkce je `y=\dfrac{k}{x}`, kde `k\neq 0`. Znáte ji jako nepřímou úměrnost: kolikrát zvětšíte x, tolikrát se zmenší y. Asymptotami jsou obě souřadnicové osy a střed hyperboly je počátek `[0;\ 0]`.

−4−224−4−224 y = 2/x[1; 2][2; 1] −4−224−4−224 y = −2/x[1; −2][2; −1]
  • Pro `k\gt 0` leží větve v 1. a 3. kvadrantu a funkce je na každé z nich klesající.
  • Pro `k\lt 0` leží větve ve 2. a 4. kvadrantu a funkce je na každé z nich rostoucí.
  • Čím větší je `|k|`, tím dál od počátku se větve „ohýbají“. Vrcholy hyperboly `y=\frac{k}{x}` leží na přímce `y=x` nebo `y=-x`, pro `k=2` jsou to body `[\sqrt{2};\ \sqrt{2}]` a `[-\sqrt{2};\ -\sqrt{2}]`.

Nepřímou úměrnost ze slovních úloh (dvakrát víc dělníků, poloviční čas) spočítá kalkulačka nepřímá úměra.

Graf jako posunutá hyperbola y = k/x

Každou lineární lomenou funkci jde přepsat do tvaru

`\displaystyle y=\frac{k}{x-m}+n`

a v tomto tvaru je graf vidět hned: je to hyperbola `y=\frac{k}{x}` posunutá o m ve směru osy x a o n ve směru osy y. Střed hyperboly je bod `S[m;\ n]`, asymptoty jsou `x=m` a `y=n`. Pozor na znaménko: `\frac{1}{x+2}` je totéž co `\frac{1}{x-(-2)}`, graf se tedy posouvá o 2 doleva.

−4−22−224 y = 1/xy = 1/(x + 2) + 1S[−2; 1]x = −2y = 1

Monotonii určuje jen znaménko k, stejně jako u `y=\frac{k}{x}`: pro `k\gt 0` je funkce klesající, pro `k\lt 0` rostoucí, vždy na každém ze dvou intervalů zvlášť. Posunutí na tom nic nemění.

Jak převést funkci na tento tvar

Nejrychlejší je v čitateli „vyrobit“ násobek jmenovatele. U funkce `f(x)=\frac{x-2}{x+2}` přičteme a odečteme dvojku:

`\begin{gathered}\displaystyle \frac{x-2}{x+2}=\frac{(x+2)-4}{x+2}\\[10pt]\displaystyle \frac{(x+2)-4}{x+2}=1-\frac{4}{x+2}\end{gathered}`

Když je u x ve jmenovateli jiný koeficient než 1, můžete stejně dobře čitatel vydělit jmenovatelem jako mnohočleny (viz Dělení mnohočlenů). Obecně vychází

`\begin{gathered}\displaystyle m=-\frac{d}{c},\qquad n=\frac{a}{c}\\[10pt]\displaystyle k=\frac{bc-ad}{c^2}\end{gathered}`

Vzorec pro k si pamatovat nemusíte, ale z něj plyne užitečné pravidlo: pro `ad-bc\gt 0` je funkce rostoucí, pro `ad-bc\lt 0` klesající (na každém intervalu zvlášť).

Vlastnosti lineární lomené funkce

  • Definiční obor (jak ho určit obecně): `D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{d}{c}\right\}`.
  • Obor hodnot: `H_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{a}{c}\right\}`. Hodnotu `n=\frac{a}{c}` funkce nikdy nenabude, protože zlomek `\frac{k}{x-m}` s `k\neq 0` nemůže být nula.
  • Asymptoty (co to je asymptota): svislá `x=-\frac{d}{c}`, vodorovná `y=\frac{a}{c}`.
  • Monotonie: rostoucí, nebo klesající, ale vždy na každém ze dvou intervalů zvlášť, nikdy na celém definičním oboru (vlastnosti funkcí).
  • Funkce je prostá, a proto k ní existuje inverzní funkce. Ta je zase lineární lomená.
  • Funkce není omezená ani shora, ani zdola a nemá maximum ani minimum.
  • Graf je středově souměrný podle středu `S`. Funkce je lichá jen tehdy, když střed leží v počátku.
  • Průsečík s osou y je `\left[0;\ \frac{b}{d}\right]`, pokud je `d\neq 0`. Průsečík s osou x je `\left[-\frac{b}{a};\ 0\right]`, pokud je `a\neq 0`.

Přehled pro funkce, které se v článku objevují. Sloupec k je čitatel ve tvaru `\frac{k}{x-m}+n`:

funkcesvislá asymptotavodorovná asymptotakna každé větvi
`\dfrac{1}{x}``x=0``y=0``1`klesající
`-\dfrac{2}{x}``x=0``y=0``-2`rostoucí
`\dfrac{2x+1}{x-3}``x=3``y=2``7`klesající
`\dfrac{x-2}{x+2}``x=-2``y=1``-4`rostoucí
`\dfrac{x+1}{2x-5}``x=\frac{5}{2}``y=\frac{1}{2}``\frac{7}{4}`klesající
`\dfrac{3x-2}{x+1}``x=-1``y=3``-5`rostoucí

Jak načrtnout graf lineární lomené funkce

  1. Najděte asymptoty: svislou z nulového bodu jmenovatele, vodorovnou jako podíl koeficientů u x. Nakreslete je čárkovaně, jejich průsečík je střed S.
  2. Převeďte funkci na tvar `\frac{k}{x-m}+n` a podle znaménka k zjistěte, ve kterých dvou „kvadrantech“ kolem středu leží větve.
  3. Spočítejte průsečíky s osami.
  4. Dopočítejte dva nebo tři body, nejlépe po jednom na každé straně svislé asymptoty, a větve protáhněte podél asymptot.

Lineární lomená funkce - příklady s postupem

Příklad 1: Asymptoty, obor hodnot a graf

Určete definiční obor, obor hodnot a asymptoty funkce `f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}` a načrtněte její graf.

Definiční obor: jmenovatel `x-3` je nulový pro `x=3`, takže `D_f=\mathbb{R}\setminus\{3\}` a svislá asymptota je `x=3`.

Obor hodnot: podíl koeficientů u x je `\frac{2}{1}=2`, takže vodorovná asymptota je `y=2` a `H_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}`.

Tvar pro graf:

`\begin{gathered}\displaystyle \frac{2x+1}{x-3}=\frac{2(x-3)+7}{x-3}\\[10pt]\displaystyle \frac{2(x-3)+7}{x-3}=2+\frac{7}{x-3}\end{gathered}`

Střed je `S[3;\ 2]` a `k=7\gt 0`, funkce je tedy klesající na intervalu `(-\infty;\ 3)` i na intervalu `(3;\ \infty)`.

Průsečíky: `f(0)=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}`, tedy `\left[0;\ -\frac{1}{3}\right]`. Nulu dá čitatel pro `2x+1=0`, tedy `\left[-\frac{1}{2};\ 0\right]`. Napravo od asymptoty dopočítáme `f(4)=9` a `f(10)=3`.

−4−22468−4−22468 S[3; 2][−1/2; 0][0; −1/3][4; 9][10; 3]x = 3y = 2

Kontrola: `f(10)=\frac{21}{7}=3` a ze druhého tvaru `2+\frac{7}{7}=3`. Obě cesty dávají totéž, převod je správně.

Příklad 2: Rostoucí hyperbola

Načrtněte graf funkce `f(x)=\dfrac{x-2}{x+2}`.

Převod už jsme udělali výše: `f(x)=1-\frac{4}{x+2}`. Střed je `S[-2;\ 1]`, asymptoty `x=-2` a `y=1`, a protože `k=-4\lt 0`, funkce je na obou intervalech rostoucí. Totéž říká i pravidlo: `ad-bc=1\cdot 2-(-2)\cdot 1=4\gt 0`.

Průsečíky jsou `[2;\ 0]` a `[0;\ -1]`, na levé větvi třeba `f(-4)=3` a `f(-6)=2`.

−6−4−224−4−2246 S[−2; 1][2; 0][0; −1][−4; 3][−6; 2]x = −2y = 1

Definiční obor je `\mathbb{R}\setminus\{-2\}`, obor hodnot `\mathbb{R}\setminus\{1\}`.

Příklad 3: Obor hodnot výpočtem

Určete obor hodnot funkce `f(x)=\dfrac{x+1}{2x-5}`.

Rychlá cesta: `H_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{a}{c}\right\}=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}`. Pokud chcete vidět, proč to platí, vyjádřete z rovnice `y=\frac{x+1}{2x-5}` neznámou x:

`\begin{gathered}y(2x-5)=x+1\\[10pt]2xy-5y=x+1\\[10pt]2xy-x=5y+1\\[10pt]x(2y-1)=5y+1\\[10pt]\displaystyle x=\frac{5y+1}{2y-1}\end{gathered}`

Ke každému y tak najdeme x, jen pro `y=\frac{1}{2}` by vyšla nula ve jmenovateli. Proto `H_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}`. Definiční obor je `\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{5}{2}\right\}`.

Příklad 4: Inverzní funkce

Najděte inverzní funkci k `f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}`.

Postup je stejný jako v příkladu 3: z rovnice `y=\frac{3x-2}{x+1}` vyjádříme x.

`\begin{gathered}yx+y=3x-2\\[10pt]yx-3x=-y-2\\[10pt]x(y-3)=-(y+2)\\[10pt]\displaystyle x=\frac{y+2}{3-y}\end{gathered}`

Nakonec prohodíme označení proměnných: `f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{3-x}`.

Kontrola: `f(1)=\frac{1}{2}` a `f^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2{,}5}{2{,}5}=1`. Všimněte si, že se prohodily i asymptoty: f má `x=-1` a `y=3`, inverzní funkce `x=3` a `y=-1`. Definiční obor jedné funkce je oborem hodnot druhé.

Příklad 5: Funkce z asymptot a bodu

Hyperbola má asymptoty `x=1` a `y=-2` a prochází bodem `[0;\ 1]`. Určete předpis funkce.

Z asymptot známe `m=1` a `n=-2`, takže `y=\frac{k}{x-1}-2`. Dosadíme bod `[0;\ 1]`:

`\begin{gathered}\displaystyle 1=\frac{k}{0-1}-2\\[10pt]1=-k-2\quad\Rightarrow\quad k=-3\end{gathered}`

Funkce je `y=-\frac{3}{x-1}-2`, po převedení na společného jmenovatele `y=\dfrac{-2x-1}{x-1}`. Kontrola: pro `x=0` vychází `\frac{-1}{-1}=1`.

Příklad 6: Míchání roztoku

Do 2 litrů vody přiléváme 60% roztok. Po přilití x litrů je koncentrace směsi

`\displaystyle c(x)=\frac{60x}{x+2}\ \ (\%)`

Kolik litrů roztoku musíme přilít, aby směs měla 40 %? A může koncentrace dosáhnout 60 %?

Z rovnice `\frac{60x}{x+2}=40` dostaneme `60x=40x+80` a z toho `x=4` litry. Kontrola: v 6 litrech směsi je `0{,}6\cdot 4=2{,}4` litru látky a `\frac{2{,}4}{6}=0{,}4`, tedy 40 %.

Vodorovná asymptota je `y=\frac{60}{1}=60`. Koncentrace se k 60 % blíží, ale nikdy jich nedosáhne, protože v nádobě pořád zůstávají původní 2 litry vody. Po přepsání `c(x)=60-\frac{120}{x+2}` je to vidět přímo: odečítaný zlomek je vždy kladný.

Časté chyby

  • Obor hodnot jsou všechna reálná čísla. Není, vždy chybí hodnota `\frac{a}{c}`. Hodnotu, kterou funkce nenabude, najdete jako vodorovnou asymptotu.
  • Vodorovná asymptota jako `\frac{b}{d}`. To je průsečík s osou y, tedy `f(0)`. Asymptota je podíl koeficientů u x, `\frac{a}{c}`.
  • „Funkce `y=\frac{1}{x}` je klesající na celém definičním oboru.“ Není. U `y=\frac{1}{x}` je `-1\lt 1` a zároveň `f(-1)=-1\lt f(1)=1`, přitom na každé větvi zvlášť funkce klesá. Správně se říká „klesající na `(-\infty;\ 0)` a na `(0;\ \infty)`“.
  • Znaménko posunutí. Ve tvaru `\frac{k}{x+2}+1` je střed `[-2;\ 1]`, ne `[2;\ 1]`. Svislá asymptota je vždy tam, kde je jmenovatel nulový.
  • Kladné k neznamená rostoucí. Je to naopak: `y=\frac{1}{x}` má `k=1\gt 0` a klesá.
  • Zapomenutý zvláštní případ. Je-li `ad-bc=0`, funkce není lineární lomená a grafem není hyperbola, ale přímka bez jednoho bodu.

Asymptoty a střed k libovolným koeficientům spočítá kalkulačka asymptoty lineární lomené funkce, včetně definičního oboru a průsečíků s osami. Rychle si je procvičíte v procvičování asymptot.

Příklady k procvičení

1. Určete definiční obor a obor hodnot funkce `f(x)=\dfrac{3x+2}{x-4}`.

2. Převeďte funkci `f(x)=\dfrac{2x+5}{x+1}` na tvar `\frac{k}{x-m}+n`, určete střed hyperboly a rozhodněte, zda je funkce rostoucí, nebo klesající.

3. Určete asymptoty a průsečíky s osami funkce `f(x)=\dfrac{x-6}{2x+3}`.

4. Najděte inverzní funkci k `f(x)=\dfrac{x+4}{x-2}`.

5. Hyperbola má asymptoty `x=-2` a `y=3` a prochází bodem `[2;\ 5]`. Určete předpis funkce ve tvaru `\frac{ax+b}{cx+d}`.

6. Pronájem chaty na víkend stojí 6 000 Kč a jídlo 200 Kč na osobu. Průměrná cena na osobu při n lidech je `c(n)=\dfrac{6000+200n}{n}`. Pod jakou hodnotu cena nikdy neklesne? Kolik lidí musí jet, aby každý zaplatil nejvýš 350 Kč?

Kam dál

Asymptoty lineární lomené funkce si procvičte v procvičování asymptot a výsledky ověřte v kalkulačce asymptoty lineární lomené funkce. Body, pro které lomený výraz není definovaný, najde kalkulačka podmínky lomeného výrazu, úpravy zlomků s proměnnou procvičíte v příkladech na lomené výrazy.

Související články: Asymptota funkce, Definiční obor, Vlastnosti funkcí a Úpravy lomených výrazů.