Lineární lomená funkce

Vydáno dne v kategorii Funkce; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 211 757

Úvod do problematiky lineární lomené funkce - definiční obor, náčrtek grafu a řešené příklady


Lineární lomená funkce je funkce ve tvaru f(x)=\frac{a\mathrm{x}+b}{c\mathrm{x}+d},a, b,c, c \in \mathbb{R}, c \neq 0

Lineární lomená funkce
Graf funkce f(x)=\frac{1}{x}

Grafem lineární lomené funkce je hyperbola a její předpis už jste viděli. Je zde ale jedna maličkost, na kterou si musíte dát pozor. Rovná-li se totiž ad-bc=0, pak je grafem funkce přímka s předpisem f(x)=\frac{a}{c}.

Vlastnosti lineární lomené funkce

  • Definičním oborem (Definiční obor) jsou všechna reálná čísla až na jedno. Ve jmenovateli totiž nesmí být nula a proto víme, že c\mathrm{x} +d \neq 0. Upravením této nerovnice dojdeme k výsledku, že definičním oborem funkce je: D_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\}
  • Oborem hodnot je H_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{a}{c}\right\}
  • Funkce není omezená a nemá maximum ani minimum (Vlastnosti funkcí).
  • Pro ad-bc>0 se jedná o funkci rostoucí na celém svém definičním oboru.
  • Pro 0>ad-bc se jedná o funkci klesající na celém svém definičním oboru.
  • Funkce má dvě asymptoty (Asymptota funkce): x=-\frac{d}{c},y=\frac{a}{c}

Náčrtek grafu

Když dostanete za úkol načrtnout graf nějaké funkce, můžete spočítat její průběh, ale to je dlouhá a často obtížná cesta. Pokud ale poznáte, že se jedná o funkce lineárně lomenou, existuje pomůcka, jak její graf načrtnout. Pokud totiž dostaneme funkci do tvaru f(x)=\frac{a}{x+m}+n;a,m,m\in\mathbb{R}, tak její graf bez problémů načrtneme.

Převod lineární lomené funkce do předchozího tvaru je jednoduchý - stačí funkci vydělit jako dva mnohočleny:

(&ax+b):(cx+d)=\frac{a}{c}+\frac{\frac{cb-ad}{c}}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{cb-ad}{c^2x+cd}\\&\underline{-\left(ax+\frac{ad}{c}\right)}\\&\ \ \ \ \ b-\frac{ad}{c}

Ovšem pamatovat si takovýto vzorec je asi zbytečné, lehčí je vždy mnohočleny vydělit.

Převeďte funkci f(x)=\frac{x+2}{x+4} na druhý tvar:

(&x+2):(x+4)=1-\frac{2}{x+4}\\&\underline{-(x+4)}\\&\ \ -2
Platí tedy:
1-\frac{2}{x+4} = \frac{x+2}{x+4}

Převádět tedy umíte. Nyní k samotnému náčrtu grafu podle předpisu f(x)=\frac{a}{x+m}+n;a,m,m\in\mathbb{R}:

Je-li a>0, pak funkce je rostoucí. Je-li 0>a, funkce je klesající. Parametry m, n, určují posun po ose x, y. Posunuje o -m ve směru kladné poloosy x a o n ve směru kladné poloosy y.

Pro funkci f(x)=\frac{1}{x+2}+1 to vypadá následovně:

Lineární lomená funkce

Vyzkoušíme si to ještě jednou. Určete definiční obor a obor hodnot funkce f(x)=\frac{x-2}{x+2}

Definiční obor a obor hodnot získáme pouhým dosazením do vzorečku.

  • `D_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\}=\mathbb{R}\backslash\left\{-2\right\}`
  • H_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{a}{c}\right\}=\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}

Abychom mohli načrtnout graf, musíme funkci upravit:

(&x-2):(x+2)=1-\frac{4}{x+2}\\&\underline{-(x+2)}\\&\ \ -4

Z tohoto tvaru již graf načrtnete jistě snadno:

Lineární lomená funkce

Lineární lomená funkce - příklady

Příklad 1: Výpočet definičního oboru

Mějme funkci `f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}`.

Definiční obor: Definiční obor této funkce je množina všech reálných čísel, kromě těch, kde je jmenovatel roven nule.

Jmenovatel je `x - 3`, takže roven nule bude, když `x = 3`.

Proto definiční obor `D_f` je: `D_f = \mathbb{R} \setminus \{ 3 \}`

Příklad 2: Výpočet oboru hodnot oboru

Mějme funkci `f(x) = \frac{4}{x + 2}`.

Hodnotový obor: Funkce není definována pro `x = -2`, což ovlivňuje definiční obor. Hodnotový obor zjistíme pomocí algebraické manipulace a analýzy limit.

Proto hodnotový obor `H_f` je: `H_f = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}`

Příklad 3: Výpočet definičního a oboru hodnot

Mějme funkci `f(x) = \frac{x + 1}{2x - 5}`.

Definiční obor: Jmenovatel nesmí být nulový, tj. `2x - 5 = 0`.

Řešením je `x = \frac{5}{2}`, což znamená, že funkce není definována pro toto x a proto tedy `D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5}{2} \right\}`

Obor hodnot: Funkce nemůže nabývat hodnoty, pro kterou by čitatel byl nulový, což pro tuto funkci není žádný další případ. Proto tedy `H_f = \mathbb{R}`.

Příklad 4: Asymptoty funkce

Uvažujme funkci `f(x) = \frac{3x - 2}{x + 1}`.

Svislá asymptota: Funkce má svislou asymptotu v bodě, kde je jmenovatel roven nule. To nastane pro `x = -1`.

Vodorovná asymptota: Pokud prozkoumáme chování funkce, když x jde k nekonečnu, zjistíme, že vodorovná asymptota je `y = 3`, protože podíl `\frac{3x}{x}` jde k 3.

Asymptoty tedy jsou:
Svislá asymptota: `x = -1`
Vodorovná asymptota: `y = 3`

Příklad 5: Přímka rovnoběžná s asymptotou

Najděme přímku rovnoběžnou s asymptotou funkce `f(x) = \frac{5x - 4}{x - 2}` a procházející bodem `(0, -1)`.

Vodorovná asymptota je `y = 5`, takže přímka bude mít tvar `y = 5`. Aby však procházela bodem `(0, -1)`, posuneme ji dolů o 6 jednotek: `y = -1`.

Přímka rovnoběžná s asymptotou je tedy `y = -1`.

Příklad 6: Průsečík s osami

Mějme funkci `f(x) = \frac{2x + 3}{x - 4}`.

Průsečík s osou x: Nastavíme `y = 0` a řešíme rovnici `0 = \frac{2x + 3}{x - 4}`. To vede k rovnici `2x + 3 = 0`, což dává `x = -\frac{3}{2}`.

Průsečík s osou y: Nastavíme `x = 0` a dostaneme `f(0) = \frac{2(0) + 3}{0 - 4} = -\frac{3}{4}`.

Průsečíky jsou tedy:
S osou x: `\left(-\frac{3}{2}, 0\right)`
S osou y: `\left(0, -\frac{3}{4}\right)`

Příklad 7: Inverzní funkce

Uvažujme funkci `f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}`.

Inverzní funkce: Nejprve nastavíme `y = f(x)`, tedy `y = \frac{x + 2}{x - 1}`. Řešíme tuto rovnici pro x:

`y(x - 1) = x + 2`

`yx - y = x + 2`

`yx - x = y + 2`

`x(y - 1) = y + 2`

`x = \frac{y + 2}{y - 1}`

Inverzní funkce je tedy `f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{x - 1}`.

Test

Určete intervaly monotónnosti funkce y=x^3-13


Hlavolam

Najděte hodnotu x v rovnici 5x + 3 = 18.