Lineární lomená funkce

Vydáno dne v kategorii Funkce; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 215 267

Úvod do problematiky lineární lomené funkce - definiční obor, náčrtek grafu a řešené příklady


Lineární lomená funkce je funkce ve tvaru f(x)=\frac{a\mathrm{x}+b}{c\mathrm{x}+d},a, b,c, c \in \mathbb{R}, c \neq 0

Lineární lomená funkce
Graf funkce f(x)=\frac{1}{x}

Grafem lineární lomené funkce je hyperbola a její předpis už jste viděli. Je zde ale jedna maličkost, na kterou si musíte dát pozor. Rovná-li se totiž ad-bc=0, pak je grafem funkce přímka s předpisem f(x)=\frac{a}{c}.

Vlastnosti lineární lomené funkce

  • Definičním oborem (Definiční obor) jsou všechna reálná čísla až na jedno. Ve jmenovateli totiž nesmí být nula a proto víme, že c\mathrm{x} +d \neq 0. Upravením této nerovnice dojdeme k výsledku, že definičním oborem funkce je: D_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\}
  • Oborem hodnot je H_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{a}{c}\right\}
  • Funkce není omezená a nemá maximum ani minimum (Vlastnosti funkcí).
  • Pro ad-bc>0 se jedná o funkci rostoucí na celém svém definičním oboru.
  • Pro 0>ad-bc se jedná o funkci klesající na celém svém definičním oboru.
  • Funkce má dvě asymptoty (Asymptota funkce): x=-\frac{d}{c},y=\frac{a}{c}

Náčrtek grafu

Když dostanete za úkol načrtnout graf nějaké funkce, můžete spočítat její průběh, ale to je dlouhá a často obtížná cesta. Pokud ale poznáte, že se jedná o funkce lineárně lomenou, existuje pomůcka, jak její graf načrtnout. Pokud totiž dostaneme funkci do tvaru f(x)=\frac{a}{x+m}+n;a,m,m\in\mathbb{R}, tak její graf bez problémů načrtneme.

Převod lineární lomené funkce do předchozího tvaru je jednoduchý - stačí funkci vydělit jako dva mnohočleny:

(&ax+b):(cx+d)=\frac{a}{c}+\frac{\frac{cb-ad}{c}}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{cb-ad}{c^2x+cd}\\&\underline{-\left(ax+\frac{ad}{c}\right)}\\&\ \ \ \ \ b-\frac{ad}{c}

Ovšem pamatovat si takovýto vzorec je asi zbytečné, lehčí je vždy mnohočleny vydělit.

Převeďte funkci f(x)=\frac{x+2}{x+4} na druhý tvar:

(&x+2):(x+4)=1-\frac{2}{x+4}\\&\underline{-(x+4)}\\&\ \ -2
Platí tedy:
1-\frac{2}{x+4} = \frac{x+2}{x+4}

Převádět tedy umíte. Nyní k samotnému náčrtu grafu podle předpisu f(x)=\frac{a}{x+m}+n;a,m,m\in\mathbb{R}:

Je-li a>0, pak funkce je rostoucí. Je-li 0>a, funkce je klesající. Parametry m, n, určují posun po ose x, y. Posunuje o -m ve směru kladné poloosy x a o n ve směru kladné poloosy y.

Pro funkci f(x)=\frac{1}{x+2}+1 to vypadá následovně:

Lineární lomená funkce

Vyzkoušíme si to ještě jednou. Určete definiční obor a obor hodnot funkce f(x)=\frac{x-2}{x+2}

Definiční obor a obor hodnot získáme pouhým dosazením do vzorečku.

  • `D_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\}=\mathbb{R}\backslash\left\{-2\right\}`
  • H_f = \mathbb{R}\backslash\left\{-\frac{a}{c}\right\}=\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}

Abychom mohli načrtnout graf, musíme funkci upravit:

(&x-2):(x+2)=1-\frac{4}{x+2}\\&\underline{-(x+2)}\\&\ \ -4

Z tohoto tvaru již graf načrtnete jistě snadno:

Lineární lomená funkce

Lineární lomená funkce - příklady

Příklad 1: Výpočet definičního oboru

Mějme funkci `f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}`.

Definiční obor: Definiční obor této funkce je množina všech reálných čísel, kromě těch, kde je jmenovatel roven nule.

Jmenovatel je `x - 3`, takže roven nule bude, když `x = 3`.

Proto definiční obor `D_f` je: `D_f = \mathbb{R} \setminus \{ 3 \}`

Příklad 2: Výpočet oboru hodnot oboru

Mějme funkci `f(x) = \frac{4}{x + 2}`.

Hodnotový obor: Funkce není definována pro `x = -2`, což ovlivňuje definiční obor. Hodnotový obor zjistíme pomocí algebraické manipulace a analýzy limit.

Proto hodnotový obor `H_f` je: `H_f = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}`

Příklad 3: Výpočet definičního a oboru hodnot

Mějme funkci `f(x) = \frac{x + 1}{2x - 5}`.

Definiční obor: Jmenovatel nesmí být nulový, tj. `2x - 5 = 0`.

Řešením je `x = \frac{5}{2}`, což znamená, že funkce není definována pro toto x a proto tedy `D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5}{2} \right\}`

Obor hodnot: Funkce nemůže nabývat hodnoty, pro kterou by čitatel byl nulový, což pro tuto funkci není žádný další případ. Proto tedy `H_f = \mathbb{R}`.

Příklad 4: Asymptoty funkce

Uvažujme funkci `f(x) = \frac{3x - 2}{x + 1}`.

Svislá asymptota: Funkce má svislou asymptotu v bodě, kde je jmenovatel roven nule. To nastane pro `x = -1`.

Vodorovná asymptota: Pokud prozkoumáme chování funkce, když x jde k nekonečnu, zjistíme, že vodorovná asymptota je `y = 3`, protože podíl `\frac{3x}{x}` jde k 3.

Asymptoty tedy jsou:
Svislá asymptota: `x = -1`
Vodorovná asymptota: `y = 3`

Příklad 5: Přímka rovnoběžná s asymptotou

Najděme přímku rovnoběžnou s asymptotou funkce `f(x) = \frac{5x - 4}{x - 2}` a procházející bodem `(0, -1)`.

Vodorovná asymptota je `y = 5`, takže přímka bude mít tvar `y = 5`. Aby však procházela bodem `(0, -1)`, posuneme ji dolů o 6 jednotek: `y = -1`.

Přímka rovnoběžná s asymptotou je tedy `y = -1`.

Příklad 6: Průsečík s osami

Mějme funkci `f(x) = \frac{2x + 3}{x - 4}`.

Průsečík s osou x: Nastavíme `y = 0` a řešíme rovnici `0 = \frac{2x + 3}{x - 4}`. To vede k rovnici `2x + 3 = 0`, což dává `x = -\frac{3}{2}`.

Průsečík s osou y: Nastavíme `x = 0` a dostaneme `f(0) = \frac{2(0) + 3}{0 - 4} = -\frac{3}{4}`.

Průsečíky jsou tedy:
S osou x: `\left(-\frac{3}{2}, 0\right)`
S osou y: `\left(0, -\frac{3}{4}\right)`

Příklad 7: Inverzní funkce

Uvažujme funkci `f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}`.

Inverzní funkce: Nejprve nastavíme `y = f(x)`, tedy `y = \frac{x + 2}{x - 1}`. Řešíme tuto rovnici pro x:

`y(x - 1) = x + 2`

`yx - y = x + 2`

`yx - x = y + 2`

`x(y - 1) = y + 2`

`x = \frac{y + 2}{y - 1}`

Inverzní funkce je tedy `f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{x - 1}`.

Test

Vypočítejte limitu funkce \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\ \frac{\sin x-\cos x}{1-\mathrm{tg} x}


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.