Vlastnosti funkcí

Vlastnosti funkcí popisují, jak se funkce chová: kde je definovaná a jakých hodnot nabývá, jestli roste nebo klesá, jestli je prostá, sudá nebo lichá, omezená a jestli má maximum a minimum. Nejčastěji se ptáme na sudost a lichost a ty poznáte tak, že do předpisu dosadíte `-x`:

`\begin{gathered}f(-x) = f(x)\ \Rightarrow\ \text{sudá funkce} \\[6pt] f(-x) = -f(x)\ \Rightarrow\ \text{lichá funkce}\end{gathered}`

Graf sudé funkce je souměrný podle osy `y`, graf liché funkce podle počátku. Funkce je prostá, když různým `x` přiřazuje různé hodnoty, rostoucí, když s větším `x` roste i `f(x)`, a omezená, když se celý její graf vejde mezi dvě vodorovné přímky.

Většina funkcí má jen některé z těchto vlastností. Třeba `f(x) = x^2` je sudá a omezená zdola, ale není prostá ani rostoucí na celém `\mathbb{R}`. Vyšetřování vždy začíná definičním oborem, protože na něm závisí všechno ostatní.

Co je funkce a jak vypadají grafy základních funkcí, najdete v článku Funkce a jejich grafy, jak se určuje definiční obor, v článku Definiční obor. Tady projdeme vlastnosti jednu po druhé a na konci je vyšetříme na pěti řešených příkladech.

Přehled vlastností funkcí

Všude, kde se píše „pro všechna `x`“, se myslí všechna `x` z definičního oboru `D(f)`; u sudé a liché funkce navíc musí být s každým `x` v definičním oboru i `-x`.

Rostoucí a klesající funkce

Funkce je rostoucí na množině `M`, jestliže pro libovolná dvě čísla `x_1, x_2` z `M` platí:

`x_1 \lt x_2\ \Rightarrow\ f(x_1) \lt f(x_2)`

Větší `x` znamená větší hodnotu. U klesající funkce je to naopak, větší `x` dává menší hodnotu: `f(x_1) \gt f(x_2)`. Když místo ostrých nerovností platí jen `\le` nebo `\ge`, mluvíme o funkci neklesající nebo nerostoucí; ty mohou mít i vodorovné úseky. Souhrnně se všem čtyřem říká monotónní funkce.

Většina funkcí roste jen někde. Funkce `f(x) = x^2` na obrázku klesá na intervalu `(-\infty; 0\rangle` a roste na `\langle 0; \infty)`: z `-2` do `-1` jde hodnota ze `4` na `1`, z `1` do `2` jde z `1` na `4`. Odpověď na otázku „kde je funkce rostoucí“ je proto vždy interval, ne jedno číslo.

Jak to dokázat výpočtem? U lineární funkce `f(x) = 3x - 2` stačí jeden řádek: z `x_1 \lt x_2` plyne `3x_1 \lt 3x_2` a po odečtení dvojky `3x_1 - 2 \lt 3x_2 - 2`, tedy `f(x_1) \lt f(x_2)`. Funkce je rostoucí na celém `\mathbb{R}`. Obecně je lineární funkce `y = kx + q` rostoucí pro `k \gt 0` a klesající pro `k \lt 0`. U složitějších funkcí se intervaly monotonie hledají derivací, postup je v článku Průběh funkce - hledání extrémů.

Pozor na funkce s dírou v definičním oboru. Funkce `f(x) = \dfrac{1}{x}` klesá na intervalu `(-\infty; 0)` i na intervalu `(0; \infty)`, ale na celém definičním oboru klesající není: `-1 \lt 1`, a přesto `f(-1) = -1 \lt f(1) = 1`. Správná odpověď zní „klesající na `(-\infty; 0)` a na `(0; \infty)`“, nikdy ne „klesající na `(-\infty; 0) \cup (0; \infty)`“.

Prostá funkce

Funkce je prostá, jestliže každou hodnotu nabývá nejvýš v jednom bodě. Různým `x` tedy přiřazuje různá `y`:

`x_1 \ne x_2\ \Rightarrow\ f(x_1) \ne f(x_2)`

Z grafu se to pozná vodorovnou přímkou: funkce je prostá, když každá vodorovná přímka protne graf nejvýš jednou. Parabola `y = x^2` prostá není, přímka `y = 4` ji protne v bodech `x = -2` a `x = 2`, protože `(-2)^2 = 2^2 = 4`. Funkce `y = \dfrac{x^3}{4}` prostá je.

Výpočtem se prostota dokazuje obráceně: předpokládáme `f(x_1) = f(x_2)` a ukážeme, že nutně `x_1 = x_2`. Pro `f(x) = 2x + 5` je to z `2x_1 + 5 = 2x_2 + 5` hned. Naopak k důkazu, že funkce prostá není, stačí najít jednu dvojici různých `x` se stejnou hodnotou, jako `-2` a `2` u paraboly.

Každá funkce, která je na celém definičním oboru rostoucí nebo klesající, je prostá. Obráceně to neplatí: `f(x) = \dfrac{1}{x}` je prostá (každou hodnotu kromě nuly nabývá právě jednou), a přitom, jak jsme viděli výše, na celém definičním oboru monotónní není.

K čemu to je? Inverzní funkci má jen prostá funkce. Když funkce dvěma různým `x` přiřadí stejné `y`, nedá se z `y` jednoznačně vrátit k `x`. Proto se parabola `y = x^2` nejdřív zúží na interval `\langle 0; \infty)`, kde prostá je, a teprve k ní se najde inverzní funkce `y = \sqrt{x}`.

Sudá a lichá funkce

Funkce `f` je sudá, jestliže pro každé `x` z definičního oboru platí:

`-x \in D(f)\ \ \text{a}\ \ f(-x) = f(x)`

Funkce je lichá, jestliže pro každé `x` z definičního oboru platí:

`-x \in D(f)\ \ \text{a}\ \ f(-x) = -f(x)`

Opačná čísla `x` a `-x` mají u sudé funkce stejnou hodnotu, takže graf je souměrný podle osy `y`. U liché funkce mají opačné hodnoty, graf je souměrný podle počátku: když otočíte graf o `180^\circ` kolem bodu `[0; 0]`, dopadne sám na sebe.

Postup, jak zjistit sudost a lichost funkce:

1. Zkontrolujte, že definiční obor je souměrný podle nuly. Když není, funkce není sudá ani lichá a je hotovo.
2. Dosaďte do předpisu `-x` místo `x` a výraz upravte.
3. Vyšel-li původní předpis `f(x)`, je funkce sudá. Vyšel-li předpis s opačným znaménkem `-f(x)`, je lichá. Jinak není ani jedno.

Příklady: sudé jsou `x^2`, `x^4`, `|x|` a `\cos x`, liché jsou `x`, `x^3`, `\dfrac{1}{x}` a `\sin x`. U mnohočlenu to jde poznat na první pohled: jsou-li v něm jen sudé mocniny `x` (konstanta se počítá jako `x^0`), je sudý; jen liché mocniny a žádná konstanta, je lichý. Proto `x^3 + 1` lichá není, jednička ji pokazí.

Dvě věci, na které se často zapomíná. Většina funkcí není sudá ani lichá, třeba `x^2 + x`, takže „není sudá“ neznamená „je lichá“. A lichá funkce definovaná v nule prochází počátkem, protože z `f(0) = -f(0)` plyne `f(0) = 0`. Sudá i lichá zároveň je jen nulová funkce `f(x) = 0`.

Omezená funkce

Funkce je omezená shora, jestliže existuje číslo `h` takové, že `f(x) \le h` pro všechna `x` z definičního oboru. Je omezená zdola, jestliže existuje číslo `d` takové, že `f(x) \ge d`. Funkce omezená shora i zdola je omezená: její graf leží celý v pásu mezi přímkami `y = d` a `y = h`.

Omezenost se nejsnáz čte z oboru hodnot. Funkce `f(x) = x^2 - 2` má `H(f) = \langle -2; \infty)`, je tedy omezená zdola (třeba číslem `-2`) a shora ne. Funkce `\sin x` nabývá jen hodnot z `\langle -1; 1\rangle`, je omezená. Funkce `\dfrac{1}{x}` není omezená ani shora, ani zdola: u nuly vyletí do nekonečna na obě strany.

Mez není jediná. Když je funkce omezená shora číslem `4`, je omezená i číslem `5` nebo `100`. A funkce svou mez nemusí nikdy dosáhnout: `\dfrac{4}{x^2 + 1}` je kladná pro každé `x`, takže je omezená zdola nulou, ale hodnotu `0` nemá nikde.

Maximum a minimum funkce

Funkce má v bodě `a` maximum, jestliže `f(x) \le f(a)` pro všechna `x` z definičního oboru: `f(a)` je největší hodnota, kterou funkce vůbec nabývá. Minimum v bodě `b` je nejmenší hodnota, `f(x) \ge f(b)`.

Parabola `y = x^2 - 2` má minimum `-2` v bodě `0` a maximum nemá. Funkce `\dfrac{4}{x^2 + 1}` má maximum `4` v bodě `0`, ale minimum nemá, přestože je omezená zdola: hodnoty se k nule jen blíží. Mít minimum je tedy víc než být omezená zdola.

Tady jde o maximum a minimum na celém definičním oboru (globální, absolutní). Vedle nich jsou lokální extrémy, kde je funkce nejvýš nebo nejníž jen ve svém okolí, jako vrcholky kopců na horské hřebenovce. Hledají se derivací, viz Průběh funkce - hledání extrémů. U kvadratické funkce derivaci nepotřebujete: extrém je ve vrcholu paraboly, `x_V = -\dfrac{b}{2a}`, a spočítá ho i kalkulačka vrcholu paraboly.

Periodická funkce

Funkce je periodická s periodou `p \gt 0`, jestliže `f(x + p) = f(x)` pro všechna `x` z definičního oboru. Graf se opakuje po úsecích délky `p`. Ve škole se s touto vlastností setkáte u goniometrických funkcí: sinus a kosinus mají periodu `2\pi`, tangens a kotangens `\pi`. Podrobně v článcích Funkce sinus a kosekans a Funkce tangens a kotangens.

Jak určit vlastnosti funkce: řešené příklady

Příklad 1: všechny vlastnosti kvadratické funkce

Určete vlastnosti funkce `f(x) = x^2 - 4x + 3`.

Definiční obor. Dosadit lze cokoli, `D(f) = \mathbb{R}`.

Vrchol. Grafem je parabola otevřená nahoru (u `x^2` je kladné číslo). Vrchol má v bodě:

`\begin{gathered}x_V = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \\[10pt] f(2) = 4 - 8 + 3 = -1\end{gathered}`

Obor hodnot. Parabola jde od vrcholu nahoru, takže `H(f) = \langle -1; \infty)`.

Monotonie. Klesající na `(-\infty; 2\rangle`, rostoucí na `\langle 2; \infty)`.

Prostá? Ne: `f(1) = 1 - 4 + 3 = 0` a také `f(3) = 9 - 12 + 3 = 0`.

Sudá, lichá? Definiční obor je souměrný, ale `f(-1) = 1 + 4 + 3 = 8` a `f(1) = 0`. Sudá funkce by musela mít `f(-1) = f(1)`, lichá `f(-1) = -f(1) = 0`; neplatí ani jedno, takže není sudá ani lichá. K vyvrácení stačí jedna dvojice čísel.

Omezenost, extrémy. Omezená zdola (například číslem `-1`), shora ne. Minimum `-1` v bodě `2`, maximum nemá.

Zkouška. Parabola je souměrná podle svislé přímky `x = 2`, takže body `0` a `4` musí mít stejnou hodnotu: `f(0) = 3` a `f(4) = 16 - 16 + 3 = 3`. Sedí. Vrchol, průsečíky i vrcholový tvar si můžete ověřit kalkulačkou vrcholu paraboly.

Příklad 2: sudost a lichost výpočtem

Rozhodněte, které z funkcí jsou sudé a které liché.

a) `f(x) = x^3 - 3x`. `D(f) = \mathbb{R}`. Dosadíme `-x`:

`\begin{aligned} f(-x) &= (-x)^3 - 3(-x) \\[4pt] &= -x^3 + 3x \\[4pt] &= -(x^3 - 3x) = -f(x) \end{aligned}`

Funkce je lichá. Její graf je na obrázku v části o sudosti a lichosti.

b) `g(x) = x^4 - 2x^2 + 5`. Po dosazení:

`\begin{aligned} g(-x) &= (-x)^4 - 2(-x)^2 + 5 \\[4pt] &= x^4 - 2x^2 + 5 = g(x) \end{aligned}`

Funkce je sudá.

c) `h(x) = x^3 + x^2`. `h(-x) = -x^3 + x^2`, což není `h(x)` ani `-h(x) = -x^3 - x^2`. Konkrétně `h(1) = 2` a `h(-1) = 0`. Není sudá ani lichá.

d) `k(x) = \dfrac{x}{x^2 - 1}`. Definiční obor `\mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}` je souměrný podle nuly. `k(-x) = \dfrac{-x}{(-x)^2 - 1} = -\dfrac{x}{x^2 - 1} = -k(x)`, funkce je lichá.

e) `m(x) = \sqrt{x + 2}`. `D(m) = \langle -2; \infty)`. Číslo `3` do něj patří, `-3` ne, definiční obor není souměrný. Funkce není sudá ani lichá a nic dosazovat nemusíme.

Příklad 3: je funkce prostá?

Dokažte, že funkce `f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}` je prostá.

Definiční obor je `\mathbb{R} \setminus \{3\}`. Předpokládejme, že `f(x_1) = f(x_2)` pro nějaká `x_1, x_2` z definičního oboru, a vynásobme oba jmenovatele:

`\begin{gathered}\dfrac{2x_1 + 1}{x_1 - 3} = \dfrac{2x_2 + 1}{x_2 - 3} \\[10pt] (2x_1 + 1)(x_2 - 3) = (2x_2 + 1)(x_1 - 3)\end{gathered}`

Po roznásobení je na obou stranách `2x_1x_2` i `-3`, ty se odečtou:

`\begin{gathered}-6x_1 + x_2 = -6x_2 + x_1 \\[6pt] -7x_1 = -7x_2 \\[6pt] x_1 = x_2\end{gathered}`

Stejnou hodnotu mají jen stejná `x`, funkce je prostá. Rostoucí ani klesající na celém definičním oboru přitom není: `f(0) = -\dfrac{1}{3}` a `f(4) = 9`, ale `f(2) = -5`. Klesá zvlášť na každé větvi hyperboly, stejně jako `\dfrac{1}{x}`. Asymptoty a střed takové hyperboly spočítá kalkulačka asymptot lineární lomené funkce, celé téma je v článku Lineární lomená funkce.

Příklad 4: omezená funkce, která nemá minimum

Určete vlastnosti funkce `f(x) = \dfrac{4}{x^2 + 1}`. Její graf je v části o omezenosti.

Jmenovatel `x^2 + 1` je vždy aspoň `1`, nikdy nula, takže `D(f) = \mathbb{R}`.

Sudost. `f(-x) = \dfrac{4}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{4}{x^2 + 1} = f(x)`, funkce je sudá.

Monotonie. Na `\langle 0; \infty)` s rostoucím `x` roste jmenovatel, a čím větší jmenovatel, tím menší zlomek. Funkce tam klesá. Protože je sudá, na `(-\infty; 0\rangle` je obraz zrcadlový: roste. Prostá tedy není, třeba `f(-1) = f(1) = 2`.

Omezenost a extrémy. Z `x^2 + 1 \ge 1` plyne `0 \lt f(x) \le 4`. Funkce je omezená, maximum `4` má v bodě `0`. Minimum nemá: pro velká `x` se hodnoty blíží nule (`f(3) = \dfrac{4}{10}`, `f(10) = \dfrac{4}{101}`), ale nuly nikdy nedosáhnou. Obor hodnot je `H(f) = (0; 4\rangle`.

Příklad 5: vlastnosti z grafu, teplota během dne

Graf ukazuje teplotu `T` ve stupních Celsia v závislosti na čase `t` v hodinách, od půlnoci do půlnoci. Určete vlastnosti této funkce.

Definiční obor je doba měření, `D = \langle 0; 24\rangle`. Obor hodnot čteme na svislé ose od nejnižšího bodu po nejvyšší, `H = \langle 4; 18\rangle`.

Monotonie. Klesající na `\langle 0; 5\rangle` (v noci se ochlazuje), rostoucí na `\langle 5; 15\rangle` a znovu klesající na `\langle 15; 24\rangle`.

Extrémy. Minimum `4\ \mathrm{^\circ C}` v 5 hodin ráno, maximum `18\ \mathrm{^\circ C}` v 15 hodin. Funkce je omezená, jak to u teploty jinak ani nejde.

Prostá? Ne. Vodorovná přímka `T = 10` protne graf dvakrát: `10\ \mathrm{^\circ C}` bylo v 9.00 i ve 22.45.

Sudost a lichost tu nemají smysl, definiční obor `\langle 0; 24\rangle` není souměrný podle nuly.

Časté chyby

• Sudost „dokázaná“ jedním číslem. Z `f(2) = f(-2)` neplyne, že je funkce sudá. Funkce `x^3 - x` má `f(1) = f(-1) = 0`, a přesto je lichá: `f(2) = 6`, `f(-2) = -6`. Jedno číslo umí sudost jen vyvrátit, dokázat ji musí obecné dosazení `-x`.
• Zapomenutý definiční obor. `f(x) = x^2` na intervalu `\langle -1; 2\rangle` sudá není, protože k číslu `2` tam chybí `-2`. Souměrnost definičního oboru se kontroluje první.
• „Není sudá, tak je lichá.“ Většina funkcí není ani jedno, například každá parabola, jejíž vrchol neleží na ose `y`.
• Konstanta v mnohočlenu. `x^3 + 1` není lichá, `x^2 + 1` sudá je. Konstanta je sudá mocnina `x^0`.
• Sjednocení intervalů u monotonie. `\dfrac{1}{x}` je klesající na každém z intervalů `(-\infty; 0)` a `(0; \infty)` zvlášť, ne na jejich sjednocení.
• Mez zaměněná za minimum. Omezená zdola neznamená, že má minimum. `\dfrac{4}{x^2 + 1}` je omezená zdola nulou, ale nejmenší hodnotu nemá.
• Prostá neznamená přímka. Prostá funkce může být zakřivená (`x^3`), nespojitá (`\dfrac{1}{x}`) i nemonotónní. Rozhoduje jen to, že žádnou hodnotu nemá dvakrát.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování: vrchol paraboly (minimum a maximum kvadratické funkce), asymptoty.
• Kalkulačky: vrchol paraboly, asymptoty lineární lomené funkce, podmínky lomeného výrazu (definiční obor zlomku).
• Články: Funkce a jejich grafy, Definiční obor, Průběh funkce - hledání extrémů, Lineární lomená funkce.