Funkce je předpis, který každému číslu `x` z definičního oboru přiřadí právě jedno číslo `y`. Zapisuje se rovnicí, třeba `y = 2x + 1` nebo `f(x) = 2x + 1`: dosadíte za `x` a spočítáte `y`. Graf funkce jsou všechny body `[x;\ y]`, jejichž souřadnice rovnici splňují.

`f:\ y = 2x + 1`
`x = 3 \ \Rightarrow\ y = 2 \cdot 3 + 1 = 7, \ \text{bod}\ [3;\ 7]`

Každý druh funkce má svůj typický graf: lineární funkce přímku, kvadratická parabolu, nepřímá úměrnost hyperbolu, exponenciální a logaritmická funkce exponenciálu a logaritmickou křivku, sinus sinusoidu. Níže je přehled všech se svými grafy, návod, jak graf nakreslit z tabulky hodnot, a příklady s postupem.

Co je funkce

S funkcemi se potkáváte dřív, než se jim tak začne říkat. Přímá úměrnost (dvakrát víc rohlíků, dvakrát vyšší cena) i nepřímá úměrnost (dvakrát víc dělníků, poloviční doba práce) jsou funkce. Vždy jde o to, že jedna veličina jednoznačně určuje druhou.

  • `x` je nezávisle proměnná (argument), volíte ji vy.
  • `y = f(x)` je závisle proměnná, hodnota funkce v bodě `x`.
  • Definiční obor `D(f)` jsou všechna `x`, která smíte dosadit.
  • Obor hodnot `H(f)` jsou všechna `y`, která funkce opravdu nabývá.

Na grafu se definiční obor čte na ose `x` (kam až graf sahá doleva a doprava) a obor hodnot na ose `y` (kam až sahá dolů a nahoru). Podrobně je definiční obor rozebraný v článku Definiční obor, další vlastnosti (rostoucí, klesající, sudá, lichá, omezená) v článku Vlastnosti funkcí.

Jak poznat z grafu, že jde o funkci

Slovo „právě jedno“ v definici se dá zkontrolovat pohledem. Vedete grafem svislé přímky: pokud kterákoli z nich protne křivku ve dvou a více bodech, nejde o graf funkce, protože jednomu `x` by patřila dvě různá `y`. Parabola tou zkouškou projde, kružnice ne.

x y
je graf funkce
x y
není graf funkce

Jak nakreslit graf funkce

Postup je u všech funkcí stejný:

  1. Zvolte několik hodnot `x` (celá čísla kolem nuly, u zajímavých míst hustěji).
  2. Dosaďte je do předpisu a dopočítejte `y`. Výsledky zapište do tabulky hodnot.
  3. Každý sloupec tabulky je jeden bod `[x;\ y]`. Zakreslete ho do soustavy souřadnic.
  4. Body spojte křivkou, která odpovídá druhu funkce: přímkou, nebo hladkým obloukem.

Pro funkci `f:\ y = x + 1` vypadá tabulka takto. Každé `y` je o jedna větší než `x`:

`x``-1`0123
`y`01234

Body `A[-1;\ 0]`, `B[0;\ 1]`, `C[1;\ 2]`, `D[2;\ 3]` a `E[3;\ 4]` leží na jedné přímce, a ta je grafem funkce:

−3 −2 −1 1 2 3 4 −2 −1 1 2 3 4 5 x y A B C D E y = x + 1

U přímky by stačily dva body; třetí slouží jako kontrola, že jste se v dosazování nespletli. Tahle funkce nemá žádné omezení, dosadit smíte cokoli, a přímka pokračuje oběma směry do nekonečna, takže `D(f) = \mathbb{R}` a `H(f) = \mathbb{R}`.

U parabol a jiných křivek potřebujete bodů víc, aspoň pět, a hlavně ten nejdůležitější: u paraboly vrchol, u hyperboly místa kolem asymptot. Body křivky nespojujte rovnými úsečkami, graf je hladký oblouk.

Přehled funkcí a jejich grafů

Na obrázcích jsou základní funkce, které se probírají na základní a střední škole. Podle tvaru grafu se dá druh funkce poznat na první pohled:

x y
lineární `y = ax + b`
přímka
x y
kvadratická `y = ax^2 + bx + c`
parabola
x y
nepřímá úměrnost `y = \dfrac{k}{x}`
hyperbola
x y
absolutní hodnota `y = |x|`
tvar písmene V
x y
mocninná `y = x^3`
kubická parabola
x y
odmocnina `y = \sqrt{x}`
půlka paraboly
x y
exponenciální `y = 2^x`
exponenciála
x y
logaritmická `y = \log_2 x`
logaritmická křivka
x y
goniometrická `y = \sin x`
sinusoida
FunkcePředpisDefiniční obor
lineární`y = ax + b``\mathbb{R}`
kvadratická`y = ax^2 + bx + c``\mathbb{R}`
nepřímá úměrnost`y = \dfrac{k}{x}``\mathbb{R} \setminus \{0\}`
lineární lomená`y = \dfrac{ax + b}{cx + d}``\mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{d}{c}\right\}`
absolutní hodnota`y = |x|``\mathbb{R}`
odmocnina`y = \sqrt{x}``\langle 0;\ \infty)`
exponenciální`y = a^x``\mathbb{R}`
logaritmická`y = \log_a x``(0;\ \infty)`
goniometrické`y = \sin x,\ \cos x``\mathbb{R}`

Druhy funkcí

Lineární funkce: přímka

Předpis `y = ax + b`, grafem je přímka. Číslo `b` říká, kde přímka protne osu `y` (v bodě `[0;\ b]`), číslo `a` (směrnice) říká, jak je strmá:

  • `a \gt 0`: funkce je rostoucí, přímka stoupá zleva doprava,
  • `a \lt 0`: funkce je klesající,
  • `a = 0`: konstantní funkce `y = b`, vodorovná přímka,
  • `b = 0`: přímá úměrnost `y = ax`, přímka prochází počátkem.
−3 −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 x y y = 2x − 1 y = −x + 2 y = −1

Rovnici přímky, která prochází dvěma danými body, spočítá kalkulačka přímka ze dvou bodů; o směrnici podrobně píše článek Směrnicová rovnice přímky. Pozor, svislá přímka `x = 2` grafem funkce není, neprojde zkouškou svislou přímkou.

Kvadratická funkce: parabola

Předpis `y = ax^2 + bx + c` s `a \ne 0`, grafem je parabola. Pro `a \gt 0` je otevřená nahoru a má nejnižší bod, pro `a \lt 0` je otevřená dolů a má nejvyšší bod. Tím bodem je vrchol, jeho souřadnice `x` je

`x_V = -\dfrac{b}{2a}`

a `y_V` dopočítáte dosazením. Parabola je souměrná podle svislé přímky `x = x_V`. Osu `x` protíná v kořenech kvadratické rovnice `ax^2 + bx + c = 0` (viz Kvadratická rovnice), osu `y` v bodě `[0;\ c]`.

−3 −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 x y y = x² y = −x² + 3 [0; 3]

Vrchol, osu i průsečíky s osami spočítá kalkulačka vrchol paraboly, hledání vrcholu z hlavy si můžete vyzkoušet v procvičování vrcholu paraboly.

Nepřímá úměrnost a lineární lomená funkce: hyperbola

Předpis `y = \dfrac{k}{x}` s `k \ne 0`. Grafem je hyperbola se dvěma oddělenými větvemi. Nulou dělit nelze, proto `D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}`, a protože zlomek s nenulovým čitatelem nikdy není nula, je i `H(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}`. Pro `k \gt 0` leží větve v I. a III. kvadrantu, pro `k \lt 0` ve II. a IV.

−4 −2 2 4 −4 −2 2 4 x y y = 4/x

Větve se k osám jen přibližují, nikdy se jich nedotknou; osy jsou tu asymptoty. Obecnější funkce `y = \dfrac{ax + b}{cx + d}` má graf stejného tvaru, jen posunutý, viz Lineární lomená funkce. Asymptoty takové funkce spočítá kalkulačka asymptot.

Funkce s absolutní hodnotou

Předpis `y = |x|`, grafem jsou dvě polopřímky ve tvaru písmene V s vrcholem v počátku. Pro `x \ge 0` je `|x| = x`, pro `x \lt 0` je `|x| = -x`. Obor hodnot je `\langle 0;\ \infty)`.

Graf `y = |x - 2| - 1` je tentýž tvar posunutý o 2 doprava a o 1 dolů, s vrcholem `[2;\ {-1}]`. Posouvání funguje u všech funkcí stejně: `x - m` uvnitř posune graf o `m` doprava, `+\,n` na konci o `n` nahoru.

−3 −2 −1 1 2 3 4 −2 −1 1 2 3 4 x y y = |x| y = |x − 2| − 1 [2; −1]

Rovnice s absolutní hodnotou se řeší metodou nulových bodů, viz Rovnice s absolutní hodnotou.

Mocninné funkce a odmocnina

Funkce `y = x^n`. Pro sudé `n \ge 2` (`x^2`, `x^4`) má graf tvar paraboly, pro liché `n \ge 3` (`x^3`, `x^5`) tvar kubické paraboly, která jde zleva zdola doprava nahoru a prochází počátkem. Počítání s mocninami je v článku Exponenty a mocniny.

Odmocnina `y = \sqrt{x}` je definovaná jen pro `x \ge 0`, proto `D(f) = \langle 0;\ \infty)` a graf začíná v počátku. Je to horní polovina paraboly `x = y^2` položené na bok.

Exponenciální a logaritmická funkce

Exponenciální funkce `y = a^x` (`a \gt 0`, `a \ne 1`) má proměnnou v exponentu. Pro `a \gt 1` roste, pro `0 \lt a \lt 1` klesá. Vždy prochází bodem `[0;\ 1]`, protože `a^0 = 1`, a vždy leží nad osou `x`: `H(f) = (0;\ \infty)`.

Logaritmická funkce `y = \log_a x` je k ní inverzní: prohodí role `x` a `y`. Graf inverzní funkce vznikne překlopením podle přímky `y = x`, takže logaritmická křivka prochází bodem `[1;\ 0]` a leží vpravo od osy `y`, `D(f) = (0;\ \infty)`.

−3 −2 −1 1 2 3 4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y y = 2ˣ y = log₂ x y = x

Definiční obor složitějších logaritmů spočítá kalkulačka definičního oboru logaritmu, rovnice s nimi jsou v článku Exponenciální a logaritmické rovnice.

Goniometrické funkce

Sinus a kosinus mají za graf vlnovku (sinusoidu a kosinusoidu), která se opakuje po `2\pi` a kmitá mezi `-1` a `1`, takže `H(f) = \langle -1;\ 1 \rangle`. Tangens se opakuje po `\pi` a má svislé asymptoty. Každé z nich patří samostatný článek: Funkce sinus, Funkce kosinus a Funkce tangens a kotangens.

Příklady s postupem

Příklad 1

Nakreslete graf funkce `y = -2x + 3` a určete, kde protíná osy.

Je to lineární funkce, stačí dva body a třetí na kontrolu:

`x = 0:\ \ y = -2 \cdot 0 + 3 = 3`
`x = 2:\ \ y = -2 \cdot 2 + 3 = -1`

Průsečík s osou `y` je `[0;\ 3]`. Průsečík s osou `x` má `y = 0`: `0 = -2x + 3`, tedy `x = 1{,}5` a bod `[1{,}5;\ 0]`. Směrnice `a = -2` je záporná, funkce je klesající.

−2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 x y y = −2x + 3 [0; 3] [1,5; 0]

Kontrola: všechny tři body `[0;\ 3]`, `[1{,}5;\ 0]` a `[2;\ {-1}]` leží na jedné přímce, na každý krok o 1 doprava klesne přímka o 2.

Příklad 2

Nakreslete graf funkce `y = x^2 - 4x + 3` a určete její obor hodnot.

Nejdřív vrchol, podle něj se volí tabulka:

`x_V = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2`
`y_V = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1`

Vrchol je `V[2;\ {-1}]`. Tabulku zvolíme souměrně kolem `x = 2`:

`x`01234
`y`30`-1`03
−1 1 2 3 4 5 −2 −1 1 2 3 4 5 x y y = x² − 4x + 3 V[2; −1]

Protože `a = 1 \gt 0`, je parabola otevřená nahoru a vrchol je nejnižší bod. Obor hodnot je `H(f) = \langle -1;\ \infty)`. Osu `x` protíná v `x = 1` a `x = 3`, osu `y` v `[0;\ 3]`.

Kontrola: hodnoty v tabulce jsou souměrné kolem vrcholu (3, 0, `-1`, 0, 3), a `x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)` má opravdu kořeny 1 a 3.

Příklad 3

Určete definiční obor a obor hodnot funkcí a) `y = \sqrt{x - 2} + 1`, b) `y = \dfrac{3}{x + 1}`.

a) Pod odmocninou nesmí být záporné číslo: `x - 2 \ge 0`, tedy `D(f) = \langle 2;\ \infty)`. Odmocnina je nejmenší, nula, pro `x = 2` a pak roste, takže `y \ge 0 + 1` a `H(f) = \langle 1;\ \infty)`. Graf je graf `\sqrt{x}` posunutý o 2 doprava a o 1 nahoru.

b) Jmenovatel nesmí být nula: `x \ne -1`, tedy `D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}`. Zlomek s čitatelem 3 nemůže být nula, ale každou jinou hodnotu nabude, takže `H(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}`. Graf je hyperbola `y = \dfrac{3}{x}` posunutá o 1 doleva.

Příklad 4

Leží body `A[-2;\ 5]` a `B[1;\ 1]` na grafu funkce `f(x) = 2x^2 - 3`?

Dosadíme souřadnici `x` a porovnáme vyšlé `y` se souřadnicí bodu:

`f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 - 3 = 8 - 3 = 5`
`f(1) = 2 \cdot 1^2 - 3 = -1 \ne 1`

Bod `A` na grafu leží, bod `B` ne (na grafu je bod `[1;\ {-1}]`). Pozor na `(-2)^2 = 4`: bez závorky by vyšlo `-2^2 = -4` a špatný výsledek.

Příklad 5: taxi

Taxi účtuje 60 Kč za nástup a 28 Kč za každý kilometr. Zapište cenu jako funkci ujeté vzdálenosti. Kolik stojí jízda na 10 km a kam dojedete za 480 Kč?

Cena `y` v korunách pro `x` kilometrů:

`y = 28x + 60`

Je to lineární funkce, směrnice 28 je cena kilometru a 60 průsečík s osou `y` (cena za nulovou jízdu). Pro 10 km: `y = 28 \cdot 10 + 60 = 340` Kč. Za 480 Kč: `480 = 28x + 60`, `28x = 420`, `x = 15` km.

Definiční obor tu není celé `\mathbb{R}`: záporná vzdálenost nedává smysl, takže `D(f) = \langle 0;\ \infty)` a grafem je jen polopřímka začínající v `[0;\ 60]`. Kontrola: 15 km po 28 Kč je 420 Kč, s nástupem 480 Kč.

Časté chyby

  • Záměna definičního oboru a oboru hodnot. `D(f)` je na ose `x` (co dosazuji), `H(f)` na ose `y` (co vychází).
  • Záporné číslo bez závorky. Do `x^2` se za `x = -3` dosazuje `(-3)^2 = 9`, ne `-3^2 = -9`. Parabola `y = x^2` pak vyjde souměrná, jak má.
  • Hyperbola spojená přes asymptotu. Body `[-1;\ {-4}]` a `[1;\ 4]` grafu `y = \dfrac{4}{x}` se nespojují, mezi nimi leží `x = 0`, kde funkce není definovaná. Graf má dvě oddělené větve.
  • Parabola z úseček. Body tabulky se u paraboly spojují hladkým obloukem a vrchol je zaoblený, ne špička. Špičku má jen graf absolutní hodnoty.
  • Záměna `x^2` a `2^x`. První je kvadratická funkce (parabola), druhá exponenciální. Pro `x = 3` vyjde 9 a 8, pro `x = 10` už 100 a 1 024.
  • Málo bodů. Z bodů `[-2;\ 4]` a `[2;\ 4]` paraboly `y = x^2` se nepozná, že mezi nimi klesá až k nule. Vždy si spočítejte vrchol.

Příklady k procvičení

1. Leží body `P[3;\ 7]` a `Q[-1;\ {-4}]` na grafu funkce `y = 3x - 2`?

2. Sestavte tabulku hodnot funkce `y = x^2 - 2` pro `x = -2, -1, 0, 1, 2`. Kde má parabola vrchol a jaký je obor hodnot?

3. Určete definiční obor funkcí a) `y = \dfrac{5}{x - 4}`, b) `y = \sqrt{6 - 2x}`, c) `y = \log(x + 5)`.

4. Kde protíná osy graf funkce `y = -3x + 6`? Je funkce rostoucí, nebo klesající?

5. Najděte vrchol a průsečíky s osou `x` paraboly `y = -x^2 + 2x + 3` a určete obor hodnot.

6. Šest malířů vymaluje školu za 8 dní. Za kolik dní ji vymalují 4 malíři, a za kolik 12? Zapište počet dní jako funkci počtu malířů. Jaký je její graf?

Kam dál