Asymptota funkce

Vydáno dne 31. 3. 2010 v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 161 306

Asymptota je přímka, jejíž vzdálenost od křivky/grafu funkce je menší pro x v krajních hodnotách.

Asymptota je přímka, ke které se graf funkce blíží. S rostoucími souřadnicemi se vzdálenost asymptoty a grafu zmenšuje. Na následujícím obrázku je graf funkce $f(x):\ y\ =\ \frac{1+x^2}{x}$ . Je tam také asymptota $f(x):\ y\ =\ x$ . Jak vidíte, graf funkce se k asymptotě stále více přibližuje a když by se x blížilo k nekonečnu tak by se vzdálenost stále zmenšovala, až by byla nekonečně malá.

Pokud si vzpomenete, jak vypadá graf funkce $f(x):\ y\ =\ \frac{1}{x}$ , možná si již uvědomíte, že tento graf má dvě asymptoty: $x\ =\ 0$ a $y\ =\ 0$ . Existují tedy dva druhy asymptot. Asymptoty se směrnicí a asymptoty bez směrnice. Asymptota se směrnicí má předpis $f(x):\ y\ =\ ax+b$ a asymptota bez směrnice má předpis $f(x):\ x=c$ .

Asymptota se směrnicí

Začneme tím, že si ukážeme, jak nalézt asymptotu se směrnicí.

Na předchozím obrázku je graf y=f(x) a jeho asymptota $y\ =\ ax\ +\ b$ . Vzdálenost bodů |ED| = d. Vzdálenost d můžeme vyjádřit pomocí jednoduchého vztahu: d = f(x) - (ax + b). My víme, že když $x\ \to\ \infty$ nebo $x\ \to\ -\infty$ , tak d = 0. To můžeme zapsat následovně.


popřípadě jako

Tím pádem platí ${\lim}\limits_{x \to \pm\infty}\left[\frac{f(x)-(ax+b)}{x}\right]\ =\ 0$ . Tento výraz můžeme rozložit na rozdíl tří limit:


Z tohoto výrazu již není problém vyjádřit a

Podobným způsobem vyjádříme b

Nyní se můžeme pokusit určit asymptotu funkce $f(x):\ y\ =\ \frac{1+x^2}{x}$ .


Tuto limitu jistě již snadno spočítáte a dojdete k výsledku a = 1

To, co jsme viděli na obrázku jsme si nyní také spočítali, asymptota má rovnici

Najděte asymptotu se směrnicí funkce $f(x):\ y\ =\ \frac{x^3\ +\ x}{x^2\ +\ x\ -\ 1}$ .



Asymptota má předpis

O tom, že náš výsledek je správný se můžete přesvědčit na následujícím obrázku.

Pokud se na graf dobře podíváte, uvidíte, že jsme zatím našli pouze jednu ze tří asymptot. Další dvě jsou tzv. asymptoty bez směrnice.

Asymptoty bez směrnice

Asymptota bez směrnice je přímka kolmá na osu x, má tedy obecný předpis $x\ =\ c,\ c\ \in\ \mathbb{R}$ . Takovým základním příkladem je graf $f(x):\ y\ =\ \frac{1}{x}$ . Ten má jednu asymptotu bez směrnice → x = 0.

Jestliže je funkce definována na nějakém intervalu $(a,\ b)\ \backslash\ \{c\}$ , pak přímka x = c se nazývá asymptotou bez směrnice právě tehdy, má-li funkce v bodě c alespoň jednu jednostrannou nevlastní limitu.

Funkce $f(x):\ y\ =\ \frac{1}{x}$ má v bodě x = 0 dokonce dvě jednostranné nevlastní limity a proto můžeme na základě předchozí definice říci, že x = 0 je asymptotou.

O několik řádků výše jsme počítali asymptotu se směrnicí funkce $f(x):\ y\ =\ \frac{x^3\ +\ x}{x^2\ +\ x\ -\ 1}$ a podle jejího grafu jsme zjistili, že funkce má i asymptoty bez směrnice. My se je nyní pokusíme spočítat. Nejprve musíme najít body, ve kterých funkce není definována. Budeme tedy hledat body, které vyhovují rovnici $x^2\ +\ x\ -\ 1 = 0$ . Jedná se o body $\frac{-1\ \pm\ \sqrt{5}}{2}$ (přibližně 0.62 a -1.62).

My není musíme určit jednostranné limity v těchto bodech.

Funkce má v daných bodech jednostranné nevlastní limity a proto můžeme říci, že v oněch bodech jsou asymptoty bez směrnice.

Asymptota funkce

Asymptota se směrnicí

Asymptoty bez směrnice

Test

Hlavolam