Příznivé lomeno všemi, ale jen u stejně možných výsledků

Klasická pravděpodobnost je zlomek: kolik výsledků je příznivých, lomeno kolik jich je celkem. Na kostce padne šestka s pravděpodobností 1/6, protože příznivý je jeden výsledek ze šesti.

Háček je v tom, že vzorec platí jen tehdy, když jsou všechny výsledky stejně možné. Součet na dvou kostkách může vyjít 2 až 12, tedy jedenáct hodnot, ale pravděpodobnost sedmičky není 1/11. Sedmička padne šesti způsoby (1 + 6, 2 + 5, …, 6 + 1), dvojka jediným. Stejně možných je 36 dvojic, ne 11 součtů, a proto je sedmička 6/36 = 1/6. Tahle chyba je v písemkách nejčastější ze všech.

Výsledek jako zlomek, ne jako 0,17

Ve škole se pravděpodobnost píše zlomkem a zaokrouhlené desetinné číslo většinou nestačí. Kalkulačky tady proto počítají se zlomky přesně a desetinné číslo i procenta z nich odvodí až nakonec. Kde se zaokrouhluje, stojí před číslem ≈.

Karty a kuličky: kombinace bez vracení

Když se táhne víc kusů najednou nebo postupně bez vracení, počítají se všechny výsledky jako kombinace, protože na pořadí nezáleží. Ze 32 mariášových karet jde vybrat 4 karty C(32;4) = 35 960 způsoby. Příznivé výběry se skládají ze dvou voleb: které hledané karty a které ostatní. Obě se spočítají kombinačním číslem a vynásobí. Kombinační čísla samotná spočítá kalkulačka kombinatoriky.

Hodí se vědět, že je jedno, jestli se táhne najednou, nebo postupně bez vracení. Obojí vyjde stejně. Jiné je to jen tehdy, když se každý kus po tahu vrací zpátky.

Aspoň jednou se počítá přes opačný jev

Kdo počítá, že při čtyřech hodech padne šestka s pravděpodobností 4 · 1/6 = 2/3, udělal chybu. Při šesti hodech by mu stejnou úvahou vyšla jistota, a to zjevně neplatí. Počítá se obráceně: šestka nepadne ani jednou s pravděpodobností (5/6)⁴ = 625/1296, takže aspoň jednou padne s pravděpodobností 1 - 625/1296 = 671/1296, tedy o kousek víc než polovina.

Opačný jev pomůže pokaždé, když zadání obsahuje „aspoň jeden“ nebo „aspoň jednou“. Opačná možnost je jen jedna, zatímco sčítat by se muselo mnoho případů.

Nezávislé jevy se násobí

Jevy jsou nezávislé, když výsledek jednoho nemění šance druhého. Dva hody mincí nebo dva střelci, kteří střílí každý na svůj terč. Že nastanou oba, má pak pravděpodobnost P(A) · P(B). Že nastane aspoň jeden, je P(A) + P(B) - P(A) · P(B). Součin se odečítá proto, že případ „oba“ je v součtu započítaný dvakrát.

U tahání bez vracení jevy nezávislé nejsou. První tah mění, co v osudí zůstane, a násobit dvě původní pravděpodobnosti by bylo špatně.

Binomické rozdělení

Když se stejný pokus opakuje n-krát a pokaždé se podaří se stejnou pravděpodobností p, je pravděpodobnost právě k úspěchů C(n;k) · pᵏ · (1 - p)ⁿ⁻ᵏ. Mocniny udávají pravděpodobnost jednoho konkrétního pořadí úspěchů a neúspěchů. Kombinační číslo říká, kolik takových pořadí existuje. Pro „aspoň k“ nebo „nejvýš k“ se tyto členy sčítají, a když je jich na druhé straně méně, počítá se zase přes opačný jev.