Objem vody v bazénu spočítáte jako plochu hladiny krát hloubku vody. U obdélníkového bazénu je to délka krát šířka krát hloubka, u kruhového plocha kruhu krát hloubka. Když rozměry dosadíte v metrech, vyjde objem v metrech krychlových, a protože `1\ \mathrm{m^3}=1\,000` litrů, stačí výsledek vynásobit tisícem.

`\begin{gathered}V=d\cdot s\cdot h\\[10pt]V=\dfrac{\pi\cdot D^2}{4}\cdot h\end{gathered}`

První vzorec platí pro obdélníkový bazén (`d` délka, `s` šířka), druhý pro kruhový (`D` průměr). V obou je `h` hloubka vody, ne výška stěny bazénu. Rovnou to spočítá kalkulačka objem bazénu v litrech a pro nadzemní bazény objem kruhového bazénu, obě i s postupem.

Vzorce pro objem bazénu podle tvaru

Bazén je z pohledu geometrie hranol nebo válec: jeho podstavou je hladina a výškou hloubka vody. Proto je objem vždy plocha hladiny krát hloubka (u svažujícího se dna průměrná hloubka) a liší se jen tím, jak spočítat plochu hladiny.

Tvar bazénuPlocha hladiny `S`Objem `V`
obdélník (kvádr)`d\cdot s``d\cdot s\cdot h`
kruh (válec)`\dfrac{\pi D^2}{4}=\pi r^2``\dfrac{\pi D^2}{4}\cdot h`
ovál (obdélník a dva půlkruhy)`(d-s)\cdot s+\dfrac{\pi s^2}{4}``S\cdot h`
se svažujícím se dnem`d\cdot s``d\cdot s\cdot\dfrac{h_1+h_2}{2}`

Když se úloha ptá na obsah bazénu, myslí se tím skoro vždy objem, tedy kolik vody se do bazénu vejde. Obsah v přísném smyslu (v m²) je plocha hladiny nebo plocha stěn, kterou potřebujete třeba na fólii.

Litry, hektolitry a metry krychlové

Objem z rozměrů v metrech vychází v m³. Pro převod na litry si stačí pamatovat, že litr je decimetr krychlový:

Jednotkav litrech
`1\ \mathrm{m^3}``1\,000\ \mathrm{l}`
`1\ \mathrm{hl}``100\ \mathrm{l}`
`1\ \mathrm{dm^3}``1\ \mathrm{l}`
`1\ \mathrm{cm^3}``0{,}001\ \mathrm{l}=1\ \mathrm{ml}`

Takže `1\ \mathrm{m^3}=10\ \mathrm{hl}`. Litr vody váží přibližně jeden kilogram, metr krychlový vody tedy zhruba tunu. Ostatní převody udělá převod jednotek objemu.

Objem obdélníkového bazénu

Příklad 1

Zapuštěný bazén má rozměry `8\ \mathrm{m}\times 4\ \mathrm{m}` a voda v něm stojí do výšky 1,4 m. Kolik litrů vody v něm je?

`\begin{gathered}V=d\cdot s\cdot h=8\cdot 4\cdot 1{,}4\\[4pt]V=44{,}8\ \mathrm{m^3}=44\,800\ \mathrm{l}\end{gathered}`

Kontrola: plocha hladiny je `32\ \mathrm{m^2}` a každý centimetr hloubky na ní dělá 320 litrů. Ve 140 centimetrech je to `140\cdot 320=44\,800` litrů, souhlasí. Voda v bazénu váží asi 45 tun. Stejný výpočet pro jakýkoli kvádr najdete v kalkulačce kvádr.

Objem kruhového bazénu

Kruhový nadzemní bazén je válec. Prodává se podle průměru a výšky stěny, třeba 366 × 91 cm, ale voda se napouští o něco níž, než je horní okraj.

Příklad 2

Bazén o průměru 3,66 m je napuštěný do výšky 80 cm. Kolik je v něm vody?

`\begin{gathered}S=\dfrac{\pi\cdot 3{,}66^2}{4}\doteq 10{,}52\ \mathrm{m^2}\\[10pt]V=S\cdot h\doteq 10{,}52\cdot 0{,}8\\[4pt]V\doteq 8{,}42\ \mathrm{m^3}\doteq 8\,420\ \mathrm{l}\end{gathered}`

Totéž přes poloměr: `r=1{,}83\ \mathrm{m}` a `V=\pi\cdot 1{,}83^2\cdot 0{,}8\doteq 8{,}42\ \mathrm{m^3}`. Kontrola odhadem: čtverec o straně 3,66 m by měl plochu asi `13{,}4\ \mathrm{m^2}` a kruh do něj vepsaný zabírá zhruba tři čtvrtiny (přesně `\pi/4\doteq 0{,}785`), tedy kolem `10{,}5\ \mathrm{m^2}`. Vzorec pro válec obecně: kalkulačka válec.

Bazén se svažujícím se dnem

Má-li bazén na jednom konci mělčí a na druhém hlubší vodu a dno mezi nimi klesá rovnoměrně, je podélný řez lichoběžník. Objem pak spočítáte s průměrnou hloubkou: aritmetický průměr hloubek na obou koncích.

1,0 m1,8mprůměr 1,4 m10 mhladina

Proč to platí: co na hlubší polovině přebývá nad průměrnou hloubkou, to na mělčí polovině chybí, a obě části jsou stejně velké trojúhelníky. Je to stejná úvaha jako u vzorce pro obsah lichoběžníku.

Příklad 3

Bazén je dlouhý 10 m a široký 5 m, na mělkém konci je voda hluboká 1,0 m a na hlubokém 1,8 m. Jaký je objem vody?

`\begin{gathered}h=\dfrac{1{,}0+1{,}8}{2}=1{,}4\ \mathrm{m}\\[10pt]V=10\cdot 5\cdot 1{,}4=70\ \mathrm{m^3}\end{gathered}`

Tedy 70 000 litrů. Kontrola: plocha lichoběžníku v řezu je `\frac{1{,}0+1{,}8}{2}\cdot 10=14\ \mathrm{m^2}` a krát šířka 5 m dává opět `70\ \mathrm{m^3}`. Pozor, průměr dvou hloubek funguje jen pro dno, které klesá rovnoměrně od jednoho konce ke druhému. Má-li bazén rovnou mělkou část a pak schod nebo prudký sráz, rozdělte ho na části a sečtěte je.

Oválný bazén

Oválné bazény se většinou skládají z obdélníku uprostřed a dvou půlkruhů na koncích. Půlkruhy mají průměr rovný šířce bazénu a dohromady dávají jeden celý kruh. Obdélník uprostřed je dlouhý `d-s`.

1,8 mpůlkruhpůlkruh5,5 m3,7 m

Příklad 4

Oválný bazén má rozměry `5{,}5\ \mathrm{m}\times 3{,}7\ \mathrm{m}` a voda je hluboká 1,1 m. Kolik vody pojme?

`\begin{gathered}S=(5{,}5-3{,}7)\cdot 3{,}7+\dfrac{\pi\cdot 3{,}7^2}{4}\\[10pt]S\doteq 6{,}66+10{,}75=17{,}41\ \mathrm{m^2}\\[10pt]V\doteq 17{,}41\cdot 1{,}1\doteq 19{,}15\ \mathrm{m^3}\end{gathered}`

Zhruba 19 150 litrů. Kdyby byl tvar skutečná elipsa s osami 5,5 a 3,7 m, byla by plocha jen `\frac{\pi\cdot 5{,}5\cdot 3{,}7}{4}\doteq 15{,}98\ \mathrm{m^2}` a vody asi o 1,6 m³ méně. Podívejte se proto, jestli má bazén rovné boky.

Jak dlouho se bazén napouští a kolik to stojí

Doba napouštění je objem dělený průtokem. Zahradní hadice dává podle tlaku v řadu zhruba 10 až 20 litrů za minutu. Svůj průtok změříte snadno: stopněte, za jak dlouho se naplní kbelík o známém objemu.

Příklad 5

Bazén z příkladu 1 (44 800 l) napouštíme hadicí s průtokem 15 litrů za minutu. Jak dlouho to potrvá a kolik zaplatíme za vodu, stojí-li vodné a stočné 120 Kč za m³?

`\begin{gathered}t=\dfrac{44\,800}{15}\doteq 2\,987\ \mathrm{min}\doteq 49{,}8\ \mathrm{h}\\[10pt]44{,}8\cdot 120=5\,376\ \mathrm{Kč}\end{gathered}`

Napouštění zabere přes dva dny. Cenu za kubík najdete na vyúčtování od vodáren, 120 Kč je jen ilustrační číslo. Kolik pak stojí vodu v bazénu ohřát, spočítá cena ohřevu vody.

Slovní úloha: voda ze dvou rour

Ve škole se bazén často objevuje v úlohách na soustavu rovnic. Tohle je typický příklad.

Příklad 6

Do bazénu nateče rourou R za 3 hodiny a rourou S za 4 hodiny celkem 2 150 hl vody. Rourou R za 4 hodiny a rourou S za 2 hodiny by nateklo 1 700 hl vody. Kolik hektolitrů vody nateče rourou R a kolik rourou S za 1 hodinu?

Označíme `a` počet hektolitrů, které za hodinu nateče rourou R, a `b` počet hektolitrů za hodinu rourou S. Za 3 hodiny nateče rourou R `3a` hektolitrů, rourou S za 4 hodiny `4b`, a podobně pro druhou situaci:

`\begin{gathered}3a+4b=2\,150\\[4pt]4a+2b=1\,700\end{gathered}`

Řešíme sčítací metodou. Druhou rovnici vynásobíme dvěma, aby u `b` byl stejný koeficient jako v první, a první rovnici od ní odečteme:

`\begin{gathered}8a+4b=3\,400\\[4pt]5a=1\,250\\[4pt]a=250\end{gathered}`

Dosadíme do první rovnice:

`\begin{gathered}3\cdot 250+4b=2\,150\\[4pt]4b=1\,400\\[4pt]b=350\end{gathered}`

Zkouška v obou rovnicích: `3\cdot 250+4\cdot 350=750+1\,400=2\,150` a `4\cdot 250+2\cdot 350=1\,000+700=1\,700`. Obě sedí.

Odpověď: rourou R nateče za hodinu 250 hl vody, rourou S 350 hl.

Když pustíme obě roury najednou, nateče za hodinu `250+350=600` hl. Bazén o objemu 4 800 hl (tedy `480\ \mathrm{m^3}`) by se naplnil za `4\,800:600=8` hodin. Úlohy, kde se roury nebo dělníci střídají, rozebírá článek Slovní úloha na společnou práci. Soustavu si můžete ověřit kalkulačkou soustava dvou rovnic a natrénovat v příkladech na soustavy rovnic.

Časté chyby

  • Výška stěny místo hloubky vody. Bazén 366 × 91 cm napuštěný do 80 cm má o `10{,}52\cdot 0{,}11\doteq 1{,}16\ \mathrm{m^3}` méně vody, než kolik vyjde s 91 cm. To je přes tisíc litrů, a třeba bazénová chemie se dávkuje na skutečný objem.
  • Průměr místo poloměru. `\pi r^2` nebo `\frac{\pi D^2}{4}`, nikdy `\pi D^2`. S průměrem dosazeným do `\pi r^2` vyjde objem čtyřikrát větší.
  • Míchání centimetrů a metrů. Buď všechno v metrech (výsledek v m³), nebo všechno v centimetrech (výsledek v cm³, pak dělit tisícem na litry). Bazén z příkladu 2 v centimetrech: `\frac{\pi\cdot 366^2}{4}\cdot 80\doteq 8\,416\,700\ \mathrm{cm^3}\doteq 8\,417\ \mathrm{l}`, po zaokrouhlení stejných 8 420 litrů jako v metrech.
  • 1 m³ není 100 litrů. Je to 1 000 litrů, tedy 10 hl. Metr je deset decimetrů a krychle má tři rozměry: `10\cdot 10\cdot 10=1\,000`.
  • Průměrná hloubka u nepravidelného dna. Průměr hloubek na koncích platí, jen když dno klesá rovnoměrně. Jinak bazén rozdělte na části.

Příklady k procvičení

1. Dětský bazén má rozměry 4 × 2,5 m a voda v něm je hluboká 1,2 m. Kolik litrů vody obsahuje?

2. Kruhový nadzemní bazén má průměr 4,57 m a je napuštěný do výšky 1 m. Kolik je v něm vody?

3. Bazén 12 × 6 m má na mělkém konci vodu hlubokou 1,0 m a na hlubokém 2,2 m, dno klesá rovnoměrně. Kolik hektolitrů vody v něm je?

4. Bazén z úlohy 1 (12 000 l) napouštíme hadicí, ze které teče 20 litrů za minutu. Za jak dlouho bude plný?

5. V bazénu 8 × 4 m klesla hladina za horký týden o 5 cm. Kolik litrů vody se odpařilo?

6. Rourou A za 2 hodiny a rourou B za 3 hodiny nateče do nádrže 1 300 hl vody. Rourou A za 3 hodiny a rourou B za 1 hodinu nateče 900 hl. Kolik hektolitrů za hodinu dává každá roura a za jak dlouho naplní obě společně nádrž o objemu 2 000 hl?

Další tělesa a jejich objemy si můžete procvičit v objemu a povrchu těles.

Kam dál