Úlohy na společnou práci se řeší přes to, kolik práce udělá každý za jednotku času. Kdo celou práci zvládne za 12 hodin, udělá za hodinu `\frac{1}{12}` práce; kdo ji zvládne za 15 hodin, udělá za hodinu `\frac{1}{15}`. Když pracují spolu, tyto díly se sčítají, a za x hodin musí dohromady udělat celou práci, tedy 1:

`\displaystyle\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1`

Tady a a b jsou doby, za které by práci udělal každý sám. Sčítají se tedy díly práce, nikdy ne samotné časy. Společně je práce hotová vždycky rychleji, než by ji zvládl i ten rychlejší sám. Pozor na rozdíl od úloh, kde pracují stejně rychlí dělníci a ptáme se, jak dlouho jim to bude trvat, když jich bude víc nebo míň: to je nepřímá úměra a počítá se součinem, bez rovnice.

Níže je postup na řešeném příkladu s čerpadly, řešení bez rovnice pomocí nejmenšího společného násobku, vzorec pro dva i více pracovníků, úlohy s přítokem a odtokem, s pracovníkem, který začne později, a s neznámým časem jednoho z nich, srovnání s nepřímou úměrou, časté chyby a šest příkladů k procvičení s řešením.

Postup řešení

  1. Celá práce je 1. Napuštění nádrže, natření plotu, vytištění zakázky: ať je práce jakákoli, počítáme ji jako jeden celek.
  2. Kolik udělá každý za jednotku času. Kdo práci zvládne za a hodin, udělá za hodinu `\frac{1}{a}`, za x hodin `\frac{x}{a}`.
  3. Sestavit rovnici. Součet toho, co udělají všichni, se rovná 1.
  4. Vyřešit a zkontrolovat. Rovnici vynásobíme společným jmenovatelem a výsledek porovnáme se zadáním: když všichni pracují od začátku a nikdo práci nekazí, musí vyjít kratší, než je doba nejrychlejšího pracovníka.

Pomáhá si údaje zapsat do tabulky. Řádek má každý pracovník, sloupce jsou doba, za kterou by to zvládl sám, kolik udělá za hodinu a kolik za x hodin.

Příklad 1: dvě čerpadla

Nádrž naplní větší čerpadlo za 12 hodin, menší za 15 hodin. Za jak dlouho se nádrž naplní, když zapneme obě čerpadla současně?

sám zaza 1 hodinuza x hodin
větší čerpadlo12 h`\dfrac{1}{12}``\dfrac{x}{12}`
menší čerpadlo15 h`\dfrac{1}{15}``\dfrac{x}{15}`

Za x hodin naplní obě čerpadla dohromady celou nádrž:

`\displaystyle\frac{x}{12} + \frac{x}{15} = 1`

Společný jmenovatel 12 a 15 je 60. Celou rovnici jím vynásobíme a zlomky zmizí:

`5x + 4x = 60`
`9x = 60`
`x = \dfrac{60}{9} = \dfrac{20}{3} = 6\dfrac{2}{3}\ \mathrm{h}`

Dvě třetiny hodiny jsou `\frac{2}{3} \cdot 60 = 40` minut. Nádrž se naplní za 6 hodin a 40 minut.

Kontrola: za `\frac{20}{3}` hodiny naplní větší čerpadlo `\frac{20}{3} : 12 = \frac{5}{9}` nádrže a menší `\frac{20}{3} : 15 = \frac{4}{9}`, dohromady `\frac{9}{9}`, tedy celou. A odhad: kdyby obě čerpadla byla tak rychlá jako to větší, trvalo by to polovinu z 12, tedy 6 hodin; kdyby obě byla tak pomalá jako to menší, polovinu z 15, tedy 7,5 hodiny. Výsledek 6 h 40 min leží mezi tím, jak má.

Řešení bez rovnice: nádrž rozdělená na díly

Stejnou úlohu jde vyřešit úvahou, bez neznámé. Nádrž si rozdělíme na tolik stejných dílů, aby se daly dělit oběma časy, tedy na nejmenší společný násobek čísel 12 a 15, což je 60. Větší čerpadlo napustí 60 dílů za 12 hodin, za hodinu tedy 5 dílů. Menší napustí 60 dílů za 15 hodin, za hodinu 4 díly. Spolu napustí za hodinu 9 dílů.

1 h2 h3 h4 h5 h6 h+40 minvětší čerpadlo: 5 dílů za hodinumenší: 4 dílyzbývá 6 dílů

Za 6 hodin je napuštěno 6 · 9 = 54 dílů a zbývá 6. Na ně stačí `\frac{6}{9} = \frac{2}{3}` hodiny, tedy 40 minut. Celkem 6 hodin 40 minut, stejně jako rovnicí. Tahle úvaha je vlastně ta samá rovnice, jen vynásobená šedesáti předem; mladším žákům ale bývá jasnější, protože pracuje s celými díly místo zlomků.

Vzorec pro dva i více pracovníků

Když rovnici `\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1` vyřešíme obecně, dostaneme vzorec pro dva pracovníky:

`t = \dfrac{a \cdot b}{a + b}`

Pro čerpadla z příkladu 1 je to `\frac{12 \cdot 15}{12 + 15} = \frac{180}{27} = \frac{20}{3}` hodiny. Vzorec se hodí na kontrolu, ale ve škole se obvykle chce vidět rovnice, a ta funguje i tam, kde vzorec ne (přítok a odtok, pozdní začátek).

Pro tři a více pracovníků se vzorec nedá takhle jednoduše rozšířit. Platí ale, že za jednotku času se jejich díly sečtou:

`\dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}`

Pro zvídavé: společná doba je jejich harmonický průměr vydělený počtem pracovníků. Pro 12 a 15 hodin vyjde harmonický průměr 13,33 hodiny, polovina z toho je 6,67 hodiny, tedy opět 6 h 40 min.

Příklad 2: tři malíři

Byt vymaluje první malíř za 4 dny, druhý za 6 dní a třetí za 12 dní. Za kolik dní ho vymalují všichni tři společně?

`\displaystyle\frac{x}{4} + \frac{x}{6} + \frac{x}{12} = 1`

Po vynásobení dvanácti: 3x + 2x + x = 12, tedy 6x = 12 a x = 2. Byt vymalují za 2 dny.

Kontrola: za 2 dny udělá první polovinu bytu, druhý třetinu a třetí šestinu: `\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1`. A 2 dny jsou méně než 4 dny nejrychlejšího malíře.

Rychlá tabulka pro dva pracovníky

Několik dvojic, na kterých je vidět, jak se společná doba chová. Když jsou oba stejně rychlí, trvá to přesně polovinu. Když je jeden mnohem pomalejší, pomůže jen málo.

první sámdruhý sámoba společně
6 h6 h3 h
3 h6 h2 h
4 h12 h3 h
6 h12 h4 h
10 h15 h6 h
12 h15 h6 h 40 min
20 h30 h12 h
2 h18 h1 h 48 min

Napouštění a vypouštění: přítok a odtok

Když jeden práci dělá a druhý ji kazí (přítok napouští, výpusť vypouští), jeho díl se odečítá.

Příklad 3: bazén s otevřenou výpustí

Přívod napustí bazén za 6 hodin, výpusť ho vypustí za 9 hodin. Někdo zapomněl výpusť zavřít. Za jak dlouho se prázdný bazén napustí?

`\displaystyle\frac{x}{6} - \frac{x}{9} = 1`

Společný jmenovatel je 18: 3x − 2x = 18, x = 18. Bazén se napustí za 18 hodin, třikrát déle, než kdyby výpusť byla zavřená.

Kontrola: za 18 hodin přiteče `\frac{18}{6} = 3` bazény vody a odteče `\frac{18}{9} = 2` bazény, zůstane jeden. Výsledek musí být delší než 6 hodin, jinak výpusť vodu přidává. A kdyby výpusť byla rychlejší než přívod, rovnice by dala záporné x: bazén by se nenapustil nikdy.

Když jeden začne později

Pracovník, který přijde později, pracuje kratší dobu. Za x se proto vezme celková doba toho, kdo začal první, a pozdějšímu se zpoždění odečte.

Příklad 4: plot

Petr natře plot sám za 6 hodin, Jana za 4 hodiny. Petr začne sám a po hodině se k němu přidá Jana. Za jak dlouho od začátku bude plot natřený?

Petr pracuje x hodin, Jana x − 1 hodin:

`\displaystyle\frac{x}{6} + \frac{x - 1}{4} = 1`

Po vynásobení dvanácti: 2x + 3(x − 1) = 12, tedy 5x − 3 = 12, 5x = 15 a x = 3. Plot je natřený 3 hodiny od začátku, Jana natírala 2 hodiny.

Kontrola: Petr za 3 hodiny natře `\frac{3}{6} = \frac{1}{2}` plotu, Jana za 2 hodiny `\frac{2}{4} = \frac{1}{2}`, dohromady celý plot. Úvahou bez rovnice: za první hodinu Petr natře šestinu, zbývá `\frac{5}{6}`. Spolu natřou za hodinu `\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}`, takže zbytek jim zabere `\frac{5}{6} : \frac{5}{12} = 2` hodiny. Další úloha tohoto typu, s přívody vody a minutami, je v článku Společná práce, když jeden začne později.

Když neznáme čas jednoho z nich

Úloha jde i obráceně: víme, jak dlouho to trvá oběma spolu a jednomu samotnému, a hledáme, jak dlouho by to trvalo druhému.

Příklad 5: kombajny

Dva kombajny sklidí pole společně za 4 hodiny. První by ho sám sklidil za 6 hodin. Za jak dlouho by pole sklidil druhý kombajn sám?

Za hodinu sklidí oba spolu `\frac{1}{4}` pole, první z toho `\frac{1}{6}`. Na druhý zbývá

`\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{12}`

pole za hodinu, takže sám by ho sklidil za 12 hodin. Rovnicí: `\frac{4}{6} + \frac{4}{y} = 1`, kde y je hledaná doba; vyjde totéž. Kontrola: za 4 hodiny sklidí první `\frac{2}{3}` pole a druhý `\frac{1}{3}`.

Příklad 6: o kolik pomalejší (pro střední školu)

Dvě čerpadla napustí nádrž společně za 6 hodin. Menší čerpadlo by samo potřebovalo o 5 hodin víc než větší. Za jak dlouho by nádrž napustilo každé samo?

Větší čerpadlo potřebuje x hodin, menší x + 5. Za 6 hodin udělají dohromady celou práci:

`\displaystyle\frac{6}{x} + \frac{6}{x + 5} = 1`

Vynásobíme výrazem x(x + 5), který je pro kladné x nenulový:

`6(x + 5) + 6x = x(x + 5)`
`12x + 30 = x^2 + 5x`
`x^2 - 7x - 30 = 0`
`(x - 10)(x + 3) = 0`

Kořen −3 nemá smysl, čas nemůže být záporný. Větší čerpadlo potřebuje 10 hodin, menší 15 hodin. Kontrola: `\frac{6}{10} + \frac{6}{15} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1`. Jak se řeší kvadratická rovnice, popisuje článek Kvadratická rovnice, výsledek ověří kalkulačka kvadratické rovnice.

Společná práce, nebo nepřímá úměra?

Když pracují stejně rychlí pracovníci a mění se jen jejich počet, nemusí se sestavovat rovnice. Je to nepřímá úměra: dvakrát víc pracovníků to zvládne za poloviční dobu, a součin počtu pracovníků a doby zůstává stejný.

Tři bagry vykopou jámu za 8 dní. Za jak dlouho ji vykopou čtyři? Práce je 3 · 8 = 24 „bagrodní“, a ty si čtyři bagry rozdělí: 24 : 4 = 6 dní. Totéž přes společnou práci: jeden bagr udělá za den `\frac{1}{24}` jámy, čtyři bagry `\frac{4}{24} = \frac{1}{6}`, takže 6 dní. Obě cesty se shodnou, protože nepřímá úměra je jen zvláštní případ společné práce, kde jsou všichni stejně rychlí. Zkusit si to můžete na kalkulačce nepřímé úměry, a poznávat, kdy je úměra přímá a kdy nepřímá, v procvičování Úměra a poměr.

Jakmile má každý pracovník jinou rychlost (čerpadla, malíři, kombajny z příkladů výše), nepřímá úměra nestačí a díly práce se musí sečíst. Podobně se ostatně počítají i dva protijedoucí vlaky nebo letadla: sčítají se jejich rychlosti, tedy kolik vzdálenosti „ujedou“ dohromady za hodinu.

Časté chyby

  • Sečíst časy. 12 + 15 = 27 hodin je delší, než by to trvalo každému čerpadlu samotnému, a to nedává smysl: dvě čerpadla nemohou být pomalejší než jedno. Sčítají se díly práce za hodinu, ne doby.
  • Vzít průměr. Průměr 13,5 hodiny je také delší než 12. A ani polovina průměru, 6,75 hodiny (6 h 45 min), není správně, i když je blízko: přesně vyjde jen tehdy, když jsou oba stejně rychlí. Správně je 6 h 40 min.
  • Špatný převod na minuty. 6,66 hodiny není 6 hodin a 66 minut. Desetinnou část je třeba vynásobit šedesáti, a nejlépe přesným zlomkem: `\frac{2}{3} \cdot 60 = 40` minut. Zaokrouhlené 0,66 · 60 dá 39,6 minuty a zbytečně se pak dorovnává.
  • Plus u odtoku. Kdo do příkladu 3 dosadí `\frac{x}{6} + \frac{x}{9} = 1`, dostane 3,6 hodiny, méně než samotný přívod. Výpusť by tak bazén napouštěla, což je nesmysl. Co práci kazí, se odečítá.
  • Zpoždění u špatného pracovníka. V příkladu 4 pracuje kratší dobu Jana, která přišla později, takže x − 1 patří k ní. A pozor, na co se úloha ptá: 3 hodiny od začátku, ale spolu natírali jen 2 hodiny.
  • Zapomenutá kontrola. Když všichni pracují od začátku a nikdo práci nekazí, musí výsledek vyjít kratší než doba nejrychlejšího pracovníka. U přítoku s otevřenou výpustí je to naopak: déle, než by napouštěl samotný přítok. Když výsledek tomu neodpovídá, je chyba v rovnici.

Příklady k procvičení

1. Pole zorá první traktor za 8 hodin, druhý za 24 hodin. Za jak dlouho ho zorají společně?

2. Zedník postaví zeď za 6 hodin. Učeň je dvakrát pomalejší. Za jak dlouho postaví zeď spolu?

3. Vanu napustí první kohoutek za 10 minut, druhý za 15 minut a třetí za 30 minut. Za jak dlouho se napustí, když pustíme všechny tři?

4. Přívod napustí nádrž za 4 hodiny, výpusť ji vypustí za 12 hodin. Za jak dlouho se prázdná nádrž napustí, když je výpusť otevřená?

5. Dvě firmy by zakázku zvládly společně za 10 dní. První firma by ji sama dělala 15 dní. Kolik dní by ji dělala druhá firma sama?

6. Tiskárna A vytiskne zakázku za 9 hodin, tiskárna B za 6 hodin. Nejdřív tiskne 2 hodiny jen tiskárna A, pak se přidá B. Za jak dlouho od začátku je zakázka hotová?

Rovnice, které z těchto úloh vycházejí, jsou obyčejné lineární rovnice se zlomky. Kdo s nimi zápasí víc než s úlohou samotnou, najde postup v článku Lineární rovnice a početní trénink v příkladech na lineární rovnice.

Kam dál