Příklady ze stereometrie se skoro vždy řeší stejně: v tělese najdete pravoúhlý trojúhelník, z něj Pythagorovou větou dopočítáte chybějící rozměr (poloměr, výšku, stranu) a ten dosadíte do vzorce pro objem nebo povrch. Ze vzorců stačí znát dva základní: hranol a válec mají objem obsah podstavy krát výška, jehlan a kužel přesně třetinu toho.

`\begin{gathered}V_{\text{hranol, válec}} = S_p \cdot v \\[10pt] V_{\text{jehlan, kužel}} = \dfrac{1}{3}\, S_p \cdot v\end{gathered}`

Níže je tabulka vzorců pro všechna běžná tělesa, postup řešení ve čtyřech krocích a devět řešených příkladů: barel na vodě, koule ponořená do nádoby, plášť kužele a jeho rozvinutí, kornout z půlkruhu, tělesa vepsaná do krychle, šestiboký hranol, bazén a přetavení koule na kužel. Na konci jsou časté chyby a příklady k procvičení s řešením.

Vzorce pro objem a povrch těles

V tabulce jsou `a, b, c` délky hran, `r` poloměr, `v` výška tělesa, `s` strana kužele, `S_p` obsah podstavy a `S_{pl}` obsah pláště.

TělesoObjemPovrch
krychle`V = a^3``S = 6a^2`
kvádr`V = abc``S = 2(ab + bc + ac)`
hranol`V = S_p \cdot v``S = 2S_p + S_{pl}`
válec`V = \pi r^2 v``S = 2\pi r(r + v)`
jehlan`V = \dfrac{1}{3} S_p \cdot v``S = S_p + S_{pl}`
kužel`V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 v``S = \pi r(r + s)`
koule`V = \dfrac{4}{3}\pi r^3``S = 4\pi r^2`

Plášť válce je obdélník `2\pi r \times v`, plášť kužele kruhová výseč s obsahem `\pi r s` (odvození je níže) a plášť hranolu nebo jehlanu tvoří jeho boční stěny.

Každé těleso si můžete spočítat i v kalkulačkách objemu a povrchu těles, které vypíšou celý postup.

Jak řešit příklady ze stereometrie

  1. Náčrt. Nakreslete těleso a vyznačte, co znáte a co hledáte.
  2. Rovinný řez. Najděte řez, ve kterém leží hledaný rozměr: u válce a koule kruh, u kužele osový řez (rovnoramenný trojúhelník), u jehlanu trojúhelník z výšky tělesa, výšky boční stěny a vzdálenosti středu podstavy od podstavné hrany (u čtyřbokého jehlanu je to polovina hrany).
  3. Pravoúhlý trojúhelník. Chybějící rozměr dopočítejte Pythagorovou větou nebo goniometrickými funkcemi.
  4. Vzorec a kontrola. Dosaďte ve stejných jednotkách a zkontrolujte, zda výsledek dává smysl (objem barelu ve stovkách litrů, ne v tisících).

Válec

Příklad 1: barel na vodě

Válcový barel dlouhý 1 m plave na boku ve vodě. Nad hladinu vyčnívá 10 cm a v rovině hladiny je barel široký 40 cm. Jaký je objem barelu?

SPQOR2010rr − 10hladina

Příčný řez barelem je kruh se středem S. Hladina ho protíná v tětivě OQ dlouhé 40 cm. Kolmice ze středu na tětivu ji půlí, takže `|PQ| = 20` cm. Nejvyšší bod R je 10 cm nad hladinou, proto `|SP| = r - 10`. V pravoúhlém trojúhelníku SPQ je přeponou poloměr `|SQ| = r`:

`\begin{gathered}r^2 = 20^2 + (r - 10)^2 \\[6pt] r^2 = 400 + r^2 - 20r + 100 \\[6pt] 20r = 500 \\[6pt] r = 25\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Délku převedeme na centimetry (1 m = 100 cm) a dosadíme do vzorce pro objem válce:

`\begin{aligned} V &= \pi r^2 v = \pi \cdot 25^2 \cdot 100 \\[6pt] &= 62\,500\pi \doteq 196\,350\ \mathrm{cm^3} \end{aligned}`

Barel má objem asi 196 litrů (`1\ \mathrm{dm^3} = 1\ \mathrm{l}`). Kontrola: barel o průměru 50 cm a délce 1 m je zhruba velký jako běžný 200litrový sud. Výpočet si můžete ověřit v kalkulačce válce.

Příklad 2: o kolik stoupne hladina

Ve válcové nádobě o průměru 20 cm je voda do výšky 15 cm. Na dno položíme kovovou kouli o poloměru 6 cm. O kolik centimetrů stoupne hladina?

Δh15 cmrd = 20 cm

Koule vytlačí vodu o svém objemu a ta se rozprostře po celém dně nádoby. Objem vody nad původní hladinou je válec s podstavou nádoby `(r = 10\ \mathrm{cm})` a výškou `\Delta h`:

`\begin{gathered}V_{\text{koule}} = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = 288\pi\ \mathrm{cm^3} \\[10pt] \pi \cdot 10^2 \cdot \Delta h = 288\pi \\[10pt] \Delta h = \dfrac{288}{100} = 2{,}88\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Hladina stoupne o 2,88 cm, na 17,88 cm. To je víc než průměr koule (12 cm), takže je koule celá pod vodou a počítat s celým jejím objemem bylo správně. Kontrola: koule má necelý litr (asi 905 cm³) a dno nádoby asi 314 cm², litr by hladinu zvedl zhruba o 3 cm.

Kužel a plášť kužele

Výška `v`, poloměr podstavy `r` a strana `s` tvoří pravoúhlý trojúhelník se stranou jako přeponou. Plášť kužele je po rozvinutí kruhová výseč o poloměru `s`, jejíž oblouk má délku obvodu podstavy `2\pi r`.

vrskuželαsoblouk = 2πrrozvinutý plášť

Výseč je takovou částí celého kruhu o poloměru `s`, jakou částí jeho obvodu `2\pi s` je oblouk `2\pi r`, tedy `\dfrac{r}{s}`. Odtud středový úhel i obsah pláště:

`\begin{gathered}s = \sqrt{r^2 + v^2} \\[10pt] \alpha = 360^{\circ} \cdot \dfrac{r}{s} \\[10pt] S_{pl} = \dfrac{r}{s} \cdot \pi s^2 = \pi r s\end{gathered}`

Obsah pláště kužele je tedy `\pi r s` se stranou `s`, ne s výškou. Povrch přidá podstavu: `S = \pi r^2 + \pi r s = \pi r(r + s)`.

Příklad 3: plášť, povrch a objem kužele

Kužel má poloměr podstavy 4 cm a výšku 3 cm. Vypočítejte obsah pláště, povrch, objem a středový úhel rozvinutého pláště.

`\begin{gathered}s = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{cm} \\[10pt] S_{pl} = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi \doteq 62{,}83\ \mathrm{cm^2} \\[10pt] S = \pi \cdot 4 \cdot (4 + 5) = 36\pi \doteq 113{,}10\ \mathrm{cm^2} \\[10pt] V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 16\pi \doteq 50{,}27\ \mathrm{cm^3} \\[10pt] \alpha = 360^{\circ} \cdot \dfrac{4}{5} = 288^{\circ}\end{gathered}`

Kontrola: strana je vždy delší než poloměr, takže úhel výseče musí vyjít menší než 360°. Kdo by do pláště dosadil výšku, dostal by `12\pi` místo `20\pi`. Všechny hodnoty i se stranou a odchylkou strany od podstavy spočítá kalkulačka kužele.

Příklad 4: poloměr kužele z rozvinutého pláště

Plášť kužele má obsah 50 cm² a po rozvinutí je to kruhová výseč se středovým úhlem 120°. Jaký je poloměr podstavy?

Úhel 120° je třetina z 360°, proto `\dfrac{r}{s} = \dfrac{1}{3}` a strana je trojnásobkem poloměru, `s = 3r`. Dosadíme do vzorce pro plášť:

`\begin{gathered}\pi r \cdot 3r = 50 \\[10pt] r^2 = \dfrac{50}{3\pi} \\[10pt] r \doteq 2{,}30\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Strana je `s = 3r \doteq 6{,}91` cm. Kontrola: `\pi \cdot 2{,}303 \cdot 6{,}909 \doteq 50` cm². Jde to i oklikou přes celý kruh: tři takové výseče dají kruh o obsahu 150 cm², jeho poloměr `\sqrt{150/\pi} \doteq 6{,}91` cm je strana `s` a z `\pi r s = 50` vyjde stejné `r`.

Příklad 5: kornout z půlkruhu

Z papírového půlkruhu o poloměru 12 cm stočíme kornout (bez přesahu). Jak bude vysoký a kolik se do něj vejde?

Poloměr půlkruhu je strana kužele, `s = 12`, a úhel výseče 180°. Z `\alpha = 360^{\circ} \cdot \dfrac{r}{s}` plyne `r = \dfrac{s}{2} = 6` cm.

`\begin{gathered}v = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \doteq 10{,}39\ \mathrm{cm} \\[10pt] V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3}\,\pi \doteq 391{,}78\ \mathrm{cm^3}\end{gathered}`

Kornout je vysoký asi 10,4 cm a vejde se do něj necelých 0,4 litru. Kontrola: plášť `\pi \cdot 6 \cdot 12 = 72\pi` je přesně polovina kruhu `\pi \cdot 12^2 = 144\pi`. Obsah a oblouk výseče zvlášť počítá kalkulačka kruhové výseče.

Tělesa vepsaná do krychle

Příklad 6: poměr objemů kužele a krychle

Do krychle s hranou `a` je vepsán kužel: podstava leží na dolní stěně a dotýká se jejích hran, vrchol je ve středu horní stěny. V jakém poměru jsou objemy kužele a krychle?

Podstava kužele je kruh vepsaný do čtverce, proto `r = \dfrac{a}{2}` a výška je celá hrana, `v = a`:

`\begin{gathered}V_{\text{kužel}} = \dfrac{1}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 a = \dfrac{\pi a^3}{12} \\[10pt] V_{\text{kužel}} : V_{\text{krychle}} = \dfrac{\pi a^3}{12} : a^3 = \pi : 12\end{gathered}`

Kužel zabírá `\dfrac{\pi}{12} \doteq 0{,}26`, tedy asi 26 % krychle, bez ohledu na délku hrany. Stejně se spočítají i ostatní tělesa vepsaná do krychle:

Vepsané tělesoObjemPodíl z krychle
válec`\dfrac{\pi a^3}{4}`78,5 %
koule`\dfrac{\pi a^3}{6}`52,4 %
jehlan`\dfrac{a^3}{3}`33,3 %
kužel`\dfrac{\pi a^3}{12}`26,2 %

Válec, koule a kužel jsou v poměru `3 : 2 : 1`, což objevil už Archimédes, viz Archimédův náhrobek - koule vepsaná do válce.

Hranol a kvádr

Příklad 7: podstavná hrana šestibokého hranolu

Pravidelný šestiboký hranol má výšku 30 cm a objem 180 cm³. Jak dlouhá je podstavná hrana?

Z objemu nejdřív obsah podstavy: `S_p = \dfrac{V}{v} = \dfrac{180}{30} = 6\ \mathrm{cm^2}`. Pravidelný šestiúhelník se skládá ze šesti rovnostranných trojúhelníků se stranou `a`, každý má tedy obsah 1 cm²:

`\begin{gathered}\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 1 \\[10pt] a^2 = \dfrac{4}{\sqrt{3}} \doteq 2{,}309 \\[10pt] a \doteq 1{,}52\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Kontrola: `6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1{,}52^2 \doteq 6{,}00` cm². Pozor na useknutí: `a = 1{,}5197\ldots`, zaokrouhleno tedy 1,52, ne 1,51. Šestiúhelníku a šestibokému hranolu se podrobně věnuje Stereometrie - Další příklady, vzorcům pro hranol Hranol - Vzorečky a ověřit to můžete v kalkulačce pravidelného hranolu.

Příklad 8: rozměry bazénu

Bazén tvaru kvádru je hluboký 2,5 m a má objem 150 m³. Strany dna se liší o 4 m. Jaké jsou rozměry dna a kolik metrů čtverečních obkladu bude potřeba na dno a stěny?

Kratší strana dna je `x`, delší `x + 4`. Z objemu kvádru vznikne kvadratická rovnice:

`\begin{gathered}x(x + 4) \cdot 2{,}5 = 150 \\[6pt] x^2 + 4x - 60 = 0 \\[6pt] (x + 10)(x - 6) = 0\end{gathered}`

Délka nemůže být záporná, takže `x = 6`: dno má rozměry 6 m × 10 m. Zkouška: `6 \cdot 10 \cdot 2{,}5 = 150` m³.

Bazén nemá víko, obkládá se dno a čtyři stěny:

`\begin{aligned} S &= 6 \cdot 10 + 2 \cdot (6 + 10) \cdot 2{,}5 \\[6pt] &= 60 + 80 = 140\ \mathrm{m^2} \end{aligned}`

Potřeba je 140 m² obkladu (v praxi ještě s rezervou na prořez). Objem a povrch kvádru i s úhlopříčkou počítá kalkulačka kvádru, ta ale do povrchu počítá i horní stěnu.

Stejný objem, jiný tvar

Příklad 9: přetavení koule na kužel

Kovovou kouli o poloměru 6 cm přetavíme na kužel se stejným poloměrem podstavy 6 cm. Jak vysoký bude?

Při přetavení se objem nemění, takže objemy obou těles položíme do rovnosti:

`\begin{gathered}\dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{1}{3}\pi r^2 v \\[10pt] 4r = v \\[10pt] v = 4 \cdot 6 = 24\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Kužel bude vysoký 24 cm. Výhodné je krátit obecně ještě před dosazením: vyjde `v = 4r`, což platí pro každou kouli a každý kužel se stejným poloměrem. Kontrola: oba objemy jsou `288\pi \doteq 905` cm³, stejně jako koule v příkladu 2. Objem koule spočítá kalkulačka koule, další úlohy s koulí, úsečí a výsečí jsou v článku Koule.

Časté chyby

  • Plášť kužele s výškou místo strany. Správně je `S_{pl} = \pi r s`. V příkladu 3 by `\pi r v` dalo `12\pi` místo `20\pi`.
  • Zapomenutá třetina u jehlanu a kužele. Kužel vepsaný do válce má třetinu jeho objemu, ne polovinu.
  • Průměr místo poloměru. Ve vzorcích je vždy `r`. Nádoba „o průměru 20 cm“ má `r = 10`, a šířka barelu u hladiny v příkladu 1 není průměr, ale tětiva.
  • Smíchané jednotky. Poloměr v centimetrech a délka v metrech dají nesmysl. Převeďte vše na jednu jednotku; `1\ \mathrm{dm^3} = 1\ \mathrm{l}`, `1\ \mathrm{m^3} = 1000\ \mathrm{l}`.
  • Useknutí místo zaokrouhlení a zaokrouhlené mezivýsledky. Počítejte s přesnou hodnotou (`\sqrt{108}`, `20\pi`) a zaokrouhlete až výsledek.
  • Povrch otevřené nádoby. Bazén, akvárium ani hrnec nemají víko, takže se do povrchu nepočítá horní stěna.

Příklady k procvičení

1. Válec má poloměr podstavy 4 cm a výšku 10 cm. Vypočítejte jeho objem a povrch.

2. Kužel má poloměr podstavy 5 cm a výšku 12 cm. Vypočítejte stranu, obsah pláště, povrch, objem a středový úhel rozvinutého pláště.

3. Rozvinutý plášť kužele je půlkruh o poloměru 8 cm. Určete poloměr podstavy, výšku a objem kužele.

4. Do krychle s hranou 10 cm je vepsána koule. Jaký má objem a kolik procent krychle zabírá?

5. Nádrž tvaru kvádru má dno 2 m × 1,5 m a voda v ní sahá do výšky 80 cm. Kolik je v ní litrů vody? Za jak dlouho se hladina zvedne na 1,2 m, přitéká-li 12 litrů za minutu?

6. Kornout zmrzliny je kužel s poloměrem 3 cm a výškou 10 cm, nahoře je zmrzlina tvaru polokoule se stejným poloměrem. Kolik zmrzliny se vejde do kornoutu i s polokoulí?

Další příklady s okamžitou kontrolou výsledku najdete v procvičování objemu a povrchu těles.

Kam dál