Barel

Zadání

Do vody hodíme barel, který má menší hustotu než voda, takže je ponořena pouze část barelu. Délka barelu je 1 metr.

Roura

Část nad vodou je vysoká 10 centimetrů. U vodní hladiny má barel šířku 40 cm.

Detail

Vypočtěte objem barelu.

Výpočet

Tento příklad opravdu není tak těžký jak se zdá. My totiž můžeme najít jeden pravoúhlý trojúhelník a pomocí Pythagorovi věty spočítat příklad.

Jedná se o trojúhelník SPQ (popř. SPO). My o tomto trojúhelníku můžeme říci, že délka hrany |PG| je 20 cm. Délka strany |SQ| je poloměr a délka strany |SP| je r-10. Pokud tyto hodnoty dosadíme do Pythagorovi věty, získáme rovnici a jejím spočítáním vyřešíme příklad.

r2 = 202 + (r-10)2
r2 = 400 + r2 - 20r + 100
r2 = 500 + r2 - 20r
20r = 500
r = 25

A je to! Délka poloměru je 25 centimetrů. Nyní, když máme poloměr, můžeme bez problému spočítat průměr dosazením do vzorečku V = π*r2*v.

V = π*r2*v
V = π * 0.252 * 1
V = 0.196 m3

Kužel

Zadání

Vypočtěte poloměr kužele o kterém víte následující věci. Obsah pláště je 50 cm2 a pokud by se plášť rozvinul, tak úhel u vrcholu kruhové výseče bude 120°.

Plášť

Výpočet

Naše úvaha bude založená na vzorečku pro výpočet povrchu kruhové výseče. Ten vzoreček je S=π*r*s. Určit r zatím nemůžeme, ale s bychom mohli zvládnout.

My můžeme kruhovou výseč doplnit na kruh (do 360°se vejdou tři kruhové výseče). Obsah vzniknuvšího kruhu je 3*50, tedy 150 cm2. Pokud určíme poloměr tohoto kruhu, zjistíme zároveň délku strany s:

S=150
S=π*r2
r=√(S/π)
r=6.9

Výborně, získali jsme velikost strany s a tuto nově získanou hodnotu můžeme dosadit do prvního vzorce, tedy Sp=π*r*s:

Sp=π*r*s
r=S/π/s
r=[u]2.3[/u]

A toto je konečně výsledek. Poloměr kužele je 2.3 cm.

Poměr objemů kužele a krychle

Zadání

Mějme krychli a v ní vepsaný kužel. Určete vzájemný poměr těchto dvou těles. Délka hrany krychle je a

Výpočet

Pokud chceme příklad zdárně vypočítat, musíme samozřejmě znát vzorečky pro výpočet objemu kužele a krychle.

  • Krychle - a3
  • Kužel - 1/3*π*r2*v

Ještě musíme trochu upravit vzorec pro výpočet objemu kužele.

r=a/2
v=a
V = 1/3*π*r2*v
V = 1/3*π*(a/2)2*a
V = 1/3*π*a2/4*a
V = 1/12*π*a3

Nyní oba vzorečky můžeme vložit do poměru:

a3 : 1/12*π*a3
1 : 1/12*π

Poměr objemu kužele a krychle je tedy π/12

Podstavná hrana hranolu

Zadání

Vypočtěte délku podstavné hrany pravidelného šestibokého hranolu o výšce 30 cm a objemu 180 cm3.

Výpočet

Objem hranolu spočítáme vzorečkem V = Spl*v. My z tohoto vztahu můžeme určit povrch podstavy:

V = Spl*v
Spl = V/v
Spl = 6

Obsah podstavy je tedy 6 cm2 a tvar podstavy je pravidelný šestiúhelník

Detail

Podstavu tvoří šest stejně velkých rovnostranných trojúhelníku o obsahu 1 cm2.

Detail

Jelikož víme obsah trojúhelníku a jedná se o trojúhelníky rovnostranné, dosadíme hodnoty do vzorce S = (a*va)/2.

v=√(a2-a2/4)
v=√(3*a2/4)
S = (a*√(3*a2/4))/2
(2*S)/a=√(3*a2/4)
(4*S2)/a2 = 3*a2/4
a=4√((16*S2)/3)
a=1.51

Délka podstavné hrany je 1.51 centimetru.

Velikost bazénu

Zadání

Bazén o tvaru kvádru má výšku 2,5m. Objem bazénu je 150 m3. Dále víme, že délky stran dna se liší o 4 metry. Vypočtěte délky stran dna.

Výpočet

Naše úvaha bude vycházet ze vzorečku pro výpočet objemu kvádru, tedy V = a*b*c*.

150 = x * (x+4) * 2.5
150 = 2.5x2 + 10x
0 = 2.5x2 + 10x-150
#Výpočet kvadratické rovnice
x1,x2 = 6,-10

Jelikož délka strany nemůže být záporné číslo, tak už víme, že délka kratší strany je 6 metrů. Délka druhé strany je x+4, tedy 10 metrů. Dno má rozměry 6x10 m