Úvod do Stereometrie

Stereometrie je geometrie v prostoru. Zabývá se tělesy, která se do jedné roviny nevejdou, jako je krychle, kvádr, hranol, jehlan, válec, kužel nebo koule. Slovo je řeckého původu a volně přeloženo znamená měření těles. Základními útvary jsou stejně jako v planimetrii bod, přímka a rovina, jen rovin už není jedna, ale nekonečně mnoho.

Tento úvod se věnuje hlavně jehlanu, na který se lidé ptají nejčastěji: co to je, kolik má hran a stěn, jak spočítat jeho objem a povrch a jak ho narýsovat. Rýsuje se ve volném rovnoběžném promítání, stejně jako krychle, se kterou začneme.

Co je jehlan

Jehlan je těleso, jehož podstava je mnohoúhelník a všechny boční stěny jsou trojúhelníky se společným vrcholem `V`, který neleží v rovině podstavy. Podle počtu stran podstavy se jmenuje trojboký, čtyřboký, šestiboký, osmiboký a tak dále. Objem každého jehlanu je třetina objemu hranolu se stejnou podstavou a výškou:

`\displaystyle V = \frac{1}{3}\, S_p \cdot v`

Pravidelný jehlan má za podstavu pravidelný mnohoúhelník a pata jeho výšky leží přesně ve středu podstavy. Všechny boční hrany jsou pak stejně dlouhé a všechny boční stěny jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky. Pravidelný šestiboký jehlan má tedy podstavu pravidelný šestiúhelník, pravidelný trojboký jehlan rovnostranný trojúhelník.

U jehlanu rozlišujeme tři různé „výšky“ a délky, které se snadno spletou:

• výška jehlanu `v` je vzdálenost vrcholu `V` od roviny podstavy,
• výška boční stěny `v_a` (stěnová výška) je výška trojúhelníku, který tvoří boční stěnu, spuštěná z `V` na hranu podstavy,
• boční hrana `h` spojuje vrchol `V` s vrcholem podstavy.

Všechny boční stěny dohromady tvoří plášť. Povrch jehlanu je podstava plus plášť, podstava je jen jedna. Když pata výšky neleží ve středu podstavy, jehlan je kosý. Vzorec pro objem platí i pro něj, vzorce pro plášť níže ale jen pro pravidelný jehlan.

Kolik má jehlan vrcholů, hran a stěn

Jehlan s `n`-úhelníkovou podstavou má `n` vrcholů v podstavě a k nim vrchol `V`, tedy `n + 1` vrcholů. Hran má `2n`: `n` v podstavě a `n` bočních. Stěn má `n + 1`: `n` bočních a podstavu. Nic z toho se nemusíte učit zpaměti, stačí si jehlan představit.

Kontrolou je Eulerova věta: vrcholy plus stěny minus hrany dají u každého takového tělesa 2, tady `(n + 1) + (n + 1) - 2n = 2`. Počítání stěn, hran a vrcholů si můžete vyzkoušet v procvičování stěny, hrany a vrcholy.

Objem a povrch jehlanu

Pro každý jehlan platí

`\displaystyle V = \frac{1}{3}\, S_p \cdot v`
`S = S_p + Q`

kde `S_p` je obsah podstavy a `Q` obsah pláště. U pravidelného `n`-bokého jehlanu s hranou podstavy `a` je plášť `n` shodných trojúhelníků se základnou `a` a výškou `v_a`:

`\displaystyle Q = n \cdot \frac{a \cdot v_a}{2}`

Výšku boční stěny a boční hranu dostaneme z Pythagorovy věty. Výška jehlanu `v` stojí kolmo na podstavě v jejím středu `S`. Se spojnicí `S` a středu hrany podstavy, což je poloměr `r` kružnice vepsané do podstavy, tvoří pravoúhlý trojúhelník s přeponou `v_a`. Se spojnicí `S` a vrcholu podstavy, poloměrem `R` kružnice opsané, tvoří pravoúhlý trojúhelník s přeponou `h`:

`v_a = \sqrt{v^2 + r^2}`
`h = \sqrt{v^2 + R^2}`

Pro nejčastější podstavy to jsou tyto hodnoty:

Pro jinou podstavu pomůže, že pravidelný `n`-úhelník se ze středu rozpadne na `n` trojúhelníků s výškou `r`, takže `S_p = \frac{n \cdot a \cdot r}{2}`. Hodnoty pro libovolné `n` spočítá kalkulačka pravidelný n-úhelník. Kontrola na konec každého výpočtu: vždy musí vyjít `v \lt v_a \lt h`, protože `v` je v obou trojúhelnících odvěsna.

Příklad 1

Pravidelný čtyřboký jehlan má hranu podstavy `a = 6\ \mathrm{cm}` a výšku `v = 4\ \mathrm{cm}`. Vypočítejte objem, povrch a boční hranu.

`S_p = a^2 = 36\ \mathrm{cm^2}`
`V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48\ \mathrm{cm^3}`
`v_a = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\ \mathrm{cm}`
`Q = 4 \cdot \dfrac{6 \cdot 5}{2} = 60\ \mathrm{cm^2}`
`S = 36 + 60 = 96\ \mathrm{cm^2}`
`h = \sqrt{4^2 + 18} = \sqrt{34} \doteq 5{,}83\ \mathrm{cm}`

Poloměr kružnice vepsané do čtverce je polovina strany, 3 cm, a kružnice opsané polovina úhlopříčky, `R = 3\sqrt{2}`, tedy `R^2 = 18`. Kontrola: hranol se stejnou podstavou a výškou by měl objem `36 \cdot 4 = 144\ \mathrm{cm^3}` a jehlan je jeho třetina. A `4 \lt 5 \lt 5{,}83`, pořadí sedí. Stejné zadání má jako výchozí příklad kalkulačka pravidelný jehlan, která celý postup vypíše i pro jiná čísla.

Příklad 2: pravidelný šestiboký jehlan

Pravidelný šestiboký jehlan má hranu podstavy `a = 4\ \mathrm{cm}` a výšku `v = 6\ \mathrm{cm}`. Vypočítejte objem a povrch.

Pravidelný šestiúhelník se skládá ze šesti rovnostranných trojúhelníků se stranou `a`, proto `S_p = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2`:

`S_p = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24\sqrt{3} \doteq 41{,}57\ \mathrm{cm^2}`
`V = \dfrac{1}{3} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 6 = 48\sqrt{3} \doteq 83{,}14\ \mathrm{cm^3}`
`r = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3}`
`v_a = \sqrt{36 + 12} = 4\sqrt{3} \doteq 6{,}93\ \mathrm{cm}`
`Q = 6 \cdot \dfrac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 48\sqrt{3} \doteq 83{,}14\ \mathrm{cm^2}`
`S = 24\sqrt{3} + 48\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \doteq 124{,}71\ \mathrm{cm^2}`

Boční hrana: u šestiúhelníku je `R = a`, takže `h = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \doteq 7{,}21\ \mathrm{cm}`. Pořadí `6 \lt 6{,}93 \lt 7{,}21` sedí. Že objem a plášť vyšly stejným číslem, je náhoda těchto rozměrů, jednotky jsou různé.

Příklad 3: pravidelný trojboký jehlan

Pravidelný trojboký jehlan má hranu podstavy `a = 6\ \mathrm{cm}` a výšku `v = 4\ \mathrm{cm}`. Vypočítejte objem, povrch a boční hranu.

Střed rovnostranného trojúhelníku je jeho těžiště a to dělí výšku trojúhelníku `v_c = \frac{\sqrt{3}}{2}a = 3\sqrt{3}` v poměru 2 : 1. Proto `r = \frac{1}{3}v_c = \sqrt{3}` a `R = \frac{2}{3}v_c = 2\sqrt{3}`.

`S_p = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \doteq 15{,}59\ \mathrm{cm^2}`
`V = \dfrac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 4 = 12\sqrt{3} \doteq 20{,}78\ \mathrm{cm^3}`
`v_a = \sqrt{16 + 3} = \sqrt{19} \doteq 4{,}36\ \mathrm{cm}`
`Q = 3 \cdot \dfrac{6\sqrt{19}}{2} = 9\sqrt{19} \doteq 39{,}23\ \mathrm{cm^2}`
`S \doteq 15{,}59 + 39{,}23 = 54{,}82\ \mathrm{cm^2}`
`h = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} \doteq 5{,}29\ \mathrm{cm}`

Kontrola: `4 \lt 4{,}36 \lt 5{,}29`. Boční hrany (5,29 cm) jsou kratší než hrany podstavy (6 cm), takže tohle není pravidelný čtyřstěn. Ten by musel mít všech šest hran stejných.

Příklad 4: stanová střecha

Dům má čtvercový půdorys 10 × 10 m a stanovou střechu, tedy střechu tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu, vysokou 3 m. Kolik metrů čtverečních má střešní plocha?

Střecha je plášť jehlanu, podstava se nepočítá. Poloměr kružnice vepsané je `r = 5\ \mathrm{m}`:

`v_a = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34} \doteq 5{,}83\ \mathrm{m}`
`Q = 4 \cdot \dfrac{10 \cdot \sqrt{34}}{2} = 20\sqrt{34} \doteq 116{,}6\ \mathrm{m^2}`

Kontrola: šikmá střecha musí mít větší plochu než vodorovný strop pod ní, 100 m², a čím je střecha plošší, tím víc se jí plocha blíží. Nároží, tedy boční hrany, mají délku `h = \sqrt{9 + 50} = \sqrt{59} \doteq 7{,}68\ \mathrm{m}`.

Volné rovnoběžné promítání

Těleso na papíře je vždy jen jeho průmět do roviny. Ve škole se rýsuje ve volném rovnoběžném promítání a to má několik jednoduchých pravidel:

• Nejdřív zvolíme průmětnu, svislou rovinu „čelem k nám“. Útvary, které v ní leží nebo jsou s ní rovnoběžné, se zobrazí ve skutečné velikosti a se skutečnými úhly. Patří sem přední stěna krychle, ale také každá svislá úsečka, například výška jehlanu.
• Úsečky kolmé na průmětnu (hloubkové, vedou „dozadu“) se rýsují pod úhlem 45° a zkrácené na polovinu.
• Rovnoběžné úsečky zůstanou rovnoběžné a střed úsečky zůstane jejím středem. Proto se průsečík úhlopříček nebo těžiště dají najít i v promítnutém obrázku.
• Úsečky v jiných směrech, například úhlopříčky podstavy, se zkreslí, jejich délku ani úhly z obrázku neměříme.
• Neviditelné hrany se rýsují čárkovaně.

Jinak řečeno: čtverec, který leží vodorovně, se na papíře změní v rovnoběžník. Jeho přední a zadní strana mají plnou délku, boční strany jsou poloviční a skloněné o 45°.

Jak narýsovat krychli

Narýsujeme krychli `ABCDEFGH` o hraně `a = 4\ \mathrm{cm}`. Dolní podstava je `ABCD`, horní `EFGH`, bod `E` leží nad `A`.

1. Přední stěna `ABFE` leží v průmětně, narýsujeme ji jako čtverec se stranou 4 cm.
2. Z bodů `A`, `B`, `F` a `E` vedou dozadu hrany `AD`, `BC`, `FG` a `EH`. Jsou kolmé na průmětnu, proto je rýsujeme pod úhlem 45° a dlouhé 2 cm.
3. Spojíme zadní stěnu `DCGH`. Hrany `AD`, `DC` a `DH` jsou zakryté ostatními stěnami, proto jsou čárkovaně.

Na takto narýsované krychli se potom konstruují řezy, viz procvičování řezů krychle. Objem, povrch a úhlopříčky krychle spočítá kalkulačka krychle.

Jak narýsovat jehlan

Postup je u každého jehlanu stejný: podstava, střed podstavy, výška, spojit. Narýsujeme pravidelný čtyřboký jehlan `ABCDV` s hranou podstavy 4 cm a výškou 5 cm.

1. Podstava `ABCD` je vodorovný čtverec, rýsujeme ji stejně jako dolní stěnu krychle: `AB` v plné délce 4 cm, `AD` a `BC` pod úhlem 45° a dlouhé 2 cm.
2. Střed podstavy `S` je průsečík úhlopříček `AC` a `BD`. Úhlopříčky se sice zkreslí, ale jejich průsečík zůstane středem.
3. Z bodu `S` vztyčíme svislou výšku. Ta je rovnoběžná s průmětnou, takže ji nezkracujeme: 5 cm. Její koncový bod je vrchol `V`.
4. Spojíme `V` s vrcholy `A`, `B`, `C` a `D`. Hrany `AD`, `DC` a `DV` jsou vzadu, rýsují se čárkovaně.

Pravidelný šestiboký jehlan

Pravidelný šestiboký jehlan má za podstavu pravidelný šestiúhelník, šest shodných rovnoramenných bočních stěn, 7 vrcholů, 12 hran a 7 stěn. Jeho objem a povrch jsou spočítané v příkladu 2. Nejtěžší na rýsování je podstava, proto si ji nejdřív narýsujeme ve skutečném tvaru, například s hranou `a = 2\ \mathrm{cm}`.

1. Ve skutečném šestiúhelníku `ABCDEF` jsou úsečky `AE` a `BD` kolmé na přední hranu `AB` a mají délku `\sqrt{3}\,a \doteq 3{,}46\ \mathrm{cm}`. Hlavní úhlopříčka `FC` je rovnoběžná s `AB`, má délku `2a = 4\ \mathrm{cm}` a prochází středy úseček `AE` a `BD`.
2. V promítání rýsujeme `AB` ve skutečné délce 2 cm. `AE` a `BD` jsou kolmé na průmětnu, proto je rýsujeme pod úhlem 45° a zkrácené na polovinu, asi 1,73 cm.
3. Středy úseček `AE` a `BD` spojíme přímkou a na ní naneseme `FC` v plné délce 4 cm tak, aby její střed `S` ležel uprostřed. Hlavní úhlopříčka je rovnoběžná s průmětnou, proto se nezkracuje. Pak spojíme `BC`, `CD`, `EF` a `FA`.
4. Bod `S` je střed podstavy. Z něj vztyčíme výšku jehlanu v plné délce, třeba 5 cm, a vrchol `V` spojíme se všemi šesti vrcholy podstavy. Zadní hrany jsou čárkovaně.

Stejně se rýsuje i pravidelný šestiboký hranol, jen místo jednoho vrcholu nahoře narýsujeme druhou, stejnou podstavu posunutou o výšku. Jeho vzorce jsou v článku hranol - vzorečky.

Pravidelný trojboký jehlan

Podstavou pravidelného trojbokého jehlanu je rovnostranný trojúhelník a vrchol `V` leží svisle nad jeho těžištěm `T`. Jehlan má 4 vrcholy, 6 hran a 4 stěny, proto je každý trojboký jehlan zároveň čtyřstěn. Pravidelný čtyřstěn je ale jen zvláštní případ, u kterého jsou i boční hrany stejně dlouhé jako hrany podstavy. Rýsujeme ho například s hranou `a = 4\ \mathrm{cm}`:

1. Ve skutečném trojúhelníku `ABC` je výška `v_c` z vrcholu `C` kolmá na `AB` a dopadá do jejího středu `P`. Pro `a = 4\ \mathrm{cm}` je `v_c = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 \doteq 3{,}46\ \mathrm{cm}`.
2. V promítání narýsujeme `AB` v plné délce 4 cm. Ze středu `P` vedeme pod úhlem 45° úsečku `PC`, zkrácenou na polovinu, tedy asi 1,73 cm. Spojíme `AC` a `BC`.
3. Těžiště `T` leží na `PC` ve třetině od `P`, protože těžiště dělí těžnici v poměru 2 : 1 a dělicí poměr se v rovnoběžném promítání zachovává. V obrázku je to asi 0,58 cm od `P`.
4. Z `T` vztyčíme výšku jehlanu v plné délce (na obrázku 4,5 cm) a vrchol `V` spojíme s `A`, `B` a `C`.

Protože je trojúhelník v promítání hodně plochý, vyplatí se rýsovat přesně. Bod `C` skoro splývá s hranou `BV` a je snadné ho zapomenout. Výpočet objemu a povrchu trojbokého jehlanu je v příkladu 3, pravidelný čtyřstěn počítá kalkulačka pravidelný čtyřstěn.

Osmistěn složený ze dvou jehlanů

Pravidelný osmistěn je vlastně dvojice pravidelných čtyřbokých jehlanů slepených podstavami. Nejsnáz se narýsuje do krychle: jeho šest vrcholů leží ve středech jejích stěn. Středy předních a zadních stěn najdeme jako průsečíky úhlopříček, které v promítání zůstávají středy.

Společná podstava obou jehlanů je čtverec se stranou `\frac{\sqrt{2}}{2}a` a obsahem `\frac{a^2}{2}`, výška každého jehlanu je `\frac{a}{2}`. Objem osmistěnu vepsaného do krychle o hraně `a` je tedy

`\displaystyle V = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6}`

čili přesně šestina krychle. Osmistěn je jedno z pěti platónských těles, všechna jsou popsaná v článku platónská tělesa.

Časté chyby

• Záměna `v`, `v_a` a `h`. Do objemu patří výška jehlanu `v`, do pláště výška boční stěny `v_a`. Když je v zadání boční hrana, výšku z ní teprve dopočítejte. Kontrola: vždy `v \lt v_a \lt h`.
• Zapomenutá třetina. Bez `\frac{1}{3}` vyjde objem hranolu, trojnásobek správného výsledku.
• Dvě podstavy v povrchu. Jehlan má jen jednu podstavu, druhá je u hranolu.
• „Šestiboký“ neznamená šest stěn. Šestiboký jehlan má šest bočních stěn, s podstavou celkem sedm.
• Pravidelný trojboký jehlan není vždy pravidelný čtyřstěn. Pravidelný je jeho podstava, boční hrany mohou mít jakoukoli (stejnou) délku.
• Hloubkové hrany v plné délce. Hrany kolmé na průmětnu se v promítání zkracují na polovinu. Krychle s plnými hranami dozadu vypadá jako protáhlý kvádr.
• Zkrácená výška jehlanu. Výška je svislá, tedy rovnoběžná s průmětnou, a rýsuje se v plné délce. Zkracují se jen úsečky vedoucí dozadu.
• Pata výšky jinde než ve středu. U trojbokého jehlanu leží v těžišti, ve třetině výšky trojúhelníku od strany `AB`, ne v její polovině.

Příklady k procvičení

Kam dál

Objem, povrch, výšku boční stěny i boční hranu jakéhokoli pravidelného jehlanu spočítá kalkulačka pravidelný jehlan i s postupem, jehlan s uříznutou špičkou kalkulačka komolý jehlan. Podstavy dopočítají pravidelný šestiúhelník a pravidelný n-úhelník, všechna tělesa najdete na stránce objem a povrch těles.

Procvičit si můžete stěny, hrany a vrcholy, objem a povrch těles a platónská tělesa.

Ve stereometrii navazují základní zákonitosti o bodech, přímkách a rovinách, podle kterých se konstruují řezy těles, a jejich procvičování. Na výpočty těles navazují články hranol - vzorečky, platónská tělesa a koule.