Archimédův náhrobek - koule vepsaná do válce

Na Archimédově náhrobku byla podle antických autorů koule vepsaná do válce. Archimédés dokázal, že taková koule má přesně dvě třetiny objemu válce a zároveň dvě třetiny jeho povrchu:

`\begin{gathered} V_{\mathrm{koule}} : V_{\mathrm{válec}} = 2 : 3 \\[6pt] S_{\mathrm{koule}} : S_{\mathrm{válec}} = 2 : 3 \end{gathered}`

Válec má stejný poloměr r jako koule a výšku 2r, takže se ho koule dotýká oběma podstavami i pláštěm. Když k nim přidáme kužel se stejnou podstavou a výškou jako válec, vyjde ještě hezčí řada: kužel, koule a válec mají objemy v poměru 1 : 2 : 3. Kužel je třetina válce, koule dvě třetiny.

Níže je výpočet obou poměrů krok za krokem, odkud se bere vzorec pro objem koule (úvaha s řezy, kterou znal už Archimédés), kužel opsaný kouli s poměrem 4 : 6 : 9, přehledová tabulka, čtyři řešené příklady a pět příkladů k procvičení s řešením. Každé z těles si můžete spočítat i s postupem na kalkulačkách koule, válce a kužele.

Co je na Archimédově náhrobku

Archimédés ze Syrakus (asi 287 až 212 př. n. l.) byl největší matematik starověku. Ze všech svých objevů si nejvíc cenil právě vztahu koule a válce, který dokázal ve spisu O kouli a válci. Řecký spisovatel Plútarchos píše, že si přál, aby mu na hrob postavili válec s vepsanou koulí a připsali k nim poměr, o kolik je větší těleso, které tu druhé obsahuje.

Archimédés zemřel roku 212 př. n. l., když Římané po dlouhém obléhání dobyli Syrakusy. Zabil ho římský voják, ačkoli vojevůdce Marcellus nařídil, aby ho ušetřili. O 137 let později, v roce 75 př. n. l., hledal hrob Marcus Tullius Cicero, tehdy římský úředník na Sicílii. Syrakusané už nevěděli, kde je. Cicero ho našel zarostlý trním u jedné z městských bran a poznal ho podle sloupku, na kterém byla vytesaná koule a válec. Dnes se neví, kde hrob byl.

Koule ve válci se dodnes objevuje na Fieldsově medaili, jednom z nejvyšších ocenění pro matematiky: na její přední straně je Archimédův portrét, na zadní koule vepsaná do válce.

Proč koule zabírá dvě třetiny válce

Poloměr koule označíme r. Válec, do kterého je koule vepsaná, má poloměr podstavy také r a výšku v = 2r (takovému válci se říká rovnostranný, protože jeho osový řez je čtverec). Objem válce je obsah podstavy krát výška:

`V_{\mathrm{válec}} = \pi r^2 \cdot v = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3`

Objem koule je `\frac{4}{3}\pi r^3`. Vydělíme:

`\dfrac{V_{\mathrm{koule}}}{V_{\mathrm{válec}}} = \dfrac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}`

Číslo π i r³ se zkrátí, takže poměr na velikosti nezávisí. Koule zabírá dvě třetiny válce vždy, ať je to kulička v krabičce, nebo míč v kontejneru, a zbylá třetina válce je vzduch.

Kontrola na číslech: pro r = 3 má válec objem 2 · 27π = 54π a koule `\frac{4}{3} \cdot 27\pi = 36\pi`. A 36 : 54 = 2 : 3. Stejná čísla dostanete na kalkulačce koule s r = 3 (113,10) a válce s r = 3 a v = 6 (169,65).

Povrch: koule a plášť válce

Povrch válce tvoří dvě podstavy a plášť. Plášť rozvinutý do roviny je obdélník s rozměry 2πr (obvod podstavy) a v = 2r:

`\begin{gathered} S_{\mathrm{plášť}} = 2\pi r \cdot 2r = 4\pi r^2 \\[6pt] S_{\mathrm{válec}} = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2 \end{gathered}`

Povrch koule je `4\pi r^2`, takže poměr povrchů je 4 : 6 = 2 : 3, stejný jako u objemů. A navíc: povrch koule je přesně stejný jako plášť válce, obojí je `4\pi r^2`.

Archimédés ukázal ještě víc. Když kouli i válec rozřízneme dvěma vodorovnými rovinami ve vzdálenosti d od sebe, má pás koule mezi nimi obsah 2πrd, stejně jako pás pláště. U rovníku je pás koule skoro svislý a má velký obvod, u pólu má obvod malý, ale leží šikmo, a proto je širší. Obojí se přesně vyrovná. Na tom stojí Lambertovo válcové zobrazení zeměkoule, mapa, na které mají všechny státy správnou plochu (i když zkreslený tvar).

Kužel, koule a válec v poměru 1 : 2 : 3

Do stejného válce vložíme kužel, který má s válcem společnou dolní podstavu a vrchol uprostřed horní podstavy. Má tedy poloměr r a výšku 2r.

`\begin{gathered} V_{\mathrm{kužel}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 2r = \dfrac{2}{3}\pi r^3 \\[10pt] V_{\mathrm{koule}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \\[10pt] V_{\mathrm{válec}} = 2\pi r^3 = \dfrac{6}{3}\pi r^3 \end{gathered}`

Ve třetinách `\pi r^3` to jsou 2, 4 a 6 dílů, po zkrácení 1 : 2 : 3. Jinak řečeno: koule a kužel mají dohromady stejný objem jako válec, protože 2 + 4 = 6. Právě tahle věta je klíčem k odvození vzorce pro objem koule v další části.

Ověřit si to můžete na kalkulačkách: kužel s r = 3 a v = 6 má objem 56,55, koule s r = 3 má 113,10 a válec 169,65. To je 18π, 36π a 54π, tedy znovu 1 : 2 : 3.

Odkud se bere vzorec pro objem koule

Proč má koule objem právě `\frac{4}{3}\pi r^3`? Stačí porovnat polokouli s válcem, ze kterého vyřízneme kužel. Válec má poloměr r a výšku r, kužel má podstavu v horní podstavě válce a vrchol uprostřed dolní (druhý obrázek). Obě tělesa rozřízneme vodorovnou rovinou ve výšce h nade dnem.

• Řez polokoulí je kruh. Jeho poloměr ρ dopočítáme Pythagorovou větou z pravoúhlého trojúhelníku s přeponou r a odvěsnou h: `\rho^2 = r^2 - h^2`. Obsah řezu je `\pi\rho^2 = \pi(r^2 - h^2)`.
• Řez válcem bez kužele je mezikruží. Vnější poloměr je r. Vnitřní je poloměr kužele ve výšce h, a protože kužel má výšku stejnou jako poloměr podstavy (obojí r), je to právě h. Obsah mezikruží je `\pi r^2 - \pi h^2 = \pi(r^2 - h^2)`.

V každé výšce mají oba řezy stejný obsah. Představte si obě tělesa jako dva sloupce z tenkých plátků: plátky ve stejné výšce mají vždy stejný obsah, takže oba sloupce mají i stejný objem. Tomu se říká Cavalieriho princip. Objem polokoule je tedy objem válce minus objem kužele:

`\begin{gathered} V_{\mathrm{polokoule}} = \pi r^2 \cdot r - \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \dfrac{2}{3}\pi r^3 \\[10pt] V_{\mathrm{koule}} = 2 \cdot \dfrac{2}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \end{gathered}`

Archimédés tentýž vztah našel tak, že řezy koule, kužele a válce v duchu vážil na páce (spis Metoda), a přísný důkaz pak podal v O kouli a válci. Italský matematik Bonaventura Cavalieri vyslovil princip obecně až v 17. století. Další vzorce pro kouli, její úseč, výseč a vrstvu jsou v článku Koule.

Kužel opsaný kouli: poměr 4 : 6 : 9

Antické prameny mluví jen o kouli a válci. Ve školních úlohách se k nim ale často přidává ještě rovnostranný kužel opsaný kouli. Rovnostranný znamená, že jeho osový řez je rovnostranný trojúhelník: strana kužele je stejně dlouhá jako průměr podstavy. Koule se dotýká podstavy i pláště a v osovém řezu je z ní kružnice vepsaná do trojúhelníku.

Výška kužele. Střed kružnice vepsané rovnostrannému trojúhelníku splývá s jeho těžištěm, a těžiště leží ve třetině výšky. Proto r = v : 3, tedy v = 3r. Totéž jde i bez těžiště: v pravoúhlém trojúhelníku VTO je u vrcholu V úhel 30° a `\sin 30^\circ = \frac{1}{2}`, takže přepona |VO| je dvojnásobek odvěsny |OT| = r. Výška je |VO| + r = 2r + r = 3r.

Poloměr podstavy. V pravoúhlém trojúhelníku s výškou a poloměrem R je u podstavy úhel 60°, a podle goniometrie:

`\begin{gathered} \mathrm{tg}\,60^\circ = \dfrac{v}{R} \quad\Rightarrow\quad R = \dfrac{3r}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\,r \\[10pt] s = 2R = 2\sqrt{3}\,r \end{gathered}`

Kdo goniometrii ještě nebral, dojde ke stejnému výsledku přes výšku rovnostranného trojúhelníku `v = \frac{\sqrt{3}}{2}a`: strana trojúhelníku je a = 2R, takže 3r = √3 R a R = √3 r. Teď objem a povrch:

`\begin{gathered} V_{\mathrm{kužel}} = \dfrac{1}{3}\pi R^2 v = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 3r^2 \cdot 3r = 3\pi r^3 \\[10pt] S_{\mathrm{kužel}} = \pi R^2 + \pi R s = 3\pi r^2 + 6\pi r^2 = 9\pi r^2 \end{gathered}`

Koule, rovnostranný válec a rovnostranný kužel tedy mají objemy `\frac{4}{3}\pi r^3`, `2\pi r^3` a `3\pi r^3`, po vynásobení třemi 4 : 6 : 9. Povrchy `4\pi r^2`, `6\pi r^2` a `9\pi r^2` jsou v poměru také 4 : 6 : 9.

Proč vychází u objemů i povrchů stejný poměr? Válec i rovnostranný kužel jsou kouli opsané: každá jejich podstava i plášť se koule dotýká, takže rovina, ve které se jí dotýkají, je od středu O vzdálená právě r. Takové těleso si můžeme rozřezat na tenké jehlany s vrcholem v O a výškou r. Objem každého je třetina obsahu jeho podstavy krát r, a sečtením dostaneme V = S · r : 3, kde S je povrch tělesa. Pro kouli samotnou to platí taky: `\frac{1}{3} \cdot r \cdot 4\pi r^2 = \frac{4}{3}\pi r^3`. Když je V vždy povrch krát stejné číslo r/3, musí být poměr objemů stejný jako poměr povrchů. Proto pro r = 3 vyjde u koule i u rovnostranného válce objem i povrch stejné číslo (113,10 a 169,65), jak ukáže kalkulačka.

Na číslech: pro kouli o poloměru 2 cm má rovnostranný opsaný kužel R = 2√3 ≐ 3,46 cm, v = 6 cm a objem 3π · 8 = 24π ≐ 75,40 cm³. Koule má `\frac{32}{3}\pi \doteq 33{,}51\ \mathrm{cm^3}`, a 33,51 : 75,40 ≐ 0,444, což jsou 4/9. Zkuste to na kalkulačce kužele s r = 3,4641 a v = 6.

Přehled: koule a tělesa kolem ní

Všechna tělesa v tabulce patří ke kouli o poloměru r. Válec a kužel opsaný kouli jsou rovnostranné, kužel ve válci je ten z poměru 1 : 2 : 3. Poslední sloupec říká, kolik z tělesa koule zabírá.

Koule tedy vyplní dvě třetiny válce, ale jen asi 52 % krychle, do které je vepsaná (π : 6), a necelou polovinu rovnostranného kužele. V rozích krychle zůstává víc prázdného místa než ve válci.

Řešené příklady

Příklad 1: tenisové míčky v tubě

Tenisový míček má průměr asi 6,7 cm. Tři míčky jsou v tubě tvaru válce, do které se vejdou přesně: průměr tuby je 6,7 cm a výška 3 · 6,7 = 20,1 cm. Kolik procent tuby zabírají míčky a kolik je v ní vzduchu?

Bez počítání: tubu si rozdělíme na tři stejné válce s výškou 6,7 cm. Každý je rovnostranný a je v něm jeden míček, takže míčky zabírají dvě třetiny tuby, asi 66,7 %. Na číslech, s r = 3,35 cm:

`\begin{gathered} V_{\mathrm{tuba}} = \pi \cdot 3{,}35^2 \cdot 20{,}1 \doteq 708{,}7\ \mathrm{cm^3} \\[10pt] \begin{aligned} V_{\mathrm{míčky}} &= 3 \cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3{,}35^3 \\[6pt] &= 4\pi \cdot 3{,}35^3 \doteq 472{,}4\ \mathrm{cm^3} \end{aligned} \end{gathered}`

Vzduch zabírá zbylou třetinu, `2\pi \cdot 3{,}35^3 \doteq 236{,}2\ \mathrm{cm^3}`. Kontrola: 472,4 : 708,7 ≐ 0,667, tedy dvě třetiny.

Příklad 2: válec o objemu 1,5 litru

Rovnostranný válec (výška je rovna průměru) má objem 1,5 l. Jaký objem má koule do něj vepsaná a kužel se stejnou podstavou a výškou?

Poměr 1 : 2 : 3 platí pro každou velikost, takže π ani poloměr nepotřebujeme. Koule má dvě třetiny válce, kužel jednu třetinu:

`\begin{gathered} V_{\mathrm{koule}} = \dfrac{2}{3} \cdot 1{,}5 = 1\ \mathrm{l} \\[10pt] V_{\mathrm{kužel}} = \dfrac{1}{3} \cdot 1{,}5 = 0{,}5\ \mathrm{l} \end{gathered}`

Kontrola přes poloměr: z `2\pi r^3 = 1\,500\ \mathrm{cm^3}` je `r = \sqrt[3]{\dfrac{1\,500}{2\pi}} \doteq 6{,}20\ \mathrm{cm}`, a koule s tímto poloměrem má `\frac{4}{3}\pi \cdot 6{,}20^3 \doteq 998\ \mathrm{cm^3}`. To je 1 l, dva centimetry krychlové chybí jen kvůli zaokrouhlení poloměru. Úloha ukazuje, proč se vyplatí počítat s poměrem: výsledek je přesný a bez kalkulačky.

Příklad 3: plechovka na kouli

Kovová koule o poloměru 5 cm se má zabalit do válcové plechovky s víčkem, do které přesně pasuje. Kolik plechu je potřeba? Jaký povrch má koule?

Plechovka má poloměr 5 cm a výšku 10 cm:

`\begin{gathered} \begin{aligned} S_{\mathrm{plechovka}} &= 6\pi r^2 = 6\pi \cdot 25 \\[6pt] &= 150\pi \doteq 471{,}2\ \mathrm{cm^2} \end{aligned} \\[10pt] S_{\mathrm{koule}} = 4\pi r^2 = 100\pi \doteq 314{,}2\ \mathrm{cm^2} \end{gathered}`

Kontrola: 314,2 : 471,2 ≐ 0,667, dvě třetiny. Samotný plášť plechovky má 2π · 5 · 10 = 100π cm², přesně tolik jako koule. Kdo by chtěl kouli polepit papírem, potřebuje ho stejně jako na plášť plechovky (jen ho nejde přiložit bez stříhání).

Příklad 4: koule vepsaná do kužele

Kužel má poloměr podstavy 6 cm a výšku 8 cm. Jaký poloměr má koule do něj vepsaná a kolik procent kužele zabírá?

V osovém řezu je kužel rovnoramenný trojúhelník se základnou 12 cm a výškou 8 cm. Strana kužele je `s = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\ \mathrm{cm}`. Poloměr kružnice vepsané trojúhelníku je jeho obsah vydělený polovinou obvodu:

`\rho = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8}{\frac{1}{2}(12 + 10 + 10)} = \dfrac{48}{16} = 3\ \mathrm{cm}`

`\begin{gathered} V_{\mathrm{koule}} = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = 36\pi \doteq 113{,}1\ \mathrm{cm^3} \\[10pt] V_{\mathrm{kužel}} = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = 96\pi \doteq 301{,}6\ \mathrm{cm^3} \end{gathered}`

Koule zabírá 36 : 96 = 3 : 8 = 37,5 % kužele. Kontrola poloměru podobností: v pravoúhlém trojúhelníku od vrcholu k bodu dotyku je poměr ρ : (8 − ρ) stejný jako poměr poloměru podstavy a strany kužele, 6 : 10, protože oba trojúhelníky mají u vrcholu stejný úhel. A 3 : 5 = 6 : 10 opravdu platí. Tento kužel není rovnostranný (strana 10 není průměr 12), proto nevyšlo 4/9.

Časté chyby

• Výška válce opsaného kouli je 2r, ne r. Koule se musí dotknout obou podstav, takže válec je vysoký jako její průměr. S výškou r vyjde válec πr³, menší než koule, a to je hned vidět jako nesmysl.
• Poměr 2 : 3 platí jen pro válec opsaný kouli. Vyšší válec nebo válec s větším poloměrem má jiný poměr. Úloha „koule ve válci o výšce 12 a poloměru 5“ se musí počítat přes oba objemy.
• Plášť, nebo celý povrch? Koule má stejný obsah jako plášť válce (4πr²), ale jen dvě třetiny celého povrchu válce (6πr²). Čtěte, na co se úloha ptá.
• Dva různé kužele. Kužel vepsaný do válce (výška 2r, poloměr r) dává poměr 1 : 2 : 3, kužel opsaný kouli (výška 3r, poloměr √3 r) dává 4 : 6 : 9. Nepleťte si je.
• Střed koule v rovnostranném opsaném kuželi není v polovině výšky. Leží ve třetině výšky od podstavy, protože koule se dotýká i šikmého pláště. Výška je 3r, ne 2r.
• Zaokrouhlení uprostřed výpočtu. Kdo zaokrouhlí poloměr a pak ho umocní na třetí, dostane objem s chybou (998 místo 1 000 v příkladu 2). Kde to jde, počítejte s poměrem nebo s π až do konce.

Příklady k procvičení

`\begin{gathered} V_{\mathrm{válec}} = \pi \cdot 4^2 \cdot 8 = 128\pi \doteq 402{,}1\ \mathrm{cm^3} \\[10pt] V_{\mathrm{koule}} = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \dfrac{256}{3}\pi \doteq 268{,}1\ \mathrm{cm^3} \end{gathered}`

Kam dál

• Objemy a povrchy všech těles si procvičíte na příkladech na objem a povrch těles. Rozměry jsou volené tak, aby výsledek vyšel celý, u kulatých těles celý násobek π.
• Kalkulačky s postupem: koule, válec, kužel a krychle.
• Koule: vzorce pro kouli, kulovou úseč, výseč, vrstvu a pás.
• Stereometrie - příklady: válec, kužel a jeho plášť, tělesa vepsaná do krychle.
• Platónská tělesa: pět pravidelných mnohostěnů a jejich vzorce.