Na náhrobek si podle pověsti Archimédes vytesal tři tělesa. Do válce je vepsána koule, kouli je opsán kužel. Poměr objemů těchto těles byl jeho odkaz lidstvu. Naším úkolem bude určit poměr těchto těles.
Výpočet
Proměnnou pro poloměr si označíme r.
Objem koule se dá vyjádřit jako: 4/3*π*r3.
Objem válce také nebude těžké spočítat. Obecně se objem válce spočítá jako: π*r2*v, kde v = 2r. Takže vzorec upravíme na konečnou podobu: V=2*π*r3
Vypočítat objem kužele bude nejtěžší. Kužel má jako osový řez rovnostranný trojúhelník, kde výška splývá s těžnicí, třetina těžnice je rovna r koule. Poloměr podstavy vypočteme ze vztahu v rovnostranném trojúhelníku: v=a*(√3/2). Objem se tedy spočítá jako V = 1/3*π*rk2*v. Výška je v tomto případě rovna 3r a poloměr kužele je (3*r)/√3. Doplněním a upravením vzniknuvšího vzorce dostaneme: 3*π*r3.
Výsledek
V1:V2:V2 = 4/3*π*r3:2*π*r3:3*π*r3, z čehož plyne: V1:V2:V2 = 4:6:9.
Na závěr
samozřejmě nejtěžší byl výpočet objemu kužele. Při výpočtu jsme používali málo známý vztah pro výpočet výšky v rovnostranném trojúhelníku. Příklad se ovšem dá vyřešit i jinak. Využijeme toho, že v kuželi se dá najít pravoúhlý trojúhelník o kterém můžeme říci dvě věci: že jeden úhel má 60° a že jedna strana má délku 3r.
Délka strany rk je podle sinovy věty rovna:
rk = (3*r)/sin(60°)*sin(30°) rk = (3*r)/(√3/2)*(1/2) rk = (3*r)/√3
Trochu jiným postupem jsme došli ke stejnému výsledku.
: