Matematika pro každého
Koule je těleso tvořené všemi body, které mají od středu S vzdálenost nejvýše `r`. Číslu `r` říkáme poloměr, dvojnásobku `d = 2r` průměr. Objem a povrch koule se počítají podle vzorců
`\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3`
`\displaystyle S = 4\pi r^2`
Povrch koule se jmenuje kulová plocha. Na rozdíl od koule obsahuje jen body ve vzdálenosti přesně `r` od středu, je to tedy „slupka“ bez vnitřku. Koule je souměrná podle svého středu i podle každé roviny, která středem prochází, a vznikne otáčením kruhu kolem jeho průměru.
Když kouli rozřízneme rovinou, dostaneme kulovou úseč a její zakřivená část povrchu je kulový vrchlík. Když k úseči přidáme kužel s vrcholem ve středu koule, vznikne kulová výseč. A to, co zbude mezi dvěma rovnoběžnými řezy, je kulová vrstva. Všechny vzorce jsou v tabulce hned níže, pod ní je každá část vysvětlená zvlášť i s příkladem.
Přehled vzorců
Značení: `r` je poloměr koule, `v` výška úseče, výseče nebo vrstvy, `\rho` (čteme „ró“) poloměr kruhu, ve kterém rovina kouli řízne.
| Útvar | Objem | Povrch nebo obsah |
|---|---|---|
| koule | `\dfrac{4}{3}\pi r^3` | `4\pi r^2` |
| kulová úseč | `\dfrac{\pi v^2(3r - v)}{3}` | `\pi(2rv + \rho^2)` |
| kulový vrchlík | (je to plocha) | `2\pi r v` |
| kulová výseč | `\dfrac{2}{3}\pi r^2 v` | `\pi r(2v + \rho)` |
| kulová vrstva | `\dfrac{\pi v(3\rho_1^2 + 3\rho_2^2 + v^2)}{6}` | `\pi(2rv + \rho_1^2 + \rho_2^2)` |
| kulový pás | (je to plocha) | `2\pi r v` |
Poloměr řezu `\rho` se dopočítá z `r` a `v` vztahem `\rho^2 = v(2r - v)`, odvození je u kulové úseče. Všechno si můžete nechat spočítat i s postupem v kalkulačkách koule, kulová úseč a kulová výseč.
Objem a povrch koule
Objem roste se třetí mocninou poloměru, povrch se druhou. Pokud znáte průměr, dosaďte `r = \dfrac{d}{2}`, nebo rovnou použijte tvary `V = \dfrac{\pi d^3}{6}` a `S = \pi d^2`.
Odkud se vzorce berou, ukázal už Archimédés: koule vepsaná do válce má dvě třetiny jeho objemu a stejně velký povrch jako jeho plášť. Celý výpočet je v článku Archimedův náhrobek.
Příklad 1
Fotbalový míč velikosti 5 má obvod 70 cm. Jaký má objem a povrch?
Obvod je obvod hlavní kružnice, tedy `o = 2\pi r`:
`r = \dfrac{o}{2\pi} = \dfrac{70}{2\pi} \doteq 11{,}14\ \mathrm{cm}`
`V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \doteq \dfrac{4}{3}\pi \cdot 11{,}14^3 \doteq 5\,791\ \mathrm{cm^3}`
`S = 4\pi r^2 \doteq 4\pi \cdot 11{,}14^2 \doteq 1\,560\ \mathrm{cm^2}`
Míč má tedy objem necelých 5,8 litru. Kontrola: krychle, do které by míč přesně pasoval, má hranu rovnou průměru 22,28 cm a objem asi `11\,060\ \mathrm{cm^3}`. Koule zabírá `\frac{\pi}{6} \doteq 0{,}52` krychle, do které je vepsaná, a `0{,}52 \cdot 11\,060 \doteq 5\,750`. Sedí to.
Příklad 2
Koule má objem `36\pi\ \mathrm{cm^3}`. Jaký má poloměr a povrch?
`\dfrac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi`
`r^3 = 27`
`r = 3\ \mathrm{cm}`
`S = 4\pi \cdot 3^2 = 36\pi \doteq 113{,}1\ \mathrm{cm^2}`
Při zpětném výpočtu se nejdřív zbavte zlomku a `\pi`, teprve pak odmocňujte, a to třetí odmocninou, ne druhou.
Kulová úseč
Kulová úseč je část koule, kterou od ní oddělí rovina. Rovina ji rozdělí na dvě úseče, menší a větší, a obě jsou kulové úseče. Úseč má rovinnou podstavu, kruh o poloměru `\rho`, a zakřivenou část povrchu, kulový vrchlík. Výška úseče `v` je vzdálenost podstavy od nejvzdálenějšího bodu vrchlíku.
Na obrázku je pravoúhlý trojúhelník se středem koule S, středem podstavy a bodem na jejím okraji. Přepona je poloměr koule `r`, odvěsny jsou `\rho` a `r - v`. Z Pythagorovy věty:
`\rho^2 + (r - v)^2 = r^2` `\rho^2 = v(2r - v)`
Objem kulové úseče se v tabulkách uvádí ve dvou tvarech. Oba dávají totéž, stačí do druhého dosadit `\rho^2 = v(2r - v)`. Který použijete, záleží na tom, co znáte:
`\begin{gathered} V = \dfrac{\pi v^2 (3r - v)}{3} \\[10pt] V = \dfrac{\pi v (3\rho^2 + v^2)}{6} \end{gathered}`
Povrch úseče je vrchlík plus podstava:
`S = 2\pi r v + \pi\rho^2 = \pi(2rv + \rho^2)`
Vzorec funguje i pro větší úseč, kde `v \gt r`. Dobrá kontrola je dosadit krajní případy. Pro `v = r` musí vyjít polokoule a pro `v = 2r` celá koule:
`\begin{gathered} v = r:\quad V = \dfrac{\pi r^2 \cdot 2r}{3} = \dfrac{2}{3}\pi r^3 \\[10pt] v = 2r:\quad V = \dfrac{\pi \cdot 4r^2 \cdot r}{3} = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \end{gathered}`
Příklad 3
Z koule o poloměru 10 cm odřízneme úseč vysokou 4 cm. Určete poloměr podstavy, objem a povrch úseče.
`\rho^2 = 4 \cdot (20 - 4) = 64,\quad \rho = 8\ \mathrm{cm}`
`V = \dfrac{\pi \cdot 4^2 \cdot (30 - 4)}{3} = \dfrac{416\pi}{3} \doteq 435{,}6\ \mathrm{cm^3}`
`S = \pi(2 \cdot 10 \cdot 4 + 64) = 144\pi \doteq 452{,}4\ \mathrm{cm^2}`
Kontrola druhým vzorcem:
`V = \dfrac{\pi \cdot 4 \cdot (3 \cdot 64 + 16)}{6} = \dfrac{832\pi}{6} = \dfrac{416\pi}{3}`
Celá koule má objem asi `4\,189\ \mathrm{cm^3}`, úseč tedy zabírá zhruba desetinu. U tak nízkého „víčka“ to odpovídá.
Kulový vrchlík
Kulový vrchlík je část kulové plochy, kterou odřízne rovina. Je to tedy plocha, ne těleso: zakřivená část povrchu kulové úseče, bez podstavy. Jeho obsah je
`S_{\mathrm{vrchlík}} = 2\pi r v`
Když poloměr koule neznáte, ale znáte poloměr podstavy, platí `2rv = \rho^2 + v^2`, takže
`S_{\mathrm{vrchlík}} = \pi(\rho^2 + v^2)`
Zajímavé je, že obsah vrchlíku roste s výškou rovnoměrně: dvakrát vyšší vrchlík má dvakrát větší obsah. I to objevil Archimédés, vrchlík má stejný obsah jako pruh pláště válce opsaného kouli se stejnou výškou `v`, a ten je `2\pi r \cdot v`. Pro `v = 2r` dostaneme celou kulovou plochu `4\pi r^2`.
Příklad 4
Kopule planetária má u země průměr 20 m a je vysoká 5 m. Kolik metrů čtverečních plechu je potřeba na její pokrytí?
Poloměr podstavy je `\rho = 10\ \mathrm{m}`, výška `v = 5\ \mathrm{m}`, a tak
`S = \pi(10^2 + 5^2) = 125\pi \doteq 392{,}7\ \mathrm{m^2}`
Pro kontrolu dopočítáme poloměr koule, ze které je kopule vyříznutá: `r = \dfrac{\rho^2 + v^2}{2v} = \dfrac{125}{10} = 12{,}5\ \mathrm{m}`, a podle prvního vzorce `2\pi \cdot 12{,}5 \cdot 5 = 125\pi`. Shoduje se.
Příklad 5
Jak velká část povrchu Země leží za severním polárním kruhem, tedy severně od 66,6° severní šířky? Zemi berte jako kouli.
Rovina polárního kruhu leží ve výšce `R \sin 66{,}6^\circ` nad středem Země, takže vrchlík nad ní má výšku `v = R(1 - \sin 66{,}6^\circ)`. Podíl vrchlíku na celém povrchu je
`\dfrac{2\pi R v}{4\pi R^2} = \dfrac{1 - \sin 66{,}6^\circ}{2} \doteq 0{,}041`
Za polárním kruhem leží asi 4,1 % povrchu Země, zhruba 21 milionů km² z 510 milionů. Poloměr Země se ve výpočtu zkrátil, podíl na něm vůbec nezávisí.
Kulová výseč
Kulová výseč je kulová úseč doplněná kuželem, který má vrchol ve středu koule a podstavu společnou s úsečí. Připomíná kornout se zmrzlinou. Přesněji je to průnik koule s rotačním kuželovým prostorem, jehož vrchol leží ve středu koule.
Objem výseče je stejný díl objemu koule, jako je vrchlík dílem kulové plochy:
`\displaystyle V = \frac{2\pi r v}{4\pi r^2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^2 v`
Povrch tvoří vrchlík a plášť kužele. Strana kužele je poloměr koule `r`, poloměr jeho podstavy je `\rho`, takže plášť má obsah `\pi \rho r`:
`S = 2\pi r v + \pi \rho r = \pi r(2v + \rho)`
Výška `v` je i tady výška úseče, ne kužele a ne celé výseče. Pro `v = r` je výseč polokoule a vzorec dá `\pi r(2r + r) = 3\pi r^2`, tedy polovinu kulové plochy `2\pi r^2` plus kruh `\pi r^2`.
Příklad 6
Určete objem a povrch kulové výseče, když `r = 10\ \mathrm{cm}` a výška úseče je `v = 4\ \mathrm{cm}`.
Z příkladu 3 víme, že `\rho = 8\ \mathrm{cm}`.
`V = \dfrac{2}{3}\pi \cdot 10^2 \cdot 4 = \dfrac{800\pi}{3} \doteq 837{,}8\ \mathrm{cm^3}`
`S = \pi \cdot 10 \cdot (8 + 8) = 160\pi \doteq 502{,}7\ \mathrm{cm^2}`
Kontrola skládáním: výseč je úseč z příkladu 3 plus kužel s poloměrem podstavy 8 cm a výškou `r - v = 6\ \mathrm{cm}`.
`\begin{gathered} V_{\mathrm{kužel}} = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 64 \cdot 6 = 128\pi = \dfrac{384\pi}{3} \\[10pt] \dfrac{416\pi}{3} + \dfrac{384\pi}{3} = \dfrac{800\pi}{3} \end{gathered}`
Kulová vrstva a kulový pás
Kulová vrstva je část koule mezi dvěma rovnoběžnými rovinami, které kouli protínají. Má dvě podstavy s poloměry `\rho_1` a `\rho_2` a výšku `v`, která je rovna vzdálenosti rovin. Její zakřivená část povrchu se jmenuje kulový pás. Roviny mohou ležet na stejné straně od středu i na opačných.
`\begin{gathered} V = \dfrac{\pi v (3\rho_1^2 + 3\rho_2^2 + v^2)}{6} \\[10pt] S_{\mathrm{pás}} = 2\pi r v \\[4pt] S = \pi(2rv + \rho_1^2 + \rho_2^2) \end{gathered}`
Pás má stejný vzorec jako vrchlík, protože je to rozdíl dvou vrchlíků a obsah vrchlíku roste s výškou rovnoměrně. Když jedna podstava zmizí (`\rho_2 = 0`), stane se z vrstvy úseč a vzorec pro objem přejde ve druhý vzorec úseče. Poloměry podstav se počítají jako u úseče: rovina ve vzdálenosti `d` od středu řízne kouli v kruhu o poloměru `\rho = \sqrt{r^2 - d^2}`.
Příklad 7
Kouli o poloměru 5 cm protínají dvě rovnoběžné roviny na stejné straně od středu, ve vzdálenosti 3 cm a 4 cm od něj. Určete objem a povrch vrstvy mezi nimi.
`\rho_1 = \sqrt{25 - 9} = 4\ \mathrm{cm}`
`\rho_2 = \sqrt{25 - 16} = 3\ \mathrm{cm}`
`v = 4 - 3 = 1\ \mathrm{cm}`
`V = \dfrac{\pi \cdot 1 \cdot (48 + 27 + 1)}{6} = \dfrac{38\pi}{3} \doteq 39{,}8\ \mathrm{cm^3}`
`S = \pi(2 \cdot 5 \cdot 1 + 16 + 9) = 35\pi \doteq 110\ \mathrm{cm^2}`
Kontrola rozdílem úsečí: úseč nad bližší rovinou má výšku 2 cm, úseč nad vzdálenější výšku 1 cm.
`\begin{gathered} \dfrac{\pi \cdot 2^2 \cdot (15 - 2)}{3} - \dfrac{\pi \cdot 1^2 \cdot (15 - 1)}{3} \\[10pt] = \dfrac{52\pi}{3} - \dfrac{14\pi}{3} = \dfrac{38\pi}{3} \end{gathered}`
Časté chyby
- Záměna `r` a `\rho`. Ve vrchlíku `2\pi r v` je poloměr koule, ne podstavy. Kdo tam dosadí `\rho`, dostane u příkladu 3 místo `80\pi` jen `64\pi`.
- Vrchlík a úseč nejsou totéž. Úseč je těleso a má objem, vrchlík je jen její zakřivená plocha. Povrch úseče je vrchlík plus kruhová podstava.
- Vrstva není pás. Kulová vrstva je těleso, kulový pás její zakřivená plocha, stejně jako úseč a vrchlík.
- Výseč není dílek pomeranče. Dílek pomeranče, vyříznutý dvěma rovinami procházejícími osou, se jmenuje kulový klín a jeho objem je `\dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3`. Výseč má tvar kornoutu.
- Průměr místo poloměru. Zadání často dává průměr. Dosadit ho místo poloměru znamená osminásobný objem a čtyřnásobný povrch.
- Dvojnásobný poloměr není dvojnásobný objem. Zdvojnásobením poloměru vzroste povrch 4krát a objem 8krát.
Objem a povrch všech základních těles, koule včetně, si můžete vyzkoušet v procvičování objemu a povrchu těles. Výsledky se tam zadávají jako násobek `\pi`, přesně jako v příkladech výše.
Příklady k procvičení
1. Určete objem a povrch koule o poloměru 6 cm.
`V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = 288\pi \doteq 904{,}8\ \mathrm{cm^3}`, `S = 4\pi \cdot 6^2 = 144\pi \doteq 452{,}4\ \mathrm{cm^2}`.
2. Povrch koule je `100\pi\ \mathrm{cm^2}`. Jaký má koule poloměr a objem?
`4\pi r^2 = 100\pi`, tedy `r^2 = 25` a `r = 5\ \mathrm{cm}`. Objem `V = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500\pi}{3} \doteq 523{,}6\ \mathrm{cm^3}`.
3. Rovina řízne kouli o poloměru 13 cm v kruhu o poloměru 12 cm. Jak vysoká je menší z obou úsečí, jaký má objem a jaký obsah má její vrchlík?
Rovina je od středu ve vzdálenosti `\sqrt{13^2 - 12^2} = 5\ \mathrm{cm}`, takže menší úseč má výšku `v = 13 - 5 = 8\ \mathrm{cm}` (větší `13 + 5 = 18\ \mathrm{cm}`).
`V = \frac{\pi \cdot 8^2 \cdot (39 - 8)}{3} = \frac{1984\pi}{3} \doteq 2\,077{,}6\ \mathrm{cm^3}`, vrchlík `2\pi \cdot 13 \cdot 8 = 208\pi \doteq 653{,}5\ \mathrm{cm^2}`.
4. Kulová výseč je vyříznutá z koule o poloměru 6 cm, výška příslušné úseče je 2 cm. Určete její objem a povrch.
`V = \frac{2}{3}\pi \cdot 36 \cdot 2 = 48\pi \doteq 150{,}8\ \mathrm{cm^3}`. Poloměr podstavy `\rho = \sqrt{2 \cdot (12 - 2)} = \sqrt{20} \doteq 4{,}47\ \mathrm{cm}`, povrch `S = \pi \cdot 6 \cdot (4 + 4{,}47) \doteq 159{,}7\ \mathrm{cm^2}`.
5. Kouli o poloměru 10 cm protnou dvě rovnoběžné roviny na opačných stranách od středu, ve vzdálenosti 6 cm a 8 cm od něj. Určete objem vrstvy mezi nimi a obsah kulového pásu.
`\rho_1 = \sqrt{100 - 36} = 8\ \mathrm{cm}`, `\rho_2 = \sqrt{100 - 64} = 6\ \mathrm{cm}`, výška `v = 6 + 8 = 14\ \mathrm{cm}`.
`V = \frac{\pi \cdot 14 \cdot (192 + 108 + 196)}{6} = \frac{3472\pi}{3} \doteq 3\,635{,}9\ \mathrm{cm^3}`, pás `2\pi \cdot 10 \cdot 14 = 280\pi \doteq 879{,}6\ \mathrm{cm^2}`.
Kontrola: koule `\frac{4000\pi}{3}` minus úseče s výškami 4 cm a 2 cm, `\frac{416\pi}{3}` a `\frac{112\pi}{3}`, dává `\frac{3472\pi}{3}`.
6. Kulové akvárium má vnitřní poloměr 15 cm a voda v něm sahá do výšky 20 cm. Kolik litrů vody obsahuje a jak velkou plochu má hladina?
Voda tvoří kulovou úseč s `r = 15\ \mathrm{cm}` a `v = 20\ \mathrm{cm}` (větší než polokoule, vzorec platí i tak).
`V = \frac{\pi \cdot 20^2 \cdot (45 - 20)}{3} = \frac{10\,000\pi}{3} \doteq 10\,472\ \mathrm{cm^3}`, tedy asi 10,5 litru.
Hladina je kruh o poloměru `\rho`, kde `\rho^2 = 20 \cdot (30 - 20) = 200`, takže má obsah `200\pi \doteq 628\ \mathrm{cm^2}`.
Kam dál
Vzorce z tohoto článku počítají kalkulačky objem a povrch koule, kulová úseč (objem, vrchlík, poloměr podstavy) a kulová výseč. Rovinnými obdobami jsou kruh, kruhová úseč a kruhová výseč, další kulatá tělesa jsou válec a kužel. Všechna tělesa najdete na stránce objem a povrch těles. Z článků navazují Archimedův náhrobek (poměr koule, válce a kužele), vzorce pro hranol a platónská tělesa.